Längenkontraktion

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Relativität der Länge

In der Relativitätstheorie ist die Länge eines Körpers eine relative Größe und hängt von seinem Bewegungszustand ab! Die Eigenlänge L0 ist dagegen eine absolute oder invariante Größe! Das gilt ebenso für die Masse und die Ruhemasse und sowie die Zeit und die Eigenzeit!

Was ist Länge?

  1. Eine Länge ist die Differenz der Koordinaten vom Anfang und Ende eines Gegenstandes, z.B. eines Maßstabes.
  2. Eine Länge ist auch die Strecke, die in Zeit t mit Geschwindigkeit $v$ zurückgelegt wird.

Die Problematik der 1. Definition ist folgende: Wenn sich der Maßstab bewegt, muss man beide Enden gleichzeitig messen, sonst wird die gemessene Länge falsch. Das mag einfach klingen, aber mit der Gleichzeitigkeit ist es in der Relativitätstheorie so eine Sache .... Wenn ein Beobachter die Koordinaten in seinem Bezugssystem gleichzeitig abliest, wird ein relativ zu ihm bewegter Beobachter die Messungen nicht mehr als gleichzeitig wahrnehmen, denn die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse ist relativ.

Herleitung der Längenkontraktion

Abb.1 Gedankenexperiment zur Längenkontraktion
Abb.2 Minkowski-Diagramme für beide Bezugssysteme

Zur Herleitung der Längenkontraktion machen wir ein Gedankenexperiment (Es setzt voraus, dass die Zeitdilatation bereits bekannt ist!): Anna und Ben kennen beide ihre Relativgeschwindigkeit $v$. Beide bestimmen die Länge des Bahnsteiges. Dazu messen beide mit Hilfe einer Markierung am Zug die Durchfahrtzeit $\Delta t = t_2-t_1$ des Zuges durch den Bahnsteig. Für Anna bewegt sich der Bahnsteig und zwar mit -v und der Zug ruht. Für Ben ruht der Bahnsteig, dafür bewegt sich der Zug mit v. Beide messen zwei Zeiten $t_1$ und $t_2$: Die erste, wenn die Zugmarkierung am Bahnsteiganfang ist (Abb.1 oben) und die zweite, wenn die Zugmarkierung am Bahnsteigende ist (Abb.1 unten). Abb.2 zeigt die Minkowski-Diagramme der Situation für beide Bezugssysteme.
Anna benötigt dazu nur eine einzige Uhr, die gmeinsam mit ihr im Zug ruht. Anna misst daher die Eigenzeit $\Delta t_0$ der Zugdurchfahrt und erhält die Bahnsteiglänge $L=v\Delta t_0$.
Ben benötigt zwei verschiedenen Uhren, eine am Bahnsteiganfang und eine am Ende des Bahnsteigs. Aus Sicht von Ben ist die Uhr von Anna bewegt. Ben muss deshalb eine andere Zeit messen als Anna! Seine Zeit ist $\Delta t$. Weil seine Zeit anders ist, erhält er natürlich eine andere Länge als Anna. Für ihn ist die Länge des Bahnsteigs $L_0 = v \Delta t =v\gamma \Delta t_0=\gamma L$.

Die Länge, die Ben bestimmt, ist größer als die von Anna, denn der Lorentz-Faktor ist $\gamma \ge 1$. In Bens Bezugssystem ruht der Bahnsteig. Die Länge eines ruhenden Gegenstandes nennt man seine Eigenlänge! Ben misst also die Eigenlänge des Bahnsteiges. Es ist die größtmögliche Länge, die ein Gegenstand haben kann.

PhysKibirne.png

Verständniserkenntnis
Bewegte Körper schrumpfen in Bewegungsrichtung! Dieses Phänomen nennt man Längenkontraktion!


Experimentelle Belege

Wenn man geladene Teilchen beschleunigt, dann senden sie elektromagnetische Wellen aus. In großen Beschleunigern, wie man sie in der Elemtarteilchenphysik einsetzt, entsteht deshalb ebenfalls Strahlung, die man Synchrotronstrahlung nennt. Dabei verwendet man auch sogenannte Undulatoren, mit denen man Synchrotronstrahlung mit einer festen Wellenlänge λ zu erzeugen. In einem Undulator werden Elektronen mit nahezu Lichtgeschwindigkeit durch periodisch umgepolt angeordnete Magnete auf eine wellenförmige Bahn gezwunden. Der Abstand der Magnete bestimmt die Wellenlänge der Strahlung. Er wird so gewählt, dass die entstehende Strahlung konstruktiv interfereriert, d.h. er einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge entsprecht. Die Magnete haben im Labor einen typischen Abstand von ca. 20 cm. Die beschleunigten Elektronen geben jedoch kurzwellige Strahlung mit Wellenlängen im nm-Bereich ab. Diese Diskrepanz ist durch die Längenkontraktion erklärbar: Für die lichtschnellen Elektronen schrumpfen die Magnete und ihr Abstand bis in den Nanometer-Bereich!

Eigenlänge

Die Eigenlänge L0 eines Gegenstandes wird gemessen, wenn der Gegenstand im Bezugssystem des Messenden ruht! Die Eigenlänge ist die Ruhelänge des Gegenstandes. Die Eigenlänge L0 ist die größte mögliche Länge, die man für den Gegenstand messen kann. Wenn sich derselbe Gegenstand für einen anderen Messenden mit v bewegt, dann misst dieser eine kürzere Länge $L=\frac{L_0}{\gamma }$. Das bedeutet: Bewegung lässt Gegenstände in Bewegungsrichtung schrumpfen!

PhysKiformel.png
Längenkontraktion: $L=\frac{L_0}{\gamma }$. Darin ist L0 die Eigenlänge. (Gl.1)
Verständnisfrage 1: Angenommen, Anna sieht einen Pfeil der Länge L = 1,00 m mit v = 0,500c an sich vorbeifliegen. Wie lang wäre der Pfeil, wenn sie ihn aus der Luft schnappt und anhält?
Aus v = 0,500c ergibt sich γ = 1,15. Der Pfeil hätte die Länge 1,15 m.