Lorentz-Transformation

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Wozu dient die Lorentz-Transformation?

Mit der Lorentz-Transformation können Raum- und Zeitkoordinaten, die in einem Inertialsystem S bekannt sind, in ein anderes Inertialsystem S' übertragen werden. Sie ist die grundlegende Transformation der speziellen Relativitätstheorie. In der Transformation treten neben der Lichtgeschwindigkeit c die Konstanten β und γ auf. Eine grafische Darstellung der Lorentz-Transformation geschieht durch Minkowski-Diagramme.

Die Konstanten β und γ

Die Konstanten β und γ treten bereits bei der Herleitung der Zeitdilatation auf.

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Die Konstante β ist das Verhältnis der Relativgeschwindigkeit v zweier Bezugssysteme zur Lichtgeschwindigkeit c: \(\beta=\frac v c\) (Gl.1)
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Der Lorentz-Faktor ergibt sich aus β durch \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2} }=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } }\) (Gl.2)
Beispiel 1: Berechnung von β und γ
Ein Teilchen bewege sich mit 95% der Lichtgeschwindigkeit. Dann ist seine Geschwindigkeit relativ zum ruhenden Laborsystem \(v=0,95c\) und \(\beta=\frac v c=0,95\) und \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2} }=\frac{1}{\sqrt{1-0,95^2} }=3,2.\)


Wann gelten die Formeln?

Abb.1 Standardkonfiguration

In den Formeln wird davon ausgegangen, dass die Standardkonfiguration vorliegt. Diese beinhaltet:

  1. Das ungestrichene Koordinatensystem S hat die Koordinaten x,y,z und t.
  2. Das gestrichene Koordinatensystem S' hat die Koordinaten x',y',z' und t'.
  3. S' bewegt sich mit konstantem v gegen S in die positive x-Richtung.
  4. Zum Zeitpunkt t = t' = 0 waren die Ursprünge x=x' = 0 beider Koordinatensysteme am selben Ort.

Wenn sich S' statt dessen in die negative x-Richtung bewegt, ist v mit negativem Vorzeichen in die folgenden Formeln einzusetzen.

In allen Formeln ist γ der Lorentz-Faktor.

Lorentz-Transformation von Raum- und Zeitkoordinaten

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Transformation von S nach S': $x'=\gamma(x-vt)\qquad y'=y\qquad z'=z\qquad t'=\gamma(t-\dfrac v {c^2} x)$

Transformation von S' nach S: $x=\gamma(x'+vt')\qquad y=y'\qquad z=z'\qquad t=\gamma(t'+\dfrac v {c^2} x')$

(Gl.3)

Die Formeln gelten analog für Differenzen, z.B. ist $\Delta x'=\gamma(\Delta x-v \Delta t)$ und $\Delta t'=\gamma(\Delta t-\dfrac v {c^2} \Delta x)$.

In der Relativitätstheorie wird die Zeit in der Regel mit der Lichtgeschwindigkeit c multipliziert und dadurch in einen Ort umgerechnet. Man verwendet statt t das Produkt ct. Dann lauten die Transformationen

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Transformation von S nach S': $x'=\gamma(x-\beta ct)\qquad y'=y\qquad z'=z\qquad ct'=\gamma(ct-\beta x)$

Transformation von S' nach S: $x=\gamma(x'+\beta ct')\qquad y=y'\qquad z=z'\qquad ct=\gamma(ct'+\beta x')$

(Gl.4)

Die Formeln gelten analog für Differenzen, z.B. ist $\Delta x'=\gamma(\Delta x-\beta c\Delta t)$ und $c\Delta t'=\gamma(c\Delta t-\beta \Delta x)$.

Invarianten unter Lorentz-Transformation

Die Lorentz-Transformation beeinflusst Raum- und Zeitkoordinaten und alle Größen, die davon abhängen. Umso wichtiger werden Größen, die durch die Loretz-Transformation nicht beeinflusst werden. Das sind die relativistischen Invarianten. Dazu gehören die Eigenzeit, die Eigenlänge und die Ruhemasse, aber auch die elektrische Ladung.

Als eine weitere sehr wichtige Invariante findet sich die Größe \((ds)^2=c^2(dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2\). Von der Dimension ist es das Quadrat eines Abstandes, wird jedoch im Sprachgebrauch einfach als Abstand bezeichnet. Wieso auch (ds)2 invariant ist, wird im Artikel Minkowski-Diagramme erklärt.

Die Lorentz-Transformation kann mit Minkowski-Diagrammen veranschaulicht werden. Sie beinhaltet die Zeitdilatation und die Längenkontraktion.

Lorentz-Transformation von elektrischen und magnetischen Feldern

  • für die Komponenten parallel zu $\vec v$: $\vec E_{\parallel}'=\vec E_{\parallel}\qquad \vec B_{\parallel}'=\vec B_{\parallel}$
  • für die Komponenten senkrecht zu $\vec v$: $\vec E_{\perp}'=\gamma(\vec E+\vec v \times \vec B)_{\perp}\qquad \vec B_{\perp}'=\gamma(\vec B-\frac{\vec v}{c^2} \times \vec E)_{\perp}$

Herleitung der Lorentz-Transformation

Die Lorentz-transformation lässt sich auf viele Arten herleiten. Auch allein aus dem Relativitätsprinzip und der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit[1]. Wir gehen aus von zwei Inertialsystemen S und S' mit den Koordinaten x und t bzw. x' und t', wobei sich S' in x-Richtung mit der konstanten positiven Geschwindigkeit \(v\) von S wegbewegt und zum zeitpunkt \(t=t'=0\) beide Koordinatenursprünge zusammenfielen (Standardkonfiguration). Für Geschwindigkeiten \(v\) ≪ c sollt die Transformation in die klassische Galileo-Transformation \(x'=x-vt\) übergehen. Da es sich um zwei Inertialsysteme handeln muss, in denen das Trägheitsgesetz gilt, ist die Weltlinie (Ort-Zeit-Kurve) eines kräftefreien Körpers in S eine Gerade und muss auch in S' eine Gerade bleiben. Ansonsten wäre S' kein Inertialsystem und es würden scheinbare Beschleunigungen (Scheinkräfte) auftreten. Das verlangt, dass die gesuchte Transformation eine lineare Transformation ist, d.h. nur einen Faktor enthalten darf, weil ansonsten aus der Gerade in S eine gekrümmte Funktion in S' würde. Dieser Faktor kann nur von \(v\) abhängen und wir nennen ihn in weiser Voraussicht \(\gamma(v)\).

Diese beiden Forderungen sind nur erfüllbar, wenn die Transformation die Gestalt

\(x'=\gamma(v)(x-vt)\) (Gl.H1)

hat.

Als nächstes verlangen wir, dass keine Raumrichtung vor der anderen ausgezeichnet ist, d.h. eine umgekehrte Wahl der positiven x-Richtungen muss die gleiche Transformation ergeben. Eine Umkehrung der x-Achsen kehrt die Vorzeichen von x und v um. Daraus erhalten wir, dass sowohl Gl.H1 als auch

\(-x'=\gamma(-v)(-x+vt)\) (Gl.H2)

gelten müssen. Beide Gleichungen gemeinsam sind nur erfüllbar, wenn

\(\gamma(v)=\gamma(-v)\) (Gl.H3)

ist.

Das Relativitätsprinzip verlangt, dass beide Systeme völlig gleichberechtigt sind. Das einzige, was sich ändert, wenn man von S nach S' wechselt, ist das Vorzeichen der Relativgeschwindigkeit \(v\). Deshalb muss die umgekehrte Transformation ebenfalls die Gestalt

\(x=\gamma(v)(x'+vt')\) (Gl.H4)

haben, jedoch mit dem umgekehrten Vorzeichen für \(v\).

Aufgrund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit muss c in beiden Systemen gleich sein. Startet man bei \(t = t' = 0\) ein Lichtsignal im Koordinatenursprung bei \(x = x' = 0\), so läuft dieses nach \(x=ct\) bzw. \(x'=ct'\). Jetzt ersetzt man in Gl.H1 die Zeit durch \(t=\frac x c\)

\(x'=\gamma(v)(x-\frac v c x)=\gamma x(1-\frac v c)\) (Gl.H5a)

und in Gl.H4 durch \(t'=\frac {x'}c\)

\(x=\gamma(v)(x'+\frac v c x')=\gamma x'(1+\frac v c)\) (Gl.H5b)

Die Multiplikation von Gl.H5a mit Gl.H5b ergibt

\(x x'=\gamma^2 x x'(1-\frac v c)(1+\frac v c)\ \Rightarrow\ 1=\gamma^2 (1-\frac {v^2} {c^2})\ \Rightarrow\ \gamma=\frac 1{\sqrt{1-\frac {v^2} {c^2} } }\) (Gl.H6)

Einsetzen von Gl.H6 in Gl.H1 und Gl.H4 liefert die Lorentz-Transformation der Orte. Für y und z ist \(v\) jeweils 0, daraus ergeben sich deren Gleichungen. Die Transformation der Zeiten erhält man, indem man z.B. Gl.H1 in \(t'=\frac {x'}c\) einsetzt und \(x=ct\) nutzt:

\(t'=\gamma\frac {x-v t}c=\gamma(\frac xc-\frac vc t)=\gamma(\frac xc-\frac v{c^2} ct)=\gamma(t-\frac v{c^2} x)\) (Gl.H7)

Analog erhält man t.

Eine andere Herleitungen findet sich z.B. im [2] und für die Transformation der Felder in [3].

  1. Ulrich E. Schröder, Spezielle Relativitätstheorie, Verlag Harry Deutsch, 2. Aufl. (1987)
  2. Douglas C. Giancoli, Physik, 3. Auflage, Pearson Deutschland GmbH, München (2010)
  3. Dieter Meschede, Gerthsen Physik, 23. Auflage, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, (2006)