Minkowski-Diagramm

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Anwendung und Nutzen

In der Umgangssprache ist ein Ereignis etwas, das an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit stattfindet. Minkowski-Diagramme ermöglichen eine eindeutige Zuordnung zwischen Ereignissen und den Koordinaten eines vierdimensionalen Raumes, der Raumzeit, wie man heute sagt. Minkowski-Diagramme ermöglichen eine grafische Darstellung der Lorentz-Transformation. In einem Minkowski-Diagramm nennt man die Ort-Zeit-Kurven Weltlinien und einen Punkt nennt man Ereignis. Mit Minkowski-Diagrammen lassen sich Raumzeitkoordinaten von Ereignissen und Weltlinen für Beobachter in unterschiedlichen Inertialsystemen in Beziehung setzen und grafisch verdeutlichen. Minkowski-Diagramme enthalten schiefwinkelige Koordinatenachsen.

Vierdimensionale Raumzeit

Abb.1 Darstellung der Raumzeit

Die Lorentz-Transformation beinhaltet, dass Raum und Zeit immer miteinander zusammenhängen, und beide relativ werden. Um dies veranschaulichen zu können, würden wir ein vierdimensionales Koordinatensystem benötigen. Die Zeitkoordinate t wird durch Multiplikation mit c ebenfalls zu einer Raumkoordinate ct und zusammen mit den drei Raumkoordinaten x, y, und zerhalten wir die vierdimensionale Raumzeit. Darin hat ein Ereigenis (d.h. ein Punkt) die vier Koordinaten \(ct, x, y, z\). Dieses vierdimensionale Raumzeit-Koordinatensystem wurde von Herrmann Minkowski eingeführt. Allerdings kann man etwas Vierdimensionales nicht zeichnen und deshalb lässt man zur Veranschaulichung in grafischen Darstellungen mindestens eine, meist jedoch zwei Raumkoordinaten weg. Diese Diagramme nennt man Minkowski-Diagramme. Abb. 1 zeigt ein dreidimensionales Minkowski-Diagramm, in dem nur die z-Koordinate weggelassen ist. Auf dem Lichtkegel (grün) befinden sich die Weltlinien von Lichtstrahlen, die bei t = 0 im Usprung gestartet sind. Da sich nichts schneller als das Licht bewegen kann, müssen sich alle Weltlinien von Körpern, die bei t = 0 im Ursprung waren, innerhalb des Lichtkegels befinden. Wir beschränken uns in diesem Artikel auf zweidimensionale Minkowski-Diagramme, in denen die Koordonaten y und z weggelassen sind.

Gestalt und Konstruktion

Abb. 2 Aussehen eines Minkowski-Diagramms für einen ruhenden Beobachter B (schwarze Achsen) und einen bewegten Beobachter B' (blaue Achsen)

Abb.2 zeigt das Aussehen eines zweidimensionalen Minkowski-Diagramms. Im Grunde ist es ein Ort-Zeit-Diagramm, worin jedoch die Zeitinformation durch Multiplikation mit der Lichtgeschwindigkeit c ebenfalls in einen Ort ct umgerechnet wird. In Abb.2 wurde als Einheit aller Achsen die Längeneinheit Lichtsekunde (Ls) gewählt.

Achsen

In Minkowski-Diagrammen sind die Achsen für einen ruhenden Beobachter rechtwinkelig und für einen bewegten Beobachter schiefwinkelig. In Abb.2 ruht der Beobachter B (schwarze Achsen) und der Beobachter B' ist bewegt (blaue Achsen). Für den ruhenden Beobachter B wird auf der horizontalen Achse eine Ortskoordinate (in der Regel x) aufgetragen. Die vertikale Achse trägt die Zeitinformation. Ort und Zeit sind gegenüber herkommlichen Ort-Zeit-Diagrammen vertauscht.

Nur für einen ruhenden Beobachter stehen die ct- und die x-Achse rechtwinklig aufeinander. Für einen bewegten Beobachter B bezeichnet man die Achsen mit ct′ und x′ und der Winkel β' (magenta) zwischen den beiden Zeit- bzw. den beiden Ortsachsen hängt von der Relativgeschwindigkeit v ab. Die die ct- und die x-Achse des Minkowski-Diagramms müssen gleich skaliert sein, d.h. die Einheiten und die Achseneinteilungen e (rot) beider Achsen müssen identisch sein. Ebenso müssen die ct'- und die x'-Achse des Minkowski-Diagramms gleich skaliert sein, jedoch ist ihre Achseneinteilung e' (magenta) stets größer als e und nimmt mit der Relativgeschwindigkeit zu. Durch die paarweise gleiche Skalierung ist gewährleistet, dass die Weltlinien von Licht (grün) in einem Minkowski-Diagramm immer auf der Winkelhalbierenden eines Zeit- und Ortsachsenpaares liegen.

Winkel und Skalierung

Der Winkel β′ der ct′-Achse zur ct-Achse ergibt sich aus $\beta=\frac v c$ durch

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Winkel zwischen den Achsen von S und S': $\beta'=\arctan\beta=\arctan \frac v c$ (Gl.1)

Der Winkel der x′-Achse zur x-Achse ist ebenfalls β′, so dass der Winkel zwischen der ct′- und der x′-Achse $90°- 2 \beta'$ beträgt. Für einen bewegten Beobachter B sind die Achseneinteilungen e′ einer Einheit stets länger als e für den ruhenden Beobachter. Das Verhältnis der Längen ist durch

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Verhältnis der Achseneinteilungen von S' und S: $\frac {e'}{e}=\frac {\sqrt{1+\beta^2} }{\sqrt{1-\beta^2} }$ (Gl.2)

gegeben. Für Licht ist β = 1 und damit wird e′ unendlich groß. Das bedeutet, für Licht vergeht die Zeit unendlich langsam, sie steht still.

Koordinaten ablesen

Abb. 3 Ablesen der Koordinaten eines Ereignisses

Koordinaten auf den rechtwinkligen Achsen liest man wie gewohnt ab. Das zeigen die schwarzen gepunkteten Linien in Abb.3. Auf den schiefwinkeligen Achsen werden Koordinaten folgendermaßen abgelesen: Um die Zeitkoordinate ct′ eines Ereignisses E zu bestimmen, bildet man die Parallele zur x′-Achse durch das Ereignis (blaue gepunktete Linie, Beschriftung: Zeit in S'). Der Schnittpunkt der Parallelen mit der ct′-Achse ist die ct′-Koordinate des Ereignisses. Zum Ablesen des Ortes x′ bildet man die Parallele zur ct′-Achse (blaue gepunktete Linie, Beschriftung: Ort in S') und bestimmt ihren Schnittpunkt mit der x′-Achse.

Beispiel 1: Minkowski-Diagramm erzeugen

Ein Beobachter B bewegt sich mit 0,6 c relativ zu einem ruhenden Beobachter B.

Dann ist $\beta=\frac v c=\frac{0,6 c}c=0,6$ und $\beta'=\arctan 0,6=31 °$.

Die Länge e′ einer Achseneinteilung von B ist ${e'}=\frac {\sqrt{1+0,6^2} }{\sqrt{1-0,6^2} }e=1,45 e$. Diese Daten entsprechen dem Diagramm in Abb.1.

Ein Ereignis E hat für B die Raumzeitkoordinaten ct = 3,0 Ls und x = 2,75 Ls. Aus dem Diagramm in Abb.2 liest man für B die Koordinaten ct′ = 1,7 Ls und x′ = 1,2 Ls ab. Die Lorentztransformation ergibt γ=1,25 und $ct'= \gamma(ct -\frac v c x)=\gamma(ct -\beta x)=1,69 \text{ Ls}$ und $x'=\gamma(x-v t)=\gamma(x-\beta ct)=1,19 \text{ Ls}$.


Animation

Das GeoGebra-Applet (Branch von Minkowski Diagramm, Autor Autor: gmc1978, Lizenz: CC-BY-SA, GeoGebra Terms of Use) zeigt eine Animation der Achsen und Skalierung eines Minkowski-Diagramms. Durch Klicken auf "Gitter S'", wird das Gitternetz zum Ablesen von x' und ct' angezeigt..

Erklärung

Im Minkowski-Diagramm eines ruhenden Beobachters sind die Weltlinien von ruhenden Objekten senkrechte Geraden, also Parallelen zur ct-Achse, weil sich der Ort x nicht ändert. Die Weltlinien von bewegten Objekten, die sich mit konstanter Geschwindigkeit v bewegen, sind dagegen Geraden, die gegen die ct-Achse geneigt sind. Füt v = c ist der Neigungswinkel genau 45°, für v < c ergibt sich der Neigungswinkel aus $\tan \beta' =\frac {vt} {ct}=\frac v c$, weil in der Zeit t die Strecke x = vt zurückgelegt wird. Im Bezugssystem des bewegten Objektes muss seine Weltlinie ebenfalls parallel zu seiner ct'-Achse liegen. Im Umkehrschluss muss die ct'-Achse parallel zur Weltlinie des bewegten Objektes sein, also ebenfalls den Neigungswinkel β' zur ct-Achse haben.

Im Minkowski-Diagramm eines ruhenden Beobachters liegt die Weltlinie des Lichtes unter 45° auf der Winkelhalbierenden zwischen beiden Achsen, weil beide Achsen gleich skaliert sind. Sofern auch die ct'- und die x'-Achse gleich skaliert sind, muss auch im bewegten System die Weltlinie des Lichtes auf der Winkelhalbierenden liegen. Daher muss die x'-Achse ebenfalls unter dem Winkel β' zur x-Achse liegen.

Abb.4 Herleitung der Einheitenlänge e'

Die Skalierung ergibt sich aus der Zeitdilatation. Abb.4 verdeutlicht die Vorgehensweise. Die Einheitslänge der ct-Achse sei e. Wir betrachten eine ruhende Uhr mit der Eigenzeit t, so daß ihre Taktlänge die Länge e=ct auf der ct-Achse ergibt. Wenn die gleiche Uhr mit v bewegt wird, sieht der ruhende Beobachter entsprechend der Zeitdilatation die Taktlänge γt. Das ergibt die Strecke $\gamma ct=\gamma e$ auf der ct-Achse. Im Ruhesystem der bewegten Uhr, d. h. auf der ct'-Achse, ist ihre Taktlänge ebenfalls eine Einheitslänge, also e'. Um e' zu bestimmen, benötigt man die Länge der Strecke a und die Länge der Strecke b. Die Strecke a ist $a=vt=\frac vc ct=\frac vc e$. Die Länge der Strecke b ergibt sich damit nach Pythagoras zu $b=\sqrt{e^2+(\frac vc e)^2}=e \sqrt{1+(\frac vc)^2}$. Aufgrund des 1. Strahlensatzes gilt der Zusammenhang $\frac{\gamma e}{e}=\frac {e'}b=\frac{e'}{e \sqrt{1+(\frac vc)^2}}$. Das ergibt mit $\gamma=\frac 1{\sqrt{1-(\frac vc)^2}}$ das gesuchte Längenverhältnis $\frac{ \sqrt{1+(\frac vc)^2}}{ \sqrt{1-(\frac vc)^2}}=\frac{e'}{e}$.

Abb.F1
Verständnisfrage 1: Welche der Digramme in Abb. F1 entsprechen den Anforderungen an ein Minkowski-Diagramm?
Nur Diagramm B erfüllt die Bedingungen. Bei A sind die Achsen vertauscht. Bei C ist t und nicht ct aufgetragen, wodurch die Skalierung falsch wäre (es sei denn, man setzt c = 1). Bei D ist die Skalierung falsch, denn die Lichtweltlinie liegt nicht auf der Winkelhalbierenden.



Interpretation

Weltlinien und Geschwindigkeit

Abb.5 Weltlinien von Objekten mit verschiedenen Geschwindigkeiten

Abb. 5 zeigt die Weltlinien von vier Objekten (z. B. Raumschiffen) mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Die beiden grünen Linien sind die Weltlinien des Lichts, das mit +c bzw. −c vom Ursprung aus in die positive bzw. negative x-Richtung läuft. Für den ruhenden Beobachter gilt: Nach links geneigte Weltlinien entsprechen negativen Geschwindigkeiten, vertikale Weltlinien entsprechen ruhenden Objekten, nach rechts geneigte Weltlinien werden von Objekten erzeugt, die sich mit positiver Geschwindigkeit bewegen. Die Geschwindigkeit kann man aus der Steigung der Geraden ablesen.

Ruhende Objekte liegen auf Parallelen zur ct- bzw. ct′-Achse. Linie 1 entspricht einem Objekt, das für Beobachter B ruht, Linie 2 einem, das für Beobachter B' ruht. Objekt 2 sowie die ct′-Achse laufen ein Kästchen nach rechts, während sie vier Kästchen aufsteigen. Das entspricht $\beta = v/c = 1/4 = 0,25$, also u2 = vB′ = 0,25 c.

Objekt 3 bewegt sich mit u3 = −0,25 c, und somit in die negative x-Richtung. Denn die Kurve neigt sich ein Kästchen nach links, während sie vier Kästchen aufsteigt. Objekt 4 ist am schnellsten. Die Kurve läuft zwei Kästchen nach rechts, während sie drei Kästchen aufsteigt. Das entspricht u4 = 2/3 c = 0,67 c.

Abb.F2
Verständnisfrage 2: Bestimme die Geschwindigkeiten der Raumschiffe in Abb.F2. Könnte man alle Antriebe (zumindest theoretisch) bauen?
v1 = −0,5 c, v2 = −0,75 c, v3 = 0 , v4 = 0,8 c, v5 = 2 c. Raumschiff 5 widerspricht der Relativitätstheorie, der Antrieb kann auch theoretisch nicht gebaut werden.


Für den bewegten Beobachter B lassen sich die Geschwindigkeiten nicht so einfach ablesen, denn seine Achsenskalierung ist anders. In diesem Fall für β = 0,25 ist e′ = 1,06 e. Die Käschten von B sind in einem kleinen Bereich in Abb.5 angedeutet. Für B ist z. B. die Geschwindigkeit von Objekt 4 nicht −0,42 c, wie die einfache Addition der Geschwindigkeiten ergäbe (Aus Sicht von B bewegt sich B mit −v = −0,25 c. Aus Sicht von B bewegt sich Objekt 4 mit u4 = 0,67 c. Das ergäbe nach Galilei-Transformation u4 = −v + u4 = 0,42 c). Tatsächlich liest man aus dem Diagramm jedoch 0,5 c ab. Das relativistische Additionstheorem der Geschwindigkeiten liefert wie das Diagramm $u'_4 =\frac { u_4-v}{1- \frac {u_4 v} {c^2}}=\frac { 0,67 c-0,25 c}{1- \frac {0,67 c \cdot 0,25 c} {c^2}}= 0,5 c$.

Beispiel 2: Transformation von Geschwindigkeiten

Bestimme für Abb.5 die Geschwindigkeiten des Lichtes, von B sowie der Raumschiffe 1,2 und 3 aus Sicht von B mit dem relativistischen Geschwindigkeitstheorem. Für B' liegt die Standardkonfiguration vor, d. h. B' bewegt sich mit positiver Geschwindigkeit gegen B. Daher ist in allen Formeln zur Lorentztransformation die Relativgeschwindigkeit v positiv einzustezen.

Die Geschwindigkeit uLicht aus Sicht von B ist für das Licht +c und −c. Das ergibt für B: $u'_{Licht} =\frac { \pm c-v}{1- \frac {\pm c v} {c^2} }=\pm c\frac { 1 \mp \frac vc}{1 \mp \frac vc}=\pm c$. Wie es das zweite Postulat verlang, sieht B' unabhängig von seiner eigenen Geschwindigkeit stets die Lichtgeschwindigkeit.

Die eigene Geschwindigkeit uB von B aus Sicht von B ist null. Das ergibt für B: $u'_{B} =\frac { 0-v}{1- \frac {0\cdot v} {c^2} }=- v$. B' sieht stets die gleiche Relativgeschwindigkeit v wie B, nur mit dem entgegengesetzten Vorzeichen. Das gleiche ergibt sich für Objekt 1.

Die Geschwindigkeit uB′ von B aus Sicht von B ist v. Das ergibt für B: $u'_{B} =\frac { v-v}{1- \frac {v\cdot v} {c^2} }=0$. B' ruht in seinem Bezugssystem. Das gleiche ergibt sich für Objekt 2.

Die Geschwindigkeit u3′ von Objekt 3 aus Sicht von B ist u3 = −v= 0,25 c. Das ergibt für B: $u'_{B} =\frac { -v-v}{1- \frac {-v\cdot v} {c^2} }=\frac{- 2 v}{1+(\frac v c)^2}=-0,47 c$. Die Geschwindigkeit, die B sieht, ist also kleiner als die doppelte Relativgeschwindigkeit. Allgemein gilt, dass jeder bewegte Beobachter ein bewegtes Objekt mit einer anderen Geschwindigkeit als ein relativ zu ihm selbst ruhender Beobachter sieht, wobei keiner von beiden eine größere Geschwindigkeit als die Lichtgeschwindigkeit sehen kann.


Gleichzeitigkeit

Abb.6 Vier Ereignisse und zwei Beobachter

Beobachter in verschiedenen Bezugssystemen sind sich in der Regel nicht einig, wann und in welcher Reihenfolge Ereignisse stattfinden. Für den ruhenden Beobachter liegen gleichzeitige Ereignisse an verschiedenen Orten auf horizontalen Geraden, also auf Parallelen zur x-Achse, weil sie die gleiche ct-Koordinate haben. Analog finden für den bewegten Beobachter Ereignisse gleichzeitig statt, die auf Parallelen zur x′-Achse liegen. In Abb.6 sieht der ruhende Beobachter B die Ereignisse entsprechend den ct-Koordinaten (schwarz) in folgender Reihenfolge: zuerst 4, dann 1, danach 2 und 3 gleichzeitig. Der bewegte Beobachter B sieht dagegen die Reihenfolge: zuerst 4 und 1 und 3 gleichzeitig, danach 2. In seinem jeweiligen Bezugssystem hat jeder Beobachter recht. Eine absolute Wahrheit bezüglich der Gleichzeitigkeit und der Reihenfolge gibt es nicht, weil kein Beobachter aufgrund des ersten Postulats feststellen kann, ob er "in Wirklichkeit" ruht.

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Verständniserkenntnis
Intuitiv nehmen wir häufig an, dass der ruhende Beobachter Recht hat und der bewegte Beobachter im Irrtum ist. Wenn wir so denken, vergessen wir das erste Postulat. Die Festlegung eines der Beobachter als "ruhend" ist eine willkürliche Wahl. Beide Beobachter sind gleichberechtigt. Wir können mit gleichem Recht auch den anderen Beobachter als ruhend annehmen.

Abb.F3
Verständnisfrage 3: Welche Reihenfolge der Ereignisse in Abb.F3 sieht B, welche Reihenfolge sieht B?
B sieht zuerst gelb und pink gleichzeitig, danach grün und orange gleichzeitig und später schließlich rot und blau gleichzeitig. B sieht zuerst pink und orange gleichzeitig, danach gelb, grün, blau und am Ende rot, alle nacheinander.



Invarianter Abstand

Im "normalen" euklidischen Raum haben zwei Ereignisse nichtrelativistisch betrachtet einen eindeutigen räumlichen Abstand und einen eindeutigen zeitlichen Abstand. Wenn ein Zug von A nach B fährt und A und B den Abstand s = 10 km haben, dann haben auch die Ereignisse "Abfahrt bei A" und "Ankunft bei B" den räumlichen Abstand s = 10 km. Wenn der Zug mit dem Tempo v fährt, dann ist die Reisedauer t = s/v, die natürlich davon abhängt, wie schnell der Zug gefahren ist. Doch weder der räumliche Abstand s der Orte noch die Reisedauer t werden davon beeinflusst, aus welchem Bezugssystem die Reise betrachtet wird. Sowohl ein Reisender im Zug als auch ein Wartender auf dem Bahnsteig würden den gleichen räumlichen Abstand der Orte und den gleichen zeitlichen Abstand zwischen Abfahrt und Ankunft bestimmen.

In der relativistischen vierdimensionalen Raumzeit werden solche einfachen Abstände hinfällig, denn sowohl der räumliche als auch der zeitliche Abstand sind voneinander und vom Bezugssystem abhängig. Der räumliche Abstand ändert sich durch die Längenkontraktion und der zeitliche durch die Zeitdilatation und die Relativität der Gleichzeitigkeit. Die Frage, die sich stellt, ist: Kann man auch in der relativistischen Raumzeit noch so etwas wie einen Abstand von zwei Ereignissen finden, der in allen Inertialsystemen gleich ist? Die Antwort darauf ist: ja! Diesen Abstand nennt man Minkowski-Abstand oder differentiell geschrieben Linienelement des Minkowski-Raumes und er wird meist mit s bezeichnet. Überlicherweise wird er quadriert abgegeben und trotzdem vereinfacht als Abstand bezeichnet, obwohl s2 die Dimension einer Fläche hat. Er ist gegeben durch[1][2]

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Quadrat des Minkowski-Abstands: \(s^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2\) (Gl.3)
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Linienelement des Minkowski-Abstands: \((ds)^2=c^2(dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2\) (Gl.4)
Abb.7 Abstand zweier Ereignisse a) nichtrelativistisch, b) relativistisch in der Raumzeit

Diese Definition lässt sich folgendermaßen plausibel machen: Den normalen (euklidischen) räumlichen Abstand zweier Punkte in der xy-Ebene findet man nach Pythagoras durch \(s^2=x^2+y^2\). Das ist in Abb.7a anhand der Trajektorie eines Körpers (blau) gezeigt. Zwei Ereignisse sind durch pinke Punkte dargestellt, wobei das erste zur Vereinfachung im Ursprung liegt und das zweite die Koordinaten xE und yE hat. Das Quadrat des Abstandes der Ereignisse ist die Summe der Flächen des gelben und des grünen Quadrates und entspricht der straffierten Fläche. Diese Fläche ist gleich der Fläche des grauen Quadrates. Dessen Kantenlänge ist s. Die analoge Erweiterung auf den dreidimensionalen Raum ergibt sich durch \(s^2=x^2+y^2+z^2\).

Deshalb ist es naheliegend, für den vierdimensionalen Raum von \(s^2=c^2t^2+x^2+y^2+z^2\) auszugehen. Es zeigt sich jedoch, dass das keine Invariante unter Lorentz-Transformation ist, sondern statt dessen Gl.3 und Gl.4 gilt.

Betrachten wir dazu Abb.7b. Die Ereignisse sind wie zuvor, jedoch ist y durch ct ersetzt und die Koordinaten des zweiten Ereignisses in S sind ctE und xE. Nehmen wir an, unser Ansatz sei richtig. Dann müsste sich auch im Bezugssystem S', in dem unser Körper ruht, der gleiche Wert für s2 ergeben.

Weil unser Körper in S' bei x' = 0 ruht, finden beide Ereignisse am gleichen Ort bei x' = x'E = 0 statt. Sie rauschen an unserem Körper vorbei und haben nur einen zeitlichen Abstand. Deshalb können wir die Weltlinie als Zeitachse ct' für S' ansehen. In S' wird die Zeit t' allerdings mit einer körperfesten ruhenden Uhr gemessen, dort wird deshalb die Eigenzeit t0 gemessen. In S' erhalten wir daher \(s^2=c^2 t_0^2\). Die Eigenzeit t0 ist aufgrund der Zeitdilatation zwangsläufig kleiner als die Zeit tE in S. Daher muss auch die Länge ct0 in S' kleiner sein als die Länge ct in S. Grafisch ist der Abstand ct0 jedoch größer. Beides lässt sich nur dadurch zusammenbringen, dass die Skalierung der Zeit ct' in S' anders ist als in S! Eine Zeiteinheit in S' entspricht einer längeren Strecke als in S. Nur dadurch kann eine grafisch längere Strecke eine zahlenmäßig kürzere Zeit ergeben. Abb.7b zeigt die Skalierung relativistisch korrekt, ctE und ct'E haben den gleichen Zahlenwert. Die Skalierung ist durch die Zeitdilatation gemäß Gl.2 genau festgelegt.

Nun zurück in das System S. Die Zeit ctE in S hängt mit der Eigenzeit in S' über \(c t_E = \gamma c t_0\) zusammen. Wir quadrieren das und lösen es nach s2 auf. Das ergibt \(s^2=c^2 {t_0}^2 =\dfrac{c^2 t_E^2}{\gamma^2}=c^2 t_E^2(1-\frac{v^2}{c^2})=c^2 t_E^2-v^2 t_E^2=c^2 t_E^2-x_E^2\), denn \(v=\dfrac {x_E} {t_E}\). Das ist genau die Invariante nach Gl.4, wenn wir es für drei Raumdimensionen mit \(v=\frac rt\) und \(r^2=x^2+y^2+z^2\) verallgemeinern. Wir müssen also die Differenz und nicht die Summe der Quadrate des zeitlichen und des räumlichen Abstands bilden. Die anschauliche Bedeutung von s2 ist in der Skalierung von S' die Fläche des blauen Quadrates, dessen Kantenlänge der Eigenzeitabstand zwischen den beiden Ereignissen ist. In der Skalierung von S sind die Kantenlängen zwar um den Faktor 1/γ geschrumpft (graues Quadrat), doch ist s2 ebenfalls der Eigenzeitabstand zwischen den beiden Ereignissen. Anschaulich ist dessen Fläche die Differenz (straffiert) der Quadrate des zeitlichen (gelb) und des räumlichen Abstandes (grün) in S.

Wir halten fest: Die Eigenzeit ist eine Invariante und der Minkowski-Abstand entspricht der Eigenzeit (mal c) und ist daher ebenfalls eine Invariante. Nur der vierdimensionale (raumzeitliche) Abstand nach Gl.3 und Gl.4 ist eine invariante Größe. Für sich allein betrachtet, haben der räumliche und zeitliche Abstand zweier Ereignisse nur eine Bedeutung im jeweiligen Bezugssystem.

Zeitartige, lichtartige und raumartige Abstände

Der raumzeitliche Absatnd s2 zweier unterschiedlicher Ereignisse 1 und 2 kann sowohl positiv, null als auch negativ sein, je nachdem, ob c2t2 größer, gleich oder kleiner als r2 ist. Tatsächlich steckt hinter dem Vorzeichen von s2 eine tiefere Bedeutung und danach unterscheidet man in zeitartige, lichtartige und raumartige Abstande.

Zeitartig

Wenn es ein Bezugssystem gibt, in dem die Ereignisse am gleichen Ort stattfinden, dann bezeichnet man ihren Abstand als zeitartig. In diesem Bezugssystem verschwindet r2 und der Abstand ist s2 = c2t2 > 0. Weil s2 invariant ist, muss das in jedem Bezugssytsem gelten. Darum gibt es dann kein Intertialsystem, in dem die beiden Ereignisse gleichzeitig stattfinden. Denn würden sie gleichzeitig stattfinden, müsste s2 = −r2 ≤ 0 sein, was durch die Invarianz ausgeschlossen ist. Und auch die zeitliche Reihenfolge der Ereignisse ist in allen Bezugssystemen gleich. Nehmen wir an, in einem Bezugssystem finde 1 vor 2 statt, und dort wäre ct > 0. Gäbe es ein Bezugssystem, in dem die Reihenfolge umgekehrt wäre, dann wäre dort ct < 0. Bei einem koninuierlich Übergang zwischen beiden Bezugssystem müsste in irgendeinem Bezugssystem der Vorzeichenwechsel stattfinden, d.h. ct = 0 sein. Dort wäre dann wieder s2 = −r2 ≤ 0, was durch die Invarianz ja ausgeschlossen ist.

Lichtartig

Zwei Ereignisse, für die s2 = 0 ist, bezeichnet man als lichtartig. Solche Ereignisse mit verschwindendem Abstand kann man immer als Aussenden und Empfang eines Lichtsignals interpretieren. Verschwindet der Abstand zweier Ereignisse in einem Inertialsystem, dann verschwindet er auch in allen anderen. Für Lichtsignale gibt es kein Ruhesystem und die Zeit steht für sie still.

Raumartig

Wenn es ein Bezugssystem gibt, in dem die Ereignisse gleichzeitig stattfinden, dann bezeichnet man ihren Abstand als raumartig. In diesem Bezugssystem verschwindet c2t2 und der Abstand ist s2 = −r2 < 0. Weil s2 invariant ist, muss das in jedem Bezugssytsem gelten. Darum gibt es dann kein Intertialsystem, in dem die beiden Ereignisse am gleichen Ort stattfinden. Denn würden sie am gleichen Ort stattfinden, müsste s2 = c2t2 ≥ 0 sein, was durch die Invarianz ausgeschlossen ist. Dagegen kann die zeitliche Reihenfolge der Ereignisse in unterschiedlichen Bezugssystemen unterschiedlich sein.

Kausalität

Abb.8 Zeitartige, lichtartige und raumartige Abstände

Zwei Ereignisse sind kausal miteinender verbunden, wenn das eine die Ursache für eine Wirkung auf das andere ist. Da die Ursache immer vor der Wirkung liegen muss, können nur zeit- und lichtartige Ereignisse kausal zusammenhängen, denn deren zeitliche Reihenfolge kann sich in keinem Bezugssystem umkehren.

Wenn wir ein Ereignis 0 fest in den Koordinatenursprung legen und ein weiteres Ereignis an einem beliebigem Ort außerhalb des Urpsrungs betrachten, dann ist der Abstand von beiden zeitartig, wenn das Ereignis innerhalb des Lichtkegels liegt, lichtartig, wenn das Ereignis auf dem Lichtkegel liegt und raumartig, wenn das Ereignis außerhallb des Lichtkegels liegt (Abb.8).

  1. Ulrich E. Schröder, Spezielle Relativitätstheorie, Verlag Harry Deutsch, 2. Aufl. (1987)
  2. Es gibt auch die umgekehrte Konvention, d.h. \(s^2=x^2+y^2+z^2-c^2t^2\). Beide Varianten sind richtig und gleichwertig, es sind nur unterschiedliche Konventionen.