Coulomb-Kraft

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Physikalischer Kontext

Zwischen elektrisch geladenen Objekten wirkt eine Kraft, die man Coulomb-Kraft nennt. Die Formel, die die Kraft beschreibt, nennt man auch Coulomb'sches Gesetz. Die Kraft bewirkt z.B., dass frisch gewaschene trockene Haare nach dem Kämmen "zu Berge stehen", weil sie durch die Reibung mit dem Kamm statisch aufgeladen werden und sich abstoßen. Sie ist aber auch dafür verantwortlich, dass wir und unsere Umwelt überhaupt existieren, denn sie hält die unterschiedlich geladenen Bausteine der Atome und Moleküle (Elektronen und Protonen) zusammen. Bei gleichnamigen Ladungen ist die Coulomb-Kraft abstoßend, bei ungleichnamigen Ladungen ist sie anziehend.

Abstoßung statisch aufgeladener Haare.


Stärke und Richtung

Untersuche die Coulomb-Kraft mit einem GeoGebra-Applet Link zum Applet: Es zeigt zwei punktförmige Objekte mit den Ladungen \(Q_1\) und \(Q_2\). Verschiebe sie mit der Maus und verändere ihre Ladung mit den Schiebereglern. Der grüne Pfeil symbolisiert die Coulomb-Kraft \(\vec F^{2,1}\), die \(Q_1\) auf \(Q_2\) ausübt. Er zeigt die Richtung und die relative Größe der Kraft. Wird er zu kurz oder zu lang, kann er mit dem Zoom-Regler in der unteren linken Ecke skaliert werden. Dort kann auch der Abstand der Ladungen \(r_{12}\) und der Zahlenwert der Coulomb-Kraft \(\vec F^{2,1}\) abgelesen werden. Ein Klick auf das Reset-Zeichen Reset stellt die Anfangswerte wieder ein. Mit dem Scrollrad der Maus kannst man in das Applet hinein oder heraus zoomen.

Aufgaben zum Applet: Finde selbst heraus, wie Betrag und Richtung der Coulomb-Kraft von den Orten, dem Abstand und dem Zahlenwert der Ladungen abhängt:

Aufgabe 1: Beschreibe, wie die Richtung der Coulomb-Kraft mit den Orten der Ladungen zusammenhängt!
Der Kraftvektor liegt immer auf der Geraden, die durch die Orte beider Ladungen geht.
Aufgabe 2: Beschreibe, wie die Richtung der Coulomb-Kraft mit den Vorzeichen der Ladungen zusammenhängt!
Sind die Ladungen gleichnamig, zeigt der Pfeil weg von \(Q_1\), d.h. \(Q_2\) wird abgestoßen. Andernfalls zeigt er in die Richtung von \(Q_1\), d. h. \(Q_2\) wird angezogen.
Aufgabe 3: Beschreibe, wie der Zahlenwert der Coulomb-Kraft mit den Zahlenwerten der Ladungen zusammenhängt!
Sind die Ladungen gleichnamig, ist der Zahlenwert positiv, andernfalls negativ. Verdoppelt man eine Ladung, verdoppelt sich auch der Zahlenwert. Also muss \(F^{2,1}\) vom Produkt der Ladungen \(Q_1 \cdot Q_2\) abhängen.
Aufgabe 4: Beschreibe, wie der Betrag des Zahlenwertes der Coulomb-Kraft mit dem Abstand der Ladungen zusammenhängt!
Der Betrag nimmt schnell ab, wenn der Abstand größer wird, und wird unendlich, wenn der Abstand null wird. Er muss also reziprok vom Abstand abhängen. Und er schrumpft um den Faktor 1/4, wenn man den Abstand verdoppelt. Daher hängt der Betrag \(F^{2,1}\) quadratisch vom reziproken Abstand ab: Er nimmt mit \(F^{2,1} \propto \frac {1}{r_{12}^2}\) ab.


Verständnisfrage 1: Wie hängt der Abstandsvektor \(\vec {r}_{12}\), der von \( Q_{1}\) nach \( Q_{2} \) zeigt, mit den Ortsvektoren \(\vec {r}_{1}\) und \(\vec {r}_{2}\) der einzelnen Ladungen zusammen?
Aus dem Applet kann man ablesen, dass \(\vec {r}_{2}=\vec {r}_{1}+\vec {r}_{12}\) ist. Daher ist \(\vec {r}_{12} \) die Differenz von beiden Vektoren, und zwar \(\vec {r}_{12}=\vec {r}_{2}-\vec {r}_{1}\).
Verständnisfrage 2: Welche Bedeutung hat der kleine rote Pfeil mit der Beschriftung \(\vec {e}_{r}\)?
Es ist der Einheitsvektor von \( \vec {r}_{12} \): \( \vec{e}_r =\frac{\vec{r}_{12} }{r_{12} } \).
Verständnisfrage 3: Versuche, die gefundenen Zusammenhänge durch eine mathematische Formel auszudrücken! Wie könnte sie lauten?
\( \vec {F}_{2}\propto \frac {Q_1 \cdot Q_2} {r_{12}^{2} }\vec {e}_{r}\) oder \( \vec {F}^{2,1} }=k \cdot \frac {Q_1 \cdot Q_2} {r_{12}^{2} }\vec {e}_{r}\) mit einer noch unbekannten Konstante \(k\).
Verständnisfrage 4: Bisher haben wir nur die Kraft auf \(Q_2\) betrachtet. Was kannst Du über die Kraft auf \(Q_1\) sagen? Wende Actio=Reactio an.
Beide Ladungen üben gleich starke, aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte aufeinander aus. Das muss nach Actio=Reactio immer so sein, egal, ob die Ladungen gleich oder unterschiedlich sind. Die Kraft \(\vec {F}^{1,2}\) auf \(Q_1\) ist stets entgegengesetzt gleich zur Kraft \(\vec {F}^{2,1}\) auf \(Q_2\): \(\vec {F}^{1,2} =-\vec {F}^{2,1}\).

Mathematische Formulierung

Das Coulombsche Gesetz lautet: \( \vec {F}_{C}^{2,1}=\dfrac {1} {4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac {Q_1 \cdot Q_2}{|\vec r_2-\vec r_1|^{2}}\cdot \dfrac {\vec r_2-\vec r_1}{|\vec r_2-\vec r_1|}\)

Darin ist \(\vec {F}_{C}^{2,1}\) die Kraft, die auf die Ladung \(Q_2\) durch die Ladung \(Q_1\) ausgeübt wird.

\(Q_1\) und \(Q_2\) sind die Zahlenwerte der beiden Ladungen.

\(\vec {r}_{2}-\vec {r}_{1}\) zeigt von der Ladung \(Q_1\) auf die Ladung \(Q_2\). \(\vec {r}_{1}\) und \(\vec {r}_{2}\) sind die Ortsvektoren beider Ladungen, d. h. es sind die Vektoren, die vom Koordinatenurprung auf die jeweilige Ladung zeigen.

\(\varepsilon_0\) ist die Dielektrizitätskonstante des Vakuums und der Vorfaktor hat in SI-Einheiten den konstanten Wert \(k=\frac {1} {4 \pi \varepsilon_0}=9 \times 10^9~ {\text N \frac {\text m^2}{\text C^2}}\).

Superposition der Coulomb-Kraft

Für die Coulomb-Kraft gilt das Superpositionsprinzip. Die Kraft zwischen zwei Ladungen wird nicht davon beeinflusst, ob irgewelche weiteren Ladungen vorhanden sind und weitere Kräfte auf die Ladungen ausüben. Das bedeutet, wir können die Coulomb-Kräfte, die auf eine Ladung q durch diverse andere Ladungen q1, q2, ... qn ausgeübt werden, einfach vektoriell addieren. Wir bestimmen die Kraft $\vec F_1$ durch q1, dann $\vec F_2$ durch q2 usw. bis $\vec F_n$ durch qn und addieren schließlich alle Kräfte zur resultierenden Kraft auf q:

Für die Cuolomb-Kraft gilt das Superpositionsprinzip: $\vec F^q_C=\sum\limits_{i=1}^n \vec F_i^{q,q_i}$.

Diesen Zusammenhang zeigt das folgende GeoGebra-Applet "Superposition der Coulombkraft". Es berechnet und zeichnet die Kraft, die auf die Ladung Q2 durch die Ladungen Q1 und Q3 ausgeübet wird.

Aufgaben zum Applet: Untersuche, ob die Kraft $\vec F_C^{2,1}$ von Q1 auf Q2 die Kraft $\vec F_C^{2,3}$ von Q3 auf Q2 beeinflusst!

Aufgabe 1: Verschiebe den Regler von Q1. Beschreibe, wie sich die Coulomb-Kraft von Q3 auf Q2 dadurch verändert!
Der Kraftvektor $\vec F_C^{2,3}$ bleibt unverändert, auch wenn Q1 verändert wird.
Aufgabe 2: Verschiebe den Regler von Q3. Beschreibe, wie sich die Coulomb-Kraft von Q1 auf Q2 dadurch verändert!
Der Kraftvektor $\vec F_C^{2,1}$ bleibt unverändert, auch wenn Q3 verändert wird.
Aufgabe 3: Verschiebe den Regler von Q2. Beschreibe, was sich dadurch verändert!
Alle drei Kraftvektoren werden im gleichen Maß länger oder kürzer. Keine der Kraftrichtungen ändert sich.
Aufgabe 4: Verschiebe die Ladung Q1. Du kannst sie mit der Maus ziehen. Beschreibe, wie sich die Coulomb-Kraft von Q3 auf Q2 dadurch verändert!
Der Kraftvektor $\vec F_C^{2,3}$ bleibt unverändert, auch wenn der Ort von Q1 verändert wird.
Aufgabe 5: Verschiebe die Ladung Q3. Du kannst sie mit der Maus ziehen. Beschreibe, wie sich die Coulomb-Kraft von Q1 auf Q2 dadurch verändert!
Der Kraftvektor $\vec F_C^{2,1}$ bleibt unverändert, auch wenn der Ort von Q3 verändert wird.
Aufgabe 6: Verschiebe die Ladung Q2. Beschreibe, was sich dadurch verändert!
Alle drei Kraftvektoren ändern ihre Längen und Richtungen.


Abb.F1
Verständnisfrage 1: In welche Richtung zeigt die Coulomb-Kraft in Abb.F1, die die beiden anderen Ladungen −Q und 2Q auf die Ladung −q ausüben? Gib die Richtung als Uhrzeigerstellung an (12 Uhr entspricht senkrecht nach oben).
Abb. 1a
Die Richtung entspricht ca. 17:30 Uhr, denn die Kraft, die −Q auf −q erzeugt, ist abstoßend und nur halb so groß, wie die anziehende Kraft, die 2Q auf −q erzeugt.


Verständnisfrage 2: 12 gleiche positive Punktladungen sind auf einem Kreis mit dem Radius R wie die Ziffern eines Ziffernblattes angeordnet. Wohin zeigt die Coulomb-Kraft auf jede der Ladungen? Gib die Richtung als Uhrzeigerstellung an (12 Uhr entspricht senkrecht nach oben)
Abb.F2a
Für jede Ladung zeigt die Coulomb-Kraft radial nach außen, d.h. in die Richtung des Uhrzeigers zur vollen Stunde. Für die Ladung auf 12 Uhr zeigt die Kraft nach 12 Uhr, für die auf 13 Uhr nach 13 Uhr usw.. Denn für jede der Ladungen gibt es die gleiche Anzahl von Ladungen auf beiden Halbreisbögen, wenn man von ihr aus Gegen- bzw. im Uhrzeugersinn läuft. Dadurch heben sich alle tangentialen Kräfte auf und nur radial nach außen gerichtete Kräfte bleiben übrig. Abb.F2a zeigt das am Beispiel der nächsten Nachbarn der 12 Uhr-Ladung. Solche Symmetriebetrachtungen sind in der Elektrostatik sehr nützlich.