Bewegungsgleichungen

Physikalischer Kontext

Das Bewegungsgesetz von Newton (Zweites Newtonsches Axiom) $\vec F =\frac{d\vec p}{d t}$ ist das Naturgesetz der Mechanik. Es ist sehr typ­isch für die Physik: eine harmlos ausschauende Gleichung mit nur drei „Buchstaben“, deren wir­kliche Bedeutung sich Physikanfängern erst verhältnismäßig spät erschließt. Warum? Die Bedeu­tung der Gleichung erfasst man nicht, indem man sie auswendig lernt, sondern nur, indem man das Kon­zept hinter der Gleichung und die Methode der Verwendung versteht. Das Bewegungsgesetz ist keine "Formel finden und Wert einsetzen"-Formel“! Es ist keine "Formel", die man nach einem der drei "Buchstaben" auflöst und dann Zahlen einsetzt, um die gesuchte Größe zu berechnen. Auch, wenn sie in der Schule meist so vermittelt wird. Tatsächlich ist das Bewegungsgesetz aber etwas ganz anderes und vermutlich etwas ganz Neues für Dich: Es ist eine Anweisung zum Aufstellen einer Rätselfrage und das fertige Rätsel nennt man dann Bewegungsgleichung. Die Lösung des Rätsels namens Bewegungsgleichung ist im Bewegungsgesetz nicht direkt enthalten und kann ganz schön kniffelig werden. Aber die Lösung des Rätsels liefert uns die Bahnkurve $\vec r(t)$ einer beliebigen Bewe­gung. Wir wollen jetzt lernen, wie man aus dem Bewegungsgesetz Bewegungsgleichungen bildet und dann ein paar von ihnen lösen. Der Einfachheit halber beschränken wir uns dazu auf den Fall, dass die Masse der beteiligten Körper konstant ist und uns das Superpositionsprinzip die Beschränkung auf eine eindimensionale Bewegung ermöglicht. Dann können wir alles skalar schreiben und x steht wieder stellvertretend für eine beliebige Raumkoordinate. Das kann eine kartesische Koordinate x, y, z, aber auch z. B. eine Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinate sein. Weil der Impuls $\vec p = m\vec v$ ist, wird das Bewegungsgesetz mit konstanter Masse m in der üblichen Punktnotation für Zeitableitungen vektoriell zu

Bewegungsgesetz vektoriell $\vec F =m\dot {\vec v}=m\ddot {\vec r}$ und skalar zu $F=m\dot v=m\ddot x$.

(Gl.1)

In der skalaren Schreibweise sind F und v Kraft und Geschwindigkeit in x-Richtung. Ab jetzt schreiben wir Zeitableitungen nur noch in der Punktschreibweise. Gl. (1) ist unser Aus­gangs­punkt zum Auf­stellen von Bewegungsgleichungen. Im Grunde müssen wir dazu nicht mehr tun, als richtige Aus­drücke für F und m einzusetzen.

Anwendung des Bewegungsgesetzes

Bewegungsgleichungen werden nach einem gewissen Muster aufgestellt. Die Schwierigkeit liegt nicht darin, diesem Muster zu folgen, sondern darin, eine gegebene Situation richtig zu analy­sieren und in die richtige Gleichung umzusetzen. Dazu musst Du Koordinatensysteme und Koordinaten auswählen können, Systeme festlegen können, Kräfte identifizieren können und innere und äußere Kräfte unterscheiden können. Dagegen wird nicht von Dir verlangt, die gefundene Gleichung in jedem Fall lösen zu können.

Methode zum Aufstellen und Verwenden von Bewegungsgleichungen

Man kann die Methode zur Anwendung des Bewegungsgesetzes auf konkrete physikalische Fragestellungen in folgende Schritte unterteilen:

1. Falls nicht gegeben, wähle ein Koordinatensystem und eine Koordinate der Bewegung.
2. Definiere das System und die Umgebung und lege die Systemgrenze fest.
3. Identifiziere die trägen Massen des Systems und bilde die Summe aller trägen Massen $m_T=\sum\limits_i m_i$.
4. Identifiziere die äußeren Kräfte auf das System und bilde die Summe aller äußeren Kräfte $F_a=\sum\limits_i F_i$.
5. Vereinige 2. und 3. zur Bewegungsgleichung $F_a= m_T \ddot x$ des Systems. Das ist eine Gleichung, die $\ddot x$ be­schreibt. Sie enthält x als Platzhalter für eine unbekannte Ort-Zeit-Kurve x(t).
6. Wenn möglich, löse die Bewegungsgleichung, also finde eine allgemeine Ort-Zeit-Funktion x(t), die die Gleichung erfüllt. Ansonsten überprüfe, ob eine gegebene oder geratene Ort-Zeit-Funktion x(t) die Gleichung löst.
7. Bilde aus x(t) die zu den Anfangsbedingungen der konkreten Situa­tion passende Ort-Zeit-Funktion, indem Du ihre Konstanten passend wählst.

Das A ...: Festlegen von System, Systemgrenze und Umgebung

Schritt 1 verlangt von uns die Festlegung eines Systems. Was bedeutet das? Ein System ist vor allem ein abstraktes gedank­liches Konstrukt. Als System bezeichnen wir eine gedanklich abge­grenzte Auswahl von Komponenten in einer realen oder erdachten Situation. Das System besteht dann aus den ausgewählten Komponenten und seine Umgebung aus allem übrigen. Ein System auswählen, bedeutet, es freizuschneiden. Ein System hat eine ebenfalls gedachte Systemgrenze, die es von seiner Umgebung abgrenzt und der wir Eigenschaften zuweisen können. Die Eigenschaften bestimmen die Art des Systems: Wenn die Systemgrenze für Masse und Energie undurchlässig ist, nennen wir das System abgeschlossen, oder besser: isoliert. Es hat dann keinerlei Wechselwirkung mit seiner Umgebung. In diesem Fall wird das Bewegungsgesetzt zum Trägheitsgesetz, denn es wirken keine äußeren Kräfte und wir müssen nichts tun. Das Objekt bewegt sich gleichförmig. Das Bewegungsgesetz hilt uns dann, wenn wir offene Systeme betrachten, die mit ihrer Umgebung wechselwirken.

Beispiel 1: Gestalt einer Systemgrenze
Die Systemgrenze kann, aber muss keine geometrische geschlossene Form haben. Wir betrachten z. B. das Universum als gegebene Situation und wählen daraus als System unsere Erde aus. Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten: 1. Wir wählen als System nur die Masse m der Erde. Dann können wir uns als Systemgrenze eine Kugelschale um die Erde denken. 2. Wir wählen als System die Masse der Erde und ihr Gravitationsfeld aus. Dieses erstreckt sich über das gesamte Universum. Nun hat die Systemgrenze keine geometrische Gestalt mehr sondern ist rein abstrakt.

Systeme, Systemgrenzen und Umgebung legen wir nach Bedarf und Fragestellung fest. Die Umge­bung ist die Menge aller physikalischen Objekte außerhalb des Systems, im Grunde also das gesamte Universum. Doch wenn wir ein System beschreiben, berücksichtigen wir von der Umge­bung nach dem KISS-Prinzip nur die Komponenten, die einen relevanten Einfluss auf das System haben. In der Mechanik ist die Festlegung von Systemen überschaubar: Wenn wir Bewegungen suchen und dazu Kräfte betrachten, wählen wir offene Systeme aus. Das System besteht dann immer aus den Objekten, nach deren Bewegung wir fragen. In seiner Umgebung müssen wir die Kompo­nen­ten berücksichtigen, die Kräfte auf unsere Objekte ausüben, ihnen also eine Impulsänderung auf­zwin­gen. Wenn wir dagegen Erhaltungssätze anwenden wollen und Bilanzgleichungen von Impuls oder Energie aufstellen wollen, wählen wir am besten isolierte Systeme aus. Sie enthalten die bewegten Objekte und die Komponenten, die Kräfte darauf ausüben.

Abb.B2

Beispiel 2: Auswahl des Systems am Fadenpendel

Wenn wir die Ort-Zeit-Kurve der Kugel in Abb.B2 suchen, wählen wir als System nur die Kugel aus, die wir als Massepunkt modellieren. In ihrer Umgebung betrachten wir das Seil und das Gravitationsfeld der Erde. Das Seil übt eine Zugkraft und das Gravitationsfeld die Gewichtskraft auf die Kugel aus. Beides sind dann äußere Kräfte.

Wenn wir dagegen nach der Energie des Pendels fragen, wählen wir besser als System die Masse der Kugel, das Seil inklusive Aufhängung, die Erde und ihr Gravitationsfeld aus. Alle auftretenden Kräfte sind dann innere Kräfte, es gibt keine äußeren Kräfte und das System ist isoliert. Es ruht. Die Bewegung der Kugel können wir damit nicht beschreiben.

und B ...: Träge Masse finden

Die Massen, die wir in unsere Bewegungsgleichung eintragen müssen, sind alle Massen, die zu dem gewählten System gehören und bewegt werden. Jede Masse ist träge und vermindert die resultierende Geschwindigkeit. Damit haben wir auch eine anschauliche Bedeutung der trägen Masse m_T: Sie gibt die Geschwindig­keit bei gegebenem Impuls oder ihre Änderung bei Impulszufuhr wieder. Dafür steht das m in $p = mv$ und $F = ma$. Dagegen wird die Masse im Gravitationsgesetz, die die Kraft auf andere Mas­sen bestimmt, schwere Masse m_S genannt. Sie könnten wir in Analogie zur Coulomb-Kraft auch "Gravitationsladung" nennen. Dafür steht das m in $F = mg$ oder $F = − G\frac{m_1 m_2}{r^2}$. Beides sind auf den ersten Blick grundsätzlich unterschiedliche Eigenschaften der Mas­se und wir hätten auch $m_S = konst.\cdot m_T$ wählen können. Tatsächlich sind beide Massen jedoch äquivalent. Und das ist kein Zufall: Das Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie beinhaltet die Gleichheit von schwerer und träger Masse. Nach soviel Hintergundinformation magst Du Dich fragen: Wo ist das Problem? Es scheint doch sehr einfach zu sein, die träge Masse des Systems festzulegen. Das man sich dabei doch leicht vertun kann, zeigt folgendes Beispiel:

Abb.B3

Beispiel 3: Welche Masse wird beschleunigt?

Bild B3 zeigt einen Wagen der Masse m₁, der auf zwei Arten beschleunigt wird: Im Fall A ziehen wir mit der Hand mit einer Kraft F am Faden. Im Fall B hängen wir eine kleinen Klotz mit der Masse m an den Faden, dessen Gewichtskraft $F_g=mg=F$ genau F entspricht. Wird der Wagen in beiden Fällen gleich beschleunigt?

Die überraschende Antwort ist: Nein! Denn im Fall B muss die Kraft $F_g=mg$ nicht nur m₁ sondern auch m beschleunigen! Hier ist die träge Masse $m_1+m$. Das bedeutet auch, dass im Fall B die die Zugkraft im Faden kleiner als mg sein muss. So ist es tatsächlich, wie wir weiter unten sehen werden.

...und O: Äußere Kräfte finden

Schritt 3 ist der schwierigste Schritt und verlangt, Kräfte zu identifizieren, eventuell zu zerlegen und innere von äußeren Kräften zu unterscheiden. Dazu muss man wissen, welche Objek­te welche Kräfte ausüben, wie diese gerichtet sind, wo sie angreifen und wie sie von anderen physi­kali­schen Größen abhängen. Das ist im Artikel Arten physikalischer Kräfte zusammengestellt. Oft vernach­lässi­gen wir Kräfte nach dem KISS-Prinzip, weil ihr Beitrag im Vergleich zu anderen Kräften sehr klein ist. Aus dem quanti­tativen Zusammenhang einer Kraft kann man abschätzen, ob sie relevant ist. Das verlangt einige Erfahrung. Der erste Schritt sollte es immer sein, das System freizuschneiden und das Freikörperbild oder das erweiterte Freikörperbild zu skizzieren.

Ein Freikörperbild enthält nur äußere Kräfte. Bei äußeren Kräften liegt die Ursache der Kraft außerhalb des Systems, sie wirken über die System­grenze hinweg. Alle anderen sind innere Kräfte. Alle inneren Kräfte müssen sich grundsätzlich gegenseitig aufheben, denn sie können keine Beschleunigung des Systems als ganzes bewirken. Genauer: Sie können den Schwerpunkt des Systems nicht beschleunigen.

Abb.B4

Beispiel 4: Innere und äußere Kräfte
In Beispiel 3, Fall B könnten wir nur den Wagen freischneiden. Das zeigt Abb.B4,1. Dann ist die einzige auf ihn wirkende äußere Kraft in Bewegungsrichtung die Zugkraft des Fadens. Diese kennen wir jedoch nicht, denn wie wir schon wissen, sie ist nicht mg. Alternativ können wir beide Massen und den Faden freischneiden. Das zeigt Abb.B4,2. Dann ist nur noch die Gewichtskraft auf m eine äußere Kraft. Die Zugkräfte des Fadens, d.h., die Kraft $F_Z^{W,F}$, mit der der Faden am Wagen zieht und die Kraft $F_Z^{K,F}$, mit der er am Klotz zieht, sind nun innere Kräfte. Sie spielen dann für die Beschleunigung beider Massen keine Rolle und es ist unwichtig, dass wir sie (noch) nicht kennen.

Anhand des Freikörperbildes können alle äußeren Kräfte, die in die betrachtete Richtung wirken, zu F addiert werden. Wenn eine Kraft schräg zur betrachteten Bewegungsrichtung steht, muss sie in ihre Kompo­nente in die Bewegungsrichtung und ihre Komponente senkrecht dazu zerlegt werden. Zur Summe trägt nur die Komponente in Bewegungsrichtung bei. So erhalten wir die Summe der äußeren Kräfte. Wenn Kräfte durch Seile oder Ähnliches nur umgelenkt werden, sind sie so aufzufassen, als wirkten sie in die Zugrichtung des Seils.

Abb.B5

Beispiel 5: Umgang mit Umlenkung
In Beispiel4 spielt die Rolle keine Rolle. Die Kraft auf beide Körper wird dadurch nur umgelenkt, jedoch vom Betrag nicht verändert. Man kann das System deshalb einfach "geradeziehen", indem man beide Bewegungrichtungen als x bezeichnet. Genaugenommen bewegt sich der gemeinsame Schwerpunkt beider Körper nach rechts unten. Wenn man aber nicht an der genauen räumlichen Bewegung des Schwerpunktes, sondern nur an der Beschleunigung des Wagens und/oder des Klotzes interessiert ist, dann ist die Umlenkung egal und man kommt mit einer Bewegungskoordinate aus. Abb.B5 zeigt das "geradegezogene" Sytem und sein Freikörperbild.

Wenn wir uns entschieden haben, wen wir als System betrachten, haben wir nach diesen beiden Schritten unsere Bewegungsgleichung. Dazu müssen wir nur die äußere Kraft und die träge Masse in das Bewegungsgesetz in der Form $F_a=m_T \ddot x$ einsetzen. Für Beispiel 5 ergibt das $mg = (m_1+m) \ddot x$.

und ein x für ein f: Differentialgleichungen lösen

Die Gleichung, die wir im 4. Schritt erhalten, ist eine sogenannte Differentialgleichung. Diese Art von Gleichungen enthält Ableitungen von Funk­tionen, aber die Funktion selbst ist die Unbekannte. Ihre Lösungen sind Funktionen, deren Ableitungen sich so verhalten, wie es die Gleichung vorgibt.

Beispiel 6: Was ist eine Differentialgleichung?
Eine Differenzialgleichung ist beispielsweise $\dot x = x$. Darin suchen wir eine Funktion $x(t)$, deren Zeitab­leitung wieder die Funktion selbst ist. Das trifft auf die Funktion $x(t)=e^t$ zu, denn $\frac{d}{dt}e^t=e^t$. Sie wäre also eine Lösungsfunktion. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion $x(t)=e^{ct}$, denn $\frac{d}{dt}e^{ct}=c\cdot e^t=c\cdot x(t)\ne x(t)$. Das wäre also keine Lösungsfunktion der Gleichung.

Wie findet man die Lösungsfunktion einer Differenzialgleichung? Dazu gibt es eine Vielzahl mathe­matischer Methoden, die aber - bis auf wenige einfache Ausnahmen - nicht Inhalt des PhysKi sind. Denn das ist ein rein mathematisches und unter Umständen sehr kompliziertes Problem. Die Physik steckt darin, die rich­tige Differenzialgleichung aufzustellen und aus vorhandenen mathematischen Lösun­gen diejenigen auszu­wählen, die physikalisch sinnvoll sind und die gegebene Situation beschreiben. Deshalb kon­zen­trieren wir uns darauf. Was sind die Ausnahmen? Einfache Differentialgleichungen, die man durch Trennung der Variablen direkt integrieren kann. Insbesondere, wenn man die Gleichung in eine Gleichung für $v(t)$ umschreiben kann, können wir sie durch die Methode „Trennung der Variablen mit an­schließender Integration“ lösen und so auch $x(t)$ berechnen. Ein Beispiel findet sich weiter unten. Auch Differentialgleichungen, die bei Schwingungen auftreten, kann man mit dem Ansatz $e^{\lambda t}$ noch relativ unaufwendig lösen. Dagegen vermittelt eine Differetialgleichung der Quantenmechanik, die Schrödinger-Gleichung des Wasserstoff-Atoms schon einen guten Eindruck, wie kompliziert die Lösung einer Differentialgleichung werden kann. Deshalb wundere Dich nicht, wenn in einigen Fällen Lösungs­funktionen „erraten“ werden oder "vom Himmel fallen" werden. Für uns als vorrangig an der Physik Interessierte sollte es überhaupt kein Problem, die Lösung komplizierter Differetialgleichungen den Mathematikern zum Knobeln zu überlassen, das ist deren Job. Uns darf es genügen, eine gegebene allgemeine Lösungs­funktion durch Ein­set­zen in die Differenzialgleichung zu über­prüfen. Und natürlich, ob sie physikalisch sinnvoll sind. Allgemeine Lösungs­funktionen enthalten in der Regel mehrere Konstanten. Wenn wir diese passend zu einer speziellen Situation ersetzen, erhalten wir auch die passende Lösung der Differenzialgleichung für genau diese spezielle Situation.

Anwendung auf Translationen

Die folgenden vier Anwendungsbeispiele bauen aufeinander auf. Im ersten Beispiel, Newtons berühmter Apfel, werden alle Schritte an einem einfachen System ausführlich beschrieben. Im zweiten Beispiel wird gezeigt, wie man die am einfachen Beispiel gewonnenen Erkenntnisse direkt auf komplexere Systeme übertragen kann. Es enthält im Grunde nichts Neues, nur das System ist komplizierter. Im dritten Beispiel tauchen dann drei neue Probleme auf: Die Bewegung ist mehrdimensional, die Kräfte zeigen nicht mehr in Bewegungsrichtung und die auftretende Gleichung ist nur durch Nähe­rung analytisch lösbar. Im letzten Beispiel werden wir eine Bewegung mit Reibung betrachten und an dem Beispiel zeigen, wie man vorgeht, wenn nicht alle beweg­ten Objekte Bestandteil des Sys­tems sind und wie man eine Bewe­gungs­gleichung durch Grenz­fallbetrachtungen analysiert. Zusam­men­genommen demon­strieren diese Beispiele alle wesentl­ichen Methoden zum Auf­stellen und Lösen von Bewegungs­gleichungen.

Ein fallender Apfel

Abb.1 Situation und Freikörperbild

Ein ruhender Apfel der Masse m wird aus der Höhe h fallen gelassen. Wie ändert sich seine Höhe h(t) als Funktion der Zeit? Luftreibung ist vernach­lässigbar.

1. Schritt: Koordinaten wählen: Der Apfel fällt senkrecht nach unten. Die gesuchte Bewegung ist eindimensional. Wir können sie entweder allgemein über den Weg s ausdrücken oder direkt über eine Koordinate. Wir denken uns die Situation wie in Abb.1 gezeigt und nehmen die y‑Koor­dinate.
2. Schritt: Systemgrenze ziehen: Die Situation besteht aus drei Komponenten: dem Apfel der Masse m, der Erde und ihrem Gravi­ta­tionsfeld. Wir fragen nur nach der Bewegung des Apfels. Wir schließen deshalb nur ihn in unser System ein und zeichnen symbolisch die Systemgrenze um ihn herum.
3. Schritt: Träge Masse bestimmen: Das System enthält nur den Apfel, also ist die träge Masse des Systems nur seine Masse m.
4. Schritt: Äußere Kräfte identifizieren: Auf die Masse des Apfels wirkt nur die Gewichtskraft $F_g^{A,E}=-mg$. Sie ist eine äußere Kräfte, denn ihre Ursache, das Gravitations­feld der Erde, ist nicht Bestandteil des Systems. Deshalb enthält das Freikörperbild nur diese eine Kraft.
5. Schritt: Vereinigung zur Bewegungsgleichung: Zusammenführen beider Seiten ergibt $F_g^{A,E}=m \ddot y$. Einsetzen von $F_g^{A,E}=-mg$ liefert $-mg=m \ddot y$ Wir sehen unmittelbar, dass die Masse m herausfällt und nur $-g=\ddot y$ übrig bleibt. Üblicherweise schreibt man das dann noch so, dass die höchste Ableitung ganz links steht. Das ergibt dann die

   Bewegungsgleichung des freien Falls: $\ddot y=-g$

   (Gl.2)

   Da die Bewegungsgleichung einen Fall beschreibt, ohne das die Masse darin vorkommt, können wir ihr jetzt schon entnehmen, dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse gleich fallen werden. Für diese Erkenntnis müssen wir die Gleichung noch nicht einaml lösen. Wir werden es trotzdem tun.
   Diese Bewegungsgleichung beinhaltet die mathematische Frage: Ich bin eine unbekannte Funktion und heiße $y(t)$. Leite mich zweimal nach t ab, dann bin ich −g. Wer bin ich?
   Ihre physikalische Frage ist: Welche Ort-Zeit-Funktion erhalte ich, wenn eine konstante Beschleunigung −g vorliegt?
   Konstante Beschleunigung bedeutet auch konstante Kraft. Und konstante Kraft bedeutet, dass sie mit einer konstanten Rate Impuls an das System überträgt, d.h. immer die gleiche Impulsmenge pro Zeitintervall. Hier ist die Antwort noch einfach: Dann wird auch die Geschwindigkeit mit einer konstanten Rate zunehmen, denn die Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung. Genauso, wie sich der Füllstand eines Wasserglases gleichmäßig erhöht, wenn man mit konstanter Rate Wasser hineingießt.
6. Schritt: Allgemeine Lösung finden: Wir benötigen zuerst eine allgemeine Lösung für die Ort-Zeit-Funktion und bilden aus dieser im nächsten Schritt die passende Ort-Zeit-Funktion für die gestellte Aufgabe. Das Lösen kann beliebig kompliziert sein. Deshalb schauen wir immer zuerst auf die mathematische Form der Differential­gleichung und fragen uns, ob wir für diese mathematische Form eine allgemeine Lösungsfunktion schon kennen. In diesem Fall ist die mathematische Form und ihre Lösung

   Bewegungsgleichung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: $\ddot x(t)=a$ mit beliebiger Konstanten a Lösungsfunktion: $x(t)=\frac 1 2 a t^2+v_0 t + x_0$ mit Integrationskonstanten v0 und x0.

   (Gl.3)

   Das ist eine sogenannte gewöhnliche Differentialgleichung 2.Ordnung. Da sie die zweite Ableitung enthält, muss sie zweimal integriert werden (siehe Rechnung), um die Funktion $x(t)$ zu erhalten. Bei jeder Integration entsteht eine Integrationskonstante, deshalb enthält die Lösung zwei davon. Wir überprüfen, ob $x(t)$ in Gl.3 wirklich die Differentialgleichung erfüllt. Dazu bilden wir immer die Zeitableitungen $\dot x(t)=at +v_0$ und $\ddot x(t)=a$, und setzen sie in die Bewegungsgleichung ein: Das ergibt $a=a$, d.h. die Funktion $x(t)$ ist die Lösung.

   Angewendet auf unsere physikalische Situation ist die Funktion $x(t)$ unsere gesuchte Ort-Zeit-Funktion. Wir müssen noch a, v₀ und x₀ mit physikalischer Bedeutung füllen. Das gelingt uns durch Vergleich mit bereits Bekanntem: Die äußere Kraft ist konstant, d.h.sie hängt nicht von x, v oder t ab. Es liegt also eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor, die wir schon aus der Kinematik kennen, ebenso wie ihre Ort-Zeit-Funktion. Darin ist a die Beschleunigung und $v_0$ und $x_0$ sind Anfangsgeschwindigkeit und Startort bei $t=0$.

   Alle Bewegungs­gleichun­gen, in denen nur konstante Kräfte und Massen und deshalb konstante Beschleunigungen auftau­chen, haben diese mathematische Form und diese Lösungs­funktion, egal, welcher Natur die Kräfte sind. Die Ort-Zeit-Funktion $x(t)$ ist also genau dann eine Lösung, wenn die Konstante a in der Bewegungsgleichung als Beschleunigung a in x(t) eingesetzt wird. Man kann somit die Beschleunigung a unmittelbar aus einer Bewegungs­gleichung der mathematischen Form von Gl.3 ablesen.
7. Schritt: Passende Lösung finden: Jetzt benötigen wir noch die auf die gestellte Aufgabe zugeschnittene Ort-Zeit-Kurve. Das macht man, indem man die Konstanten der allgemeinen Lösung und die Koordinate passend zur gegebenen Situation er­setzt. In $x(t)$ sind die Konstanten a, $v_0$ und $x_0$. Angewendet auf unseren physikalischen "Fall" ist die Koordinate $y(t)$ und die Konstante $a=-g$. Der Apfel fällt aus der Ruhe, daher ist $v_0=0$. Und er startet aus der Höhe h, daher ist $x_0=h$. Alles eingesetzt ergibt die endgültige Lösung, zugeschnitten auf die Ausgangsfrage: $y(t)=\frac 12(-g)t^2 +h=h -\frac 12 g t^2$. Das ist die Ort-Zeit-Funktion des freien Falls. Aus $y(t)$ erhalten wir die passende Lösung für $v(t)$ durch Ableiten: $v(t)=-gt$.

Ein Wagen auf einer Luftkissenschiene

Abb.3 Wagen auf einer Luftkissenschiene

Abb.4 Koordinate, System und Freikörperbilder

Ein Wagen (W) der Masse $m_1$ wird auf einer Luft­kissen­schiene (S) bei x = 0 festgehalten und ist mit einem mas­se­losen Faden (F) über eine masselose Rolle mit einem Klotz (K) der Masse $m_2$ verbunden, der in der Höhe h über dem Boden hängt. Wie beschleunigen beide Körper, wenn der Wagen losgelassen wird? Wie groß ist dann die Zugkraft im Faden? Jede Reibung ist vernach­lässigbar. Das ist im Grunde die gleiche Situation wie in den Beispiel 3, Fall B, nur das hier der Wagen nicht rollt, sondern gleitet.

1. Schritt: Koordinaten wählen: Hier tritt eine uns schon bekannte Komplikation durch die Umlenkung auf: Der Wagen bewegt sich hori­zon­tal, der Klotz vertikal. Was ist die Koordinate der Bewegung? Das Problem lässt sich sofort beheben, denn beide Körper wer­den sich gleich schnell bewegen, weil sie mit­ein­ander ver­bun­den sind. Wir kön­nen ent­weder den "neutra­len" Weg s ein­führen und damit rechnen. Dann steht s beim Wagen stell­ver­tre­tend für x und beim Klotz z.B. für $y=h-s$. Oder wir "ziehen das System gerade" wie in Beispiel 5. Wir werden letzteres tun und rechnen mit x und behalten im Hinterkopf, dass die Bewe­gung des Klotzes gleich schnell vertikal nach unten erfolgt.
2. Schritt: System auswählen: Die Situation besteht aus sechs Komponenten: Die Schiene, die Rolle, der Faden, die Massen m₁ und m₂ von Wagen und Klotz und das Gravitationsfeld der Erde. Bewegt werden die Massen m₁ und m₂, der Faden und die Rolle. Wir suchen die gemeinsame Bewe­gung beider Mas­sen und schließen deshalb beide Massen und alles, was sich mitbewegt in unser System ein: die Rolle, den Faden, die Massen m₁ und m₂. Wir zeichnen wieder symbolisch die System­grenze ein.
3. Schritt: Träge Masse bestimmen: Bis auf m₁ und m₂ können alle Massen vernachlässigt wer­den. Die träge Masse des Systems ist also $m_T = m_1 + m_2$.
4. Schritt: Äußere Kräfte identifizieren. Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung brauchen wir nicht zu beachten, denn sie können keine Beschleunigung in Bewegungsrichtung erzeugen. Das sind die Gewichtskraft und die Normalkraft, die auf den Wagen wirken. Beide sind äußere Kräfte, denn ihre Ursachen - Gravitations­feld und Schiene - sind nicht Bestandteil des Systems. Sie heben sich auf, denn der Wagen wird vertikal nicht beschleunigt. Er hebt weder ab noch versinkt er in der Schiene. Es verbleiben in x-Richtung die auf beide Körper wirkenden jeweiligen Zugkräfte des Fadens sowie die Gewichtskraft, die auf den Klotz wirkt. Die beiden Zugkräfte sind innere Kräfte, sie können jeweils einen der Körper, aber nicht das Gesamtsystem aus beiden Körpern beschleunigen. Als einzige äußere Kraft in Bewegungsrichtung bleibt die Gewichtskraft $F_g^{K,E}$ auf den Klotz, die über den Faden auch teilweise auf den Wagen übertragen wird. Wir schreiben also $F_a=m_2 g$.
5. Schritt: Vereinigung zur Bewegungsgleichung: Zusammenführen beider Seiten ergibt $m_2 g=(m_1+m_2)\ddot x$. Wir lösen das wieder nach der höchsten Ableitung auf und erhalten die
   • Bewegungsgleichung für Wagen und Klotz: $\ddot x=\frac{m_2}{m_1+m_2}g$ (Gl.5).
   Diese Bewegungsgleichung beinhaltet die mathematische Frage: Leite mich zweimal nach der Zeit ab, dann bin ich $\frac{m_2}{m_1+m_2}g$. Wer bin ich?
6. Schritt: Allgemeine Lösung finden: Wir schauen zuerst auf die mathematische Form: Sie entspricht wieder Gl.3, denn rechts stehen nur konstante Größen. Ihre allgemeine Lösung kennen wir schon aus unserem ersten Beispiel. Auch hier liegt wieder eine konstante äußere Kraft, also eine gleichmäßig beschleunigte Bewe­gung vor und die allgemeine Lösungsfunktion ist wieder Gl.4, so wie bei allen Bewegungs­gleichungen dieser Form.
7. Schritt: Passende Lösung finden: Jetzt benötigen wir noch die passende Lösungsfunktion für die gestellte Aufgabe. Die Koordinate bleibt x für den Wagen und wird y_K für den Klotz, wobei die positive Richtung nach oben gewählt wird und der Ursprung am Boden ist. Aus Gl.5 lesen wir a ab: $a=\frac{m_2}{m_1+m_2}g$. Explizite Werte für die anderen Konstanten gibt uns die Aufgabenstellung: Beide Massen starten aus der Ruhe, also ist $v_{0} = 0$. Die Anfangsorte sind für den Wagen bei $x_0 = 0$ und für den Klotz bei $y_0 = h$. Der Wagen bewegt sich in die positive Achsenrichtung, der Klotz in die negative. Unsere passende Lösung für den Wagen ist damit: $x(t)=\frac 12 \frac{m_2}{m_1+m_2}g t^2$ und für den Klotz $y(t)=h-\frac 12 \frac{m_2}{m_1+m_2}g t^2$. Bei Bedarf können wir daraus auch $v(t)$ erhalten.

Verständnisfrage 1: Was spricht dagegen, die Koordinate des Klotzes von Anfang an als y mit der positiven Richtung nach oben zu wählen, wie es doch eigentlich üblich ist?

Die positive Koordinatenrichtung sollte für beide Körper einheitlich gewählt werden, wenn sie sich gemeinsam bewegen. Es führt nur zu unnötigen Vorzeichenkomplikationen, wenn man die positive Koordinatenrichtung für den Klotz gegen die Bewegungsrichtung wählt und gleichzeitig für den Wagen in Bewegungsrichtung.

Abb.4 Bestimmung der Zugkraft

Zum Schluss beantworten wir noch die Frage nach der Zugkraft im Faden. Damit wir diese bestimmen können, müssen wir nur einen der beiden Körper freischneiden, wie Abb.4 symbolisiert. Wir wählen den Wagen, mit dem Klotz geht es aber genauso gut. Beide liefern natürlich nach Actio=Reactio den gleichen Betrag $F_Z$.

Wenn wir nur den Wagen freischneiden, lautet die Bewegungsgleichung $F_Z^{W,F}=m_1 \ddot x =m_1a$. Da wir nun a bereits kennen, ist es ein Leichtes, die Zugkraft zu bestimmen: $F_Z^{W,F}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}g$.

Für den Klotz erhalten wir analog $-F_Z^{K,F}+m_2g=m_2\frac{m_2}{m_1+m_2}g$, woraus ebenfalls $F_Z^{K,F}=m_2g-m_2\frac{m_2}{m_1+m_2}g=\frac{m_2(m_1+m_2)-m_2^2}{m_1+m_2}g=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}g$ folgt.

Diese Zugkraft ist immer kleiner als die kleinere der beiden Gewichtskräfte. Im Fall gleicher Massen wäre sie z.B. $F_Z= \frac m2g$. Deshalb beschleunigen beide Körper deutlich weniger, als sie es im freien Fall täten.

Verständnisfrage 2: Würde man nicht erwarten, dass sich beim Freischneiden des Klotzes eine negative Zugkraft ergibt? Denn sie zeigt ja gegen die Beegungsrichtung. Warum ist das Ergebnis positiv?

Das Ergebnis muss positiv sein, denn die Richtung der Zugkraft wird über das Vorzeichen erfasst und deshalb steht $-F_Z^{K,F}$ in der Gleichung. Das bedeutet zwangsläufig, dass $F_Z^{K,F}$ selbst positiv sein muss, sonst wäre $-F_Z^{K,F}$ ja nicht negativ.

Ein Fadenpendel

Abb.5 Fadenpendel und Freikörperbild

Eine Kugel der Masse m hängt an einem masselosen Faden der Länge L. Die Kugel wird um eine Strecke s₀ ausgelenkt und dann losgelassen. Luftreibung ist vernach­lässigbar. Stelle die Bewegungsgleichung für die Kugel auf und bestimme die Ort-Zeit-Funktion der Bewegung. Vereinfache die Bewegungsgleichung durch die Kleinwinkelnäherung $\sin(\varphi)\approx\varphi$ für kleine Auslenkungswinkel φ.

1. Schritt: Koordinaten wählen: Wir denken uns die Situation wie in Abb. 5 gezeigt. Die Bewegung verläuft zwei­di­men­sio­nal, verändert also x und y. Doch sie liegt auf einer Kreisbahn mit $r = L$ und dafür bieten sich Polarkoordinaten r und φ an. Die Bewegung verändert damit nur eine Koordinate, nämlich den Winkel φ, denn r bleibt konstant. Deshalb wählen wir φ und können nun den gekrümmten Weg mit $s=\varphi L$ ausdrücken. Die Bewegungsrichtung ist die Richtung von s. Wir legen die x-Achse senkrecht nach unten, so dass φ den Winkel zur x-Achse angibt. Der Winkel φ und s können positive und negative Werte annnehmen. Beide sind positiv bei einer Auslenkung nach rechts wie in Abb.5.
2. Schritt: Systemgrenze ziehen: Die Situation besteht aus vier Komponenten: Der Kugel der Masse m, dem Faden inklusive seiner Aufhängung, der Erde und dem Gravitationsfeld der Erde. Wir fragen nur nach der Bewegung des Kugel. Wir schließen deshalb nur seine Masse in unser System ein und zeichnen symbolisch die Systemgrenze um die als Massepunkt modellierte Kugel herum.
3. Schritt: Träge Masse bestimmen: Das System enthält nur die Kugel, also ist die träge Masse des Systems nur ihre Masse m.
4. 

   Abb.6 Komponenten der Gewichtskraft
   Schritt: Äußere Kräfte identifizieren. Auf die Masse der Kugel wirkt die Gewichtskraft $F_g^{K,E}$ und die Zugkraft des Fadens $F_Z^{K,F}$. Beides sind äußere Kräfte, denn ihre Ursachen - das Gravitations­feld der Erde und der Faden - sind nicht Bestandteil des Systems. Beide Kräfte liegen nicht parallel zur momentanen Bewe­gungs­richtung entlang s. Wie geht man in so einem Fall vor? In so einem Fall müssen wir für beide Kräfte ihre Komponente in Richtung s bestimmen. Dazu legen wir die Tangente an s und be­stim­men die senkrechte Projektion der Kräfte darauf (Abb.6). Die Zugkraft steht senkrecht auf der Tangente (blau), daher hat sie keine Komponente entlang s und ist für die Beschleunigung entlang s bedeutungslos. Die Gewichtskraft ist dagegen um den Winkel φ gegen die Senkrechte geneigt und hat daher eine Komponente $F_{g\parallel}^{K,E}$ parallel zur Tangente, die s entgegen ge­rich­tet ist. Nur $F_{g\parallel}^{K,E}$ beschleunigt die Kugel. Die senkrechte Komponente $F_{g\perp}^{K,E}=mg\cos(\varphi)$ und ist ebenfalls für die Beschleunigung entlang s bedeutungslos und kompensiert dagegen die Zug­kraft. Wir schreiben also $F_a=-F_g^{K,E}\sin(\varphi)=-mg\sin(\varphi)$.
5. Schritt: Vereinigung zur Bewegungsgleichung: Zusammenführen beider Seiten mit $x = s = Lφ$, also $φ = \frac sL$ ergibt: $-m g\sin(\frac sL)=m\ddot s$. Wir lösen wieder nach der höchsten Ableitung auf und erhalten $\ddot s= - g\sin(\frac sL)$. Üblicherweise schreibt man das als $\ddot s+ \frac gL\sin(\frac sL)=0$. Diese einfach aussehende Bewegungsgleichung hat es wirklich in sich und ist sehr aufwendig zu lösen. Das überlassen wir der theoretischen Physik. Wir vereinfachen stattdessen die Gleichung, indem wir ihre Gültigkeit auf kleine Winkel ein­schrän­ken, für die wir dann $\sin (\frac sL) \approx\frac sL$ einsetzen können. Das ergibt die
   • Bewegungsgleichung der harmonischen Schwingung eines Fadenpendels: $\ddot s+ \frac gL s=0$ (Gl.6).
6. Schritt: Allgemeine Lösung finden: Wir benötigen zuerst eine allgemeine Lösungsfunktion, um aus dieser spezielle Lösungsfunktionen bilden zu können. Wie gewohnt schauen wir immer zuerst auf die mathematische Form der Differenzial­gleichung und fragen uns, ob wir für diese Form eine allgemeine Lösungsfunktion schon kennen. In diesem Fall ist die mathematiche Form

   Bewegungsgleichung einer harmonischen Schwingung: $\ddot x + \omega^2 x =0$ Lösungsfunktion: $x(t)=A\cdot\sin(\omega t+\varphi_0)$ mit den Integrationskonstanten A und $\varphi_0$.

   (Gl.7)

   Diese Form kannten wir bisher noch nicht. Sie beinhaltet die mathematische Frage: Leite mich zweimal nach der Zeit ab, dann bin ich das negative Quadrat der Konstante $\omega$, die mich schmückt, mal mir selbst. Wer bin ich?

   Merke Dir die mathematische Form dieser Gleichung gut! Schwingungsgleichungen tauchen überall in der Physik auf.

   Ihre allgemeine Lösung kennen wir schon. Denn die äußere Kraft ist $F = − k\cdot x$. Es liegt deshalb eine harmonische Schwingung vor und deren Ort-Zeit-Funktion haben wir schon in der Kinematik kennengelernt. Das gibt uns wieder die physikalische Bedeutung der Konstanten: A ist die Amplitude der Schwingung und $\varphi_0$ die Phasenverschiebung, die die Auslenkung bei $t=0$ festlegt. $x(t)$ kann man sowohl in $x(t)=A_1\cos(\omega t)+A_2\sin(\omega t)$ als auch in eine komplexe Exponentialfunktion mit den Konstanten C₁ und C₂ um­schrei­ben: $x(t)=C_1 e^{i\omega t}+C_2 e^{-i\omega t}=(C_1+C_2) \cos(\omega t)+ i (C_1-C_2)\sin(\omega t)$. Die komplexe Form mag im ersten Moment abschrecken, ist aber letztlich der Schlüssel zur Lösung der Bewegungsgleichung und wird im Artikel harmonischer Oszillator erklärt. Alle Bewegungs­gleichun­gen, in denen nur linear zurücktreibende Kräfte und konstante Massen auftau­chen, haben diese Form und diese Lösungsfunktionen, egal, welcher Natur die Systeme oder Kräfte sind.

   Wir überprüfen, ob $x(t)$ wirklich eine Lösungsfunktion ist. Dazu leiten wir wieder zweimal ab: $\dot x(t)=\omega\cdot A\cdot\cos(\omega t+\varphi_0)$ und $\ddot x(t)=-\omega^2\cdot A\cdot\sin(\omega t+\varphi_0)$ und setzen ein: $-\omega^2\cdot A\cdot\sin(\omega t+\varphi_0)+\omega^2\cdot A\cdot\sin(\omega t+\varphi_0)=0$. Das passt.

   Wir sehen durch Vergleich der Bewegungsgleichung und ihrer Lösung (Gl.7) sofort, dass die Funktion x(t) genau dann eine Lösung ist, wenn wir die Kreisfrquenz ω, die quadriert in der Bewegungsgleichung steht, in die Lösungsfunktion x(t) einsetzen. Man kann somit ω unmittelbar aus der Bewe­gungs­gleichungen ablesen, ohne das man sie lösen muss. Genau so, wie wir auch a aus den Bewegungsgleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ablesen können.
7. Schritt: Passende Lösung finden: Jetzt müssen wir die Lösungsfunktion an die gestellte Aufgabe anpassen. Das machen wir wieder, indem wir die Konstanten der allgemeinen Lösung und die Koordinate passend zur gegebenen Situation ersetzen. In x(t) sind die Konstanten die maximale Auslenkung A, die wir Amplitude nennen, die Phasenverschiebung $\varphi_0$ und die Kreisfrequenz ω. Explizite Werte dafür bekommen wir aus der Aufgabenstellung und der gefundenen Bewegungs­gleichung: Die Kreisfrequenz ω lesen wir, wie gerade gelernt, aus unserer Bewegungsgleichung (Gl.6) ab und erhalten $\omega=\sqrt{\frac gL}$. Unser Weg ist s statt x, also ersetzen wir x(t) durch s(t) und A durch s₀. Die Kugel wird bei $t = 0$ am Ort maximaler Auslenkung s₀ losgelassen. Dann muss der Startort $s(t = 0) = s_0$ sein. Da $\sin(0) = 0$ ist, erfordert das eine Phasenverschiebung $\varphi_0=\frac{\pi}2$, denn $\sin(\frac{\pi}2) = 1$. Das ergibt $s(t)=s_0\sin(\omega t+\frac{\pi}2) = s_0\cos(\omega t)$ und ist mit $\omega=\sqrt{\frac gL}$ die Lösung für unser konkretes System passend zu den Anfangsbedingungen. Wir können ω natürlich auch einsetzen: $s(t)=s_0\cos(\sqrt{\frac gL}\cdot t)$ Bei Bedarf erhalten wir daraus auch $v(t)$ und $a(t)$ durch Ab­lei­ten.

Ein Fallschirmsprung

Abb.7 Fallschirmspringer und Freikörperbild

Fallschirmspringer Felix springt aus der Höhe h mit einem halbkugeligen Fallschirm der Querschnitts­fläche A ab. Er und sein Fallschirm samt Seilen haben zusammen die Masse m. Mit welcher Geschwindig­keit kommt er am Boden auf? Wind werde vernachlässigt.

1. Schritt: Koordinaten wählen: Der Fallschirmspringer fällt senkrecht nach unten, wir können also die y- oder z-Koordinate wählen. Wir nehmen der Abwechslung halber mal z.
2. Schritt: System auswählen: Die Situation besteht aus sechs Kompo­nenten: dem Springer, dem Fallschirm, den Verbindungsseilen, der Luft, der Erde mit ihrem Gravitationsfeld. Bewegt werden Springer, Seile und Fall­schirm. Wir schließen diese drei Komponenten in unser System ein.
3. Schritt: Träge Masse bestimmen: Das System enthält die Masse des Springers, der Seile und des Fallschirms, die zusammen m ergeben. Die träge Masse des Systems ist also m. Im folgenden nennen wir das ganze System einfach Fallschirmspringer und bezeichnen es mit F.
4. Schritt: Äußere Kräfte identifizieren. Den Luftwiderstand von Felix allein können wir im Vergleich zu dem des Fallschirms vernachlässigen. (Wäre das nicht so, bräuchte man keinen Fallschirm.) Auf den Fallschirmspringer wirkt nach unten die Gewichts­kraft $F_g^{F,E} = − mg$ und nach oben die Luftwiderstandskraft $F_{W}^{F,L} = \frac 12 \rho c_w A v^2$. Beide sind äußere Kräfte, denn ihre Ursachen – Gravitations­feld und Luft - sind nicht Bestand­teil des Systems. Die Zugkräfte der Seile sind dagegen innere Kräfte, weshalb sie uns nicht interessieren. Die äußere Kraft ist die Summe beider Kräfte, also $F_A=F_{W}^{F,L} -F_{g}^{F,E}= \frac 12 \rho c_w A v^2-mg$.
5. Schritt: Vereinigung zur Bewegungsgleichung liefert $\frac 12 \rho c_w A v^2-mg=m \ddot z$. Diese Gleichung enthält nun erstmals eine Kraft, die von der Geschwindigkeit $v=\dot z$ abhängt. Wenn möglich, bietet es sich dann an, die Gleichung nur durch $v$ ausdrücken. Das geht immer dann, wenn nicht auch noch eine Abhängigkeit von z auftritt. Hier ist das der Fall und wir ersetzen $\ddot z$ durch $\dot v$. Das ergibt $\frac 12 \rho c_w A v^2-mg=m \dot v$. Dann lösen wir noch nach $\dot v$ auf und erhalten die

   Bewegungsgleichung des freien Falls mit Luftwiderstand: $\dot v=\frac 12 \frac{\rho}m c_w A v^2-g$

   (Gl.8)

   Diese Bewegungsgleichung ist nicht linear in $v$, denn sie enthält $v^2$. Sie ist schon recht anspruchsvoll zu lösen.
6. Schritt: Allgemeine Lösung finden: Wir schauen zuerst auf die mathematische Form. Um sie besser erkennen zu können, fassen wir die Konstanten zusammen und setzen $k= \frac 12 \rho c_w A$ und $a=g$. Mit den Konstanten k und a hat sie die mathematische Form

   Bewegungsgleichung für gleichmäßige Beschleunigung mit Luftwiderstand: $\dot v =\frac km v^2-a$ Lösungsfunktion: $v(t)=-\sqrt{\frac{ma}{k} }\tanh\left(\sqrt{\frac{a k}{m} }\cdot t\right)$ für Integrationskonstante $v_0=0$

   (Gl.9)

   Darin steht $\tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ für den Tangens Hyperbolicus. Sowohl diese Gleichung als auch ihre Lösung für $v_0=0$ kannten wir bisher nicht. Sie zu finden ist sehr aufwendig und die Lösung für $v_0 \ne 0$ noch unübersichtlicher. In jedem Fall benötigt dazu vorher eine spezielle Lösung (sog. partikuläre Lösung) und diese wird uns helfen, die Konstanten mit physikalischer Bedeutung zu füllen. Eine spezielle Lösung ist eine von mehreren Lösungen, die man erraten oder irgendwie anders bestimmen muss. Beißt sich da die Katze nicht in den Schwanz? Wie kann man eine spezielle Lösung finden, bevor man eine allgemeine Lösung hat? Das geht, und zwar durch Grenzfallbetrachtungen.

Abb.8 Geschwindigkeit beim Fall mit Luftwiderstand
7. Schritt: Passende Lösung finden: Um eine spe­zielle Lösungsfunktion zu finden, wenn man keine allgemeine Lösung kennt, kann man die Bewe­gung am Anfang und am Ende betrachten. Also für die Grenz­fälle, dass jeweils eine oder beide Kräfte keine Rolle spielen. Am Anfang, bei $t = 0$, ist $v = 0$ und damit auch der Luftwiderstand. Zu Beginn wird die Bewegung deshalb wie ein freier Fall verlaufen: $v(t)=-gt$ (orange gestrichelt in Abb.8). Dabei wächst $v$ und damit auch $F_W$, bis sich Ge­wichts­kraft und Luftwiderstand kompensieren. Dann wird der Fallschirmspringer nicht weiter beschleunigt, er hat seine maximale Endgeschwindigkeit $v_{\infty}$ erreicht, die dann konstant bleibt. Daraus gewinnen wir die gesuchte spezielle Lösung, denn dann gilt: $\frac 12 \rho c_w A v_{\infty}^2-mg=0\ \Rightarrow\ \ v_{\infty}=\pm\sqrt{\dfrac{mg}{\frac 12 \rho c_w A}}$. Weil der Springer nach unten fällt, macht hier nur das negative Vorzeichen Sinn. Damit haben wir schon einmal die Endgeschwindigkeit des Springers. Und für die Konstanten in Gl.9 ergibt das die Bedeutung $\frac k m=\frac a{v_{\infty}^2}$. Das ist der sogenannte stationäre Fall, weil sich die Geschwindigkeit nicht mehr ändert (grün gestrichelt in Abb.8). Mit $v_{\infty}=-\sqrt{\dfrac{mg}{\frac 12 \rho c_w A}}$ ist die Geschwindigkeit-Zeit-Kurve schließlich $v(t)=-v_{\infty} \tanh\left(\frac{g}{v_{\infty}}\cdot t\right)$ (schwarze Linie in Abb.8). Nur wenn man wirklich an der Bewegung in stark ge­krümm­ten Bereichen der Geschwindigkeit interessiert ist, muss man sich mit den allgemeinen Lösungen abmühen. Die Ort-Zeit-Kurve ergibt sich durch Integration der Geschwindikeit-Kurve zu $z(t)=z_0-\dfrac{v_{\infty^2} }{g}\ln\left(\cosh\left[\dfrac{g}{v_{\infty^2}}t\right]\right)$. Diese Form der Bewegung ergibt sich immer, wenn eine konstante Beschleunigung mit einer Reibungskraft ~v² zusammenkommt. Auch eine Regentropfen fällt so, ebenso, wie ein Stein, der ins Wasser fällt.

Zusammenfassung

Nach dem selben Muster kann man für beliebige Systeme Bewegungsgleichungen aufstellen. Manche können wir analytisch lösen, manche durch Näherungen oder Grenzfallbetrachtungen, andere nur numerisch. Einige wichtige Bewegungs­gleichun­gen und ihre Lösungen haben wir jetzt kennengelernt. Die vorgestellten Bewe­gungs­gleichungen allein werden ausreichen, um alle wichtigen Bewegungen der Grundlagenphysik beschreiben zu können. Weitere Bewegungsgleichungen, wie z.B. die der gedämpften Schwingung, werden im jeweiligen Kontext behandelt.

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