Elastische Körper

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Physikalischer Kontext

Bisher haben wir als Modellvorstellung für reale Körper den Massepunkt und den starren Körper kennengelernt. Beide Modelle sind Idealisierungen, die oft, aber nicht immer anwendbar sind. Wann sind sie nicht anwendbar? 1. Wenn die Deformation eines Körpers aufgrund von Kräften nicht mehr vernachlässigbar ist oder wir uns gerade dafür interessieren. Dann benötigen wir das Modell des elastischen Körpers. 2. Wenn wir Objekte wie Gase, Dämpfe oder Flüssigkeiten beschreiben wollen. Dann benötigen wir eines der Modelle für Fluide. Können wir die bisher gelernten Methoden und Konzepte auf diese neuen Körpermodelle weiterhin anwenden? Die Antwort ist: Natürlich! Die Physik ist modular aufgebaut, ihre grundlegenden Methoden und Konzepte sind auf alle Modelle für Teilchen und Körper anwendbar. Wir können und werden sie - angepasst an die neuen Modelle - mit Hilfe der neuen Größen Druck = Kraft pro Fläche und Dichte = Masse pro Volumen lediglich etwas geeigneter verpacken. Elastische Körper haben noch eine eigene Form, Fluide nehmen dagegen die Gesatlt ihres Gefäßes an. Welche mikroskopische Modellvorstellung steckt hinter diesen verschiedenen Arten von Körpern? Die Unterschiede liegen darin, wie die Teilchen des Körpers, die Atome oder Moleküle, miteinander verbunden sind und in welchem Abstand sie vorliegen. Die Kräfte, die zwischen den Materieteilchen wirken, basieren immer auf der Coulomb-Kraft. Dennoch können sie stark variieren, je nachdem, ob die Teilchen geladen oder neutral sind, ein Dipolmoment aufweisen oder mehr oder weniger stark polarisierbar sind.

Elastische Körper

Modellvorstellung für elastische Körper

Abb.1 Mikroskopische Modellvorstellun­gen starrer, elastischer und fluider Körper

Beim starren Körper symbolisieren wir die Kraft zwischen den Teilchen modellhaft durch starre Stangen. Beim elastischen Körper symbolisieren wir die Kraft zwischen den Teilchen dagegen modellhaft durch Federn. Bei einem Fluid sind die Teilchen nicht verbunden, sondern gegeneinander frei beweglich. Sie beeinflussen sich gegenseitig nur durch Stöße. In einer Flüssigkeit sind sie dicht gepackt und in einem Gas haben sie einen großen Abstand und berühren sich nur beim Stoß.

Verformungen elastischer Körper

Wenn Objekte durch äußere Kräfte nicht nur beschleunigt, sondern auch verformt werden, sind es ihre elastischen Eigenschaften, also die Eigenschaften der ihre Teilchen verbindenden Kräfte, die das Ausmaß der Deformation bestimmen. Reale Deformationen können vielfältig und unüber­sichtlich sein, wie zum Beispiel die Verformung eines Autos beim Frontalzusammenstoß mit einer Wand. Sie können dauerhaft (Beule im Auto) und reversibel (Dehnung eines Gummibandes) sein. Wir beschränken uns auf einfache reversible Deformationen und führen auch hier einfache, idealisierte Modelle ein: Jeden beliebig geformten Körper können wir uns aus (differentiell) kleinen Teilen zusammengesetzt denken, z. B. kleinen Würfeln. Wenn wir die Deformation jedes Würfels berechnen können und sie dann wieder zusammensetzen, haben wir die Deformation des gesamten Körpers. Für die Verformung eines solchen Würfels aufgrund von äußeren Kräften führen wir die einfachen Modelle

  • Dehnung,
  • Scherung und
  • Kompression

ein. Beliebig komplizierte reale Verformungen können wir so - ala „Divide et Impera“ - zumindest näherungsweise beherrschen.

Dehnung, Scherung und Kompression

Zuerst betrachten wir die Dehnung eines Köpers und ein einfaches Zugexperiment, bevor wir in die Details gehen.

Beispiel 1: Zugexperiment
Eine Feder der Länge L wird an einem Stativ aufgehängt und daran ein Gewicht der Masse m gehängt. Die Auslenkung ΔL der Feder wird gemessen. Nun wird eine zweite identische Feder daneben gehängt, und das Gewicht an beide Federn gehängt. Die Auslenkung beider Federn ist nun nur noch ΔL/2. Schließlich werden beide Federn aneinandergehängt und die untere Feder mit dem Gewicht belastet. Die gemeinsame Auslenkung beider Federn ist nun 2ΔL. Das zeigt: Bei parallelen Federn verteilt sich die Kraft auf beide Federn. Bei aneinandergehängten Federn wird die Kraft weitergeleitet.


Abb.2 Einfluss von Fläche und Länge auf die Dehnung eines Körpers

Für die quantitative Berechnung der Dehnung nehmen wir an, dass die Kräfte zwischen den Teilchen wie Federn dem Hookeschen Gesetz folgen. Das bedeutet, wenn wir die Kraft auf eine Feder verdoppeln, ver­dop­pelt sich die Aus­lenkung der Feder. Allerdings muss die makroskopische Kraft nicht nur eine, sondern viele Federn simultan auslenken. Für die Dehnung ist des­halb nicht allein die äußere Kraft ausschlaggebend, sondern auch, wie viele Federn sie nebeneinander und hinter­einander auslenken muss. Dazu betrachten wir als ein­faches Modell einen Würfel der Querschnittsfläche A und der Kantenlänge L, an dessen Stirnflächen die Kraft F angreift.

Die Anzahl der parallel ausgelenkten Federn ist abhängig von der Fläche A, an der F angreift. Verdoppeln wir bei gleichbleibender Kraft F die Fläche A und damit die Anzahl der parallelen Federn, dann wirkt auf jede Feder nur noch die halbe Kraft und die Auslenkung halbiert sich. Für die Auslenkung gilt also \(\Delta L\sim\frac{F}{A}\).

Die Anzahl der hintereinander ausgelenken Federn ist eine Frage der Länge L. Verdoppeln wir die Länge des Würfels, dann wirkt die gleiche Kraft auf doppelt so viele hintereinander­hängende Federn und die Auslenkung verdoppelt sich: \(\Delta L\sim L\cdot\frac{F}{A}\).

Abb.3 a) Dehnung, b) Scherung, c) Kompression

Diese geometrischen Effekte können wir eliminieren, indem wir die relative Längenänderung \(\frac{\Delta L}{L}\) abhängig von der Kraft pro Angriffsfläche \(\frac{F}{A}\) angeben: \(\frac{\Delta L}{L}\sim \frac{F}{A}\), denn diese Größe hängt nicht mehr von der Geometrie ab. Der Quotient \(\frac{F}{A}\) ist also proportional zur relativen Dehnung und die Proportionalitäts­konstante nennt man Elastizitätsmodul E. E ist eine Materialkonstante. Analog nennt man die Konstanten der übrigen Verformungen Module. Alle haben die Einheit N/m². Entsprechend den drei Verformungen definieren wir das Elastizitätsmodul E, das Schermodul G und das Kompressionsmodul K.

Wir unterscheiden folgende Verformungen:

Bei einer Dehnung greifen Zugkräfte ent­lang einer Achse an und verursachen eine Längenänderung ΔL entlang dieser Achse. Bei Druck- statt Zugkräften erfolg eine Stauchung:

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Dehnung oder Stauchung: \(\frac{F}{A}=E\cdot \frac{\Delta L}{L}\) mit dem Elastizitätsmodul E (Gl.1)

Bei einer Scherung greifen die Kräfte parallel zu gegenüberliegenden Flächen an und verzerren den Würfel um Δx:

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Scherung: \(\frac{F}{A}=G\cdot \frac{\Delta x}{L}\) mit dem Schermodul G (Gl.2)

Bei einer Kompression wirken allseitig Druckkräfte und bewirken eine Volumenänderung um ΔV. Bei allseitigen Zugkräften erfolgt eine Expansion:

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Kompression oder Expansion: \(p=-K\cdot \frac{\Delta V}{V}\) mit dem Kompressionsmodul K (Gl.3)

Das Schermodul wird auch Schubmodul genannt und ist in der Regel etwa ein Drittel bis halb so groß wie das Elastizitätsmodul [1].

Mechanische Spannung und Spannungstensor

Abb.4 Die Komponenten des mechanischen Spannungs­tensors

Wir haben erkannt, dass für die mecha­nische Verformungen die Kraft pro Fläche ausschlag­gebend ist. Wir führen deshalb diesen Quotient als neue Größe ein und nennen sie

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die mechanische Spannung \(s=\frac{F}{A}\) mit [s]=Pa=N/m² (Gl.4)

bzw. kurz Spannung, wenn eine Verwechslung mit der elektri­schen Spannung ausgeschlossen ist. Sie hat die selbe Einheit wie der Druck (Pascal), ist aber nicht mit ihm identisch. Die mecha­nische Spannung s ist ebenso wie der Druck p kein Vektor!

Tatsächlich ist sie ein Tensor, (dargestellt durch eine Matrix) und Gl.4 definiert eine Komponente dieser Matrix. Der Druck p ist ein Spezialfall der mechanischen Spannung s. Genau wie der Druck ist eine mechanische Spannung überall im Material vorhanden, ist also nicht auf die Oberflächen beschränkt, sondern innerhalb des gesamten Körpers wirksam. Eine Spannung wird auch erzeugt, wenn eine Kraft parallel zu einer Fläche angreift, ein Druck dagegen nicht. Der Begriff Spannung kommt aus der Kontinuumsmechanik. Darin beschreibt man die innerhalb eines Körpers wirkenden Kräfte mit Hilfe des mechanischen

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Spannungstensor \({\bf s}=\left ( \matrix{\sigma_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\cr \tau_{yx}&\sigma_{yy}&\tau_{yz} \cr \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{zz} }\right ) \) (Gl.5)

Wenn man einen kleinen würfelförmigen Ausschnitt eines Körpers betrachtet, dann übt die übrige Materie auf die Würfelflächen Kräfte aus. Für jede Fläche kann man die auf sie wirkende Kraft in eine Normalkomponente σ (senkrecht zur Fläche) und zwei Parallelkomponenten τ zerlegen, wie in Abb.4 an der oberen Fläche exemplarisch gezeigt. Die Normal­kom­po­nen­ten σ erzeugen die Zug- oder Druck­spannungen, zu denen sich der bereits bekannte Druck p addieren kann. Die Tangential­komponenten τ erzeugen dagegen Scher­span­nun­gen. Da wir reine Verformungen betrachten und der Würfel ruht (er ist im Gleichgewicht), muss die Summe aller Kräfte und Drehmomente auf ihn verschwinden. Diese Forderung führt (ohne das wir es hier beweisen) zu einer bemerkenswerten Eigenschaft des Spannungstensors: Er ist symmetrisch bezüglich der Diagonalen, d. h. es gilt \(\tau_{xy}=\tau_{yx}\), \(\tau_{xz}=\tau_{zx}\) und \(\tau_{yz}=\tau_{zy}\). Wir benötigen nur sechs Zahlen (drei Druck- und drei Scherspannungen nach Gl.4), um die Matrix komplett aufzustellen[2].

Die Kraft auf eine beliebigen Fläche, ausgedrückt durch ihren Flächenvektor \(\vec A\), bekommt man aus dem Spannungstensor nach den Rechenregeln für Matrixmultiplikation („Zeile mal Spalte“) durch

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Kraft aus Spannungstensor \(\vec F ={\bf s}\cdot \vec A=\left ( \matrix{\sigma_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\cr \tau_{yx}&\sigma_{yy}&\tau_{yz} \cr \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{zz} }\right ) \cdot \left (\matrix{A_x\cr A_y\cr A_z} \right ) =\left ( \matrix{\sigma_{xx}A_x+\tau_{xy} A_y+\tau_{xz}A_z\cr \tau_{yx} A_x+\sigma_{yy}A_y+\tau_{yz}A_z \cr \tau_{zx}A_x+\tau_{zy}A_y+\sigma_{zz} A_z}\right ) \) (Gl.6)
Beispiel 2: Kraft auf obere Würfelfläche
Wir erhalten die Kraft auf die obere Würfelfläche (Flächeninhalt A) in Abb.4, deren Flächenvektor \(\vec A=A\hat z\) ist, aus dem Spannungstensor durch \(\vec F =\left ( \matrix{\sigma_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\cr \tau_{yx}&\sigma_{yy}&\tau_{yz} \cr \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{zz} }\right ) \cdot \left (\matrix{0\cr 0\cr A} \right ) =\left ( \matrix{\tau_{xz}A\cr \tau_{yz}A \cr \sigma_{zz} A}\right ) \)


Wir werden die „hochspannende“, jedoch schwierige Anwendung des Spannungstensors nicht weiter vertiefen. Er wurde hier vorgestellt, um den Unterschied zwischen einem Vektor und der Spannung s nach Gl.4 deutlich zu machen. In übersichtlichen Fällen können wir eine Komponente der Matrix s, z. B. die Druckspannung in z-Richtung \(\sigma_{zz}\) durch Gl.5 bestimmen.

Elastische und plastische Deformation und Bruch

Alle realen Körper zeigen - ebenso wie jede Feder - nur in einem bestimmten Spannungsbereich eine elastische Verformung. Bei einer elastischen Verformung nimmt der Körper beim Verschwinden der Kräfte wieder die ursprüngliche Gestalt an. Das bedeutet, die Deformation ist vollständig reversibel. Wenn die Spannung jedoch zu groß war, behält der Körper auch nach Verschwinden der Spannung eine restliche Verformung und nimmt nicht mehr die Ausgangsgestalt an. Das bedeutet, die Deformation ist nicht vollständig reversibel. Solche bleibenden Verformungen nennt man plastische Deformationen. Ein Beispiel für eine plastische Deformation ist eine Beule in einem Auto. Ab Überschreiten bestimmter Grenzen sind Deformationen nicht mehr vollständig elastisch, sondern werden zunehmend plastisch. Diese Grenzen und das detaillierte Verhalten sind vom Material abhängig.

Abb.3 Spannungs-Dehnungsdiagramm bei Zug

Die Spannungen in einem Körper können natürlich auch so groß werden, dass er bricht oder zerreißt. Die Grenze, ab wann das geschieht, gibt man als Festigkeit eines Körpers an. Steigert man die Spannung eines Körpers, dann wird er zuerst elastisch deformiert, dann plastisch und schließlich bricht er. Wie ein Material auf welche Spannungen reagiert, kann man in Form von Kurven für das Material angeben. Je nachdem, ob der Körper mit Druck, Zug oder auch Verbiegung belastet wird, ergeben sich andere Kurven. Als Beispiel gibt man für eine Zugbelastung ein Spannungs-Dehnungs-Diagramm an, in dem die Spannung \(\frac{F}{A}\) als Funktion der Dehnung \(\frac{\Delta L}{L}\) aufgetragen wird. In einem solchen Diagramm kann man verschiedenen Bereiche erkennen:

  • den elastischen Bereich, der sich unterteilt in den
    • Proportionalbereich bis zur Dehngrenze Rp, in dem die Dehnung proportional zur Spannung ist und somit das Hookesche Gesetz gilt,
    • den nichtlinear-elastischen Bereich bis zur Streckgrenze Re, in welchem die Verformung noch elastisch (reversibel), aber nicht mehr proportional zur Spannung ist,
  • den plastischen Bereich ab Re, beginnend mit einem elastisch-plastischen Bereich, in dem die Verformung noch teilweise reversibel ist, schließlich jedoch nur bleibende Deformationen entstehen,
  • den Einschnürungsbereich ab der Zugfestigkeit Rm, in dem der Körper sich verjüngt und das Zerreissen beginnt, bis zum Bruchpunkt.

Im elastischen Bereich ändern die Atome des Körpers nur ihren Abstand, er ist ausschlaggebend für die Belastung und Beanspruchung in Konstruktionen und Bauwerken. Im plastischen Bereich entstehen dagegen dauerhafte Änderungen auf kristallinier Ebene in Form von Versetzungen. Dies ist der Bereich, der für die Bearbeitung und Formgebung der Körper bei der Herstellung wichtig ist.


  1. Douglas C. Giancoli, Physik, 3. Auflage, Pearson Deutschland GmbH, München (2010)
  2. Dubbel, Taschenbuch für den Maschienenbau, W. Beitz, K.-H. Küttner (Hrsg.) 16. Auflage, Springer Verlag, Berlin Heidelberg (1987)