Drehimpuls

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Physikalischer Kontext

Der Drehimpuls ist eine der primären physi­ka­lischen Größen und neben der Energie und dem Impuls eine der wichtigsten physikalischen Größen überhaupt. Als extensive (mengenartige) Erhaltungsgröße kann man für ihn Bilanzgleichungen aufstellen. Ebenso wie Energie, Impuls und elektrische Ladung bleibt er bei allen physi­ka­lischen Prozessen erhalten. Das Bilanzieren des Drehimpuls|Drehimpulses ist daher universell auf alle möglichen physikalischen Frage­stellun­gen anwendbar und deshalb eine der fundamentalen Metho­den der Physik. In einem abgeschlos­senen System können wir Drehimpuls nicht erzeugen oder vernichten, also seine Ge­samt­menge nicht verän­dern. Da der Drehimpuls ein Vektor ist, bedeutet seine Erhaltung, dass sich sowohl sein Betrag als auch seine Richtung nicht ändern, solange kein Drehmoment wirkt. Er ver­dreht sich also nicht, sondern bleibt fest im Raum stehen (raumfest). Und wenn ein Dreh­mo­ment auf einen Körper mit Drehimpuls wirkt, kann es den Drehimpuls nur senkrecht zur Kraft kippen. Das erzeugt das skurrile Ver­halten rotie­render Körper und Kreisel, die eben nicht den Kräften, sondern den Drehmomenten "gehorchen".

Beispiel 1: Frisbeescheibe
Wenn Sie eine Frisbeescheibe werfen, ist es ihr raumfester Drehimpuls, der dafür sorgt, dass sie so stabil fliegt. Bei einem Spielkreisel ist es sein raumfester Drehimpuls, der bewirkt, dass er nicht umfällt.


Abb.B2
Beispiel 2: Präzession
Wenn Sie ein schnell rotierendes Rad am einen Ende der Achse horizontal in der Luft schwebend aufhängen, kippt es nicht nach unten, so wie es ein nicht rotierendes Rad tun würde. Das Drehmoment, das bezogen auf die Aufhängung durch die Gewichtskraft erzeugt wird, ist in die Zeichenebene hinein gerichtet (Rechte-Hand-Regel!). Daher kippt es auch den Drehimpuls in die Zeichenebene hinein und nicht nach unten. Diese seitlich der Kraft ausweichende Bewegung nennt man Präzession. Sie zeigt unmittelbar die Richtigkeit des Drehimpulssatze. Die Gewichtskraft allein kann nur am Schwerpunkt des Rades angreifen und deshalb seinen Drehimpuls nicht ändern. Das müsste sie aber können, um das Rad nach unten zu kippen, denn dabei wird ja auch die Richtung des Drehimpulses geändert. Das einzige, was sie kann, ist ein Drehmoment bezogen auf die Aufhängung zu erzeugen. Dieses ist aber in die Zeichenebene hinein gerichtet. Und deswegen bewegt sich die Radachse dahin und nicht nach unten.


Der Drehimpuls ist das Vektorprodukt aus einem Ortsvektor und dem Impuls eines Körpers. Er ist daher ein Vektor, der immer senkrecht auf der Bewegungsebene steht. Durch den Ortsvektor $\vec r$ wird der Wert des Drehimpulses abhängig vom Bezugspunkt. Meistens legen wir diesen Bezugspunkt in die Drehachse, in den Mittelpunkt der Kreis­bahn oder den Schwerpunkt des Körpers. Prinzipiell ist seine Wahl aber frei. Jeder Körper auf jeder beliebigen Bahn trägt Drehimpuls. Ob $\vec L$ aber auf der Bahn erhalten bleibt, hängt von den äußeren Kräften ab. Wenn die Bewegung gleichförmig ist oder die Bahnkurve durch eine Zentralkraft be­wirkt wird, bleibt der Drehimpuls erhalten, ansonsten wirken Drehmomente, die ihn verändern. Wenn wir einen Stein etwas seitlich gegen eine Dose werfen, wird sie sich bewegen und etwas verdrehen. Der Stein überträgt dann Impuls und Drehimpuls. Das bedeutet, der Stein bringt nicht nur Impuls sondern auch Drehimpuls mit, den er auf die Dose überträgt. Dabei bleibt die Summe der Drehimpulse von Stein und Dose während des ganzen Vorgangs unverändert: Vor der Kollision ist der gesamte Drehimpuls im Stein, nachher ist er restlos auf Stein und Dose verteilt. Man kann Drehimpuls nur von irgendwo weg­nehmen und woanders hin tun, z. B. einen Drehimpuls einem ande­ren Körper geben.

Der Drehimpuls ist eine ziemlich unanschauliche Größe und beschreibt so etwas wie die "Rotationsbewegungsmenge" bezogen auf einen Punkt und ist mehr als nur ein Ableger des Impulses[1]. Der Drehimpuls beinhaltet, wie schnell sich wie viel Masse um eine senkrechte Achse durch den Bezugs­punkt dreht. Eine schnell auf einem kleinen Kreis laufende Masse kann den gleichen Dreh­impuls haben wie eine langsam auf einem großen Kreis laufende Masse. Ein schnell rotierender leichter Körper kann den gleichen Drehimpuls haben wie ein langsam rotierender schwerer Körper. Ein Drehimpuls kann sich sowohl durch eine Masse- oder Impulsänderung als auch durch eine Masse­umverteilung ändern. Anschaulich entspricht der Drehimpuls in etwa dem, was viele um­gangs­sprachlich als Drall bezeichnen würden. Tatsächlich haben wir im Alltag wenig Bei­spiele, in denen sich der Drehimpuls eindrucksvoll äußert. Nur, wenn Sie als Kind mit einem Krei­sel gespielt haben, wissen Sie, welche ungewöhn­lichen Erfahrungen Sie mit dem Drehimpuls machen können: Bei einem rotierenden Körper bleibt seine Orientierung wie durch Zauberhand stabil. Wenn man versucht, den Körper zu kippen, reagiert er anders als erwartet: Er weicht der Kraft immer seitlich aus! Im Alltag werden schnell drehende Objekt meist durch Lager gehalten, so dass wir mit diesem faszinierenden Phänomen sehr selten in Berührung kommen. Die Einheit des Drehimpulses ist $[L]=\text{kg}\cdot\frac{\text{m}^2}{\text{s}}$. Obwohl der Drehimpuls so bedeutend ist, hat auch seine Einheit keinen eigenen Namen.

Was ist ein Drehimpuls?

Abb.1 Eine Scheibe, die um ihren Mittelpunkt rotiert.

Der Drehimpuls $\vec L$ eines Objektes gibt an, wie sich das Objekt relativ zu einem Bezugspunkt Q bewegt. Betrachten wir als erstes Beispiel eine rotierende Scheibe, deren Schwerpunkt bzw. Mittelpunkt ruht (Abb.1). Der Impuls der Scheibe ist null, weil sie als ganzes ihren Ort nicht ändert. Dennoch bewegt sie sich, denn sie rotiert ja. Diese Bewegung wird über den Drehimpuls erfasst.

Dazu betrachtet man die Bewegung der einzelnen Massenpunkte der Scheibe relativ zu einem gegebenen Bezugspunkt, z. B. dem Mittelpunkt der Scheibe. Jeder einzelne Massenpunkt dmi hat einen individuellen Impuls $\vec p_i=m_i\vec v_i$. Die Summe aller Impulse ergibt den Impuls der Scheibe: $\vec p^{\text{Scheibe}}=\sum _i m_i\vec v_i=0$. Jeder Massenpunkt hat auch einen individuellen Drehimpuls $\vec L_i$ bezogen auf den Mittelpunkt der Scheibe. Der Drehimpuls der Scheibe ergibt sich analog durch die Summe der individuellen Drehimpulse $\vec L^{\text{Scheibe}}=\sum _i \vec L_i \ne 0$. Anders als der Impuls der Scheibe ist ihr Drehimpuls nicht null, vom gewählten Bezugspunkt abhängig und daher keine "innere" Eigenschaft der Scheibe.

Definition des Drehimpulses

Abb. 2 θ und θ' haben den gleichen Sinus

Der Drehimpuls $\vec L$ eines Objektes ist als Vektorprodukt (Kreuzprodukt) des Ortsvektors $\vec r$ von einem Bezugspunkt zum Objekt mit dem Impuls $\vec p$ des Objektes definiert (siehe Drehungen und Drehimpulssatz):

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Drehimpuls $\vec L=\vec r\times \vec p$ (Gl.1)

Er hat damit alle Eigenschaften, die durch ein Vektorprodukt festlegt sind:

  • Das Ergebnis ist ein Vektor $\vec L$ mit dem Betrag L = rp sin θ. Zur Berechnung von L ist es egal, ob man den spitzen Winkel θ oder den stumpfen Winkel θ' zwischen beiden Vektoren wählt, denn beide Winkel ergeben den gleichen Wert der Sinusfunktion. L ist maximal und hat den Betrag rp, wenn $\vec r$ und $\vec p$ senkrecht aufeinander stehen. L ist null, wenn $\vec r$ und $\vec p$ parallel zuein­ander sind.
  • Die Richtung von $\vec L$ ergbit sich durch die Rechte-Hand-Regel und steht senkrecht auf $\vec r$ und $\vec p$.

Abhängigkeit des Drehimpulses vom Bezugspunkt

Abb.3 Drehimpuls bezogen auf Q

Wir betrachten als Beispiel einen Körper, z. B. eine kleine Kugel mit konstantem Impuls $\vec p$ auf einer geraden Bahn (Abb.2) und nähern sie als Massenpunkt. Der Drehimpuls der Kugel bezogen auf den Punkt Q ist $L_Q= r_Q p \sin \theta$ und zeigt senkrecht in die Zeichenebene hinein. Der Term $r_{Q\perp}=r \sin \theta$ gibt den senkrechten Abstand der Bahn vom Punkt Q an. Dieser Abstand ändert sich nicht, wenn sich die Kugel auf der Bahn weiterbewegt, obwohl sich $\vec r_Q$ und θ ändern. Daher ist der Drehimpuls der Kugel entlang der geraden Bahn konstant.

Abb.4 Drehimpuls bezogen auf A und B

Wählt man dagegen wie in Abb.3 andere Bezugspunkte, z. B. den Punkt A, bekommt der Drehimpuls einen anderen Betrag LA und steht senkrecht auf der Zeichenebene. Wählt man den Punkt B, ist der Betrag des Drehimpulses LB sogar null. In beiden Fällen ist $\vec L$ entlang der Bahn konstant.

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Verständniserkenntnis
Fazit: Die Angabe eines Drehimpulses macht nur Sinn, wenn man den zugehörigen Bezugs­punkt deutlich macht.


Drehimpuls eines Körpers

Abb.5 Objekt auf einer Kreisbahn

Bisher haben wir den Drehimpuls eines Massenpunktes betrachtet. Nun bestimmen wir den Drehimpuls eines ausgedehneten Körpers. Dazu betrachten wir zuerst den Drehimpuls einer Punktmasse auf einer Kreisbahn.

  • Bezogen auf den Mittelpunkt C ist $L=r_{C\perp}p=r_{C\perp}m v=\text{konst.}$.
  • Bezogen auf einen beliebigen anderen Punkt Q ist $L=r_{Q\perp}p=r_{Q\perp}m v\neq \text{konst.}$. Passiert der Körper Punkt Q, ist L=0, während L für den gezeigten Moment ≠ 0 ist.

Den Drehimpuls eines ruhenden rotierenden Körpers, wie z. B. der Scheibe in Abb.1, erhalten wir, indem wir die Drehimpulse aller Massenpunkte der Scheibe summieren (genauer müssten wir eigentlich integrieren). Dann ergibt sich mit $p_i=m_i v_i=m_i \omega r_{\perp,i}$:

  • Für Punkt C: $L_C=\sum _ir_{C\perp,i}p_i=\sum _i\,r_{C\perp,i}m_i\,\omega r_{C\perp,i}=\sum _i m_i \,r^2_{C\perp,i}\,\omega =J_C\omega =\mathit{konst.}$

Darin ist JC das Trägheitsmoment der Scheibe bezogen auf die Drehachse c. Für Punkt Q ergibt die Summe überraschenderweise durch eine etwas umständliche Rechnung (siehe z. B. Wikipedia) ebenfalls

  • Für Punkt Q: $L_Q=\sum _ir_{Q\perp,i}p_i=\sum _i r_{C\perp,i} p_i=J_C\omega =\mathit{konst.}$, wenn C ruht!

Das liegt daran, dass der Punkt C mit dem Schwerpunkt S der Scheibe identisch ist und man den Drehimpuls stets in zwei Anteile aufsplitten kann, die man Spin und Bahndrehimpuls nennt. Das Ergebnis kann man folgendermaßen allgemeingültig ausdrücken:

Spin und Bahndrehimpuls

Der Drehimpuls LQ eines Körpers bezogen auf einen beliebigen Punkt Q ist die Summe aus dem Spin des Körpers LSpin (seine Rotation um den Schwerpunkt S) und dem Bahndrehimpuls LBahn, Q um Q (wie sich S relativ zu Q bewegt). Der Spin LSpin um den Schwerpunkt ist eine intrinsische Größe (Eigendrehimpuls) und unabhängig vom Bezugspunkt. Der Bahndrehimpuls LBahn, Q beinhaltet die Bewegung des Schwerpunktes gegen den Bezugspunkt und ist null, wenn sich der Schwerpunkt nicht bewegt.

Beispiel 3: Spin der Erde?
Die Bewegung der Erde um die Sonne enthält den Spin der Erde (die tägliche Drehung um ihre eigene Achse) und den Bahndrehimpuls (Bewegung des Erdmittelpunktes um die Sonne, Keplerbahn).


Verständnisfrage 1: Bewerte die Bewegung des Mondes um die Erde bezogen auf den Erdmittelpunkt: Hat der Mond einen Spin oder nur einen Bahndrehimpuls?
Der Mond hat Spin und Bahndrehimpuls. Er zeigt der Erde immer die gleiche Seite. Das bedeutet, er dreht pro Monat (das heißt im Laufe einer kompletten Kreisbahn) einmal um sich selbst und hat somit einen Spin!


Der Drehimpulssatz

Kräfte ändern Impulse.
Arbeit ändert Energie.
Drehmomente ändern den Drehimpuls.

Der

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Drehimpulssatz: $\vec M=\frac{d\vec L}{dt}$ (Gl.2)

mit dem

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Drehmoment $\vec M = \vec r \times \vec F$ (Gl.3)

ergibt sich aus dem 2. Newtonschen Axiom $\vec F=\frac{d\vec p}{dt}$, indem man links $\vec r \times$ dazu multipliziert (siehe Drehungen und Drehimpulssatz). Das Drehmoment ist formal (d.h. mathematisch) wie der Drehimpuls als Kreuzprodukt definiert. Daher hat es mathematisch auch die gleichen Eigenschaften (weitere Details siehe Drehmoment). Gl.3 ist die grundlegende Beziehung für den Drehimpuls. Sie besagt:

  • Drehmomente ändern Drehimpulse! Eine Kraft kann nur dann einen Drehimpuls ändern, wenn sie gleichzeitig auch ein Drehmoment erzeugt!
  • Kräfte ändern Impulse und zwar unabhängig davon, ob sie gleichzeitig auch ein Drehmoment erzeugen!

Diese Aussage wird verdeutlich im Kapitel Schwerpunktsatz.

Der Drehimpulssatz zeigt: Drehmoment und Drehimpulsänderung zeigen immer in die gleiche Richtung! Das bedeutet: Ein Drehmoment kann nur die Komponente eines Drehimpulses ändern, die parallel zum Drehmoment ist.

Beispiel 4: Lenken und Kurven fahren
Um einen vertikalen Drehimpuls zu ändern, ist auch ein vertikales Drehmoment erforderlich. Ein horizontales Drehmoment ändert die vertikale Komponente des Drehimpulses nicht. Die Antriebswelle eines Autos überträgt ein horizontales Drehmoment auf die Vorderräder eines Autos. Dadurch beginnen sich die Räder zu drehen und das Auto fährt. Der Drehimpuls der Räder ist horizontal gerichtet. Die Lenkung erzeugt dagegen ein vertikales Drehmoment auf die Räder und sie schlagen ein. Das Einschlagen der Räder ist eine Drehung um die vertikale Radachse. Die Lenkung beeinflusst die Vorwärtsbewegung der Räder nicht.


Ableitung von Zusammenhängen der Drehbewegung aus Zusammenhängen bei der Translationsbewegung

Mit folgender Ersetzungstabelle kann man Zusamenhänge der Translationsbewegung in Zusammenhänge der Drehbewegung "übersetzen":

Translation Rotation
Ort x Winkel φ
Geschwindigkeit $\vec v$ Winkelgeschwindigkeit $\vec \omega$
Beschleunigung $\vec a$ Winkelbeschleunigung $\vec \alpha$
Masse m Trägheitsmoment J
Impuls $\vec p$ Drehimpuls $\vec L$
Kraft $\vec F$ Drehmoment $\vec M$

Beispiele: Bewegungsgesetz $\vec F=m\vec a\ \Rightarrow \ \vec M=J\vec{\alpha }$, Leistung $P=\int \vec F\cdot d\vec v\ \Rightarrow \ P=\int\vec M\cdot d\vec{\omega }$

Experimente zum Drehimpulssatz

Ein rotierendes Rad wird hochgeschwenkt
Das Trägheitsmoment wird geändert

Zwei häufig gezeigte Experimente demonstrieren eindrucksvoll den Drehimpulssatz. Sie zeigen, dass der Drehimpuls erhalten bleibt, solange keine Drehmomente wirken. Im ersten Experiment sitzt eine Person auf einem Drehstuhl und bekommt von einem Helfer ein schnell rotierendes Rad (z. B. von einem Fahrrad) übergeben. Damit erhält das System aus Person, Rad und Drehstuhl einen Drehimpuls, der horizontal gerichtet ist. Wenn die Person auf dem Drehstuhl das Rad nun hochschwenkt, beginnt sie selbst sich samt Drehstuhl entgegengesetzt zum Rad zu drehen. Durch das Schwenken des Rades erzeugt die Person ein horizontal gerichtetes Drehmoment. Dies kann den vertikalen Drehimpuls nicht ändern. Das geschwenkte Rad erzeugt einen vertikalen Drehimpuls nach oben. Da der vertikale Drehimpuls insgesamt null bleiben muss, erhält der Rest des Systems einen vertikalen Drehimpuls nach unten, der den Drehimpuls des Rades nach oben kompensiert.

Im zweiten Experiment sitzt eine Person auf einem Drehstuhl und hält zwei Hanteln mit ausgestreckten Armen. Sie wird von einem Helfer in Drehung versetzt und erhält einen Drehimpuls nach oben. Wenn sie nun die Arme mit den Hanteln an den Körper anzieht, rotiert sie deutlich schneller, die Winkelgeschwindigkeit nimmt zu. Durch das Anziehen der Arme erzeugt sie kein Drehmoment, daher muss ihr Drehimpuls konstant bleiben. Gleichzeitig verringert sie durch das Anziehen ihr Trägheitsmoment. Damit der Drehimpuls trotzdem konstant bleiben kann, muss die Winkelgeschwindigkeit zunehmen.

  1. Auch masselose Teilchen wie das Photon und Teilchen ohne messbare Ausdehnung wie das Elektron können inneren Drehimpuls tragen.