Gleichförmig beschleunigte Bewegung

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Gleichförmig beschleunigte Bewegung

Unter einer gleichförmig beschleunigten Bewegung versteht man den Sonderfall einer Bewegung mit einer konstanten (=gleichförmigen) Beschleunigung. Wenn die Beschleunigung eine Konstante ist, dann sind die Geschwindigkeit-Zeit-Kurven stets Geraden und die Ort-Zeit-Kurven sind stets Parabeln. Beispiele sind der freie Fall (als wichtigstes Beispiel), die Beschleunigung eines Autos mit konstanter Antriebskraft, alle Bewegungen aufgrund der Gewichtskraft mit und ohne Reibungskraft (wie auf einer schiefen Ebene) und die Bewegung einer elektrischen Ladung in einem homogenen elektrischen Feld. Für diesen Spezialfall lassen sich somit aus den allgemeinen differentiellen Zusammenhängen für Ort x, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a konkrete Formeln für x(t) und v(t) bestimmen. Darin sind x0 und v0 der Ort und die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0.

Allgmeine Beschreibung für jede Bewegung mit konstanter Beschleunigung a

Zeitabhängigkeit Zeiten Nullstellen gegenseitig
$\begin{align}x(t) & =x_0+v_0 t+\frac 1 2 a t^2\\v(t) & =v_0+a t\\a(t) & =a=\mathit{konst.}\end{align}$ $\begin{align}t_{1,2}(x) & =-\frac {v_0} a \pm \sqrt{\frac{{v_0}^2}{a^2}-2 \frac{x_0-x}{a}}\\t(v) & =\frac {v-v_0}{a}\\&keine\end{align}$ $\begin{align}t_{1,2}^{x=0} & =-\frac {v_0} a \pm \sqrt{\frac{{v_0}^2}{a^2}-2 \frac{x_0}{a}}\\t^{v=0} & =-\frac {v_0}{a}\\&keine\end{align}$ $\begin{align}x(v) & =x_0+v_0(\frac {v-v_0}{a})+ \frac 12 a (\frac {v-v_0}{a})^2 \\v_{1,2}(x) & =\pm\sqrt{v_0^2+2a(x-x_0)}\\a & = konst.\end{align}$

Umkehrpunkt: Wenn v0 und a das gleiche Vorzeichen haben, wird v nie null, d. h. die Bewegungsrichtung kehrt nie um. Wenn dagegen v0 und a entgegengesetzte Vorzeichen haben, erfolgt eine Umkehr bei $x_u=x(v=0)= x_0-\frac 1 2 \frac {v_0^2} a$.

Beispiele
Ein Auto, das mit konstanter Beschleunigung anfährt oder bremst, führt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung aus. Bremsweg s eines Autos mit a = -aBrems und den Aanfangswerten v0 > 0 sowie x0=0:

$s = - \frac 12 \frac{v_0^2} {-a_{Brems}}=\frac 12 \frac{v_0^2} {a_{Brems}}$

Der freie Fall und der senkrechte Wurf sind eine gleichförmig beschleunigte Bewegung, weil die Beschleunigung die konstante Erdbeschleunigung ist: a = -g. Wurfhöhe h eines Balls mit a = -g und den Abwurfwerten v0 >0 sowie x0=0:

$h = - \frac 12 \frac{v_0^2} {-g}=\frac 12 \frac{v_0^2} {g}$

Kurven in Mathematica-Animation

Klicke auf das Bild zum Starten der Animation. Zum Öffnen der Animation ist der kostenlose Wolfram-CDF-Player erforderlich. (Hilfe zur Installation)

Für negative Beschleunigungen ergibt sich für x eine nach unten geöffnete Parabel, für v eine abfallende Gerade und für a eine negative Konstante. Für positive Beschleunigungen ergibt sich für x eine nach oben geöffnete Parabel, für v eine ansteigende Gerade und für a eine positive Konstante. Verschiebe die Regler für x0, v0 und a und vergleiche die Veränderung der Kurven.

Selbsttest

Multiple Choice

Verständnisfrage 3: Eine Kugel wird an ein Gummiband gehängt. Wenn die Kugel nach unten gezogen wird, dehnt sich das Gummiband. Sobald die Kugel losgelassen wird, zieht sich das Gummi wieder zusammen und beschleunigt die Kugel nach oben. Dabei nimmt die Beschleunigung mit der Höhe ab. Kann die Bewegung der Kugel während der Aufwärtsbewegung als gleichförmig beschleunigte Bewegung aufgefasst und mit den Formeln dieses Artikels berechnet werden?
Nein, denn die Beschleunigung ist nicht konstant, sondern nimmt mit der Höhe ab. Es ist keine gleichförmig beschleunigte Bewegung.


Herleitungen

Zeitabhängigkeit

Beschleunigung ist Konstante: $a=\frac{dv}{dt}={konst.}\Rightarrow {dv}=a\,{dt}$ (Bewegungsgleichung $\ddot x=a$ bzw. $d\dot x = a\, dt$)

1. Integration liefert Geschwindigkeit: $\int _{v_0}^v {dv'}=\int _0^t a \,{dt'} \Rightarrow \ [v']_{v_0}^v=[{at'}]_0^t \Rightarrow v-v_0={at} \Rightarrow v=v_0+{at}$

2. Integration liefert Ort: $\int _{x_0}^x {dx'}=\int_0^t (v_0+at') {dt'} \Rightarrow\ [x']_{x_0}^x=[v_0 t'+\frac 1 2 {at'}^2]_0^t\Rightarrow x-x_0=v_0t+\frac 1 2 at^2 \Rightarrow x=x_0+v_0t+\frac 1 2 at^2$

Zeiten

Auflösen von x(t) bzw. v(t) nach t:

  • von x: $x=x_0+v_0 t+\frac 1 2 a t^2\; \Rightarrow 0=x_0-x+v_0 t+\frac 12 a t^2\; \Rightarrow 0=2 \frac{x_0-x}{a} + 2 \frac{v_0}{a} t+t^2$. Darauf pq-Formel anwenden.
  • von v: $v=v_0+at=0\; \Rightarrow \ v-v_0=at\ \Rightarrow \ t=\frac{v-v_0}a$

Nullstellen

  • In den Formeln für t(x) bzw. t(v) jeweils x bzw. v gleich Null setzen.

gegenseitige Abhängigkeiten

  • x(v): In der Formel von x(t) die Zeit t durch t(v) ersetzen.
  • v(x): t(v) in x(t) einsetzen: $x-x_0=\frac{v_0(v-v_0)}a+\frac 1 2\frac{(v-v_0)^2} a$. Mit 2a multiplizieren: $2a(x-x_0)=2 v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2$. Ausmultiplizieren ergibt $2a(x-x_0)=2 v_0 v-2 v_0^2+v^2-2 v_0 v + v_0^2=v^2-v_0^2\Rightarrow v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$.

Sonderfall a = 0

Wenn a = 0 ist, ergibt sich als Sonderfall der gleichförmig beschleunigten Bewegung die gleichförmige Bewegung.