Elektrische Felder berechnen

Physikalischer Kontext

Elektrische Felder von ruhenden Ladungen und Ladungsverteilungen sind von der Form des geladenen Körpers abhängig. Sowohl die Richtungen als auch die Abstandsabhängigkeiten der Feldstärken ändern sich entscheidend. So ist das Feld einer (positiven) Punktladung stets radial von ihr weggerichtet und nimmt quadratisch mit dem Abstand ab. Dagegen ist das Feld einer unendlich großen Platte stets senkrecht zur Platte gerichtet und nimmt überhaupt nicht mehr mit dem Abstand ab, sondern bleibt überall im Raum konstant. Natürlich gibt es keine unendlich großen Platten, doch benimmt sich ein elektrisches Feld nahe der Oberfläche einen Platte so wie das einer unendlich großen. Daher ist es nützlich, auch unendliche lange oder breite Körper zu betrachten. Der Vorteil dieser Körper ist, dass Berechnungen für sie viel einfacher sind. Denn komplizierte Felder ergeben sich hautsächlich an Rändern, Ecken und Kanten von Körpern. Diese Randeffekte sind jedoch selten von Interesse. Wir betrachten jetzt die Felder von geraden und gebogenen Linien, von Kugeln und von Platten. Durch Superposition dieser Felder lassen sich dann Felder von Körpern berechnen, die aus solchen Objekten zusammengesetzt sind.

Methoden

Zur Berechnung der Felder gibt es drei wesentliche Methoden:

1. Superposition der Felder von Punktladungen oder Ladungsverteilungen
2. Anwendung des Gaußschen Satzes
3. Brechnung als Gradient des elektrischen Potenzial

Kontinuierliche Ladungsverteilungen

Unabzählbar viele Punktladungen sind nicht geeignet, um die elektrischen Felder von nicht punktförmigen Körpern zu beschreiben. Dann betrachten wir Körper mit kontinuierlichen Ladungesverteilungen. Um eine solche Ladungsverteilung anzugeben, können wir wie bei der Masse eine Dichte angeben. Statt der Massendichte (Masse pro Volumen) geben wir nun die Raumladungsdichte ρ (Ladung pro Volumen) an. Zusätzlich ist es in der Elektrostatik nützlich, auch eine Flächenladungsdichte σ (Ladung pro Fläche) und eine Linienladungsdichte λ (Ladung pro Länge) einzuführen. Die Symbole ρ, σ und λ für diese drei unterschiedlichen Ladungsdichten sind weit verbreitet. Die Linienladungsdichte ist passend für Linien, Drähte und Stäbe, die Flächenladungsdichte für Platten und Oberflächen und die Raumladungsdichte für homogen geladene Körper. Die Definitionen sind

Linienladungsdichte: \(\lambda =\frac {dQ} {dL}\), worin L eine Länge ist, mit der Einheit \([\lambda]=\frac{\text{ C} }{\text{ m} }\)

(Gl.1a)

Flächenladungsdichte: \(\sigma =\frac {dQ}{dA}\), worin A eine Fläche ist, mit der Einheit \([\sigma]=\frac{\text{ C} }{\text{ m²} }\)

(Gl.1b)

Raumladungsdichte: \(\rho =\frac {dQ}{dV}\), worin V ein Volumen ist, mit der Einheit \([\rho]=\frac{\text{ C} }{\text{ m³} }\)

(Gl.1c)

Damit können wir jede beliebige kontinuierlich Ladungsverteilung angeben. Man kann sie auch ineinander umrechnen.

Beispiel 1: Umrechnung von Ladungsdichten

Ein homogen geladener Stab mit der Raumladungsdichte ρ und der Querschnittsfläche A hat die Linienladungsdichte \(\lambda= \rho A\).
Eine homogen geladene Platte mit der Raumladungsdichte ρ und der Dicke d hat die Flächenladungsdichte \(\sigma= \rho d\).

Ein dünner Kreisring mit der Flächenladungsdichte σ und der Ringbreite ΔR hat die Linienladungsdichte \(\lambda= \sigma \Delta R\).

Berechnung durch Superposition

Die Methode der Superposition ist die universellste und geht immer, gegebenenfalls nur numerisch. Die Superposition der Felder einzelner Punktladungen wurde bereits beim elektrischen Feld gezeigt. Hier konzentrieren wir uns auf kontinuierliche Ladungsverteilungen.

Felder kontinuierlicher Ladungsverteilungen

Der kleinste Basisbaustein ist das Feld einer Punktladung, nun jedoch differentiell als "Häppchen" einer kontinuierlichen Verteilung ausgedrückt.

Das elektrische Feld einer differentiellen Punktladung dQ: \( d\vec {E}(\vec r)=\dfrac {1} {4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac {dQ}{|\vec r-\vec r_Q|^{2}}\cdot \dfrac {\vec r-\vec r_Q}{|\vec r-\vec r_Q|}\)

(Gl.2)

Das Feld selbst erhalten wir dann aus

Das elektrische Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ, σ oder λ: \( \vec {E}(\vec r)=\int\limits_Q d\vec {E}=\int\limits_Q \dfrac {1} {4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac {dQ}{|\vec r-\vec r_Q|^{2}}\cdot \dfrac {\vec r-\vec r_Q}{|\vec r-\vec r_Q|}\) mit \(dQ=\rho dV\), \(dQ=\sigma dA\) oder \(dQ=\lambda dL\).

(Gl.3)

Die Integrale über dQ werden somit in Volumen-, Flächen- oder Linienintegrale überführt. Natürlich ist es auch möglich, dass \(d\vec E(\vec r)\) nicht das Feld einer Punktladung wie in Gl.2 ist, sondern ein anderes Feld einer anderen Ladungsverteilung. Dann muss in Gl.3 der zugehörige Ausdruck für \(d\vec E\) eingesetzt werden. Am besten versteht man das Vorgehen anhand von Rechenbeispielen.

Abb.B1

Beispiel 1: Feld eines geladenen Kreisringes auf der Achse durch den Mittelpunkt

Abb.B1 zeigt einen geladenen Kreisring mit dem Radius R. Er trägt eine Linienladungsdichte λ. Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die z-Achse die Achse durch den Mittelpunkt des Kreises senkrecht zur Kreisfläche bildet. Es soll ein Ausdruck für das elektrische Feld für Orte auf der z-Achse gefunden werden. Wir haben es mit einer Linienladungsdichte zu tun, deshalb ist ein Ladungsdifferential \(dQ=\lambda dL\) und ist eine Punktladung. Aufgrund der Kreisform sollte das Liniendifferential in Polarkoordinaten beschrieben werden, d.h. \(dL=R d\varphi\). Um über den gesamten Kreisring zu intergrieren, muss \(dQ=\lambda R d\varphi\) gesetzt werden und φ von 0 bis 2π laufen.
Als nächstes müssen Ausdrücke für die Ortsvektoren bestimmt werden:
Ort des Feldes: \(\vec r=\left(\matrix{0\\0\\z}\right)\) mit \(|\vec r|=|z|\), Ort des Ladungsdifferentials: \(\vec r_Q=\left(\matrix{R\cos(\varphi)\\R\sin(\varphi)\\0}\right)\) mit \(|\vec r_Q|=R\)
Die letzte Gleichung ergibt sich durch scharfes Hinsehen oder aus dem trigonometrischen Pythagoras. Damit erhalten wir den Abstandsvektor (blau in Abb.B1)
\(\vec r-\vec r_Q=\left(\matrix{0\\0\\z}\right) - \left(\matrix{R\cos(\varphi)\\R\sin(\varphi)\\0}\right)=\left(\matrix{-R\cos(\varphi)\\-R\sin(\varphi)\\z}\right)\) mit dem Betrag \(|\vec r-\vec r_Q|=\sqrt{z^2+R^2}\).
Das durch dQ erzeugte Felddifferential \(d\vec E\) hat die Richtung des Abstandsvektors und ist \( d\vec E(z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda R}{(\sqrt{z^2+R^2})^2}d\varphi \cdot\underbrace{\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}} \left(\matrix{-R\cos(\varphi)\\-R\sin(\varphi)\\z}\right)}_{\text{Einheitsvektor}}\). Der Einheitvektor ist der des Abstandsvektors.
Ein Blick auf die Symmetrie der Ladungsverteilung zeigt, dass es für jedes dQ auch ein dQ′ gibt, das genau gegenüberliegt (unter 180° auf dem Ring). Dessen Feld \(d\vec E'\) ist die Spiegelung von \(d\vec E\) an der z-Achse. Daher heben sich alle Feldkomponenten senkrecht zu z-Achse auf und es kann nur ein Feld parallel zur z-Achse verbleiben. Für die z-Komponente von \(d\vec E\) ergibt die Geometrie \(dE_z=dE\cdot\cos(\theta)\) und weil \(\cos(\theta)=\dfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\) ergibt sich abschließend \(d\vec E_z=dE \cdot\dfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\).
Das alles wird nun in Gl.3 eingesetzt und ergibt für die z-Komponente von \(\vec E\) den skalaren Ausdruck \( E_z(z)=\int\limits_0^{2\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda R z}{(\sqrt{z^2+R^2})^3} d\varphi \). Die Integration ergibt nur den Faktor 2π, da der Integrand nicht von φ abhängt. Das Ergebnis ist deshalb \( E_z(z)=\frac{1}{2\epsilon_0}\dfrac{\lambda R z}{(\sqrt{z^2+R^2})^3} \). Die Gesamtladung des Kreisringes ist \(Q=2\pi R\lambda\). Damit schreibt sich das Ergebnis als \( E_z(z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Qz}{(\sqrt{z^2+R^2})^3} \) bzw, vektoriell \( \vec E(z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Qz}{(\sqrt{z^2+R^2})^3} \hat z\).

Das Feld hat die interessante Eigenschaft, dass es erst bis zu einem Maximum bei \(z_{max}=R/\sqrt 2\) ansteigt, um dann kontinuierlich zu fallen. Bei 2R ist es bereits nur noch halb so groß wie bei R/2. Der Anstieg kommt daher, dass die z-Komponente von \(\vec E\) kontinuierlich mit \(\cos \theta\) anwächst. Gleichzeitig sinkt aber auch die Feldstärke \(E(z)\) mit annähernd 1/z². Dieser Abfall überwiegt den Anstieg schon nach kurzem Abstand und \(z_{max}\) findet man durch Nullsetzen der Ableitung von \(E_z(z)\).

Abb.B2

Beispiel 2: Feld einer geladenen kreisförmigen Platte auf der Achse durch den Mittelpunkt

Abb.B2 zeigt eine geladene kreisförmige Platte mit dem Radius R. Sie trägt eine Flächenladungsdichte λ. Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die z-Achse die Achse durch den Mittelpunkt des Platte senkrecht zur Kreisfläche bildet. Es soll ein Ausdruck für das elektrische Feld für Orte auf der z-Achse gefunden werden. Wir haben es mit einer Flächenladungsdichte zu tun, deshalb ist ein Ladungsdifferential \(dQ=\sigma dA\). Nun können wir als dQ die Ladung eines Kreisringes mit dem Radius R_Q wählen, denn dessen Feld kennen wir bereits. Als differentielle Fläche wählen wir einen Kreisring mit Radius R_Q und Breite dR_Q, d.h. \(dA=2\pi R_Q dR_Q\) (Länge \(2\pi R_Q\) mal Breite dR_Q). Das ergibt für das Ladungsdifferential \(dQ=\sigma 2\pi R_Q dR_Q\). Wenn wir im Endergebnis von Beispiel 1 die Variable R durch R_Q ersetzen und den Ausdruck für dQ der Platte einsetzen, erhalten wir den passenden Ausdruck für das Felddifferential
\( dE_z(z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma 2\pi R_Q z}{(\sqrt{z^2+R_Q^2})^3} dR_Q \), der nun über die gesamte Platte, d.h. von 0 bis R integriert werden muss. So wie auch das Feld jedes Kreisrings aus Symmetriegründen nur in z-Richtung zeigen kann, kann auch das Feld der Platte nur in z-Richtung zeigen. Das zu lösende Integral lautet \( E_z=\int\limits_{0}^{R} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\sigma 2\pi R_Q z}{(\sqrt{z^2+R_Q^2})^3} dR_Q =\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\int\limits_{0}^{R}\dfrac{ R_Q}{(\sqrt{z^2+R_Q^2})^3} dR_Q \). Es hat die Form \(\int\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}=-\frac{1}{(a^2+x^2)^{1/2}}\), und kann mit der Substitution \(u=x^2+a^2\) gelöst werden. Wir erhalten damit \(E_z(z)=\dfrac{\sigma z}{2\epsilon_0}\left[-\dfrac{1}{\sqrt{z^2+R_Q^2}} \right]_0^R=\dfrac{\sigma z}{2\epsilon_0}\left(\dfrac 1{|z|}-\dfrac{1}{\sqrt{z^2+R^2}} \right) =\text{sgn}(z)\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left( 1-\dfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2} } \right)\) bzw. vektoriell \(\vec E(z)=\text{sgn}(z)\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left( 1-\dfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2} } \right)\hat z\).

Die Vorzeichenfunktion \(\text{sgn}(z)=\frac{z}{|z|}\) bewirkt, dass das Feld positiv ist (nach +z zeigt), wenn z positiv ist, andernfalls zeigt es nach −z und ist negativ. Das Feld enthält einen konstanten und einen radiusabhängigen Anteil. Für \(R\to\infty\) verschwindet der radiusabhängige Anteil und das Feld wird konstant mit dem Betrag \(E_{Platte}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\). Es lohnt sich, dieses wichtige Ergebnis im Kopf zu haben!

Diese beiden besonders einfachen Beispiel sollen zeigen, dass die Berechnungen von Feldern durch Superposition quasi immer möglich sind, jedoch auch recht aufwendig sein können. Wesentlich einfacher geht es in bestimmten Fällen mit den weiter unten genannten Methoden.

Felder zusammengesetzter Körper

Ebenso ist es möglich, dass die Felder zweier Teilkörper bekannt sind, aus denen sich ein Körper zusammensetzt, dessen Feld wir bestimmen wollen. Dann ist das resultierende Feld des zusammengestzten Körpers einfach die Vektorsumme der einzelnen Felder beider Teilkörper.

Das elektrische Feld eines zusammengesetzten Körpers: \( \vec {E}(\vec r)=\vec {E_1}(\vec r)+\vec {E_2}(\vec r)\) mit \(\vec E_1(\vec r)\) und \(\vec E_2(\vec r)\) als Felder seiner Bestandteile

(Gl.4)

Ein einfaches Beispiel für Gl.4 ist das Feld im Inneren eines Plattenkondensators.

Abb.B3 Zwei entgegengesetzt geladene Platten, die sich weit über die Abbildung hinaus erstrecken

Beispiel 3: Feld eines Plattenkondensators

Ein Plattenkondensator besteht aus zwei gleichen parallelen Platten, die entgegengesetzt gleich geladen sind. Wir nehmen an, die Platten seinen kreisförmig mit dem Radius R und der Absatnd d der Platten sei \(R\ll d\), so dass wir die Näherung aus Beispiel 2 für unendlich große Platten verwenden können. Danach ist das Feld jeder Platte annähernd konstant und hat den Betrag \(E_{Platte}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\). In dieser Näherung spielt der Abstand d für das elektrische Feld überhaupt keine Rolle, es ist für jeden Abstand das gleiche! Das ist eine wichtige Erkenntnis. Der Abstand d und der Radius R der Platten spielen erst dann eine Rolle, wenn d und R in die gleiche Größenordnung kommen. Für die positiv geladenen Platte zeigt das Feld überall von der Platte weg. Für die negativ geladene Platte zeigt es überall hin zur Platte. Die Anwesenheit der jeweils anderen Platte beeinflusst das Feld der jeweils felderzeugenden Platte in keinster Weise.
Zwischen den Platten zeigen beide Felder in die gleiche Richtung und müssen addiert werden. Das ergibt \(E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}+\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}=\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\).
Außerhalb der Platten zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen und müssen substrahiert werden. Das ergibt \(E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}=0\).

Das Resultat ist in Abb.B3 gezeigt. Außerhalb des Kondensators ist das Feld null, weil sich dort die Felder der Platten gegenseitig aufheben.

Als komplexeres Beispiel für Gl.4 schauen wir uns einen Körper mit Hohlraum an. Eine Körper mit einem Hohlraum entsteht entweder, indem man aus einem massiven Körper die Masse im Hohlraum entfernt, oder, indem man von vornherein einen Körper mit Hohlraum fertigt. Bei Ladungen ist das einfacher. Um einen "Ladungshohlraum", d.h. eine neutrales Volumen in einer positiven Ladungsverteilung zu erzeugen, kann man die positiven Ladungen entweder vollständig wegnehmen oder von Anfang an weglassen, wie bei der Masse. Man kann aber auch einfach dort, wo der "Ladungshohlraum" sein soll, die gleiche negative Ladungsmenge hinzufügen. Etwas, das eine Masse "neutralisiert", kennen wir nicht. Ladungen lassen sich einfach neutralisieren. Das macht man sich bei geladenen Köpern mit Hohlräumen zunutze. Man kann sie sich stets aus zwei Körpern zusammengesetzt denken: als vollständig geladener Körper ohne Hohlraum plus einem Körper in der Form des Hohlraums mit entgegengesetzt gleicher Ladung. Die Masse eines Körpers ist für die elektrischen Felder unbedeutend. Auch dazu ein Beispiel:

Abb.B4

Beispiel 4: Plastikball mit Blase

Abb.B4 zeigt den Querschnitt durch einen Ball mit Radius R, in dem eine leere kugel­förmige Blase mit dem Radius a vorhanden ist (wie in einem Käse). Der Mittelpunkt der Blase ist um \(\vec s\) gegen den Mittelpunkt des Balls versetzt. Das Material des Balls ist homogen mit der positiven Raumladungsdichte ρ₀ geladenen. Berechne das elektrische Feld a) außerhalb des Balls,
b) innerhalb des Balls, jedoch außerhalb der Blase,
c) innerhalb der Blase.
Um diese Aufgabe zu lösen, benötigen wir die elektrischen Felder homogen geladener Kugeln in ihrer Umgebung (d.h. außerhalb der Kugel) als auch in ihrem Inneren. Die Felder lassen sich einfach mit dem Satz von Gauß berechen und sind unter der Bedingung, dass der Koordinatenursprung im Mittelpunkt der Kugel liegt

• Feld A außerhalb einer Kugel: \( \vec E_A(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat r\)
  
• Feld I innerhalb einer Kugel: \( \vec E_I(\vec r)=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\vec r \)
  

Wir fassen nun sowohl den Ball als auch die Blase als massive Kugeln ohne Hohlraum auf, wobei der Ball überall (d.h. auch in der Blase) die positive Raumladungsdichte ρ₀ hat und die Blase komplett mit der negativen Raumladungsdichte −ρ₀ gefüllt ist.
Bevor wir weitermachen, ist es sinnvoll, Feld A ebenfalls über die Raumladungsdichte auszudrücken. Das Volumen einer Kugel ist \(V_{K}=\frac 43\pi R^3\), somit ergibt die Ladung Q der Kugel die Raumladungsdichte \(\rho=\frac {3Q}{4\pi R^3}\). Setzt man das in \(\vec E_A\), ergibt sich \( \vec E_A(\vec r)=\frac{\rho}{3\epsilon_0}\frac{ R^2}{r^2}\hat r\).
Für a) befinden wir uns außerhalb des Balls und außerhalb der Blase. Wir müssen daher Feld A für Ball und Blase addieren. Bei der Blase liegt jedoch der Koordinatenursprung nicht im Mittelpunkt. Um das zu berücksichtigen, müssen wir für die Blase \(\vec r\) durch \(\vec r-\vec s\) ersetzen. Das ergibt das Feld \( \vec E_a(\vec r)=\underbrace{\frac{\rho_0}{3\epsilon_0}\dfrac{ R^2}{r^2}\hat r}_{\text{Ball außen}}+\underbrace{\frac{(-\rho_0)}{3\epsilon_0}\dfrac{ a^2}{|\vec r-\vec s|^2}\frac{\vec r-\vec s}{|\vec r-\vec s|}}_{\text{Blase außen}}=\frac{\rho_0}{3\epsilon_0}\left(\dfrac{ R^2}{r^2}\hat r-\dfrac{ a^2}{|\vec r-\vec s|^2}\frac{\vec r-\vec s}{|\vec r-\vec s|}\right)\).
Für b) befinden wir uns innerhalb des Balls und außerhalb der Blase. Wir müssen daher Feld I für den Ball und Feld A für Blase addieren. Das ergibt das Feld \( \vec E_b(\vec r)=\underbrace{\frac{\rho_0}{3\epsilon_0}\vec r}_{\text{Ball innen}}+\underbrace{\frac{(-\rho_0)}{3\epsilon_0}\dfrac{ a^2}{|\vec r-\vec s|^2}\frac{\vec r-\vec s}{|\vec r-\vec s|}}_{\text{Blase außen}}=\frac{\rho_0}{3\epsilon_0}\left(\vec r-\dfrac{ a^2}{|\vec r-\vec s|^2}\frac{\vec r-\vec s}{|\vec r-\vec s|}\right)\).
Für c) befinden wir uns innerhalb des Balls und innerhalb der Blase. Wir müssen daher Feld I für den Ball und Feld I für Blase addieren. Das ergibt das Feld

\( \vec E_b(\vec r)=\underbrace{\frac{\rho_0}{3\epsilon_0}\vec r}_{\text{Ball innen}}+\underbrace{\frac{(-\rho_0)}{3\epsilon_0}(\vec r-\vec s)}_{\text{Blase innen}}=\frac{\rho_0}{3\epsilon_0}\vec s\).

Auf diese Art kann man die Felder geschlitzter Kugeln oder Zylinder und auch von Zylindern mit Löchern und Sieben etc. berechen. Die Methode ist sehr nützlich.

Berechnungen mit dem Satz von Gauß

Der Satz von Gauß \( \oint\limits_A \vec E(\vec r) \cdot d \vec{A} = \dfrac{q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} \) liefert eine besonders einfach Methode zur Feldberechnung, wenn die Ladungsverteilungen sehr symmetrisch sind. Er ermöglicht eine einfache Berechnung des Feldes, wenn die Feldrichtung durch die Symmetrie klar ist und nur der Betrag E(r) bestimmt werden muss. Das ist für Kugeln, Zylinder sowie für Platten der Fall. Bei der Anwendung des Satzes von Gauß muss man sich fiktive Volumina V überlegen, deren Oberflächen dann als Gaußflächen A bezeichnet werden. Damit kann das Feld auf den Oberflächen der Volumina berechnet werden. Der Satz von Gauß wird dann besonders einfach, wenn die Gaußflächen A so gewählt werden, dass das elektrische Feld auf der ganzen Fläche oder auf Teilflächen senkrecht steht und konstant ist und ansonsten parallel zur Fläche ist. Das bewirkt, dass der elektrische Fluss \( \oint\limits_A \vec E(\vec r) \cdot d \vec{A} \) auf der ganzen Fläche oder auf Teilflächen konstant und ansonsten null ist. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Gaußfläche die gleiche Symmetrie bzw. Gestalt wie die Ladungsverteilung hat und die Mittelpunkte des von der Gaußfläche umschlossenen Volumens und der Ladungsverteilung übereinstimmen (Kugel mittig zu kugelförmiger Gaußfläche, Zylinder mittig zu zylinderförmige Gaußfläche, Platte mittig zu plattenförmiger Gaußfläche usw.). Denn wenn \(\vec E\) senkrecht auf der Fläche steht, wird das Skalarprodukt zum Produkt der Beträge. Wenn dann noch \(E(\vec r)=konst.\) ist, kann es aus dem Integral herausgezogen werden und das verbleibende Integral ergibt einfach den Flächeninhalt der Gaußfläche \( E(\vec r) \cdot\oint\limits_A d{A} = E(r) A=\dfrac{q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} \). Das Ergebnis kann einfach nach \(E(\vec r)\) aufgelöst werden. Der Satz von Gauß besagt dann, dass die Feldstärke E auf der Oberfläche A einfach die im Volumen V eingeschlossene Ladungsmenge q_in geteilt durch ε₀ ist.

Bei der Anwendung des Satzes von Gauß muss man eine Fallunterscheidung machen, wenn das Feld innerhalb und außerhalb eines Körpers berechnet werden soll. Die Form der Gaußfläche ist für beide Fälle gleich, doch ihre Größe muss unterschiedlich gewählt werden. Im Artikel Satz von Gauß, der hier vorausgesetzt wird, ist bereits das Feld einer homogen geladenen Kugel innerhalb der Kugel und in ihrer Umgebung berechnet worden. Hier schauen wir uns als weiteres Beispiel an, wie damit das Feld einer Platte berechnet werden kann. Eine Berechnung mit dem Satz von Gauß beinhaltet in der Regel folgende Schritte:

1. Wahl der Gestalt der Gaußfläche und Angabe ihrer Größenparameter
2. Fallunterscheidung treffen

   Fall A

   a) Größe der wirksamen Gaußfläche A für den betrachteten Fall angeben

   b) Die in die Gaußfläche eingeschlosse Ladung q_in angeben

   c) E aus A und q_in berechnen

   Fall B

   Schritte a) bis c) für Fall B widerholen usw.

Die wirksame Gaußfläche ist der Bereich, in dem der elektrische Fluss nicht null ist.

Abb.B5

Beispiel 5: Feld einer Platte mit dem Satz von Gauß

Abb.B4 zeigt den zentralen Ausschnitt einer unendlich große ebene Platte der Dicke d. Die Platte trägt eine homo­gene Raumladungsdichte ρ₀. Der Mittel­punkt der Platte liegt im Ursprung des Koordi­naten­systems, die z-Achse steht senkrecht auf der Platte, die Platte selbst liegt zentriert zur xy-Ebene. Wir berechnen das Feld außerhalb und innerhalb der Platte.
1. Wahl der Gestalt der Gaußfläche und Angabe ihrer Größenparameter
Wir benötigen eine "plattenförmige" Gaussfläche. Jede Gaussfläche ist geeignet, die auf jeder Seite der Platte eine parallel zur Platte liegende Stirnfläche und ansonsten nur Seitenfläcchen senkrecht zur Platte hat. Es kann ein Zylinder oder ein Quader oder ähnliches sein. Wir wählen willkürlich einen Quader mit quadratischen Stirnflächen der Kantenlänge a. Dann hat jede der zwei Stirnflächen den Flächeninhalt a². Form und Größe der Stirnflächen sind beliebig, da sich ihr Flächeninhalt am Ende herauskürzt. Die Seitenflächen haben damit die Flächeninhalte 2za. Aus Symmetriegründen muss das Feld \(\vec E\) senkrecht auf der Platte stehen. Deshalb gibt es nur einen elektrischen Fluss durch die beiden Stirnflächen und die Seitenflächen tragen nicht zum Fluss bei. Damit ist die Form der Gaußflächen festgelegt und ihre wesentlichen Parameter, die ihre Größe bestimmen, sind eingeführt.

2. Fallunterscheidung treffen

Unser erster Fall ist das Feld außen, d.h. \(z\ge\frac d2\).

a) Größe der Gaußfläche A für den betrachteten Fall angeben

In diesem Fall muss die Gaußfläche so gewählt werden, dass die Stirnflächen außerhalb der Platte liegen. Da nur die zwei Stirnflächen zum Fluss beitragen, hat die wirksame Gaußfläche die Größe \(A=2a^2\).

b) Die in die Gaußfläche eingeschlosse Ladung q_in angeben

Diese Gaußfläche ist nur teilweise mit Ladung gefüllt. Sie schneidet aus der Platte das Volumen \(V=d a^2\) heraus. In ihrem Volumen liegt die Ladungsmenge \(q_{\text{in}}=\rho_0 d a^2\).

c) E aus A und q_in berechnen

Alles zusammen ergibt \(E\cdot 2a^2=\frac{\rho_0 d a^2}{\varepsilon_0}\). Auflösen nach E liefert das Ergebnis \(E=\frac{\rho_0 d}{2\varepsilon_0}\). Weil \(rho_0 d =\sigma\) ist, ist der Ausdruck gleichbedeutend mit \(E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\).

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Unser zweiter Fall ist das Feld innen, d.h. \(z\ge\frac d2\).

a) Größe der Gaußfläche A für den betrachteten Fall angeben

In diesem Fall muss die Gaußfläche so gewählt werden, dass die Stirnflächen innerhalb der Platte liegen. Da nur die zwei Stirnflächen zum Fluss beitragen, hat die wirksame Gaußfläche wieder die Größe \(A=2a^2\).

b) Die in die Gaußfläche eingeschlosse Ladung q_in angeben

Diese Gaußfläche ist vollständig mit Ladung gefüllt. Sie schneidet aus der Platte das Volumen \(V=2z a^2\) heraus. In ihrem Volumen liegt die Ladungsmenge \(q_{\text{in}}=\rho_0 2z a^2\).

c) E aus A und q_in berechnen

Alles zusammen ergibt \(E\cdot 2a^2=\frac{\rho_0 2z a^2}{\varepsilon_0}\). Auflösen nach E liefert das Ergebnis \(E=\dfrac{\rho_0 }{\varepsilon_0}z\). Weil \(\rho_0 d =\sigma\) ist, ist der Ausdruck gleichbedeutend mit \(E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0 d}z\).

Berechnungen aus dem elektrischen Potenzial

Aus der Mechanik ist der Zusammenhang \(\vec F=-\nabla E_{pot}\) bekannt. Eine konservative Kraft ist der negative Gradient einer potenziellen Energie. Auch die Columb-Kraft ist konservativ. Wenn \(\vec F\) die Coulomb-Kraft ist, und wir die Gleichung durch q teilen, ergibt sich wegen \(\vec E=\frac{\vec F}{q}\) und \(\phi=\frac{E_{pot}}{q}\) unmittelbar \(\vec E=-\nabla \phi\). Darin ist \(\vec E\) das elektrische Feld und \(\phi\) das elektrische Potenzial. Dieser Zusammenhang ermöglicht eine recht einfache Berechnung elektrische Felder, wenn das Potenzial einer Ladungsanordnung bekannt ist. Potenziale lassen sich einfacher berechen, da das Potenzial eine skalare Größe ist.

Beispiel 6: Berechnung des elektrischen Feldes innerhalb eines Stabes

Das Potenzial innerhalb eines homogen geladenen Stabes ist \(\phi(\vec r)=\phi_0-\dfrac{\rho} {4\epsilon_0} r^2\). Darin ist \(\phi_0\) eine Konstante. Zur Feldbrechnung bilden wir den negativen Gradienten: \(\vec E(\vec r)=-\nabla\left(\phi_0-\dfrac{\rho} {4\epsilon_0} r^2\right)=-\left(-\dfrac{\rho} {4\epsilon_0}\right)(2r)=\dfrac{\rho}{2\epsilon_0}\vec r\).

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Nebenrechnungen: Die partielle Ableitung nach x ist \(\frac{\partial}{\partial x}r^2=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+ z^2) =2x\), die nach y und z ergeben sich analog.

Beispiel 7: Berechnung des elektrischen Feldes eines Dipols

Das Potenzial eines Dipols ist für große Abstände: $\phi(\vec r)=k\left(\dfrac{\vec p\cdot\vec r}{r^3}\right)$ mit $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$. Zur Feldbrechnung bilden wir den Gradienten, wobei wir die Produktregel anwenden müssen: \(\nabla\dfrac{\vec p\cdot\vec r}{r^3}=\dfrac{1}{r^3}\nabla(\vec p\cdot\vec r)+(\vec p\cdot\vec r)\nabla\dfrac{1}{r^3}=\dfrac{\vec p}{r^3} +(\vec p\cdot\vec r)(-3\dfrac{\vec r}{r^5})=-3(\vec p\cdot\vec r)\left(\dfrac{\vec r}{r^5}\right)+\dfrac{\vec p}{r^3}\). Das Feld ist das Negative davon mal \(k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\), also \(\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(3(\vec p\cdot\vec r)\left(\dfrac{\vec r}{r^5}\right)-\dfrac{\vec p}{r^3}\right)\).

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Nebenrechnungen: Die partiellen Ableitungen sind z.B. \(\frac{\partial}{\partial x}(\vec p\cdot\vec r)=\frac{\partial}{\partial x}(p_x x+p_y y+ p_z z) =p_x\)

und \(\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{r^3}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}=2x(-3/2)(x^2+y^2+z^2)^{-5/2}=-3x\frac{1}{r^5}\) und ergeben sich analog für y und z.

Ergebnisse und Systematik

Abb.1 Abstandabhängigkeiten elektrischer Felder

Wenn man die elektrischen Felder verschiedenster Objekte berechnet, lässt sich eine einfache Systematik der Abstandsabhängigkeiten feststellen. Ausgehend von der Punktladung, bei der das Feld proportional zu 1/r² abnimmt, müssen wir für jede Dimension, die hinzukommt, +1 zum Exponenten hinzufügen (1/r² = r^-2 und r^-2+1 = r^-1 = 1/r). Das bedeutet, das Feld nimmt langsamer ab. Das liegt daran, dass nun zum Feld einer Punktladung die Felder benachbarter Punktladungen hinzukommen. Innerhalb eines homogen geladenen Körpers nimmt das Feld dann sogar proportional zum Abstand r vom Mittelpunkt zu. Bei einem symmetrischen Körper ist das einfach zu verstehen. Im Mittelpunkt kompensieren sich die Felder aller Ladungen. Entfernt man sich vom Mittelpunkt, bleibt ein zunehmendes resultierendes Feld über. Die gleiche Systematik gilt natürlich auch für die Potenziale, wobei diese verglichen mit dem Feld immer einen um 1 größeren Exponenten haben. Das muss so sein, denn Feld und Potenzial sind über Ableitung bzw. Integration miteinander verknüpft. Es ist nützlich, diese Abstandabhängigkeiten zu kennen. Damit kann man Ergebnisse auf Plausibilität prüfen. Für Körper mit endlichen Abmessungen können natürlich Feldanteile mit anderen Abstandabhängigkeiten hinzukommen, die dominierende Abhängigkeit folgt jedoch der genannten Systematik.