Integralsätze

Aus PhysKi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Physikalischer Kontext

Die beiden folgenden Integralsätze sind sehr wichtig in der Vektoranalysis und finden in der Elektrodynamik anwendung. Mit Ihnen lassen sich die Maxwell-Gleichungen aus der intgeralen in die differentielle Form überführen.

Gaußscher Integralsatz

Dieser Satz wird auch (mathematischer) Satz von Gauß genannt. Bei dieser Benennung ist eine Verwechslung mit dem physikalischen Satz von Gauß möglich. Daher sollte der Vorsatz "mathematischer" in der Physik nicht weggelassen werden. Der mathematische Gaußsche Integralsatz besagt:

PhysKiformel.png
Mathematischer Gaußscher Integralsatz: \(\Phi_F=\oint\limits_{\partial V} \vec F\cdot d\vec A=\int\limits_V \text{div } \vec F\ dV\) (Gl.1)

Er macht eine Aussage über den Fluss \(\Phi_F\) eines beliebigen Vektorfeldes \(\vec F\) durch die Oberfläche \(\partial V\) eines Volumens V. Er gibt an, dass dieser Fluss \(\Phi_F\) immer gleich \(\text{div }\vec F = \vec \nabla\cdot\vec F\) ist. Die Divergenz \(\text{div }\vec F\) ist das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit dem Vektorfeld \(\vec F\) und wird als Quellstärke des Feldes bezeichnet.

Stokescher Integralsatz

Dieser Satz wird auch Satz von Stokes genannt. Der Stokessche Integralsatz besagt:

PhysKiformel.png
Stokesscher Integralsatz: \(\Gamma_F=\oint\limits_{\partial A} \vec F\cdot d\vec r=\int\limits_A \text{rot } \vec F\ \cdot d\vec A\) (Gl.2)

Er macht eine Aussage über die Zirkulation \(\Gamma_F\) eines beliebigen Vektorfeldes \(\vec F\) im Rand \(\partial A\) einer Fläche A. Er gibt an, dass diese Zirkulation \(\Gamma_F\) immer gleich \(\text{rot }\vec F = \vec \nabla\times\vec F\) ist. Die Rotation \(\text{rot }\vec F\) ist das Vektorprodukt des Nabla-Operators mit dem Vektorfeld \(\vec F\) und wird als Wirbelstärke des Feldes bezeichnet.