Leiter

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Physikalischer Kontext

Elektrische Leiter sind Materialien, in denen frei bewegliche Ladungen vorhanden sind, die sich im gesamten Körper verschieben können. In Isolatoren bzw. Dielektrika können Ladungen nur innerhalb eines Atom ider Moleküls verschoben werden. Die bekanntesten Leiter sind wohl Metalle, aber auch Flüssigkeiten können Leiter sein. Ein bekanntes Beispiel ist Salzwasser. In Metallen sind nur die negativen Elektronen beweglich. In Salzlösungen sind sowohl die positiven als auch die negativen Ionen beweglich. Macht es einen Unterschied, ob Körper leitend sind oder nicht? Ja, es macht einen ganz wesentlichen Unterschied, denn leitende Körper reagieren ganz anders auf elektrische Ladungen und Felder als Isolatoren!

Geladene Leiter

Abb.1 Im elektrostatischen Fall steht \(\vec E\) senkrecht auf der Leiteroberfläche.

Wenn ein zuvor neutraler Leiter geladen wird, können sich die beweglichen Ladungen verschieben. Das tun sie auch. Denn nun wirken Coulomb-Kräfte durch die aufgebrachten Überschussladungen auf sie. Wann kommt die Verschiebung zur Ruhe? Es gibt nur zwei Möglichkeiten. Erstens, wenn alle Coulomb-Kräfte auf alle beweglichen Ladungen null sind. Das geht jedoch nicht, da eine Überschussladung da ist und deshalb zwangläufig ein elektrisches Feld und damit Coulomb-Kräfte vorhanden sein müssen! Daher beliebt nur der zweite Fall übrig, dass die Ladungen den Coulomb-Kräften nicht mehr folgen können, weil diese senkrecht zur Leiteroberfläche stehen.

Elektrisches Feld

Schauen wir statt auf die Coulomb-Kraft auf das elektrische Feld, bedeutet das, dass es überall senkrecht zur Leiterobefläche gerichtet sein muss. Denn hätte das Feld irgendwo eine Komponente tangential zur Oberfläche (pinker Pfeil in Abb.1), dann würde es auch eine Coulomb-Kraft tangential zur Oberfläche erzeugen, die eine Ladungsverschiebung bewirkt, bis die tangentiale Kraft verschwunden ist.

Wenn wir vom elektrischen Feld eines Leiters sprechen, meinen wir damit das Feld, dass sich einstellt, wenn alle Ladungen wieder zur Ruhe gekommen sind. Genau genommen müssen wir das Feld als elektrostatisches elektrisches Feld bezeichnen, denn wir gehen von ruhenden Ladungen aus.

PhysKibirne.png

Verständniserkenntnis
Das elektrostatische Feld eines geladenen Leiters steht überall senkrecht auf seiner Oberfläche!

Abb.2 Überschussladungen sitzen außen, weil innen \(\vec E =0\) sein muss.

Betrachten wir kurz einmal eine Ladung innerhalb des Leiters. Der Einfachheit halber sei es eine metallische Kugel und die Ladung sei positiv und sitze fest und unbeweglich in der Mitte. Diese Ladung hat natürlich ein elektrisches Feld, dass nun auf die beweglichen Ladungen in der Umgebung wirkt. Dadurch bewegen sich die Elektronen auf die positive Ladung in der Mitte zu, bis ihr Feld kompensiert ist, d.h. null ist. Durch die Verschiebung fehlen die Elektronen jetzt jedoch weiter außen. Dort, wo sie fehlen, bleibt nun ein positiv geladener Bereich. Auch dieser erzeugt nun ein Feld, das wieder Elektronen anzieht, bis das Feld null ist. Die Verschiebung der Elektronen von außen nach innen kommt erst zum Erliegen, wenn die positive Ladungsmenge, die unsere zentrale Ladung trägt, gleichmäßig verteilt auf der Oberfläche gelandet ist (Abb.2). Denn von außerhalb des Metalls können keine Elektronen mehr nachrücken. Dieser Mechanismus tritt in jedem Leiter auf, und zwar für jede Polarität der Ladung und für jede Form eines Leiter. Er sorgt dafür, dass jede Überschussladung - egal, wie und wo sie ursprünglich zugefügt wurde - schlussendlich verteilt auf der Oberfläche des Leiters sitzt. Bei einer symmetrischen Form wie der Kugel sind die Ladungen auf der Oberfläche gleichmäßig verteilt und die Feldstärke ist überall gleich groß. Bei beliebigen, unregelmäßigen Formen sieht das anders aus. Wie sich die Ladungen und Feldstärken dort über die Oberfläche verteilen, wird im nächsten Abschnitt erklärt.

Wir halten fest:

PhysKibirne.png

Verständniserkenntnis
Im Inneren eines Leiters muss das elektrische Feld überall null sein! Deshalb sitzt bei einem Leiter jede Überschussladung auf der Oberfläche.

Abb.3 Faradayischer Käfig

Wenn alle Ladungen außen sitzen und im Inneren das Feld null ist, dann können wir uns das Körperinnere auch wegdenken, und die Oberfläche des Körpers bleibt als dünne leitende Folie übrig. Auch hier können die Ladungen nur auf der Außenseite der Folie sitzen und das Innere muss feldfrei sein. Warum können auf der inneren Oberfläche der Folie keine Ladungen sitzen? Das lässt sich einfach mit dem Satz von Gauß argumentieren. Wir denken uns eine Gaußfläche, die genau mittig zwischen Innen- und Außenseite der Folie verläuft (siehe Abb.3). Da dort im Material der Folie das Feld null sein muss, kann die Gaußfläche keine Ladungen einschließen. Daher können auf der Innenseite keine Ladungen sitzen. Das wäre nur möglich (und ist auch der Fall!), wenn in dem von der "Oberflächenfolie" umhüllten Volumen zusätzliche Ladungen sitzen würden.

Dieses Verhalten ist ein Aspekt der Schutzwirkung Faradayischer Käfige (s.u.). Wenn wir uns im Inneren eine geschlossenen metallische Hohlkörpers befinden, sind wir vor Überschussladungen geschützt.

Elektrisches Potenzial

Damit die Ladungen auf der Leiteroberfläche zur Ruhe kommen und nicht in bestimmte Richtungen fließen, muss das elektrische Potenzial überall auf der Leiteroberfläche gleich sein. Zwischen verschiedenen Stellen i und j der Leiteroberfläche darf keine elektrische Spannung \(U_{ij}=\phi_j -\phi_i\) vorhanden sein. Dieses Kriterium bestimmt die Ladungsverteilung auf der Leiteroberfläche. Es bedeutet:

PhysKibirne.png

Verständniserkenntnis
Leiteroberflächen sind Äquipotenzialflächen.


Ladungsverteilung

Um die Ladungsverteilung auf Leiteroberflächen zu verstehen, betrachten wir zwei Metallkugeln mit unterschiedlichen Radien R1 und R2. Eine der Kugeln trägt eine Überschussladung Q. Die beiden Kugeln werden nun durch einen Draht leitend verbunden. Wie wird sich die Überschussladung auf die beiden Kugeln verteilen? Wie hängt die resultierende Ladungsverteilung von den Radien ab?

Mit Hilfe der elektrischen Feldstärke können wir diese Frage nicht beantworten. Denn wir haben schon gesehen, dass sie immer senkrecht zur Oberfläche stehen muss und daher keine Auskunft über Ladungsverschiebungen und Kräfte parallel zur Oberfläche gibt.

Um diese Frage zu beantworten, können wir jedoch das elektrische Potenzial φ der Kugeln betrachten. Als skalare Größe ist sie richtungsunabhängig. Solange eine elektrische Spannung \(U_{12}=\phi_2-\phi_1\) zwischen beiden Kugeln vorhanden ist, werden Ladungen von der einen zur anderen Kugel fließen. Wie beobachten einen elektrischen Strom. Der kommt zum erliegen, wenn die Spannung zwischen beiden Kugeln null ist und somit beide das gleiche Potenzial haben. Das Potenzial auf der Oberfläche einer Kugel ist \(\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R}\). Wir können es auch über die Flächenladungsdichte \(\sigma=\frac{Q}{4\pi R^2}\ \to\ Q=\sigma\cdot 4\pi R^2\) als \(\phi=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\) ausdrücken. Die Überschussladung wird sich auf unseren Kugel daher so verteilen, dass am Ende \(\phi_1=\phi_2\) gilt, was \(\frac{\sigma_1 R_1}{\varepsilon_0}=\frac{\sigma_2 R_2}{\varepsilon_0}\) bedeutet, und nach Umformung zu \(\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\frac{R_2}{R_1}\) führt. Nehmen wir an, R1 sei kleiner als R2, dann muss die kleinere Kugel die größere Flächenladungsdiche tragen \(\sigma_1 > \sigma_2\). Die hier dargestellten Überlegungen bestimmen die Ladungsverteilung auf jeder Leiteroberfläche. Damit die gesamte Leiteroberfläche das gleiche Potenzial hat, müssen sich an Stellen mit kleinen Radien, wie Spitzen und Kanten, mehr Ladungen sammeln als an Flächen oder schwach gekrümmten Stellen. Dort, wo sich viele Ladungen sammeln, ist natürlich die Feldstärke größer. Darauf beruht das Phänomen der Spitzenentladungen.

Leiter im elektrischen Feld

Influenz

Abb.4 Durch Influenz verschwindet das Feld im Leiter und in Hohlräumen darin

Als Influenz bezeichnet man die Verschiebung der Ladungen eines (neutralen) Leiters, wenn dieser einem äußeren elektrischen Feld ausgesetzt wird. Da im Leiter immer \(\vec E=0\) sein muss, verschieben sich die Ladungen auf der Oberfläche so, dass sie ein Feld erzeugen, welches das äußere Feld überall im Leiter kompensiert. Das Feld im Leiter verschwindet, weil es die Superposition des äußeren Feldes und des Feldes der durch Influenz erzeugten Ladungsverteilung ist.

Faradayscher Käfig

Influenz tritt natürlich auch bei metallischen bzw. leitenden Hohlkörpern auf. In diesem Fall verschwindet durch Influenz nicht nur das Feld im Leitermaterial, sondern auch im gesamten Hohlraum. Die Argumentation ist ähnlich wie bei den Überschussladungen. Wenn auf der Oberfläche des Leiters durch Influenz eine Ladungsverteilung vorliegt, die das Feld im Inneren des Leitsers vollständig kompensiert, dann können wir uns das Innere des Leiters auch wegdenken und durch einen Hohlraum ersetzen. Auch in diesem muss dann \(\vec E=0\) sein.

Jeder von einem Metall vollständig umschlossene Hohlraum bildet deshalb einen Faradayschen Käfig. Die Schutzwirkung Faradayscher Käfige beinhaltet zwei Aspekte. Im Inneren eines geschlossenen metallischen Hohlkörpers sind wir vor elektrischen Feldern und äußeren Überschussladungen geschützt.

Faradaysche Käfige bieten nur dann vollständigen Schutz, wenn sie auch vollständig geschlossen sind. Das bekannteste Beispiel, das Auto als Schutz vor Blitzen bei Gewittern, enthält Öffnungen, nämlich die Fenster. In ihrer Nähe können Ladungen im Innenraum auftreten. Daher sollte man auch im Auto bei Gewitter keine leitenden Teile im Innenraum berühren.

Berechnung

Neben dieser anschaulichen Erklärung ergibt sich die Lösung \(\vec E = 0\) streng mathematisch mit der Laplace-Gleichung. Die metallische Hülle bildet den Rand eines Hohlraumes mit dem Volumens V mit den Randbedingungen \(\phi=\phi_0=konst.\) auf dem Rand und \(\text{div }\vec E=0\) und somit \(\Delta\phi=0\) im Volumen. Die erste Bedingung sagt, dass die leitende Hülle eine Äquipotenzialfläche sein muss, und die zweite, dass in der Hülle keine Ladungen sind. Eine Lösung, die beide Bedingungen erfüllt, ist \(\vec E = 0\) entsprechend einem überall konstanten Potenzial \(\phi_0\). Denn ein verschwindendes elektrisches Feld ergibt sich zwangsläuft wegen \(\vec E =-\vec\nabla\phi\) aus einem konstanten Potenzial, weil die Ableitung einer Konstante null ist \(\vec E =-\vec\nabla \phi_0=-(\frac{\partial \phi_0}{\partial x}\hat x +\frac{\partial \phi_0}{\partial y}\hat y+\frac{\partial \phi_0}{\partial z}\hat z)= 0\). Aus dem gleichen Grund ist dann auch die Laplace-Gleichung \(\Delta \phi_0=\frac{\partial^2 \phi_0}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi_0}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi_0}{\partial z^2}=0\) erfüllt. Damit löst \(\vec E = 0\) die Laplace-Gleichung mit dieser Randbedingung. Unsere Randbedingung ist eine Dirichlet-Randbedingung. Lösungen der Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen sind eindeutig[1]. Wenn eine Lösung gefunden wurde, dann ist es die einzig mögliche. Daher ist \(\vec E=0\) die einzig mögliche Lösung im Hohlraum.

Geerdeter und nicht geerdeter Faradayscher Käfig

Abb.5 Geerdete und nicht geerdete metallische Hohlkugel mit eingeschlossener Ladung

Faradaysche Käfige schirmen das Innere gegen äußere elektrostatische Felder ab. Umgekehrt gilt es nicht zwangsläufig. Bringt man eine Ladung in einen isolierten Faradayschen Käfig hinein, so bleibt der Käfig stets neutral. Nun werden auf seiner äußeren und seiner inneren Fläche entgegengesetzte Ladungsverteilungen influenziert, die zwar das Feld im Metall des Käfigs kompensieren, jedoch das Feld der inneren Ladung nach außen fortsetzen (Abb.5 links). Wird der Käfig jedoch geerdet, so dass die äußeren Ladungen abfließen können, dann verbleibt nur auf der Innenseite die Influenzladung. Der Käfig ist nun zwar nicht mehr neutral, sondern geladen, doch die äußere Hülle bleibt frei von Ladungen und der Außenraum bleibt feldfrei (Abb.5 rechts). Metallische Gehäuse von elektrischen Geräten müssen immer geerdet sein, damit sich auch im Fall eines Isolationsfehlers, wenn stromführende Kabel das Gehäuse berühren, keine Ladungen auf dem Gehäuse ansammeln können.

Abschirmung elektromagnetischer Wellen

Faradaysche Käfige können nicht nur elektrostatische Felder sondern auch elektromagnetische Wellen abschirmen. Der magnetische Anteil der Wellen wird dabei durch Induktion kompensiert. Beispielweise sind Küchenmikrowellen mit einen geerdeten Faradayschen Käfig ausgestattet, dessen feines Netz man in den Fenstern der Mikrowelle sehen kann. Dieser Käfig sorgt dafür, dass die im Inneren erzeugte Mikrowellenstrahlung nicht nach außen dringen kann. Wenn ein Faradayscher Käfig aus einem Netz oder Gitter besteht und er elektromagnetische Wellen abschirmen soll, dann müssen die Öffnungen deutlich kleiner als die Wellenlängen der abzuschirmenden Strahlung sein. Die Fenster eines Autos sind beispielsweise deutlich großer als die Wellenlänge der Wellen, mt denen unsere Handys arbeiten (ca. 10 cm). Daher haben wir auch im Auto ungestörten Handyempfang.

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