Maxwell-Gleichungen

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Physikalischer Kontext

Die Maxwell-Gleichungen sind vier gekoppelte Differentialgleichungen, die die Gestalt und gegenseitige Abhängigkeit elektrischer und magnetischer Felder beschreiben. Für \(\vec E\) und \(\vec B\) gibt es je eine Flussgleichung und eine Zirkulationsgleichung. Die Maxwell-Gleichungen lassen sich integral formulieren. Dann beziehen sie sich auf Raumbereiche. Sie lassen sich auch differentiell formulieren, dann beziehen sie sich auf Punkte im Raum.

Mathematische Formulierung

In den Gleichungen sind \(\vec E\) und \(\vec B\) das elektrische und das magnetische Feld, \(\epsilon_0\) und \(\mu_0\) die elektrische und die magnetische Feldkonstante, c mit \(\frac 1{c^2}=\epsilon_0\mu_0\) die Lichtgeschwindigkeit, \(\Phi_E\) und \(\Phi_B\) der elektrische und der magnetische Fluss, q und ρ die elektrische Ladung und die elektrische Raumladungsdichte und I und \(\vec j\) die elektrische Stromstärke und die elektrische Stromdichte.

Integrale Schreibweise

Flussgleichungen

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Satz von Gauß für das elektrische Feld: \(\oint \vec E\cdot d\vec A=\dfrac{q}{\epsilon_0}\) (Gl.1a)
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Satz von Gauß für das magnetische Feld: \(\oint \vec B\cdot d\vec A=0\) (Gl.2a)

Zirkulationsgleichungen

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Faradaysches Induktionsgesetz für das elektrische Feld: \(\oint \vec E\cdot d\vec s=-\dfrac{d\Phi_B}{dt}\) (Gl.3a)
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Amperesches Gesetz für das magnetische Feld: \(\oint \vec B\cdot d\vec s=\mu_0 I +\frac 1 {c^2}\dfrac{d\Phi_E}{dt}\) (Gl.4a)

Differentielle Schreibweise

Divergenzgleichungen

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Satz von Gauß für das elektrische Feld: \(\text{div } \vec E=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}\) (Gl.1b)
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Satz von Gauß für das magnetische Feld: \(\text{div } \vec B=0\) (Gl.2b)

Rotationsgleichungen

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Faradaysches Induktionsgesetz für das elektrische Feld: \(\text{rot } \vec E=-\dfrac{d\vec B}{dt}\) (Gl.3b)
PhysKiformel.png
Amperesches Gesetz für das magnetische Feld: \(\text{rot } \vec B=\mu_0 \vec j +\frac 1 {c^2}\dfrac{d\vec E}{dt}\) (Gl.4b)

Umwandlung der Schreibweisen

Die integrale und differentiellen Schreibweisen lassen sich mit dem Gaußschen Intergalsatz bzw. dem Stokesschen Integralsatz ineinander überführen (siehe z.B. Satz von Gauß).

Beispiel 1: Induktionsgesetz in differentieller Form

Die Umwandlung der integralen Zirkulationsgleichungen in die differentielle Schreibweise geschieht mit dem mathematischen Stokesschen Integralsatz. Wenn wir den mathematischen Stokesschen Integralsatz auf das Induktionsgesetz nach Gl.3a anwenden, dann ergibt das
\(\oint\limits_{\partial A} \vec E\cdot d\vec s=\int\limits_A \text{rot } \vec E\cdot d\vec A=-\dfrac{d\Phi_B}{dt}\).
Der magnetische Fluss \(\Phi_B\) durch die Fläche \(\vec A\) kann mit dem Magnetfeld \(\vec B\) als \(\Phi_B=\int\limits_A \vec B\cdot d\vec A\) ausgedrückt werden. Damit ergibt sich
\(\oint\limits_{\partial A} \vec E\cdot d\vec s=\int\limits_A \text{rot } \vec E\cdot d\vec A=-\dfrac{d}{dt}\int\limits_A \vec B\cdot d\vec A\).
Die Zeitableitung darf in das Integral gezogen werden, da nicht über die Zeit integriert wird. Das liefert
\(\int\limits_A \text{rot } \vec E\cdot d\vec A=\int\limits_A \left(-\dfrac{d\vec B}{dt}\right) \cdot d\vec A\).

Ein Vergleich der Integranden liefert Gl.3b.


Physikalische Interpretation

Die Maxwell-Gleichungen beschreiben auf sehr abstrakte Art die Gestalt und gegenseitge Abhängigkeit der Felder. Die Flussgleichungen sagen uns, dass elektrische Felder Quellen haben und magnetische Felder nicht. Und dass die Quellen des elektrischen Feldes die elektrischen Ladungen sind und Magnetfelder keine Quellen haben. Es gibt also keine magnetischen Ladungen. Quellenfelder sind solche, bei denen die Feldlinien an bestimmten Orten entspringen und an anderen Orten enden. Sie haben ein Anfang und ein Ende. Nur dann kann der Fluss des Feldes durch eine geschlossene Hüllfläche einen Wert abweichend von null ergeben. Felder, bei denen die Feldlinien kein Anfang und kein Ende haben, müssen geschlossene Feldlinien haben. Solche Felder sind Wirbelfelder. Sie können keinen Fluss durch eine geschlossene Hüllfläche bewirken.

Die Zirkulationsgleichungen sagen uns, dass sowohl elektrische als auch magnetische Wirbelfelder entstehen können. Elektrische Wirbelfelder entstehen, wenn sich der magnetische Fluss irgendwo mit der Zeit ändert. Und magnetische Wirbelfelder entstehen durch elektrische Ströme und auch dann, wenn sich das elektrische Feld irgenwo mit der Zeit ändert. Neben der Erzeugung von Magnetfeldern durch Ströme beinhalten sie also die fundamentele Erkentnis: Jede zeitliche Änderung eines Magnetfeldes erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld und jede zeitliche Änderung eines elektrischen Feldes erzeugt ein magnetisches Wirbelfeld. Beide Felder können sich gleichberechtigt gegenseitig erzeugen und das ist die Grundlage für die Existenz elektromagnetischer Wellen.

Quellen- und Wirbelfelder

Abb.1 Quellen- und Wirbelfeld

Was ist ein Quellenfeld?

Ein Feld, für das der Fluss durch eine geschlossene Hüllfläche A nicht null ist: \(\oint \vec F\cdot d\vec A \ne 0\). Welche Bedeutung hat \(\text{div} \vec F\)? Der Fluss ist die mittlere Quellstärke für ein endliches Volumen V, begrenzt durch eine Hüllfläche A. Die Divergenz ist die Quellstärke in einem Punkt, wenn man das Volumen V gegen null gehen lässt (lim V→ 0).

Was ist ein Wirbelfeld?

Ein Feld, für das die Zirkulation entlang eines geschlossenen Weges s nicht null ist: \(\oint \vec F\cdot d\vec s \ne 0\). Welche Bedeutung hat \(\text{rot} \vec F\)? Die Zirkulation ist die mittlere Wirbelstärke für eine endliche Fläche A, begrenzt durch eine Weg s. Die Rotation ist die Wirbelstärke in einem Punkt, wenn man die Fläche A gegen null gehen lässt (lim A→ 0).