Poisson- und Laplace-Gleichung
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Physikalischer Kontext
Sowohl die Poisson-Gleichung als auch ihr Spezialfall für ρ = 0, die Laplace-Gleichung sind zwei Differentialgleichungen der theoretischen Elektrostatik, mit denen sich elektrische Felder und Potenziale bestimmen lassen. Sie lassen sich letztendlich aus der Coulomb-Kraft herleiten.
Poisson-Gleichung
Der Zusammenhang zwischen einem elektrischem Feld und seinem Potenzial ist
| \(\vec E=-\vec \nabla \phi=- \text{grad } \phi\) | (Gl.H1) |
Das Feld ist der negative Gradient des Potenzials. Die differentielle Form des Gaußschen Satzes lautet
| \(\text{div }\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\) | (Gl.H2) |
Bringt man beides zusammen, ergibt das
| \(\text{div }\text{grad } \phi=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\) | (Gl.H3) |
Die Kombination \(\text{div }\text{grad }\) ergibt den Laplace-Operator \(\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\). Damit wird Gl.H1 zur Poissongleichung:
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Poissongleichung: \(\Delta \phi=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\) | (Gl.1) |
Laplace-Gleichung
In Gebieten ohne Ladung mit ρ = 0 wird ie Poisson-Gleichung zur Laplace-Gleichung:
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Laplacegleichung: \(\Delta \phi=0\) | (Gl.2) |
Beide Gleichungen ergeben Differentialgleichungen, aus denen sich unter bestimmeten Randbedingungen (Dirichletsche oder Neumannsche Randbedingungen) für das Potenzial elektrische Felder eindeutig bestimmen lassen.
