Ruhende Fluide

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Physikalischer Kontext

Ein ruhendes Fluid bewegt sich nicht. Es ist eine Flüssigkeit oder ein Gas in einem Gefäß. In einem ruhenden Fluid stellt sich aufgrund der Gewichtskraft ein von oben nach unten zunehmender Druck ein, d.h. ein Druckgradient, der wiederum sich eine Auftriebskraft auf sich im Fluid befindende Fremdkörper erzeugt. Darum können z.B. Schiffe schwimmen. Und darum ist der Meeresboden in der Tiefsee immer noch nur wenig erforscht, denn dort unten herrschen gignatische Wasserdrücke.

Schweredruck und statischer Druck

Ein Beispiel für ein ruhendes Fluid ist die oft stickige Luft im Hörsaal. Wie viel Luft ist das eigentlich und was wiegt sie? Welchen Druck übt sie auf uns aus?

Beispiel 1: Was wiegt die Luft im Hörsaal?
Das Volumen des Hörsaal ist etwa V ≈ 10,0 m × 20,0 m × 5,00 m = 1000 m³. Die Dichte der Luft ist am Erdboden ρ = 1,21 kg/m3. Daher enthält der Hörsaal \(m = \rho V =1210 \text{ kg} = 1,21 \text{ t}\) Luft. Ihre Gewichtskraft bewirkt einen Druck auf Boden von \(p = F/A = mg/A ≈ 1,2 \times 10^3 \text{ N}/200 \text{ m²} = 60 \text{ Pa}\).


Der tatsächliche Druck ist um vier Größenordnungen größer (p = 105 Pa). Woran liegt das?

Beispiel 2: Höhe der Atmosphäre
Um einen Druck von p0 = 105 Pa zu erzeugen, muss mehr Masse über dem Boden des Hörsaals sein, die Luftsäule also höher sein. Unter der Annahmen einer konstanter Dichte erhalten wir ihre Höhe h durch \(p_0 = F /A= \rho A h g/A = \rho h g\) zu \(h = p_0/(ρg) = 10^5 \text{ Pa} / (1,2\text{ kg/m}^3 \times 10 \text{ m/s}^2) ≈ 8000\text{ m}\).


Die Beispiele zeigen: Ruhende Fluide erzeugen allein schon durch ihre Gewichtskraft einen Druck. Dieser Druck ist tiefenabhängig und wir nennen ihn Schweredruck. Er nimmt mit zunehmendem Abstand h von der Oberfläche des Fluids zu, also mit zunehmender Tiefe. Denn je tiefer man in ein Fluid eintaucht, umso mehr Masse befindet sich über einem. Bei konstanter Dichte, also bei inkompres­siblen Fluiden, ergibt sich die Druckzunahme durch \(p(h)=\rho g h\). Darin ist h die Höhe der Fluidsäule oberhalb des Ortes von p. Bei inkompressiblen Fluiden bewirkt ein zusätzlicher Druck p0 auf die Oberfläche keine Volumen­änderung, sondern wird von Teilchen zu Teilchen in das gesamte Fluid übertragen, und addiert sich zum Druck durch die Gewichtskraft. Der Gesamtdruck in einem inkompressiblen Fluid in der Tiefe h ist deshalb die Summe beider Drücke:

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Druck in einem inkompressiblen Fluid konstanter Dichte: \(p(h)=p_0+\rho g h\), worin h die Höhe des Fluids oberhalb des Ortes von p und ρ die Dichte des Fluids ist. (Gl.1)

Dieser Druck wird auch statischer Druck oder in Wasser hydrostatischer Druck genannt. Die Gl.1 zeigt uns:

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Verständniserkenntnis
Auf gleicher Höhe herrscht gleicher Druck!


Die Form des Behälters und die Menge an Fluid ist dafür erstaunlicherweise egal.

Hydrostatisches Paradoxon

Der Schweredruck nimmt nur von oben nach unten zu und wird allseitig übertragen, also auch horizontal. Für den Druck auf den Boden eines Gefäßes ist demnach nicht die Menge an Fluid in einem Gefäß, sondern nur die Höhe der Fluidsäule über dem Boden ausschlaggebend. Das wird auch als hydrostatisches Paradoxon bezeichnet. Dieses scheinbar paradoxe Phänomen liegt daran, dass ein Druckunterschied natürlich eine Kraft bewirkt, die für einen Druckausgleich sorgt. Gäbe es einen horizontalen Druckunterschied, würde sich das Fluid horizontal solange bewegen, bis die Kraft ausgeglichen ist. In einem ruhenden Fluid muss deshalb die horizontale Kraft ausgeglichen sein. Vertikal muss dagegen ein Druckunterschied vorhanden sein, denn vertikal wirkt ja zusätzlich zur Druckkraft auch die Gewichtskraft, die nur durch die Druckkraft kompensiert werden kann. Das Fluid kann nur dann überall ruhen, wenn an jedem Ort im Fluid die Kräfte auf jedes kleinste Volumen des Fluids verschwinden.

Abb.B3
Beispiel 3: Hydrostatisches Paradoxon
Bei gleichem Außendruck p0 ist der Druck in allen Gefäßen bei gleicher Tiefe h gleich, also auf jeder horizontalen Linie derselbe. Und das, obwohl das linke und das rechte Gefäß mehr Fluid, d.h. mehr Masse enthalten.


Druckmessung: Manometer

Abb.1 Einfaches U-Rohr-Manometer

Diese Erkenntnis wendet man bei Instrumenten zur Messung des Druckes an, man nennt sie Manometer. Ein einfaches Beispiel ist das U-Rohr-Mano­meter. Damit bestimmt man einen unbekannten Druck px aus dem Höhenunterschied h des Fluids in beiden Schenkeln: In gleicher Höhe ist der Druck gleich, also ist der unbekannte Druck \(p_x = p_0 + ρgh\). So können wir einen absoluten Druck messen, wenn \(p_0 = 0\) ist, der rechte Schen­kel also im Vakuum endet. Wenn \(p_0 = p_{Luft}\) ist, der rechte Schenkel also in der Luft endet, müssen wir entweder pLuft kennen, oder wir bestimmen den Differenzdruck \(\Delta p = p_x − p_0 = ρgh\). Wenn \(p_x \gt p_0\) ist, nennen wir ihn Überdruck, wenn \(p_x \lt p_0\) ist, nennen wir ihn Unterdruck. Manometer sind oft unübersichtlicher geformt, das Messprinzip ist jedoch immer so, wie hier beschrieben, und unabhängig von der Form des Manometers.

Auftriebskraft

Abb.2 Zur Ursache der Auf­triebskraft

Auf ein beliebig geformtes ruhendes Wasservolumen V wirkt keine resultierende Kraft, sonst würde es ja nicht ruhen, sondern beschleunigt. Der allseitig wirkende Druck erzeugt Druckkräfte auf die Wand des Volumens. Deren Horizontalkomponenten heben sich überall gegen­seitig auf, da auf gleicher Höhe gleicher Druck herrscht. Weil der Druck jedoch von oben nach unten zunimmt, trifft das auf die Vertikal­komponenten nicht zu, hier verbleibt eine aufwärts gerichtete Druckkraft FA, die die Gewichtskraft auf das Fluidvolumen gerade kompensiert. Denn das Fluidvolumen ist dann im Gleichgewicht, wenn die Gewichtskraft \(F_g = \rho_{Fl}V g=F_A\) ist (Abb.2, links). Wird das Fluid innerhalb V entfernt, fehlt seine Gewichtskraft. Das Volumen wird dann durch FA angehoben (Abb.2, rechts). Darum steigen z.B. Luftblasen in Wasser auf. Das fehlende Fluidvolumen kann natürlich auch entstehen, weil Körper in das Fluid eingetaucht werden und dadurch das Fluid verdrängen. Dann wirkt diese Kraft auf die eingetauchten Körper. Diese Kraft nennt man

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statische Auftriebskraft: \(F_A=\rho_{Fl}V g\) mit der Dichte des Fluids \(\rho_{Fl}\) und dem verdrängten Fluidvolumen V. (Gl.2)

Der Betrag der Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft des fehlenden Fluids.

Schwimmen, Schweben, Sinken

Abb.3 Schwimmen, Schweben und Sinken

Wenn Objekte in ein Fluid ganz oder teilweise eintauchen, ver­drän­gen sie eine bestimmte Masse des Fluids und ersetzen es durch ihre eigene Masse. Je nachdem, ob die Gewichts­kraft auf den eingetauchten Körper kleiner, gleich oder größer als die Gewichtskraft auf das verdrängte Fluids ist, schwimmen, schweben oder sinken sie. In einem Fluid wird die Gewichtskraft auf einen Körper also durch die Auftriebskraft verringert oder ganz kompensiert. Auf ihn wirkt nur noch eine Nettokraft = Gewichtskraft − Auftriebskraft.

Beispiel 4: Wie groß ist der Unterwasseranteil eines Eisbergs?
Wasser und Eis haben die Dichten ρW = 103 kg/m3 und ρEis = 9 × 102 kg/m3. Im Gleichgewicht gilt \(F_A = F_{g}^{Eis}\), also \(\rho_W V_W g = \rho_{Eis}V_{Eis}g\), worin VW das verdrängte Wasservolumen und VEis das Volumen des Eisberges ist. Das ergibt \(V_W/V_{Eis}= \rho_{Eis}/\rho_W = 0,9\). Unter Wasser ist \(V_W = 0,9 V_{Eis}\) , also 90% des Eisbergs.


Wir fassen zusammen: Auf jeden Körper, der in ein Fluid ganz oder teilweise eintaucht, wirkt eine Auftriebskraft. Ist seine Dichte kleiner als die des Fluids, schwimmt oder steigt er, bei gleicher Dichte schwebt er, bei größerer Dichte sinkt er (Abb.3).

Fische können ihre Auftriebskraft mit ihrer Schwimmblase steuern. Diese können sie nach Bedarf mit Luft füllen. Mit gefüllter Schwimmblase verdrängt der Fisch mehr Wasser, die Auftriebskraft nimmt zu und er steigt auf.

Hydraulik und Druckarbeit

Abb.4 Hydraulik

Der statische Druck ist auch die physikalische Grundlage der Hydraulik. Hier ist jedoch der Schweredruck unbedeutend und nur der Außendruck p0 relevant, weil er in der Regel viel größer ist als der Schweredruck (\(p_0 \gg \rho gh \approx 0\)). Erzeugt man p0, indem man mit einer kleinen Kraft F0 auf eine kleine Fläche A0 drückt, dann bewirkt das eine große Kraft Fa auf einer großen Fläche Aa, denn der Druck ist im gesamten Fluid gleich (Abb.4). Auf diese Art lassen sich mit einer kleinen Kraft sehr schwere Lasten durch Fa heben. Hebebühnen in Autowerkstätten arbeiten z. B. nach diesem Prinzip. Wenn man einen Stempel der Fläche A mit der äußeren Kraft F um die Strecke s gegen die Druckkraft \(F=pA\) verschiebt, verrichtet man die Arbeit \(W=\int F\ ds=-\int p A\ ds=-\int p\ dV\). Weil \(dV = A\ ds\) ist, muss man bei der kleinen Fläche entsprechend der goldenen Regel der Mechanik einen größeren Weg zurücklegen als bei der großen Fläche: Die ein­gesparte Kraft muss man an Weg zusetzen. Wenn man die Arbeit mit Hilfe des Druckes p formu­liert, nennt man sie Druckarbeit. Differenziell ausgedrückt ist die Druckarbeit

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Druckarbeit: \(dW=-p\ dV\) (Gl.3)

Dieser wichtige Zusammenhang wird uns öfter begegnen und in der Themodynamik eine zentrale Rolle einnehmen. Das negative Vorzeichen beinhaltet, dass wir Energie in das System hinein­stecken, wenn wir das Volumen verkleinern, also wenn dV negativ ist.

Barometrische Höhenformel

Der Atmosphärendruck (Luftdruck) benimmt sich anders als durch Gl.1 beschrieben, weil Luft kompressibel ist und die Dichte der Atmosphäre mit zunehmender Höhe abnimmt. Für Luft können wir Gl.1 nur in einer kleinen differentiellen Schicht dh annehmen und wenn wir um dh nach oben gehen, ändert sich der Druck um \(dp=\rho g \cdot dh\). Um das weiter auswerten zu können, müssen wir einen Zusammenhang zwischen ρ und p annehmen. Als Näherung machen wir einen Vorgriff und verwenden das Boyle-Mariottsche Gesetz für den Fall konstanter Temperatur eines idealen Gases. Damit erhalten wir \(\frac{p}{\rho}=\frac{p_0}{\rho_0}\), mit Druck (p0) und Dichte (ρ0) am Erdboden. Wir ersetzen ρ durch \({\rho}=\frac{\rho_0}{p_0}p\) und erhalten \(dp=\frac{\rho_0}{p_0}p g\cdot dh\). Wir integrieren durch Trennung der Variablen \(\int\limits_{p_0}^{p}\frac 1 {p'} dp'=\int\limits_{0}^{h}\frac{\rho_0}{p_0} g\cdot dh'\ \Rightarrow\ \ln\frac{p}{p_0}=-\frac{\rho}{\rho_0}gh\). Beid­sei­ti­ges Exponenzieren ergibt die

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Barometrische Höhenformel: \(p(h)=p_0 e^{-\frac{\rho_0 g}{p_0}h}\), mit ρ0 und p0 Dichte und Druck bei h = 0. (Gl.4)

In diesem Modell nimmt der Druck exponentiell mit der Höhe ab. Die Atmosphäre reicht deutlich weiter als 8 km und hat keine scharfe Grenze mehr. Tatsächlich ist die Temperatur nicht konstant, sondern nimmt im allgemeinen mit zunehmender Höhe ab. Feinere Modelle lernen Sie in der Meteorologie kennen.