Zeitdilatation

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Relativität der Zeit

In der Relativitätstheorie wird die Zeit eine relative Größe. Die Taktlänge Δt einer Uhr ist eine relative Größe und hängt vom Bewegungszustand der Uhr ab. Die Eigenzeit Δt0 ist dagegen eine absolute oder invariante Größe! Das gilt ebenso für die Masse und die Ruhemasse und sowie die Länge und die Eigenlänge L0!

Was ist Zeit?

Nach Einstein ist die Definition der Zeit völlig geheimnislos: Zeit ist der Takt einer Uhr: Tik, Tak. Sonst nichts.

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Verständniserkenntnis
Eine Zeit ist die Anzahl der Takte einer Uhr.

Durch Multiplikation mit c wird eine Zeit t zur Länge, nämlich zu der Strecke ct, die das Licht in der Zeit t zurücklegt. In der Relativitätstheorie verwendet man die Zeit als Produkt ct und bildet damit die vierdimensionale Raumzeit $(ct,x,y,z)$, in der alle Komponenten Längen sind. Die vier Längen sind nicht gleichberechtigt, denn in der Zeit müssen wir vorwärts gehen und können nicht in die Vergangenheit gehen. Im Raum können wir in alle Richtungen gehen und in alle Richtungen schauen.

Herleitung der Zeitdilatation

Abb.1 Gedankenexperiment zur Zeitdilatation

Weil die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c nach dem ersten Postulat das Maß aller Dinge ist, verwendet man in der SRT eine spezielle Uhr: Die Lichtuhr. In einer Lichtuhr wird ein Uhrtakt Δt dadurch erzeugt, dass ein Lichtstrahl zwischen zwei Spiegeln hin- und her läuft. In Abb. 1 fährt Anna in einem Zug und führt eine Lichtuhr mit, die im Zug ruht. Die Uhr besteht aus einem Lichtstrahl und zwei Spiegeln, von denen einer am Boden und einer an der Decke des Zuges montiert ist. Der Lichtstrahl wird zwischen beiden Spiegeln reflektiert. Ben ruht auf dem Bahnsteig, der von dem Zug mit konstanter Geschwindigkeit v durchfahren wird. Ein Takt der Lichtuhr ist dargestellt.

Aus Anna's Sicht bewegt sich der Lichtstrahl während eines Uhrtaktes vertikal auf und ab und legt in der Zeit Δt0 die Strecke 2h zurück: $2 h = c \Delta t_0$. Daraus ergibt sich $h=\frac 12 c\Delta t_0$.

Aus Sicht von Ben bewegen sich die Spiegel während eines Uhrtaktes um $s=v \Delta t$. Daraus ergibt sich für ihn nach Pythagoras ein längerer Weg L des Lichtstrahls und zwar $L=2\sqrt{(\frac 1 2 s)^2+h^2}$. Darum sieht Ben einen anderen Takt Δt der Lichtuhr als Anna.

Wir berechnen jetzt seinen Takt in Abhängigkeit von Annas Takt und v:
Dazu setzen wir zuerst die Ausdrücke für s und h in L ein: $L=2\sqrt{(\frac 1 2v\Delta t)^2+(\frac 1 2c\Delta t_0)^2}$.
Das setzen wir in $c = \frac {L}{\Delta t}$ ein , quadrieren dann und Lösen schließlich nach $\Delta t$ auf:
$c^2=\frac{2^2}{\Delta t^2}\left[(\frac 1 2v\Delta t)^2+(\frac 1 2c\Delta t_0)^2\right]=v^2+c^2\frac{\Delta t_0^2}{\Delta t^2}\ \Rightarrow \ {c^2-v^2}=c^2\frac{\Delta t_0^2}{\Delta t^2}\ \Rightarrow \ {\Delta t^2}=\frac{c^2}{c^2-v^2}{\Delta t_0^2}$
Den Faktor formen wir um $\frac{c^2}{c^2-v^2}=\frac{1}{1-v^2/c^2}$.
Damit erhalten wir $\Delta t=\frac 1{\sqrt{1-v^2/c^2}}\Delta t_0$
Den Faktor $\gamma =\frac 1{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ nennt man Lorentz-Faktor. Er ist stets γ ≥ 1.

Die bewegte Lichtuhr hat einen längeren Takt. Daraus schließen wir:

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Verständniserkenntnis
Bewegte Uhren gehen langsamer! Dieses Phänomen nennt man Zeitdilatation!


Experimentelle Nachweise

Es gibt viele experimentelle Belege für die Zeitdilation. Bestens dazu geeignet sind Elementarteilchen, denn sie lassen sich als "mikroskopische Uhren" nutzen, weil sie nach einer bestimmten mittleren Lebensdauer zerfallen und sich problemlos auf nahezu Lichtgeschwindigkeit beschleunigen lassen. Ein solches Beispiel aus dem Bereich der Elementarteilchenphysik ist der Umstand, dass Myonen, die in den oberen Schichten der Atmosphäre entstehen, den Erdboden erreichen können.

Beispiel 1: Warum erreichen Myonen den Erdboden?
Ruhende Myonen zerfallen nach einer mittleren Lebensdauer τ0 = 2,2 μs. In dieser Zeit könnten sie mit Lichtgeschwindigkeit aus nichtrelativistischer Sicht die Strecke $s = c \tau_0=(3,0 \times 10^8 \text{m/s}) (2,2 \times 10^{-6}\text{ s})=660 \text{ m}$ zurücklegen. Solche schnellen Myonen werden durch kosmischen Strahlung in den obersten Schichten der Erdatmosphäre in ca. 10 km Höhe erzeugt. Trotz nahezu Lichtgeschwindigkeit dürften sie den Erdboden in ihrer Lebensdauer $\tau_0$ nicht erreichen. Tatsächlich erreichen sie aber den Erdboden! Dies ist nur durch die relativistische Zeitdilatation erklärbar. Im Bezugssystem "Erde" bewegen sich diese Myonen mit v = 0,9998 c und haben deshalb eine "gedehnte" Lebensdauer von $\tau = \gamma \tau_0 = (50)(2,2 \times 10^{-6}\text{ s})=(1,1 \times 10^{-4}\text{ s})$. In dieser Zeit können sie die Strecke $s = c \tau=(3,0 \times 10^8 \text{m/s})(1,1 \times 10^{-4}\text{ s})=3,3 \cdot 10^{4}\text{ m} = 33 \text{ km}$ zurücklegen. Das erklärt, warum sie die Erdoberfläche erreichen.


Ein ähnliches Experiment wurde 1963 von Frisch und Smith durchgeführt[1]. Sie verglichen die Anzahl der Myonen auf dem Gipfel des Mt. Washington in New Hampshire mit der in Cambridge, Massachusetts. Ihr Experiment bestätigte die Zeitdilatation der Lebensdauer der Myonen um γ ≈ 9.

Auch mit makroskopischen Uhren konnte man die Zeitdilatation nachweisen. 1972 haben Hafele u. Keating vier Atomuhren verglichen, zwei am Boden und zwei, die in Flugzeugen um die Erde geschickt wurden. Eine flug ostwärts (mit vErde), eine flug westwärts (gegen vErde). Die schneller fliegende Uhr (ostwärts) tickte tatsächlich langsamer als die langsamer fliegende Uhr (westwärts) und die Uhren am Boden gingen langsamer als die fliegenden Uhren. Alle Uhren gingen wie berechnet nach! Die gemessenen Zeitdifferenzen stimmten sowohl mit der speziellen als auch mit der allgemeinen Relativitätstheorie überein, die zusätzlich auch noch eine gravitative Zeitdilatation der Uhren am Boden beinhaltet[2].

Eigenzeit

Da bewegte Uhren langsamer gehen, bedeutet das automatisch, dass eine ruhende Uhr am schnellsten geht. Ausgedrückt über einen Uhrentakt, bedeutet es, dass der Uhrentakt einer ruhenden Uhr am kürzesten ist. Die Taktlänge der ruhenden Uhr nennt man die Eigenzeit der Uhr. Die Eigenzeit eines Körpers ist die mit ihm fest verbundene Zeit, die in seinem eigenen Bezugssystem, in dem er ja immer ruht, an einer mit ihm verbundenen Uhr abgelesen wird. Eine solche Eigenzeit können wir nicht nur einer Uhr oder einem Körper, sondern jedem Vorgang zuordnen, der eine gewisse Zeit benötigt, zum Beispiel der Dauer eines Herzschlags. Allerdings müssen wir aufpassen, wenn wir die Eigenzeit eines Vorgangs messen wollen. Solange wir die Zeit mit einer einzigen Uhr messen können, die nicht bewegt wird, messen wir tatsächlich die Eigenzeit. Wenn wir dazu jedoch zwei Uhren an unterschiedlichen Orten A und B benötigen, geht es schon nicht mehr. Um uns das klar zu machen, betrachten wir als Beispiel den Vorgang, dass Anna bei A eine Spielzeugeisenbahn startet, die mit konstantem Tempo v bis Ben bei B fährt. Wir wollen die Zeit der Fahrt messen. Für die zwei Zeitmessungen an unterschiedlichen Orten haben wir nur zwei Möglichkeiten: Entweder verwenden wir nur eine Uhr, die wir schneller als der Zug fährt von A nach B tragen. Dann wird die Uhr jedoch bewegt und geht unterwegs langsamer. Wir werden nicht mehr die Eigenzeit, sondern eine größere Zeit messen. Alternativ könnten wir zwei unterschiedliche Uhren verwenden, die bei A und B ruhen und die wir vorher synchronisiert haben. Beide sollen z.B. beim Start die Zeit t = 0 s angezeigt haben. Nun können wir uns jedoch auch eine dritte Uhr D vorstellen, die mit der Uhr bei A synchronisiert ist und mit dem Zug mitfährt. Im Ruhesystem dieser dritten Uhr D, d.h. im Zug, wird auf jeden Fall die Eigenzeit der Fahrt gemessen, denn dort ruht sie ja und statt des Zuges bewegen sich Anna und Ben. Doch aus Sicht der dritten Uhr sind die Uhren bei A und B bewegt, gehen also langsamer. Daher ist es ausgeschlossen, dass B die gleiche Zeit wie D zeigt, sofern die Uhren A, B und D beim Start synchron waren. B kann also nicht die Eigenzeit anzeigen.

Die Eigenzeit eines Vorgangs wird gemessen, wenn die Messung mit einer einzigen ruhenden Uhr erfolgt. Eigenzeiten sind daher nur für ruhende Objekte und zwei Ereignisse messbar, die nacheinander am gleichen Ort stattfinden. Es ist die kürzeste Zeit zwischen zwei Ereignissen. Alle anderen dazu bewegten Beobachter messen längere Zeiten, die auch Laborzeiten[3] oder Koordinatenzeiten[4] genannt werden! Die Eigenzeit ist eine relativistische Invariante.

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Zeitdilatation: $\Delta t=\gamma \Delta t_0$. Darin ist $\Delta t_0$ die Eigenzeit! (Gl.1)

Um die Zeitdilatation nach Gl.1 richtig berechnen zu können ist es wichtig, beurteilen zu können, wann tatsächlich die Messung einer Eigenzeit vorliegt! Für Zeitmessungen in der SRT nehmen wir gedanklich an, jedes Bezugssystem sei mit beliebig vielen synchronisierten Uhren an jedem Ort des Bezugssystems ausgestattet und alle diese Uhren ruhen in ihrem Bezugssystem. Das Synchronisieren kann mit Lichtsignalen erfolgen. Man sendet von der Uhr im Koordinatenursprung ein Lichtsignal in Richtung einer Uhr im Abstand x. An dieser wird das Licht reflektiert und kehrt nach der Laufzeit Δt zur Ausgangsuhr zurück. Der Wert für Δt wird an die Uhr bei x übermittelt. Nun stellt man die Uhr im Koordinatenursprung auf t = 0 und startet erneut ein Lichtsignal. Die Uhr bei x wird in dem Moment, wenn das Lichtsignal sie erreicht auf Δt/2 gestellt. So kann man alle Uhren eines Bezugssystems synchronisieren.

Verständnisfrage 1: Angenommen, als Takt der Lichtuhr in Abb.1 würde man nur die Zeit wählen, die das Licht vom unteren zum oberen Spiegel benötigt! Wie müsste Anna dann vorgehen, um die Eigenzeit ihrer Lichtuhr zu messen?
Wenn man als Uhrtakt nur den halben Weg des Lichtstrahls wählt, dann kann Anna die Eigenzeit ihrer Lichtuhr nicht messen, egal wie sie vorgeht! Denn die beiden Spiegel befinden sich an unterschiedlichen Orten und damit benötigt sie zwei verschiedene Uhren, je eine an jedem Spiegel, oder sie müsste eine Uhr vom unteren zum oberen Spiegel bewegen. Beides schließt die Messung einer Eigenzeit aus, denn dazu darf nur eine einzige ruhende Uhr verwendet werden!
Verständnisfrage 2: Angenommen, Anna übergibt ihre Lichtuhr in Abb.1 an Ben und nun misst Ben die Eigenzeit der Lichtuhr. Wird sich die Eigenzeit, die Ben misst, von der von Anna gemessenen unterscheiden?
Nein, denn die Eigenzeit ist eine Invariante. Wenn die Uhr in ein anderes Bezugssystem transportiert wird, behält sie ihre Eigenzeit. Die Eigenzeit ist mit der Uhr und ihrem Bezugssystem fest verbunden.
Verständnisfrage 3: Ist eine der beiden Lebensdauern in Beispiel 1 eine Eigenzeit? Begründe!
Ja, τ0 entspricht einer Eigenzeit, denn diese Lebensdauer, d.h. die Zeit zwischen Erzeugung und Zerfall, wird im Ruhesystems des Myons mit einer ruhenden Uhr gemessen.



  1. David H. Frisch, James H. Smith, Measurement of the Relativistic Time Dilation Using μ-Mesons, American Journal of Physics 31, 342 (1963)
  2. J. C. Hafele1, Richard E. Keating, Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains, Science, 177, 4044, S. 166-168 (1972)
  3. Johann Rafelski, Spezielle Relativitätstheorie heute, Springer Verlag, Heidelberg (2019)
  4. Bernd Sonne, Allgemeine Relativitätstheorie für jedermann, 2.Aufl., Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH (2018)