Ideales Gas

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Anwendung und Nutzen

In der Thermodynamik beschäftigen wir uns mit einer so großen Anzahl von Teilchen, dass es keinen Sinn mehr macht, die Teilchen einzeln zu betrachten. In der kinetischen Gastheorie betrachtet man das Zusammenspiel vieler gleicher Teilchen, die miteinander stoßen und dadurch Impuls und Energie austauschen können. Als Ergebnis dieser Betrachtungen lässt sich als wesentliches fundamentales Ergebnis die Gleichung des idealen Gases herleiten. Gasförmige Fluide modellieren wir als einfachstes Modell als ideales Gas. Damit lassen sich dann z.B. thermodynamische Prozesse in pV-Digrammen beschreiben. Gase unter niedrigem Druck lassen sich sehr gut als ideales Gas beschreiben. Wenn das Modell an seine Grenzen stößt, muss das komplexeres Modell des realen Gases verrwendet werden, welches durch die Van-De-Waals-Gleichung beschrieben wird. Damit lassen sich auch Phänomene wie Verflüssigung beschreiben.

Eigenschaften des idealen Gases

Die Modellvorstellung des idealen Gases beinhaltet die Annahmen, dass die Gasteilchen punktförmig sind, d.h. kein Volumen haben und keine anziehenden oder abstoßenden Kräfte aufeinander ausüben. Sie wechselwirken nur durch elastische Stöße miteinander und übertragen dabei Energie und Impuls.

Ideale Gasgleichung

Die Stöße der Gasteilchen mit den Wänden eines Gefäßes bewirken den Druck p auf die Gefäßwände. Der Druck ist überall im Gas gleich. Das besondere beim idealen Gas ist das Phänomen, dass das Produkt pV aus Druck p und Volumen V bei festgehaltener Temperatur T konstant ist. Halbiert man man das Volumen, dann verdoppelt sich der Druck und umgekehrt. Und das Produkt pV hängt linear mit der Temperatur zusammen. Diesen Zusammenhang beinhaltet die ideale Gasgleichung. Es gibt sie in zwei Formulierung, nämlich entweder für die Teilchenanzahl N oder für die Stoffmenge n in Mol.

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Ideale Gasgleichung: \(p V=N k_B T\) für eine Teilchenanzahl N mit der Boltzmannkonstanten kB = 1,381 × 1023 J/K (Gl.1a)
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Ideale Gasgleichung: \(p V=n R T\) für eine Stoffmenge n in Mol mit der allgemeinen Gaskonstanten R = 8,314 J/(mol·K) (Gl.1b)

Die Versionen lassen sich leicht über die Avogadro-Konstante NA ineinander umrechnen. Sie gibt die Teilchenanzahl an, die einem Mol einer Substanz entsprechen. Darum ist die

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allgemeine Gaskonstante: \(R=N_A k_B\) mit der Avogadro-Konstanten \(N_A=6,022 \times 10^{23} {\rm \frac 1 {mol} } \) (Gl.1c)

Isothermen

Abb. 1 pV-Diagramm für 1 Mol eines idealen Gases bei drei unterschiedlichen Temperaturen

Abb.1 zeigt den Zusammmenhang grafisch als sogenanntes pV-Diagramm. Als Einheit des Volumens wurde Liter und als Einheit des Druckes Hektopascal (102 Pa) gewählt. Ein Hektopascal entspricht dem früher üblichen Millibar. Das Produkt p·V hat die Einheit der Energie. Dargestellt ist der Druck als Funktion des Volumens für ein Mol eines idealen Gases bei drei unterschiedlichen konstant gehaltenen Temperaturen. Diese Kurven werden Isorhermen genannt und sind Hyperbeln. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass auf einer Isotherme das Produkt \(p\cdot V=konst.\) einen konstanten Wert hat. Dieser konstante Wert ist umso größer je höher die Temperatur der Isotherme ist.

Beispiel 1: Energie des Produkte pV auf der Isothermen für T = 300 K.

Für [p] = hPa und [V] = L ergibt sich \(p\cdot V= 1\; \mathrm{hPa}\cdot 1\; \mathrm{L}= 10^2\; \mathrm{Pa}\cdot 10^{-3} \mathrm{m^3} = 0,1\;\mathrm{J}\) und somit 1 hPa·L = 0,10 J.

Bei Bei V = 10 L lesen wir p = 2500 hPa ab, das ergibt das Produkt 25000 hPa·L=25000 × 0,1 J = 2500 J.

Bei Bei V = 25 L lesen wir p = 1000 hPa ab, das ergibt ebenso das Produkt 25000 hPa·L=25000 × 0,1 J = 2500 J.

Und bei V = 50 L lesen wir p = 500 hPa ab, das ergibt wiederum das Produkt 25000 hPa·L=25000 × 0,1 J = 2500 J.


Animation

Das GeoGebra-Applet (pV-Diagramm 2 , Autorin: E. Müller, Lizenz: CC-BY-SA, GeoGebra Terms of Use) ermöglicht die Darstellung der p(V)-Kurven für variable Temperaturen, wobei der Wert des Produktes \(pV\) jeweils am schwarzen Punkt berechnet wird. Der schwarze Punkt kann auf der Kurve verschoben werden, um zu erkennen, dass das Produkt auf der Kurve konstant ist.

Abb.F1
Verständnisfrage 1: Sortiere die Punkte A bis D aufsteigend nach ihrer Temperatur!
Es ist C < A = D < C, denn in Kästcheneinheiten ist p · V für A = 4·2 = 8, für B=4·4 = 16, für C = 2·2 = 4, für D = 2·4 = 8.



Prozesskurven

Abb. 2 Prozesskurven im pV-Diagramm

Aus der idealen Gasgleichung ergeben sich Zusammenhänge zwischen Druck, Volumen und Temperatur unter verschiedenen Bedingungen. Man kann jeweils eine der Größen konstant halten und die Abhängigkeit der beiden anderen Größen voneinander betrachtet. Diese Kurven beschreiben Prozesse für Zustandsänderungen.

Bei konstanter Temperatur nennt man die Kurve Isotherme. Sie ist im pV-Diagramm eine Hyperbel.

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Isotherme: \(p =konst./V\) (Gl.2a)

Bei konstantem Druck nennt man die Kurve Isobare. Sie ist im pV-Diagramm eine Konstante.

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Isobare: \(p =konst\) (Gl.2b)

Bei konstantem Volumen nennt man die Kurve Isochore. Sie ist im pV-Diagramm eine vertikale Gerade.

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Isochore: \(V =konst\) (Gl.2c)

Erfolgt die Zustandänderung ohne Wärme, nennt man die Kurve Adiabate. In diesem Fall bleibt keine der drei Größen konstant. Sie ist im pV-Diagramm steiler als eine Isotherme.

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Adiabate: \(p=konst./V^{\gamma}\) mit \(\gamma=c_p/c_v\) (Gl.2d)

Die Prozesskurven sind in Abb.2 gezeigt. Die Größen cV und cp werden im übernächsten Abschnitt Wärmekapazität eingeführt.

Innere Energie

Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von seiner Temperatur und der Teilchenanzahl ab. Druck und Volumen beeinflussen sie nicht.

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Innere Energie des idealen Gases: \(U=n \frac 3 2 R T\) (Gl.3a)

Daraus ergibt sich unmittelbar auch die

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Änderung der inneren Energie bei einer Temperaturänderung: \(\Delta U=n \frac 3 2 R~ \Delta T\) (Gl.3b)

Wärmekapazität

Die molare Wärmekapazität c gibt an, welche Wärme Q einem Mol einer Substanz zugeführt werden muss, um ihre Temperatur T um 1 K zu erhöhen. Für die molare Wärmekapazität gilt

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Molare Wärmekapazität: \(Q=n\; c\; \Delta T\) mit \([c]={\rm J/(mol\cdot K)}\) mit n Anzahl der Mole (Gl.4)

Beim idealen Gas ist die Temperaturänderung davon äbhängig, ob eine Zustandgröße konstant gehalten wird. Bei konstant gehaltenem Volumen nennt man die Wärmekapazität cV und die Temperaturerhöhung ist größer als bei oder konstant gehaltenen Druck. Dann nennt man die Wärmekapazität cP. Wird das Volumen konstant gehalten, muss das Gas keine Arbeit zur Ausdehnung verrichten. Die gesamte Wärme geht in die Temparaturänderung und entspricht der Änderung der inneren Energie \(\Delta U = Q = n\; \frac 3 2 R\; \Delta T\) . Vergleich mit Gl.(4) ergibt die

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Wärmekapazität bei konstantem Volumen \(c_V = \frac 3 2 R\) (Gl.5a)

Wenn dagegen der Druck p konstant gehalten wird, dann muss die Wärme auch die Ausdehnungsarbeit \(W=p~\Delta V\) ersetzen. Um die gleiche Temperaturänderung zu erwirken, wird nun mehr Wärme \(Q=n c_V ~\Delta T+ p~\Delta V\) benötigt. Ersetzt man mittels der idealen Gasgleichung \( p~\Delta V= n R ~\Delta T\) so ergibt sich \(Q=n c_V ~\Delta T+ n R ~\Delta T=n (c_V+R)~\Delta T\) und folglich die

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Wärmekapazität bei konstantem Druck \(c_P=c_V +R = \frac 3 2 R + R= \frac 5 2 R\) (Gl.5a)


Beispiel 2: Temperaturänderung eines idealen Gases

Einem Mol eines idealen Gases wird die Wärme Q = 10 J zugefürht. Wie ändert sich seine Temperatur T a) bei konstantem Volumen, b) bei konstantem Druck?

a) Nach Gl. 4 ist die Temperaturänderung \(\Delta T = \dfrac Q {n c_V} =\dfrac {2 Q}{ 3 n R}\). Einsetzen der Zahlen liefert ΔT = 0,80 K.

b) Nach Gl. 4 ist die Temperaturänderung \(\Delta T = \dfrac Q {n c_p} =\dfrac {2 Q}{ 5 n R}\). Einsetzen der Zahlen liefert ΔT = 0,48 K.


Grenzen des Modells

Die ideale Gasgleichung ist auch für reale Gase unter geringem Druck eine gute Näherung. Bei hohen Drücken bzw. großen Dichten muss jedoch statt dessen die reale Gasgleichung herangezogen werden, die auch Anziehungskräfte zwischen den Teilchen und ein Eigenvolumen der Teilchen berücksichtigt. Damit lassen sich auch Phasenübergänge beschreiben.