Elektrisches Dipolmoment

Physikalischer Kontext

Elektrische Dipolmomente sind ausschlaggebend für die Reaktion eines Stoffes auf äußere elektrische Felder. Vorhandene Dipolmomente werden umorientiert und verstärken das äußere Feld. Durch die Coulomb-Kraft entstehen außerdem kleine Ladungsverschiebungen, die induzierte Dipolmomente erzeugen. Diese schwächen das äußere Feld. Besonders wichtig sind auch oszillierende elektrische Dipolmomente. Sie bilden einen Hertzschen Dipol und erzeugen elektromagnetische Strahlung.

Wann ist ein elektrisches Dipolmoment vorhanden?

Richtung des elektrischen Dipolmomentes (grüner Pfeil) verschiedener Ladungsverteilungen

Ein elektrisches Dipolmoment entsteht immer, wenn die Ladungsschwerpunkte zweier ungleichnamiger Ladungsverteilungen nicht zusammenfallen. Dabei ist es egal, ob das Objekt insgesamt elektrisch neutral ist oder nicht. Der einfachste Dipol besteht aus zwei entgegengesetzt gleichen Punktladungen mit den Ladungen +q und -q, die mit dem Abstand \(d\) z. B. in z-Richtung getrennt wurden. Dann ist ihr Dipolmoment \(\vec p=|q|d ~\vec e_z\). Der Vektor \(\vec p\) zeigt von der negativen zu positiven Ladung.

Mathematische Formulierung

Man kann einer beliebigen Ladungsverteilung ein elektrisches Dipolmoment zuorden: Es ist definiert durch

Elektrisches Dipolmoment allgemein: \(\vec p=\sum q_i\vec r_i \)

(Gl.1)

Der einfache Ausdruck für das Dipolmoment zweier entgegengesetzt gleicher Ladungen geht daraus als Spezialfall hervor: Legen wir die Ladungen z. B. symmetrisch um den Koordinatenursprung, erhalten wir daraus \(\vec p= q \frac d 2 \vec e_z +(-q) \cdot (-\frac d 2) \vec e_z= |q| d ~(\frac 1 2 \vec e_z +\frac 1 2 \vec e_z)=|q| d~ \vec e_z\).

Elektrisches Dipolmoment zweier entgegengesetzt gleicher Ladungen ±q: \(\vec p=|q| \vec d\), worin der Abstandsvektor \(\vec d\) von −q nach +q zeigt.

(Gl.2)

Elektrische Dipolmomente erkennen und bestimmen

Man kann einer Ladungsverteilung die Richtung ihres Dipolmomentes unmittelbar ansehen. Man schätzt die Lage des Schwerpunktes aller positiven Ladungen ab. Dann schätzt man die Lage des Schwerpunktes aller negativen Ladungen ab. Fallen alle Schwerpunkte zusammen, gibt es kein Dipolmoment. Liegen sie nicht aufeinander, dann liegt das Dipolmoment auf der Verbindungslinie beider Schwerpunkte und zeigt von dem negativen Schwerpunkt zum positiven Schwerpunkt.

Abb.B1 Ladungsverteilung

Beispiel 1: Bestimmung des elektrischen Dipolmomentes einer Verteilung von Punktladungen

Abschätzen durch Betrachtung: Abb.B1 zeigt eine Ladungsanordnung aus sechs betragsmäßig gleichen Ladungen, und zwar drei negative und drei positive Ladungen. Beide Ladungsschwerpunkte lassen sich einfach abschätzen: Der Ladungsschwerpunkt zweier gleicher Ladungen liegt mittig zwischen ihnen. Man kann sich dort ersatzweise eine doppelt so große Ladung denken. Der Ladungsschwerpunkt zwischen einer einfachen und einer doppelt so großen Ladung im Abstand a liegt näher an der größeren Ladung im Abstand 1/3a. So bestimmt man die beiden Ladungsschwerpunkte. Sie fallen nicht zusammen. Somit existiert ein Dipolmoment, das vom negativen zum positiven Ladungsschwerpunkt zeigt.
Berechnung: Der Betrag der Ladungen sei q. Die Ladungen werden werden mit ihrem Ortsvektor multipliziert und aufaddiert. Sie werden spaltenweise links beginnend von unten nach oben betrachtet.

$\vec p = -q\left(\begin{array}{}1\\1\end{array}\right)-q\left(\begin{array}{}1\\2\end{array}\right)+q\left(\begin{array}{}1\\3\end{array}\right)+q\left(\begin{array}{}3\\1\end{array}\right)+q\left(\begin{array}{}3\\3\end{array}\right)-q\left(\begin{array}{}4\\ 3/2\end{array}\right)\\ =|q|\left[\left(\begin{array}{}-1\\-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{}-1\\-2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{}1\\3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{}3\\1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{}3\\3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{}-4\\ -3/2\end{array}\right)\right]\\ =|q| \left(\begin{array}{}1\\ 5/2\end{array}\right)$

Frage 1

Verständnisfrage 1: Erzeugt die rechts gezeigte Ladungsanordnung ein elektrisches Dipolmoment? Alle Ladungen sind betragsmäßig gleich. Alle Kantenlängen des Dreiecks sind gleich! Die blaue Ladung sitzt im Zentrum des Dreiecks.

Nein! Der Ladungsschwerpunkt der roten Ladungen liegt im Zentrum des Dreiecks und fällt mit dem Mittelpunkt der blauen Ladung zusammen.

Frage 2

Verständnisfrage 2: Erzeugt die rechts gezeigte Ladungsanordnung ein elektrisches Dipolmoment? Alle Ladungen sind betragsmäßig gleich!

Ja! Der Ladungsschwerpunkt der roten Ladungen liegt auf der vertikalen Mittellinie, jedoch in der unteren Hälfte des Bildes. Der Ladungsschwerpunkt der blauen Ladungen liegt auch auf der vertikalen Mittellinie, jedoch in der oberen Hälfte des Bildes. Daher ist ein Dipolmoment vorhanden und zeigt vertikal von oben nach unten.

Potenzial und Feld eines elektrischen Dipols

Das elektrische Potenzial eines Dipols mit dem Dipolmoment $\vec p = q\vec d$ ist für große Abstände (d.h. $r \gg d$, wobei d der Abstand der Ladungsschwerpunkte ist) näherungsweise gegeben durch

Elektrisches Potenzial eines Dipols für große Abstände: $\phi(\vec r)=k\left(\frac{\vec p\cdot\vec r}{r^3}\right)$ mit $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$

(Gl.3)

(Herleitung von Gl.3 siehe Superposition von Potenzialen)

Das elektrische Feld eines Dipols mit dem Dipolmoment $\vec p = q\vec d$ ist für große Abstände (d.h. $r\gg d$, wobei d der Abstand der Ladungsschwerpunkte ist) näherungsweise gegeben durch

Elektrisches Feld eines Dipols für große Abstände: $\vec E(\vec r)=k\left(3(\vec p\cdot\vec r)\frac{\vec r}{r^5}-\frac{\vec p}{r^3} \right)$ mit $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$

(Gl.4)

Der Ausdruck für das Feld ergibt sich durch eine einfache Rechnung (siehe Elektrische Felder berechnen) aus $\vec E(\vec r)=-\nabla\phi(\vec r)$.

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