Drehmoment

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Physikalischer Kontext

Drehungen sind Bewegungen, bei denen sich nicht der Schwerpunkt eines Körpers verschiebt, sondern sich nur die Orientierung des Körpers verändert, indem er sich verdreht. Eine Kraft kann nur dann eine Verdrehung bewirken, wenn sie gleichzeitig auch ein Drehmoment erzeugt. Um das zu können, darf sie zum einen nicht am Drehpunkt angreifen und zum anderen nicht auf der Verbindungslinie Drehpunkt → Angriffspunkt liegen. Dies sind Grundlagen von Drehungen und dem Drehimpulssatz.

Mathematische Formulierung

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Drehmoment $\vec M=\vec r\times\vec F$ (Gl.1)

Der Vektor $\vec M$ zeigt auch nicht in die Richtung der Kraft, sondern steht – analog zum Drehimpuls $\vec L$– senkrecht auf der durch $\vec r$ und $\vec F$ aufgespannten Ebene. Seine Richtung finden wir – wie bei jedem Vektorprodukt – durch die Rechte-Hand-Regel. Die Drehrichtung finden wir ebenfalls mit der rechten Hand durch die Daumenregel: Wir machen eine Faust mit ausgestrecktem Daumen, der in Richtung von $\vec M$ zeigt. Die gekrümmten Finger zeigen die Drehrichtung an.

Unterschied zwischen Kraft und Drehmoment: Hebelarm

Abb.1 Hebelarm und Wirkungslinie

Die Betrachtung zum Drehvermögen einer Kraft hat gezeigt, dass nur eine nicht zentrale Kraft $\vec F$, die nicht im Drehpunkt angreift, und davon nur ihre Komponente $\vec F_T$, die senkrecht auf $\vec r$ steht, einen Dreh­impuls ändern kann. Das Drehmoment $\vec M=\vec r\times\vec F$ filtert aus einer beliebigen Kraft genau diese Kompo­nente heraus, ist aber nicht mit ihr identisch. Es enthält – genau wie der Drehimpuls – auch noch den Abstands­vektor $\vec r$ vom Drehpunkt. Deshalb bezeichnen wir es umgangssprachlich auch als Kraft mal Hebel­arm. Als Hebelarm bezeichnet man den senkrechten Abstand der Wirkungslinie von $\vec F$ zum Bezugs­punkt (Abb.1).

Verschiebbarkeit der Kraft

Bei Drehmomenten dürfen wir Kräfte immer ent­lang ihrer Richtung verschieben, sofern wir $\vec r$ dabei mit­nehmen, d.h. entsprechend ändern. Das ergibt sich unmittelbar aus der Rechen­vorschrift $M = rF \cdot\sin(\gamma)$. Wenn $\vec r\perp\vec F$ ist, ist γ = 90° und M entspricht der blauen Fläche in Abb.1. Für alle anderen gezeigten $\vec r_i,\vec F$-Paare ist $r_i \cdot \sin(\gamma_i) = r$ gleich, nämlich immer die vertikale Kom­ponente von $\vec r_i$. Alle Paare spannen deshalb die gleiche Fläche auf und liefern das gleiche M. γ ist einer der Winkel zwischen $\vec r$ und $\vec F$, der kleiner ist als 180°. Weil $\sin(\gamma) = \sin(\pi − \gamma)$ ist, könnte man statt $\gamma_2$ oder $\gamma_3$ genauso gut den spitzen Winkel nehmen. Es ergibt immer den gleichen Betrag des Drehmomentes.

Kräftepaare

Abb.2 Bei einem Kräftepaar ist das Drehmoment unabhängig vom Bezugspunkt

Wir betrachten jetzt unser Drehmoment, z. B. mit $\vec F$ bei $\vec r_1$ (blau in Abb.2) und addieren eine entgegengesetzt gleiche Kraft $-\vec F$ genau im Bezugs­punkt. Für sie ist $\vec r_{− }= 0$, also ist sofort klar, dass sich $\vec M$ dadurch nicht ändert, es bleibt $\vec M=\vec r_1\times\vec F$. Eine solche An­ordnung aus zwei entgegengesetzt gleichen Kräften nennen wir Kräftepaar. Sie ist in Abb.2 blau hervor­ge­hoben. Den Abstandsvektor zwischen den beiden Kräften nennen wir jetzt allgemein $\vec r_A$. Für so ein Kräftepaar gilt:

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Ein Kräftepaar aus zwei entgegengesetzt glei­chen Kräften $\vec F$ und $-\vec F$ im Abstand $\vec r_A$ bewirkt ein Dreh­mo­ment $\vec M=\vec r_A\times\vec F$, und zwar unabhängig vom Bezugs­punkt. (Gl.1)

Jetzt müsstest Du “Stop!“ rufen, denn gilt das nicht nur, wenn $-\vec F$ im Bezugspunkt angreift? Tatsächlich gilt das immer: Wir wählen jetzt einen beliebigen Bezugspunkt mit neuen Orts­vektoren $\vec r'_1$ und $\vec r'_{1−}$. Auch für den neuen Bezugspunkt dürfen wir die Kräfte parallel verschieben, z. B. nach links an die Orte $\vec r'_+$ und $\vec r'_−$. Dort ist der Abstands­vektor $\vec r'_A=\vec r'_+-\vec r'_−$. Das ist der gleiche Vektor wie $\vec r$, nur parallel verschoben. $\vec M$ ergibt sich aus der Summe $\vec M=\vec r'_+\times \vec F-\vec r'_−\times \vec F=(\vec r'_+-\vec r'_−)\times\vec F=\vec r'_A\times\vec F=\vec r_A\times\vec F=\vec r\times\vec F$, ge­nau wie behauptet.

Kräftepaare treten sehr häufig in der Physik auf. Sie helfen zum Verständnis des Schwerpunktsatzes, aber auch z.B. bei Drehmomenten im elektrischen und magnetischen Feldern.