Kapazität
Inhaltsverzeichnis
Physikalischer Kontext
Wenn zwei geladene leitende Körper leitend miteiender verbunden werden, verschieben sich ihre Ladungen solange, bis die Spannung zwischen ihnen null ist, und somit das Potenzial aller Oberflächen gleich ist. Eine Frage, der wir jetzt nachgehen werden, ist: Welche Ladungsmenge Q tragen zwei entgegengesetzt gleich geladene leitende Körper, wenn sie nicht leitend verbunden sind, und zwischen ihnen eine bestimmte Spannung U vorhanden ist? Die Größe, die uns das verrät, nennen wir Kapazität. Sie liefert uns die Ladungsmenge zweier Körper bei gegebener Spannung oder die Spannung zwischen zwei Körpern bei gegebener Ladungsmenge. Sie kann aber noch mehr: Sie gibt uns an, welche Energie in einer Anordnung geladener Körper gespeichert ist. Die Kapazität ist eine Konstante, die von der Geometrie der geladenen Körper, ihrem Abstand und dem Material zwischen ihnen abhängt. Der zweite Körper kann auch gedanklich ins Unendliche, d.h. unendlich weit entfernt, geschoben werden. In diesem Grenzfall kann man auch einem einzelnen Körper eine Kapazität zuordnen.
Kondensatoren
Das Wort "Kapazität" bezeichnet primar eine physikalischen Größe. Es wird sehr häufig aber auch als Synonym für ein bestimmtes elektronisches Bauteil, einen Kondensator verwendet. Ein Kondensator ist ein elektronisches Bauteil, das im Idealfall nur eine Kapazität besitzt. Ein Kondensator hat im Idealfall einen unendlich großen ohmschen Widerstand und keine Induktivität. Im einfachsten Fall besteht er aus zwei gegeneinander isolierten Platten. Das nennt man einen Plattenkondensator.
So, wie man eine Spule oft einfach als Induktivität bezeichnet, wird eine Kondensator oft nur als Kapazität bezeichnet. Für den Widerstand gibt es sogar nur ein Wort. Das Wort Widerstand bezeichnet sowohl die physikalische Größe als auch das elektronische Bauteil.
Definition
Ganz allgemein ist die Kapazität definiert als Ladung/Spannung.
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Kapazität C: \(C=\frac QU\) mit [C] = F (Farad) | (Gl.1) |
Aufgelöst nach der Ladung ergibt das \(Q=CU\), was man sich einfach per \(\underbrace{Kuh}_Q=\underbrace{Kuh}_{CU}\) merken kann! Zur Definition der Kapazität kann man annehmen, dass die beiden Körper gemeinsam geladen werden, indem dem einen Körper Ladung weggenommen und diese dem andern Körper hinzugefügt wird. Dann sind beide Körper immer entgegensetzt gleich geladen und der eine trägt −Q und der andere +Q, die Ladungsmengen sind entgegengesetzt gleich. Es genügt daher, den Betrag der Ladungsmenge zu betrachten, und das ist Q in Gl.1. Geht man von nur einem Körper aus, dann ist Q dessen Ladung. Der "Gegenpol" sitzt dann unendlich weit entfernt, trägt keine Ladung und hat das Potenzial null.
Analogie
Der Zusammenhang zwischen Spannung, Ladung und Kapazität lässt sich durch Sandhaufen symbolisieren. Darin bildet die Grundfläche des Haufens die Kapazität, die Höhe des Haufens die Spannung und die Sandmenge die Ladungsmenge. Eine große Kapazität erzeugt bei gleicher Ladungsmenge eine geringere Spannung als eine kleine Kapazität. Das nutzt man zum Beispiel im Sekundärkreis eines Tesla-Transformators. Das sind Transformatoren, die nur darauf ausgelegt sind, möglichst hohe Spannungen zu erzeugen. Im Sekundärkreis sollte die Kapazität so klein wie möglich sein, damit die Spannung dort möglichst groß wird.
Berechnung aus der Geometrie
Kapazitäten berechnet man anhand der Definition aus Gl.1. Dazu muss man für eine gegebene Körperform den Quotient aus Ladung und Spannung bilden.
Das Potenzial einer Kugel mit der Ladung Q und dem Radius R auf ihrer Oberfläche ist \( \phi_R=\frac {1}{4\pi\varepsilon_0}\frac QR\). Im Unendlichen ist ihr Potenzial \(\phi_{\infty}=0\). Berechnet man die Spannung gegen Unendlich, ergibt das \(U=\phi_R-\phi_{\infty}=\frac {1}{4\pi\varepsilon_0}\frac QR\). Die Kapazität ist dann einfach \(C=\frac QU=\frac Q{\frac {1}{4\pi\varepsilon_0}\frac QR}={4\pi\varepsilon_0}R\).
Das Feld zwischen zwei entgegengesetzt gleich geladenen Platten ist \(E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\). Ersetzen wir \(\sigma=\frac QA\) ergibt das \(E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}\). Das Feld zeigt von der positiven zur negativen Platte. Zum Laden muss man positive Ladungen einer Platte wegnehmen, die dann negativ wird, und diese Ladungen zur anderen Platte bringen, die dann positiv wird. Positive Ladungen werden gegen die Feldrichtung transportiert. Das zeigt Abb.B2. Wenn die Platten den Abstand d haben, ist die Spannung zwischen ihnen \(U=\phi_+-\phi_-=-\int\limits_0^d\vec E\cdot d\vec s=-\int\limits_0^d E\cdot \underbrace{\cos(\theta)}_{-1}d s=E \int\limits_0^d ds = E d\). Setzt man den Ausdruck für E in das Ergebnis ein, erhält man \(U=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}d\). Die Kapazität ist damit \(C=\frac QU=\dfrac{Q}{\frac{Q}{\varepsilon_0 A}d}=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d}\).
Wichtig ist, dass man sich folgendes klarmacht:
Verständniserkenntnis
Die Kazität ist eine Konstante, die nur von der Geometrie einer Leiteranordnung abhängt. Ihr Wert ändert sich nicht, wenn man die Ladung oder die Spannung der Leiteranordnung ändert!
Plattenkondensator
Der wichtigste Kondensatortyp zum Verständnis ist der Plattenkondensator. Seine Kapazität und die in ihm vorliegende Feldstärke benötigt man häufig. Daher halten wir die Ergebnisse von Beispiel 2 fest:
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Kapazität eines Plattenkondensators: \(C=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d}\) mit A Flächeninhalt einer Platte und d Abstand der Platten. | (Gl.2) |
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Elektrische Feldstärke in einem Plattenkondensator: \(E=\dfrac{U}{d}\) mit U Spannung zwischen den Platte und d Abstand der Platten. | (Gl.3) |
Gespeicherte Energie
Das Laden eines Kondensators erfordert Arbeit, denn dazu muss man durch eine äußere Kraft Ladungen übertragen. Diese Arbeit hängt davon ab, welche Ladungsmenge bereits übertragen wurde, denn man muss positive Ladungen von einem zunehmend negativ geladenen Leiter auf einen zunehmend positiv geladenen Leiter bringen. Je mehr Ladungen bereits übertragen wurden, umso mehr Arbeit ist erforderlich, um noch weitere Ladungen zu übertragen. So wie es auch immer mehr Energie erfordert, einem Sandhaufen noch Sand hinzuzufügen, denn neuen Sand muss man auf den Gipfel des Haufens hinzufügen. Die differentielle Arbeit dW für ein Ladungshäppchen dq bei bereits vorhandener Spannung U lässt sich über die Spannung bestimmen: \(dW_{if}=E_{pot,f}-E_{pot,i}=dq(\phi_{f}-\phi_{i})=dq \cdot U\). Um die gesamte Arbeit W zu erhalten, die erforderlich ist, um eine Ladungsmenge Q zu übertragen, müssen wir das über q integrieren. Beim Laden ändert sich die Spannung U(q) ständig, deshalb müssen wir diese mit Hilfe der konstanten Kapazität ausdrücken: \(U(q)=\frac qC\). Das ergibt \(W=\int\limits_0^Q dW=\int\limits_0^Q U(q) dq=\int\limits_0^Q \frac qC dq=\left[\frac 12 \frac {q^2}C\right]_0^Q=\frac 12 \frac {Q^2}C=\frac 12 C{U^2}\). Den letzten Ausdruck erhält man, wenn man \(Q=CU\) einsetzt. Wir merken uns
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Energieinhalt einer Kapazität: \(W=\dfrac 12 \dfrac {Q^2}C=\dfrac 12 C{U^2}\) | (Gl.4) |
Die erste Variante ist die geeignete, wenn die Ladung konstant bleibt. Das ist der Fall, wenn eine Kapazität nach dem Aufladen von der Spannungsquelle getrennt wird. Die zweite Variante ist die geeignete, wenn die Spannung konstant bleibt. Das ist der Fall, wenn eine Kapazität mit einer Spannungsquelle verbunden ist.
Die gespeicherte Energie ändert sich nicht nur beim Laden eines Kondensators, sondern auch, wenn seine Geometrie verändert wird. Wenn wir die Platten eines geladenen Kondensators auseinanderziehen, und dabei die Ladung auf den Platten konstant halten, bringen wir Arbeit durch eine äußere Kraft hinein und vergrößern die potenzielle Energie. Wir vergrößern daher die gespeicherte Energie. Durch Verdoppeln des Abstandes halbiert sich die Kapazität und es ist \(C'=\frac 12 C\). Einsetzen in Gl.4 ergibt \(W'=\frac 12 \frac{Q^2}{C'}=\frac 12 \frac{Q^2}{\frac 12 C}=\frac {Q^2}C=2W\). Die Energiezunahme sehen wir auch daran, dass die Spannung ansteigt. Denn wenn Q = CU konstant bleibt, muss U zunehmen, wenn C abnimmt. Schieben wir die Platten dagegen zusammen, dann verringern sich Energie und Spannung entsprechend.
Anders sieht es aus, wenn wir beim Verändern des Plattenabstandes die Spannung konstant halten, denn dann muss sich die Ladung der Platten verändern. In diesem Fall wäre beim Verdoppeln des Abstandes \(W'=\frac 12 C'{U^2}=\frac 12 \frac 12 C{U^2}=\frac 14 C{U^2}C=\frac 12W\). Beim Auseinanderziehen müssen Ladungen von den Platten abfließen, denn entsprechend U = Q/C muss Q abnehmen, wenn C abnimmt und U konstant bleibt. In diesem Fall schieben wir durch unsere Arbeit Ladungen zurück in die Spannungsquelle, dort landet die Energie. Hier erkennen wir die Abnahme der Energie im Kondensator an der Abnahme der Feldstärke, denn es ist ja nach Gl.3 \(E'=\frac U{2d}=\frac 12 \frac Ud=\frac 12 E\).
Energiedichte des elektrischen Feldes
Mit Hilfe der Kapazität lasst sich auch die Energiedichte (Energie/Volumen) eines elektrischen Feldes bestimmen. Zwischen den Platten eines Plattenkondensators mit Flächeninhalt A und Abstand d ist das Volumen \(V=Ad\) und er hat die Kapazität \(C=\frac{\varepsilon_0 A}{d}\). Liegt zwischen den Platten die Spannung U an, dann ist die Feldstärke \(E=\frac Ud\). Setzen wir alles in Gl.4 ein, ergibt sich \(W=\dfrac 12 \frac{\epsilon_0 A}{d}{E^2 d^2}=\dfrac 12 {\varepsilon_0}{E^2}\ Ad\). Division durch das Volumen Ad liefert die
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Energiedichte des elektrischen Feldes: \(w=\dfrac 12 {\varepsilon_0}{E^2}\) | (Gl.5) |
Gl.5 ist allgemeingültig, denn die Energiedichte des elektrischen Feldes bei gegebener Feldstärke E kann nicht davon abhängen, wie E erzeugt wurde.
Kondensatoren mit Dielektrikum
Kapazitäten haben in der Regel sehr kleine Zahlenwerte im Bereich pF bis µF. Der Zahlenwert der Dielektrizitätskonstante ist \(\varepsilon_0 =8,854\times 10^{-12}\frac{\text{C²}}{\text{N m²}}\). Dieser Zahlenwert geht in alle Kapazitäten ein. Dadurch werden Kapazitäswerte winzig, wenn nicht die Abmessungen der leitenden Körper riesig sind. Betrachten wir die für uns größte machbaren Kapazität, nämlich unseren gesamten Planeten:
Der Erdradius ist RE = 6370 km und die Erde ist eine Kugel. Nach Beispiel 1 ist die Kapazität einer Kugel \(C_{Kugel}=4\pi\varepsilon_0 R\), das ergibt für die Erde \(C_{Erde}=7,1\times 10^{-4}\text{ F}\).
Selbst die Erde hat nur eine Kapazität von rund 700 µF. Dennoch findet man in Elektronikkatalogen auch bautechnisch sehr kleine Kondensatoren mit deutlich größeren Kapazitäten. Ein Trick ist, das man die Leiter als sehr dünne Folien gestaltet und dazwischen eine ebenfalls sehr dünne Schicht eines isolierenden Dielektrikums anbringt. Die Folien kann man aufwickeln und so große Flächen auf kleinem Volumen unterbringen. Gleichzeitig wird der Abstand der Leiter sehr klein und das Dielektrikum vergrößert die Kapazität zusätzlich. Jede elektrische Größe verändert sich in einem Dielektrikum derart, dass wir \(\varepsilon_0\), wenn es auftritt, durch \(\varepsilon_r \varepsilon_0\) ersetzen müssen. Die relative Dieletrizitätskonstante, auch Permittivität genannt, ist eine einheitenlose Materialkonstante. Für den Plattenkondensator ergibt das z.B.
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Kapazität eines Plattenkondensators mit Dielektrikum: \(C=\dfrac{\varepsilon_r\varepsilon_0 A}{d}\) mit A Flächeninhalt einer Platte, d Abstand der Platten und εr relative Dielektrizitätskonstante des Dielektrikums. | (Gl.6) |
Aus zwei Rollen Alufolie (jede 0,3 m breit, 30 m lang) und einer Rolle Frischhaltefolie (gleiche Abmessungen, Dicke 10 µm, Material Polyethylen mit εr ≈ 2,4 wird ein Folienkondensator gebaut. Wie groß ist seine Kapazität, wenn er als Plattenkondensator aufgefasst wird? Das ergibt \(C=(2,4)(8,854\times 10^{-12}\frac{\text{C²}}{\text{N m²}})\frac{(0,30\text{ m})(30\text{ m})}{1,0\times 10^{-5}\text{ m}}= 1,9\times10^{-5}\text{ F}\). Das sind immerhin schon etwa 20 µF und der Kondensator ist deutlich kleiner als unser Planet.
Kondensatorschaltungen
Kondensatoren dienen in Schaltungen häufig dazu, Spannungen zu stabilisieren oder Energie zur Verfügung zu stellen. Selten enhalten Schaltungen nur Kondensatoren. In Gleichstromkreisen wirken sie wie ein offener Schalter. In Wechselstromkreisen werden sie zu einem frequenzabhängigen Widerstand (Impedanz). Wir beschränken uns hier der Einfachheit halber auf reine Kondensatorschaltungen und Kombinationen von Kondensatoren.
Parallelschaltung
Bei einer Parallelschaltung zweier Kondenstoren addieren sich die Kapazitäten. Das kann man einfach verstehen, wenn man sich einen Plattenkondensator mit der Plattenfläche A in zwei Teile mit den Flächen A1 + A2 = A zerschnitten denkt. Die Kapazität der Teilstücke zusammen muss wieder die Ausgangskapazität ergeben. Das ergibt die Gesamtkapazität
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Zwei Kapazitäten parallel: \(C=C_1+C_2\) | (Gl.7) |
In Parallelschaltung sind zwangsläufig die Spannungen an beiden Kapazitäten gleich. Es gilt \(Q_1=C_1 U\) und \(Q_2=C_2 U\), sowie \(Q=Q_1+Q_2=(C_1+C_2)U=CU\), womit ebenfalls Gl.7 gezeigt ist.
Reihenschaltung
Bei einer Reihenschaltung zweier Kondenstoren addieren sich die Kehrwerte der Kapazitäten.
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Zwei Kapazitäten in Reihe: \(\dfrac 1C=\dfrac 1{C_1}+\dfrac 1{C_2}\) | (Gl.8) |
Das kann man verstehen, wenn man sich verdeutlicht, dass die Ladung auf beiden Kapazitäten gleich sein muss. Denn die inneren Platten der Reihenschaltung (die rechte von C1 und die linke von C2 in Abb.3) sind mit keiner Spannungsquelle verbunden. Sie können nur geladen werden, indem von der einen Platte Ladungen zur anderen wandern, wodurch die erste engegengesetzt geladen wird. Deshalb müssen ihre Ladungsmengen entgegengesetzt gleich sein. Da nun die Plattenpaare eines Kondensators ebenfalls entgegengesetzt gleich geladen sind, müssen beide Kondenstoren die gleiche Ladungsmenge trage. Man kann sich das auch überlegen, indem man sich zuerst nur einen Kondensator denkt, dessen Platten entgegegesetzt geladen sind. In diesen schiebt man nun zwei leitende Platten, die mit einem Kabel verbunden sind. Auf den eingeschoben Platten werden sich die Ladungen verschieben, bis sie entgegengesetzt gleich zur gegenüberliegenden Kondensatorplatte ist. Aus der Ladungsgleichheit folgt \(Q=C_1 U_1 =C_2 U_2\). Die Summe der Teilspannungen muss die Batteriespannung U ergeben, d.h. \(U=U_1+U_2 =\dfrac Q{C_1}+\dfrac Q{C_2}=\frac Q C\). Division durch Q liefert Gl.8. Aufgelöst nach C ergibt Gl.8 übrigens \(C=\dfrac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}\).
Beispiele
Abb.B5 zeigt eine Schaltung mit vier unterschiedlichen Kondensatoren. Gegeben seien alle Kapazitäten sowie die Spannung U der Batterie. Bestimme Ladung und Spannung für jeden Kondensator!
C1 und C2 sind parallel geschaltet, ebenso wie C3 und C4. Das ergibt
- für die Kapazitäten \(C_{12}=C_1+C_2\) und \(C_{34}=C_3+C_4\) und
- für die Ladungen \(Q_{12}=Q_1+Q_2\) und \(Q_{34}=Q_3+Q_4\) und
- für die Spannungen \(U_{12}=U_1=U_2\) und \(U_{34}=U_3=U_4\).
Gleichzeitig liegt eine Reihenschaltung von \(C_{12}\) und \(C_{34}\) vor. Daher sind die Ladungen gleich und es gilt
- für die Ladungen \(Q_{12}=Q_{34}\) und
- für die Spannungen \(U_{12}+U_{34}=U\).
Die Zusammenhänge zwischen Ladungen und Spannungen sind \(Q_{12}=C_{12}U_{12}\) und \(Q_{34}=C_{34}U_{34}\).
Daher ergibt die Ladungsgleichheit \(C_{12}U_{12}=C_{34}U_{34}\).
Aus der Spannungsgleichung erhalten wir z.B. \(U_{34}=U-U_{12}\). Einsetzen in die vorherige Gleichung liefert \(C_{12}U_{12}=C_{34}(U-U_{12})\).
Auflösen nach U12 liefert das wichtige Ergebnis \(U_{12}=\dfrac{C_{34}}{C_{12}+C_{34}}U\). Setzen wir alle gegebenen Größen ein, ist das \(U_{12}=\frac{(C_3+C_4)}{(C_1+C_2+C_3+C_4)}U\).
Ein Plattenkondensator mit der Plattengröße A und dem Plattenabstand d wird bis zum halben Plattenabstand mit einem Dielektrkum mit der relativen Dielektrizitätskonstanten εr gefüllt. Die andere Hälfte bleibt leer (d. h. sie ist mit Luft gefüllt und \(\varepsilon_{r,L}=1\)). An den Kondensator wird mit einer Batterie die Spannung U0 angelegt (Abb.B6). Bestimme folgende Größen:
a) das elektrischen Feld im gefüllten Bereich,
b) die Kapazität des Kondensators.
Wir bezeichnen alle Größen im gefüllten Bereich mit dem Index "D" und im "leeren" (luftgefüllten) Bereich mitdem Index "L". Der Trick bei solchen teilweise gefüllten Kondensatoren ist, sie als Reihen- oder Parallelschaltung gefüllter und ungefüllter Teilkondensatoren aufzufassen. Hier haben wir es mit einer Reihenschaltung eines gefüllten und eine ungefüllten Teilkondensators zu tun. Daher gilt
- für die Spannung \(U=U_L+U_{D}\),
- für die Kapazitäten \(C=\dfrac{C_D\cdot C_{L}}{C_D+C_{L}}\)
Beide Teilkondenstoren haben den Plattenabstand d/2 und somit gilt
- für die Felder \(E_{L}=\dfrac{U_{L}}{d/2}\) und \(E_{D}=\dfrac{U_{D}}{d/2}\) und
- im Dielektrikum \(E_D=\frac{1}{\varepsilon_r} E_{L}\)
Damit können wir die Batteriespannung als \(U={E_D}({d/2})+{E_L}({d/2})\) ausdrücken.
Ausklammern von (d/2) und Einsetzen von \(E_L=\varepsilon_r E_{D}\) ergibt \(U=(E_D+\varepsilon_r E_D)(d/2)=(1+\varepsilon_r)E_D(d/2)\).
Für ED erhalten wir daraus das Ergebnis a): \( E_D=\dfrac {U}{(1+\varepsilon_r)(d/2)}\).
Um b) zu bestimmen, müssen wir die einzelnen Kapazitäten angeben. Sie sind
- \(C_L=\epsilon_0 \dfrac A{(d/2)}\) und \(C_D=\epsilon_r\epsilon_0 \dfrac A{(d/2)}\)
Weil beide Kapazitäten in Reihe geschaltet sind, ergibt sich für die Gesamtkapazität
\(C=\dfrac{(\epsilon_0 \dfrac A{(d/2)})(\epsilon_r\epsilon_0 \dfrac A{(d/2)})}{\epsilon_0 \dfrac A{(d/2)}+\epsilon_r\epsilon_0 \dfrac A{(d/2)}}
=\dfrac{\epsilon_r\epsilon_0 \frac A{(d/2)}}{1+\epsilon_r}=2\dfrac{\epsilon_r\epsilon_0 }{1+\epsilon_r}\dfrac A{d}\)
