SI-System

Was ist das SI-System?

Das SI-System ist das weltweit gültige vereinbarte Einheitensystem. SI steht für den französischen Namen "Système International d’Unités". Das SI-System basiert auf sieben physikalischen Größen, deren Ein­heiten die sieben SI-Basiseinheiten sind. Das SI-System wurde im Jahr 2019 revolutioniert. Nun sind alle Einheiten über sieben Naturkonstanten definiert, deren Wert man ein- für alle mal festgelegt hat. Die Zahlenwerte entstammen den Ausgleichsrechnungen von CODATA (Committee on Data of the International Science Council (ISC), CODATA 2017 special adjustment)) im Sommer 2017 und wurden so festgelegt, dass sich für alltägliche Messungen und Messgeräte nichts ändert. Anhand der sieben Naturkonstanten wurden die sieben Basiseinheiten neu definiert. Alle anderen physi­ka­lischen Größen und ihre SI-Einheiten wer­den daraus abgeleitet. Abgeleitete SI-Einheiten setzen sich aus Potenzprodukten der SI-Basis­ein­hei­ten zusammen. Es gibt auch andere Einheitensysteme, wie z. B. das cgs-System, die im Physki nicht ver­wen­det werden. Jede Größe bzw. Einheit hat eine Dimension, die unabhängig vom gewählten Einheitensystem ist. Wir verwenden SI-Einheiten und dazu die gesetzlichen Einheiten Minute (1 min = 60 s), Stunde (1 h = 60 min), Tag (1 d = 24 h).

Größen, Einheiten und Dimensionen des SI-Systems

Basisgröße	Größensymbol	Basiseinheit	Einheitensymbol	Dimension
Zeit	\(t\)	Sekunde	s	T
Länge	\(l, x, r, \text{etc.}\)	Meter	m	L
Masse	\(m\)	Kilogramm	kg	M
Stromstärke	\(I, i\)	Ampere	A	I
Temperatur	\(T\)	Kelvin	K	Θ
Stoffmenge	\(n\)	Mol	mol	N
Lichtstärke	\(I_ν\)	Candela	cd	J

Die sieben festgelegten SI-Naturkonstanten

Naturkonstante	Symbol	Wert
Frequenz des Hyperfeinstrukturübergangs des Grundzustands im 133Cs-Atom	ΔνCs	ΔνCs = 9 192 631 770 s–1
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum	c	c = 299 792 458 m s–1
Planck-Konstante	h	h = 6,626 070 15 × 10–34 J s (J s = kg m2 s–1)
Elementarladung	e	e = 1,602 176 634 × 10–19 C (C = A s)
Boltzmann-Konstante	k	k = 1,380 649 × 10–23 J K–1 (J K–1 = kg m2 s–2 K–1)
Avogadro-Konstante	NA	NA = 6,022 140 76 × 1023 mol–1
Spektrales photometrisches Strahlungsäquivalent einer monochromatischen Strahlung der Frequenz 540 × 1012 Hz	Kcd	Kcd = 683 lm/W (lm = cd m2 m–2 = cd sr und W = kg m2 s-3)

Definitionen der sieben SI-Basiseinheiten

Basiseinheit	Symbol	Definition
Sekunde	s	1 s = 9 192 631 770/ΔνCs
Meter	m	1 m = (c/299 792 458) s = 30,663 318... c/ΔνCs
Kilogramm	kg	1 kg = (h/6,626 070 15 × 10–34) m–2 s = 1,475 521... ∙ 1040 h·ΔνCs/c2
Ampere	A	1 A = e/(1,602 176 634 × 10–19) s–1 = 6,789 686... ∙ 108 ΔνCs·e
Kelvin	K	1 K = (1,380 649 × 10–23/k) kg m2 s–2 = 2,266 665... ΔνCs·h/k
Mol	mol	1 mol = 6,022 140 76 × 1023/NA
Candela	cd	1 cd = (Kcd/683) kg m2 s–3 sr–1 = 2,614 830... × 1010 (ΔνCs)2 h· Kcd

Experimente zur Festlegung der SI-Einheiten

Das neue SI-System geht von der Prämisse aus, dass Naturkonstanten unveränderliche konstante Größen sind. Basierend auf diesen Konstanten werden die Einheiten festgelegt. Das Hauptziel war es, alle Einheiten auf Naturkonstanten zurückzuführen und durch einfache Messvorschriften festzulegen. Vom Grundprinzip ist es etwa so, als ob wir die Höhe H des Berliner Fernsehkturms als unveränderliche Naturkonstante ansehen. Nun definieren wir die fiktive Längeneinheit "Physkimeter (pm)" als 1 pm = H/368. Damit diese Definition auch von praktischem Nutzen ist, müssen wir eine Methode finden, mit der wir die Höhe H genau bestimmen und dann in 368 exakt gleich lange Teile teilen können. Dann haben wir ein primäres "Physkimeternormal" erzeugt, das wir dann beliebig kopieren und weltweit verteilen können. So ähnlich funktioniert es mit den neuen SI-Einheiten. Tatsächlich kann man nun jeden physikalischen Zusammenhang, der eine Basisgröße mit den sie definierenden festgelegten Konstanten verknüpft, zur Messung der Basiseinheit verwenden. Das BIPM beschreibt für jede Basiseinheit geeignete Experimente, jedoch sind diese Messverfahren in den meisten Fällen nicht wirklich "einfach". Man findet sie in Appendix 2 von . Im folgenden wird eine Auswahl daraus vorgestellt:

Sekunde als Zeiteinheit

Die Sekunde misst man mit Atomuhren, indem man Atome des Caesium-Isotops ¹³³Cs zu einem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus seines Grundzustandes anregt. Dabei erzeugen sie ganz bestimmte Strahlung, d.h. elektromagnetische Wellen mit einer festen Periodendauer. Von diesen Wellen zählt man 9 192 631 770 Perioden, dann ist eine Sekunde vergangen.

Meter als Längeneinheit

Das Meter misst man, indem man die Länge der Strecke bestimmt, die das Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299 792 458 Sekunde zurücklegt. Eine Möglichkeit besteht darin unter Ausnutzung der Gleichung $\Delta L = c \Delta t$, die Laufzeitdifferenz eines Laserpulses auf zwei unterschiedlich langen Wegen zu messen. Unterscheiden sich die Laufzeiten um genau 1/299 792 458 s, ist die Weglängendifferenz ΔL genau 1 m.

Kilogramm als Masseneinheit

Abb. 1 Neues Kilogramm: Solche Kugeln aus Silizium-Einkristall ersetzen nun das "Urkilogramm" (Quellenangabe: Physikalisch-Technische Bundesanstalt)

Die Masse ist schwieriger zu messen. Dazu benötigt man einen Zusammenhang zwischen der Masse m eines Körpers und dem Wirkungsquantum h, der sich mit ausreichender Präzision messen lässt. Bisher sind zwei Methoden akzeptiert:

• Das Zählen von Atomen einer Silizium-Kugel: Eine ²⁸Si-Kugel mit der Masse von 1 kg bestehen aus rund 21,23 · 10²⁴ Atomen und bei der Zählung erlaubt man sich höchstens eine Unsicherheit von ± zwei Atomen pro 10⁸ Atomen! Der PTB ist es gelungen, solche Kugeln mit ausreichender Perfektion herzustellen und zu vermessen (Abb.1)! Solche Kugeln bilden nun die primären Massenormalen für das Kilogramm. Kopien kann man von der PTB beziehen.
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  Die Masse m einer Si-Kugel ergibt sich aus den messbaren Größen der Kugel durch $m=\frac{8 V}{a_0^3}\frac{2 R_{\infty}h}{c\alpha^2}\frac{m_{Si}}{m_e}$ mit dem Volumen V der Kugel, der Gitterkonstante a₀, der Rydberg-Konstante R_∞, der Feinstrukturkonstante α, der Masse m_Si eines Silizium-Atoms (gemittelt über die Isotopenzusammensetzung des Kugelmaterials) und der Elektronenmasse m_e. Der erste Bruch gibt die Anzahl der Atome in der Kugel an, der zweite Bruch entspricht der Elektronenmasse und der dritte Bruch ist das Massenverhältnis der Atommasse des Siliziums zur Elektronenmasse. Die Kugeln der PTB bestehen aus dem Isotop ²⁸Si mit einer Reinheit von 99,999%, haben eine perfekte Kristallstruktur und sind so nahe an der idealen Kugelform, dass sich ihr mittlerer Durchmesser von ca. 93,7 mm mit einer Unsicherheit von nur drei Atomdurchmessern bestimmen lässst! Dadurch ist auch das Volumen der Kugel extrem genau bekannt. Der Silizium-Kristall besteht aus würfelförmigen Elementarzellen mit der Kantenlänge a₀, von denen jede 8 Si-Atome trägt. Die Größe a₀ wird durch Röntgenstrukturanalyse bestimmt. Teilt man das Volumen der Kugel durch das Volumen der Elementarzellen und multipliziert mit 8, dann hat man die Anzahl der Atome. Zusammen mit der Masse m_Si eines Si-Atoms, die ebenfalls sehr genau gemessen werden konnte, hat man die Masse der Kugel!
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  Abb.2 Aufbau und Modi einer Watt-Waage
  Die Watt-Waage: Eine Watt-Waage, die nach Dr. Bryan Kibble, der sie zuerst vorschlug, auch "Kibble-Waage" genannt wird, vergleicht eine mechanische Leistung $P=vF$ mit einer elektrischen Leistung $P=UI$. Dabei misst man die elektrischen Größen mit Hilfe zweier Quanteneffekte (Josephson- und Quanten-Hall-Effekt), wodurch der Zusammenhang mit h entsteht.
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  Eine Watt-Waage besteht aus einer kreisförmige Spule der Länge L in einem radialen Magnetfeld B, die mechanisch mit dem zu wiegenden Körper der Masse m verbunden ist. Das Messprinzip besteht aus zwei Modi: Im ersten Modus (Abb.2 Modus A) wird ein Strom I durch die Spule geschickt, so dass die Gewichtskraft F_g des Körpers durch die Lorentz-Kraft $F_L = I L B$ auf die Spule kompensiert wird und der Körper in Schwebe gehalten wird. Es gilt dabei $m g = I L B$.
  Im zweiten Modus (Abb.2 Modus B) wird die Spule mit konstanter Geschwindigkeit $v$ durch das radiale Magnetfeld B bewegt und die dadurch induzierte Spannung U gemessen. Sie entsteht, weil nun auf die Elektronen im Leiter die Lorentz-Ktaft $F_L=e v B$ wirkt, welche die Elektronen verschiebt, bis die Lorentz-Kraft durch die Coulomb-Kraft $F_C = e E$ kompensiert wird. Das ergibt $e v B = e E$ und weil $E=U/L$ ist, gilt $U = v L B$. Beide Gleichungen gemeinsam ergeben $m g = \dfrac{I U}v\ \Rightarrow v m g={I U}\ \Rightarrow m=\dfrac{I U}{v g}$. Die Größe $ v m g$ ist die mechanische und $U I$ die elektrische Leistung. Daher der Begriff "Watt-Waage".
  Wo steckt darin das Wirkungsquantum h? Es kommt hinzu, indem man die Größen U und I mit Hilfe von zwei quantenphysikalischen Effekten misst, und zwar dem Josephson- und dem Quanten-Hall-Effekt. Der Josephson-Effekt ermöglicht die präzise Bestimmung einer Spannung U aus der Messung einer Frequenz f durch den Zusammenhang $U= n_1 f \frac h{2 e}$. Der Quanten-Hall-Effekt erlaubt die präzise Bestimmung eines Widerständes R_H durch den Zusammenhang $R_H=\frac h {n_2 e^2}$. In beiden Beziehungen sind n₁ bzw. n₂ ganze Zahlen. Die letzte Gleichung ermöglich die Messung von I_A im Modus A, wenn U_A über den Jospehson-Effekt bestimmt wird: $I_A=\dfrac {U_A} R_H=\dfrac{n_{1A} f_A \frac {h}{2 e}}{\dfrac {h} {n_{2A} e^2}}=\dfrac 12 n_{1A} n_{2A} f_A e$. Der Index A bezieht sich auf Modus A. Im Modus B erhält man $U_B= n_{1B} f_B \frac h{2 e}$. Zusammen ergibt das für $I_A U_B=\frac 14 n_{1A} n_{2A} f_A f_B h$. Dadurch wird der Zusammenhang mit h hergestellt. Zudem sind Frequenzen hochpräsise messbar und man erreicht die notwendige Messgenauigkeit.

Ampere als Stromeinheit

Das Ampere kann man z.b: folgendermaßen messen:

• Zählen von Elektronen: Weil die Stromstärke $I=\frac q t$ ist, schickt man eine feste Anzahl von Elektronen pro Sekunde durch eine Leitung. Dazu wurden Einzelelektronenpumpen entwickelt, mit denen man einzelne Elektronen in kurzen Zeitabständen abschicken kann. Gezählt werden sie mit einem „Single Electron Transistor“ (SET). Für ein Ampere muss man 6 241 509 629 152 650 000 Elektronen pro Sekunde durch die Leitung pumpen.
• Durch das Ohm'sche Gesetz: Das Ohm'sche Gesetz $I=\frac U R$ kann zusammen mit dem Josephson- und dem Hall-Effekt verwendet werden, so wie bei der Watt-Waage beschrieben.

Mol als Stoffmengeneinheit

Um ein Mol einer Substanz zu bestimmen, muss man prinzipielle die Anzahl der Teilchen bestimmen. Mögliche Methoden sind

• Zählen der Teilchenanzahl: so wie bei der der Si-Kugel beschrieben.
• Präzises Wiegen der Substanz: Wenn die Probe genau das Molekulargewicht der Substanz in Gramm hat, enthält die Probe die Stoffmenge 1 mol und somit 6.022 140 76×10²³ Teilchen.

Kelvin als Temperatureinheit

Anders als früher kann man nun ein Thermometer im Prinzip bei jeder Temperatur eichen. Zwei von mehreren Methoden sind:

• Akustische Gastthermometer: Die Schallgeschwindigkeit u in einem idealen Gas hängt über $u^2=\frac {\gamma k T}m$ mit dem Adiabatenkoeffizienten γ=5/3, der Temperatur T in K und der Masse m der Gasteilchen zusammen.
• Strahlungsthermometer: Hierbei nutzt man die Planck'sche Strahlungsformel und die Strahlung des schwarzen Körpers $L_{b,\lambda}(\lambda,T)=\left(\dfrac {2 h c^2}{\lambda^5}\right ) \dfrac {1} {exp\left(\frac{h c}{\lambda k T}\right )-1}$. L ist die spektrale Strahldichte und entspricht der ausgesendetetn Leistung pro Fläche, Raumwinkel und Wellenlänge, hat also die Einheit $[L]=\frac{\text W}{\text{m}^2\cdot\text {sr}\cdot\text{nm}}$.

Candela als Lichtstärkeneinheit

Die Lichtstärke in Candela ist ein Maß für die Helligkeit, mit der das menschliche Auge eine Lichtquelle oder ein beleuchtetes Objekt wahrnimmt. Eine Lichtquelle, die eine Strahlungsleistung von 1/683 W als einfarbiges Licht mit der Frequenz 540 × 10¹² Hz (das entspricht 555 nm) in einen Raumwinkel von 1 sr (das entspricht einem Kegel mit dem Winkel von 65°) abstrahlt, hat die Lichtstärke von 1 cd. Das ist etwa die Helligkeit einer Haushaltskerze. Wenn die Lichtquelle eine andere Wellenlänge abstrahlt, ergibt sich ein anderer Umrechnungsfaktor durch $K(\lambda)=K_{cd} V(\lambda)$. Den Faktor K(λ) nennt man spektrales photometrisches Strahlungsäquivalent. Die Funktion V(λ) enthält die Empfindlichkeit für das helladaptierte Auge. Es gibt noch eine weitere namens V'(λ) für das dunkeladaptierte Auge. Beide Funktionen sind für den sichtbaren Wellenlängenbereich 360 nm bist 830 nm festgelegt und tabelliert. Für alle anderen Wellenlängen ist V(λ) = 0 bzw. V'(λ) = 0. Wenn eine Lichtquelle mehrere Wellenlängen bzw. ein kontinuierliches Spektrum abstrahlt, dann muss man die Lichtströme und Lichtstärken für alle enthaltenen Wellenlängen addieren bzw. über das ganze Spektrum integrieren. Für bestimmte kontinuierlich Lichtquellen kann man daraus Umrechnungsfaktoren ableiten, z.B. gilt für das Sonnenspektrum (als schwarzer Strahler mit einer Temperatur von 5800 K) ein photometrisches Strahlungsäquivalent von 93 lm/W.

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Eine Strahlungsquelle, die elektromagnetische Strahlung aussendet, kann durch ihre Strahlungsleistung $\Phi=\frac E t$ mit der Einheit $[\Phi]=W=\frac {\text J}{\text s}$ beschrieben werden, die sagt, welche Energie die Strahlungsquelle pro Sekunde abgibt. . Diese Strahlungsquelle kann ihre Leistung gleichmäßig in alle Richtungen oder wie bei einem Laser nur in eine bestimmte Richtung abgeben. Um das zu erfassen, führt man die Strahlungsstärke $I=\frac {\Phi}{\Omega}$ ein, die angibt, in welchen Raumwinkel Ω die Strahlungsleistung abgestrahlt wird. Diese physikalischen Größen enthalten jedoch keine Information darüber, wie hell ein menschliches Auge die Strahlungsquelle oder eine von ihr beleuchtete Fläche wahrnimmt. Wenn die Frequenz der Strahlung außerhalb des sichtbaren Bereichs liegt (wie z.B. Röntgen- oder Mikrowellenstrahlung), sehen wir die Strahlungsquelle nicht, egal wie hoch die Strahlungsleistung ist. Für die Helligkeitsempfindung des Auges werden daher andere Größen eingeführt, die man photometrische Größen nennt. Der Lichtstrom Φ_v in Lumen und die Lichtstärke I_v in Candela sind solche photometrischen Größen. Beide Größen hängen direkt über einen Faktor V(λ) mit der Strahlungsleistung Φ und der Strahlungsstärke I zusammen. In der Photometrie verwendet man die Wellenlänge λ statt der Frequenz f. Die Umrechnung erfolgt entsprechend $f=\dfrac {c}{\lambda}$. Der Lichtstrom für eine feste Wellenlänge λ ist das Produkt der auf der Wellenlänge λ abgegebenen Strahlungsleistung mit dem Photometrischen StrahlungsäquivalentK(λ) für diese Wellenlänge. Um also eine Strahlungsleitung Φ in einen Lichtstrom I_v umrechnen zu können, muss man wissen, welche Leistung Φ(λ) die Lichtquelle bei der jeweiligen Wellenlänge aussendet und welche Empfindlichkeit V(λ) das Auge bei der Wellenlänge hat. Für die Frequenz 540 × 10¹² Hz (d.h. eine Wellenlänge von 555 nm) und eine Strahlungsleistung von Φ = 1 W ist der Umrechnungsfaktor im SI festgelegt: $\Phi_{\text v} = K_{cd} \Phi \ \Rightarrow\ \Phi_{\text v}= 683\ \frac{\text{lm}}{\text W}\times 1\ \text W=683\ \text{lm}$. Wenn eine solche Lichtquelle ihren Lichtstrom gleichmäßig in den gesamten Raum abstrahlt, d.h. in den gesamten Raumwinkel $\Omega=4\pi$, dann ist ihre Lichtstärke $I_{\text v}=\frac{\Phi_{\text v}}{\Omega}= \dfrac{683\ \text{lm}}{4\pi\ \text {sr}}=54,3514\ \text{cd}$. Strahlt die Quelle das Licht dagegen nur in den Raumwinkel von 1,00 sr, dann ist ihre Lichtstärke $I_{\text v}= \frac{683\ \text{lm}}{1,00\ \text {sr}}=683\ \text{cd}$.

Verständnisfrage 1: Welche Strahlungsleitung Φ muss eine Lichtquelle abgeben, die mit der Frequenz f = 540 × 10¹² Hz in den Raumwinkel Ω = 1 sr strahlt, damit sie die Lichtstärke I_v = 1 cd hat?

Mit Φ = 1/683 W, denn dann ist Φ_v = 1 lm und I_v= 1 lm/(1 sr)= 1 cd

Schreibweise von Symbolen, Messwerten, Zahlen und Einheiten

In der SI-Publikation sind nicht nur die sieben Naturkonstanten festgelegt und Einheiten definiert, sondern es wird auch vorgeschrieben, wie Messergebniss und Zahlen mit ihren Einheiten zu schreiben sind, damit die Angaben international einheitlich verständlich sind. Daher ist es wichtig, diese Konventionen zu kennen und anzuwenden.

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