Satz von Gauß

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Berechnung elektrischer Felder mit dem Satz von Gauß


Kontext:

Das Gaußsche Gesetz ist eine der vier Maxwell-Gleichungen. Es bietet eine sehr einfache Möglichkeit zur Berechnung des elektrischen Feldes für Ladungsverteilungen mit hoher Symmetrie. Es ist die mathematische Formulierung der Erkenntnis, dass elektrische Feldlinien nicht aus "dem Nichts" entstehen können oder "ins Nichts" verschwinden können. Statt dessen entstehen sie in den positiven Ladungen ("Quellen") und verschwinden in den negativen Ladungen ("Senken", "Abflüsse").


Mathematische Formulierung:

\( \oint \vec{E}(\vec{r}) \cdot d \vec{A} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0} \) Der Fluss des elektrischen Feldes \(\vec{E}\) durch eine geschlossene Fläche ist gleich der eingeschlossenen Ladungsmenge \( q_{in} \) dividiert durch die Dielektrizitätskonstante (bzw. Permittivität) \( \varepsilon_0 \).

Modellvorstellung/Analogien zum Verständnis:

Elektrische Feldlinien und geschlossene Oberflächen benehmen sich genauso wie Wasserstrahlen und Siebe, weil beide nicht aus "dem Nichts" entstehen können oder "ins Nichts" verschwinden können. Aus einem von Sieben vollständig umschlossenen Volumen kann nur ein Wasserfluss herauskommen, wenn eine Wasserquelle darin ist, ansonsten fließt das Wasser einfach durch die Siebe hindurch. Der Wasserfluss aus einem von Sieben umschlossenen Volumen hängt nur von der Stärke der Wasserquelle darin und nicht von der Form der Oberfläche des Volumens oder der Position der Quelle darin ab. Wenn das von den Sieben umschlossene Volume auch Abflüsse enthält, ist der Wasserfluss aus dem Volumen heraus die Differenz aus Stärke der Quelle und der Wassermenge, die im Abfluss verschwindet.
Wenn man die Stärke der Quelle in einem geschlossenen Volumen kennt, kennt man daher automatisch den Wert des Flussintegrals, ohne dass man es berechnen muss!

  • Elektrische Feldlinien sind analog zu den Strömungslinien in einer Wasserströmung, nur dass sich nichts bewegt.
  • Elektrische Feldvektoren sind analog zu den Geschwindigkeitsvektoren in einer Wasserströmung.
  • Elektrische Ladungen sind analog zu Quellen und Abflüssen einer Wasserströmung.
           Deshalb ist auch beim elektrischen Feld - genau wie beim Wasser - der Fluss durch eine beliebige geschlossene Fläche,
           die die Quelle umhüllt, ausschließlich durch die resultierende Stärke der Quelle darin gegeben:
           Es kommt so viel heraus, wie drin erzeugt wird. Das ist die inhaltliche Bedeutung des Gaußschen Satzes.

Der geniale Trick bei Gauß oder der wesentliche Punkt:

           <figure style="float:right;"><img alt="" src="Images/gauss_fl1.JPG" style="width: 200px;height: 100px;"></figure>
           Für den Gesamtfluss durch geschlossene Oberflächen ist die Form der Oberflächen völlig egal.
           Deshalb können wir sie beliebig - also auch besonders praktisch - wählen.
           Für praktische Formen der Oberflächen wird das Flussintegral  \( \oint \vec{E}(\vec{r}) \cdot d \vec{A} \) zum einfachen Produkt der Beträge  \(E(\vec{r})\)
            und  \(A(\vec{r})\)
           : \( \oint \vec{E}(\vec{r}) \cdot d \vec{A} \)=  \(E(\vec{r})\cdot A(\vec{r}) = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0} \).
           Dann können wir einfach nach \(E(\vec{r})\) auflösen:
           \(E(\vec{r}) =\frac{q_{in}}{\varepsilon_0 A(\vec{r})}\). Heureka!

Das Geheimnis der Gaußflächen:

             <figure style="float:right;"><img alt="" src="Images/gaussflaechen.gif" style="width: 150px;height: 150px;"></figure>
  • Man sucht nur eine Form, die Größe \(A(\vec{r})\) der Oberfläche ist stets variabel und eine Funktion des Ortsvektors \(\vec{r}\).
  • Praktische Gaußflächen und Ladungsverteilung haben i. d. R. die gleiche Form. Bei einer geladenen Kugel sind es z. B. Kugeloberflächen.
  • Praktische Gaußflächen findet man nur für sehr symmetrisch geformte Ladungsverteilungen, wie Kugeln, Zylinder, Platten, Rohre oder ähnliches. Denn für solche Formen kann man die Richtung des Feldes der Ladungsverteilung unmittelbar ansehen.
  • Praktischen Gaußflächen liegen i. d. R. zentriert zur Ladungsverteilung.
  • Auf praktischen Gaußflächen muss der Betrag von \(\vec{E}\) für ein festes \(\vec{r}\) konstant sein, wenn \(\vec{E}\) nicht parallel zur Fläche liegt.
  • Auf praktischen Gaußflächen steht \(\vec{E}\) in der Regel senkrecht.

Das Geheimnis der Berechnung des Feldes: Man muss stets eine Fallunterscheidung machen:

Feld ausserhalb der Ladungsverteilung: Feld innerhalb der Ladungsverteilung
                         <img alt="gauss" src="Images/gaussaussen2.gif" style="float:left; border: 0px solid ; width:230px; height: 230px">
                         
  • Der Ortsvektor \(\vec{r}\) startet auf der Oberfläche der Ladungsverteilung und wächst bis unendlich.
  • Für das Außenfeld bleibt die eingeschlossene Ladung und damit der Fluss konstant, weil die Gaußfläche bereits von Anfang an sämtliche Ladungen einschließt.
  • Wenn \(A(\vec{r})\) wächst, muss \(E(\vec{r})\) abnehmen.
<img alt="gauss" src="Images/gaussinnen3.gif" style="float:left; border: 0px solid ; width:150px; height: 150px">
  • Der Ortsvektor \( \vec{r}\) startet bei null und endet auf der Oberfläche.
  • Für das Innenfeld nimmt die eingeschlossene Ladung und damit der Fluss zu, weil das von \(A(\vec{r})\) umschlossene Volumen wächst und immer mehr Ladungen einschließt.
  • Wenn der Fluss schneller wächst als die Fläche, muss \(E(\vec{r})\) zunehmen.
                         Beispiel: Kugel mit Radius R, homogener Ladungsdichte ρ0 und
                         Gesamtladung q = ρ0 4/3πR3:
                         <img alt="gauss" src="Images/kugelaussen.JPG" style="float:right; border: 0px solid ; width:350px; height:60px">
                          Beispiel: Kugel mit Radius R, homogener Ladungsdichte ρ0 und
                          Gesamtladung q = ρ0 4/3πR3:
                          <img alt="gauss" src="Images/kugelinnen.JPG" style="float:right; border: 0px solid ; width:350px; height: 60px">


       
       </left>

<img src="/php/counter.php?url=http://www.physik.fu-berlin.de/~elkeh/gauss.php&width=5&font=physik">


Beantworte folgende Frage

Frage: Warum ist es zur Anwendung des Gaußschen Satzes zur Bestimmung des Feldes einer Punktladung ungünstig, eine würfelförmige Gaußfläche zu wählen? <a id='sb1' class='button' onclick="showText('show1','sb1')" href="javascript:void(0);">Antwort zeigen</a> Antwort: Weil die Feldvektoren auf der Würfelfläche nicht überall senkrecht stehen und unterschiedliche Längen haben. Dann müsste man das Flußintegral explizit lösen.

Frage: Was für eine Gaußfläche muss man wählen, um das elektrische Feld im Hohlraum einer geladenen Hohlkugel zu bestimmen? <a id='sb2' class='button' onclick="showText('show2','sb2')" href="javascript:void(0);">Antwort zeigen</a> Antwort: Eine Kugeloberfläche, die zentriert innerhalb des Hohlraums liegt.

Frage: Ist der Gaußsche Satz einfach anwendbar, wenn man das elektrische Feld einer geladenen Halbkugel bestimmen möchte? <a id='sb3' class='button' onclick="showText('show3','sb3')" href="javascript:void(0);">Antwort zeigen</a> Antwort: Nein, die Symmetrie des Körpers ist nicht groß genug. Man die kann die Richtung des elektrischen Feldes nicht überall bestimmen. .



<a name="question21">Selbsttest: </a> <a href='frage_mc.php?qn=25&file=exp21_9.php&anker=question21&frame=exp21'>Frage 1</a> <a href='frage_mc.php?qn=26&file=exp21_9.php&anker=question21&frame=exp21'>Frage 2</a>

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