Wellenausbreitung: Unterschied zwischen den Versionen

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==Wellenfronten==
 
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[[File:Diffraction through Pinhole.svg|thumb|Abb.1 Kugelwellen (grau) und ebene Wellen (rot)]]
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Wenn wir am Meeresstrand stehen und die Brandungswellen wie Wasserwände heranrollen sehen, dann sehen wir die Wellenfronten der Wasserwellen. Jede Wasserwand ist eine Wellenfront. Zur zeichnerischen Darstellung von Wellen im Raum verwenden wir häufig solche Wellen­fron­ten. Die Wellen­fronten einer Welle sind Flächen glei­cher Phase (z. B. "Wel­len­berg" oder "Wellen­tal"), die zum gleichen Zeitpunkt erzeugt wur­den. Ihre Oszillatoren schwingen syn­chron und ihre Schwin­gun­gen sind „gleich alt“, d.h. zum gleichen Zeitpunkt ''t'' erzeugt worden. Der Abstand zweier Wellenfronten ist stets die Wellenlänge. Die Wellenfronten sind aus­ge­dehn­te zwei- oder dreidimensionale Objekte, die sich mit der Phasen­geschwin­digkeit ''c'' durch den Raum schieben. Sie sind das, was man von einer (sichtbaren) Welle sieht. Wellenfronten werden nur noch als Flächen oder Linien gezeichnet. Sie enthalten als als Information die dreidimensionale Form der Welle und die Wellenlänge, die den Abstand vorgibt. Informationen über die Amplituden gehen in dieser Darstellung verloren.
 
Wenn wir am Meeresstrand stehen und die Brandungswellen wie Wasserwände heranrollen sehen, dann sehen wir die Wellenfronten der Wasserwellen. Jede Wasserwand ist eine Wellenfront. Zur zeichnerischen Darstellung von Wellen im Raum verwenden wir häufig solche Wellen­fron­ten. Die Wellen­fronten einer Welle sind Flächen glei­cher Phase (z. B. "Wel­len­berg" oder "Wellen­tal"), die zum gleichen Zeitpunkt erzeugt wur­den. Ihre Oszillatoren schwingen syn­chron und ihre Schwin­gun­gen sind „gleich alt“, d.h. zum gleichen Zeitpunkt ''t'' erzeugt worden. Der Abstand zweier Wellenfronten ist stets die Wellenlänge. Die Wellenfronten sind aus­ge­dehn­te zwei- oder dreidimensionale Objekte, die sich mit der Phasen­geschwin­digkeit ''c'' durch den Raum schieben. Sie sind das, was man von einer (sichtbaren) Welle sieht. Wellenfronten werden nur noch als Flächen oder Linien gezeichnet. Sie enthalten als als Information die dreidimensionale Form der Welle und die Wellenlänge, die den Abstand vorgibt. Informationen über die Amplituden gehen in dieser Darstellung verloren.
  
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Zur Ausbreitung benötigen wir nur die ersten beiden Prinzipien.
 
Zur Ausbreitung benötigen wir nur die ersten beiden Prinzipien.
 
===Wellenwanderung: Das Huygensche Prinzip===
 
===Wellenwanderung: Das Huygensche Prinzip===
Wellen­aus­breitung stellen wir uns modell­haft so vor, als ob an jedem Punkt im Raum, den eine Wellenfront trifft, durch diese ein punkt­förmiger Ele­men­tar­wellen­sender ein­ge­schal­tet wird, der mit der aktuellen Phase der Welle startet. Dabei ist es egal, ob an diesem Punkt etwas vor­handen ist oder nicht, das gilt also auch für eine Licht­wel­le im Vakuum. Die Einhül­lende aller neu­en Elementar­wellen ergibt die neue Wel­len­front (Abb. 4). Der Ab­stand der Wellenfronten ist die Wellenlänge. Die Wellen­fronten können eine beliebige Form haben, Elementarwellen sind nor­ma­ler­weise Kugel­wellen, die man durch Kreise andeutet. Oft zeichnet man die Elemen­tarwellen nur als Halbreise in Lauf­richtung der Welle, obwohl man sie sich als komplette Kreise denken muss. Das darf man, weil die Elementar­wellensender ja in Bewegungs­richtung der Welle nacheinander „ange­schal­tet“ werden. Dadurch über­lagern sich die Ele­men­tarwellen nur in Vorwärtsrichtung zu einer neuen Wellenfront, in Rückwärtsrichtung inter­ferieren sie sich weg.  
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Wellen­aus­breitung stellen wir uns modell­haft so vor, als ob an jedem Punkt im Raum, den eine Wellenfront trifft, durch diese ein punkt­förmiger Ele­men­tar­wellen­sender ein­ge­schal­tet wird, der mit der aktuellen Phase der Welle startet. In Abb.4 ist dies beispielhaft an einigen Punkten angedeutet. Dabei ist es egal, ob an diesem Punkt etwas vor­handen ist oder nicht, das gilt also auch für eine Licht­wel­le im Vakuum. Elementarwellen sind nor­ma­ler­weise Kugel­wellen, die man durch Kreise andeutet. In Abb.4 sind sie blau gestrichelt. Die Überlagerung aller neu­en Elementar­wellen ergibt die neue Wel­len­front (blaue Linie in Abb. 4). Der Ab­stand der Wellenfronten ist die Wellenlänge. Die Wellen­fronten können eine beliebige Form haben. Oft zeichnet man die Elemen­tarwellen nur als Halbreise in Lauf­richtung der Welle, obwohl man sie sich als komplette Kreise denken muss. Das darf man, weil die Elementar­wellensender ja in Bewegungs­richtung der Welle nacheinander „ange­schal­tet“ werden. Dadurch über­lagern sich die Ele­men­tarwellen nur in Vorwärtsrichtung zu einer neuen Wellenfront, in Rückwärtsrichtung inter­ferieren sie sich weg. Das zeigt die Animation in Abb.5.
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{{Beispiel|Nr=1|Titel=Beugung, Ablenkung in den Schattenraum|Text=Phänomen: An den Rändern ebener Wellenfronten, die durch ein Hindernis scharf begrenzt wurden, ist die Welle nicht scharf begrenzt, sondern breitet sich mit gekrümmten Wel­len­fronten in den Schattenraum aus. Erklärung: An den Rändern macht sich die Kugelgestalt der Huygenschen Elementarwellen bemerk­bar, weil sie keine Nachbarwellen mehr haben, mit denen sie sich zur ebenen Welle überlagern können.}}
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{{Bildbeispiel|Nr=2|Titel=Reflexion|Text=Phänomen: Trifft eine ebene Welle auf eine ebene Grenz­fläche zweier Medien, in denen die Phasen­ge­schwin­digkeit unter­schiedl­ich ist, wird ein Teil der Welle reflektiert. Erklärung: Durch das Eintreffen der Wellenfront werden auf der Grenzfläche an nebeneinander liegenden Punkten gleichzeitig Elementarwellen aus­gesendet. Anders als bei einer laufenden Welle (wie in Abb.5) entstehen diese Elementarwellen an der Grenzfläche immer am gleichen Ort. Daher erzeugen sie auch Wellenfronten, die gegen die ursprüngliche Richtung laufen. Das ist die reflektierte Welle.<br>Im zweiten Medium haben die Elemen­tar­wellen eine andere Geschwindigkeit. In der gezeigten Animation laufen sie langsamer. Daher haben die Elementarwellen kleinere Radien und die Wellenlänge verkürzt sich.|Bild=Huygens20refl.gif}}
  
  
 
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[[category:Schwingungen und Wellen]]
 
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Version vom 28. Juli 2020, 22:44 Uhr

Physikalischer Kontext

Abb.1 Wellen breiten sich im Raum aus (Bildquelle:Wikimedia Commons)

Wellen sind Funktionen von Ort und Zeit, daher ist ihre grafische Dar­stel­lung aufwendig und erfordert drei Di­men­sionen oder Animationen, da man ja die Auslenkung als dritte Achse neben Ort und Zeit benötigt. Als Vereinfachung stellt man Wellen in der Regel zweidimensional dar, wobei man entweder den Ort oder die Zeit konstant hält ("Foto" oder "Film"). Doch solche Darstellungen reduzieren den Lauf der Welle auf eine Richtung und enthalten keine Informationen über die Ausbreitung der Welle im Raum. Gerade diese ist aber wichtig, wenn man Phänomene wie Beugung und Brechung verstehen will. Die Darstellung von Wellen wird schnell sehr aufwendig, wenn man ihre Ausbreitung im Raum und nicht nur entlang einer Raumrichtung aufzeigen will. Eine Welle ist ja nichts Loka­lisiertes und läuft normalerweise - außer bei Seilwellen - nicht entlang einer Linie. Man denke nur an eine kreisförmige Wasserwelle, wenn ein Tropfen ins Wasser fällt. Um zu zeigen, wie eine Welle sich im Raum ausbreitet, wählt man stark vereinfachte Darstellungen der Welle in Form von Wellenfronten oder Strahlen. Sich im Raum ausbreitende Wellen unterscheidet man zum einen nach der Form der Wellenfronten. Die beiden wesentlichen Formen sind ebene Wellen und Kugelwellen. Zum anderen beschreibt man ihre Ausbreitung mit Hilfe von Prinzipien. Das wichtigste ist das Huygensche Prinzip, nützlich ist auch das Fermatsche Prinzip. Das Huygensche Prinzip basiert auf einer grafischen Überlagerung von Kugelwellen und ist die Basis zum Verständnis von Beugung und Brechung. In diesem gesamten Artikel beschränken wir uns auf harmonische Wellen.

Wellenfronten

Abb.2 Kugelwellen (grau) und ebene Wellen (rot)

Wenn wir am Meeresstrand stehen und die Brandungswellen wie Wasserwände heranrollen sehen, dann sehen wir die Wellenfronten der Wasserwellen. Jede Wasserwand ist eine Wellenfront. Zur zeichnerischen Darstellung von Wellen im Raum verwenden wir häufig solche Wellen­fron­ten. Die Wellen­fronten einer Welle sind Flächen glei­cher Phase (z. B. "Wel­len­berg" oder "Wellen­tal"), die zum gleichen Zeitpunkt erzeugt wur­den. Ihre Oszillatoren schwingen syn­chron und ihre Schwin­gun­gen sind „gleich alt“, d.h. zum gleichen Zeitpunkt t erzeugt worden. Der Abstand zweier Wellenfronten ist stets die Wellenlänge. Die Wellenfronten sind aus­ge­dehn­te zwei- oder dreidimensionale Objekte, die sich mit der Phasen­geschwin­digkeit c durch den Raum schieben. Sie sind das, was man von einer (sichtbaren) Welle sieht. Wellenfronten werden nur noch als Flächen oder Linien gezeichnet. Sie enthalten als als Information die dreidimensionale Form der Welle und die Wellenlänge, die den Abstand vorgibt. Informationen über die Amplituden gehen in dieser Darstellung verloren.

Man unterscheidet Wellen nach der Form ihrer Wellen­fronten. Die wichtigsten Formen sind Kreiswellen, Kugelwellen und ebene Wellen. Kreis- und Kugelwellen entstehen, wenn die Welle irgendwo punktförmig angeregt wird. Vom Anregungsort laufen die Wellen in alle Richtungen radial weg. Die Wellenfronten sind Kreise oder Kugelschalen, die stetig größer werden. Abb.1 zeigt Kreiswellen, Abb.2 zeigt Kugelwellen, die an einem kleine Loch entstehen (grau). Weil die Flächen der Wellenfronten stetig größer werden, verteilt sich auch die Energie auf eine stetig größer werdende Fläche. Deshalb nimmt die Amplitude einer Kugelwelle mit zunehmendem Abstand vom Erregerpunkt schnell ab. Bei Kreis- oder Kugelwellen ist die Amplitude auf einer der Fronten überall gleich, wird aber beim Wei­ter­wandern ständig kleiner, was man auch in Abb.1 sehr schön sehen kann.

Bei Kugelwellen nimmt die Amplitude mit zunehmendem Abstand r vom Entstehungsort mi 1/r ab.

Ebene Wellen haben ebene Wellenfronten (Abb.1, rot). Die Größe der Wellenfronten ändert sich nicht bei der Ausbreitung. Überall laufen die Wellen parallel und gleichphasig. Da sich die Fläche der Wellenfronten nicht ändert, bleibt auch die Amplitude konstant.

Bei einer ebenen Welle ist die Amplitude der Welle überall gleich und bleibt es beim Weiter­wandern auch.

Ebene Wellen entstehen bei einer groß­flächigen gleichphasigen Anregung. Ebene Wellen sind eine Idealisierung. Man erzeugt sie näherungsweise, indem man eine ebene Platte in einem Medium, z.B. Wasser oder Luft, schwingen lässt.

Kugelwellen lassen sich in großem Abstand vom Erregerzentrum sehr gut als ebene Wellen nähern. So wie wir den Erdboden als eben wahrnehmen, wenn wir auf ihm stehen, weil der Erdradius im Vergleich zu unserem Abstand sehr groß ist, so sieht auch jede Kugelwelle in sehr großem Abstand vom Erreger eben aus, wenn der Radius der Wellenfront im Vergleich zur Wellenlänge sehr groß ist.

Grafische Darstellung

Abb.3 Wellenfonten und Strahlen: Strahlen (Pfeile) stehen immer senk­recht auf Wellenfronten (gestrichelt) und zeigen in Laufrichtung. a) Ebene Wellenfronten er­geben parallele Strahlen, b) gekrümmte Wellen­fronten ergeben divergente oder c) konvergente Strahlen.

Wellenfronten

Auch bei Wellenfronten fällt die drei­di­men­sionale Darstellung oft schwer, wes­wegen man sie meist zwei­di­men­sional zeichnet: kugelförmige Wellen­fronten werden zu Kreisen, ebene Wellenfronten werden zu geraden Strichen. Der Abstand zwischen den Linien ist die Wellenlänge. Jede Einzellinie symbolisiert Wellenfronten, die gleichzeitig erzeugt wurden und die gleiche Phase und Auslenkung haben. Unterschiedliche Linien haben ein unterschiedliches Alter. Je weiter vorn in Laufrichtung, umso älter.

Auf jeden Punkt einer Wellenfront können wir uns einen Vektor denken, der senkrecht auf ihr steht, weil er in ihre lokale Ausbreitungsrichtung zeigt. Diesen Vektor nennen wir Wellenvektor $\vec k$. Sein Betrag ist die Kreiswellenzahl k. Bei ebenen Wellen sind die Wellen­vektoren überall gleich lang und gleich gerichtet. Bei Kreis- und Kugelwellen sind sie auch über­all gleich lang, zeigen aber radial nach außen.

Strahlen

Bei Lichtwellen zeichnen wir häufig Strahlen statt Wellenfronten. Strahlen zeigen immer die Richtung des Wellen­vektors $\vec k$ einer Welle und stehen wie $\vec k$ stets senkrecht auf den Wellen­fron­ten. An­ders als Wellenfronten können Strah­len nicht gekrümmt sein. Dort, wo Strah­len eng beieinander sind, ist die Intensität der Welle groß. In ebenen Berei­chen der Wel­len­fronten verlaufen Strahlen parallel zueinander, in gekrümmten Berichen dagegen nicht. Aus­ein­anderlaufende Strahlen nennen wir divergent. Aufeinander zu laufende Strah­len nennen wir konvergent. Divergente Strahlen sollte man nicht als „gestreut“ oder „zerstreut“ bezeichnen, denn „Streuung“ ist ein Fachbegriff und bedeutet in der Physik etwas ganz anderes, auch wenn die entsprechende Linse unglücklicherweise „Zerstreuungslinse“ genannt wird! Strahlen zeigen nur noch die Laufrichtung einer Welle. Die Problematik bei der Darstellung einer Welle durch Strahlen ist die, dass dabei verloren geht, dass die Wellenfronten sich beidseitig vom Strahl erstrecken und die Welle nicht räumlich auf den Strahl beschränkt ist.

Wellen im Raum

Mathematische Darstellung

Wellenvektor

Bei Wellen im Raum, d.h. Wellen, die nicht nur in eine Richtung x, sondern in alle möglichen Richtungen läuft, wird die Kreiswellenzahl zum Wellenvektor $\vec k$ und der Ort zum Ortsvektor $\vec r$. In der Phase steckt dann das Skalarprodukt $\vec k\cdot\vec r$. Der Wellenvektor $\vec k$ zeigt stets in die Laufrichtung der Welle. Für seinen Betrag gilt $|\vec k|=\frac{2\pi}{\lambda}$. Für Wellen im Raum verwendet man nur den Wellenvektor.

Harmonische Welle im Raum: $u(x,t)=A\cdot\cos(\vec k\cdot\vec r\mp\omega t\mp\varphi_0)$     (1)

Der Wel­len­vektor hat bei einer Welle eine ähnlich Bedeutung wie der Impuls bei einem Teilchen: Er drückt die Bewegungsrichtung der Welle aus und beinhaltet ihre Kreisfrequenz. Wenn bei Wellen gleicher Geschwindigkeit k klein ist, ist die Wellenlänge $\lambda = cT$ groß. Dann ist die Periodendauer T groß, also die Schwingung langsam.

Beispiel 1: Wellenvektor
Bei einer Lichtwelle entspricht der Wellen­vektor anschaulich dem Lichtstrahl: Er zeigt genau dahin, wohin sich die Welle bewegt. Sein Betrag beinhaltet die Wellenlänge und beschreibt die Farbe des Lichts.


Kugelwellen und ebene Wellen

Mit dem Wellenvektor können wir nun Kugelwellen und ebene Wellen mathematisch ausdrüchen:

Kugelwellen: Die Wellenfronten sind Kugelflächen und die Amplitude nimmt mit 1/r ab: $u(\vec r,t)=\frac Ar \cdot \cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0)$     (2a)

Ebene Wellen: Die Wellenfronten sind Ebenen und die Amplitude ist konstant: $u(\vec r,t)=A\cdot \cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0)$     (2b)

Beide Arten von Wellen kann man auch in komplexer Schreibweise ausdrücken:

Kugelwellen, Komplexe Schreibweise: $\tilde u(\vec r,t)=\frac Ar A\cdot e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0) }$     (2ac)

Ebene Wellen, Komplexe Schreibweise: $\tilde u(\vec r,t)=A\cdot e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0) }$     (2bc)

In allen Fällen steht der Wellenvektor immer senkrecht auf den Wellenfronten.

Wellen unterwegs

Um die Ausbreitung von Wellen und ihre Phänomene zu verstehen, gibt es verschiedene Modelle. „Was der Masse die Bewegungsgleichung ist der Welle das Prinzip.“ Ausbreitung und Amplituden von Wellen werden durch drei Prinzipien beschrieben. Versuche zu verstehen, wie man die Phänomene durch Anwendung dieser Prinzipien erklärt.

  • Das Huygenssche Prinzip → zur Beschreibung der Ausbreitung von Wellenfronten.
  • Das Fermat'sche Prinzip → zur Beschreibung von Wegen und Strahlen.
  • Das Superpositionsprinzip → zur Beschreibung von Interferenz und resultierenden Amplituden.

Zur Ausbreitung benötigen wir nur die ersten beiden Prinzipien.

Wellenwanderung: Das Huygensche Prinzip

Abb.4 Elementarwellen nach dem Huygenschen Prinzip
Abb.5 Die Elementarwellen werden in Laufrichtung nacheinander erzeugt.

Wellen­aus­breitung stellen wir uns modell­haft so vor, als ob an jedem Punkt im Raum, den eine Wellenfront trifft, durch diese ein punkt­förmiger Ele­men­tar­wellen­sender ein­ge­schal­tet wird, der mit der aktuellen Phase der Welle startet. In Abb.4 ist dies beispielhaft an einigen Punkten angedeutet. Dabei ist es egal, ob an diesem Punkt etwas vor­handen ist oder nicht, das gilt also auch für eine Licht­wel­le im Vakuum. Elementarwellen sind nor­ma­ler­weise Kugel­wellen, die man durch Kreise andeutet. In Abb.4 sind sie blau gestrichelt. Die Überlagerung aller neu­en Elementar­wellen ergibt die neue Wel­len­front (blaue Linie in Abb. 4). Der Ab­stand der Wellenfronten ist die Wellenlänge. Die Wellen­fronten können eine beliebige Form haben. Oft zeichnet man die Elemen­tarwellen nur als Halbreise in Lauf­richtung der Welle, obwohl man sie sich als komplette Kreise denken muss. Das darf man, weil die Elementar­wellensender ja in Bewegungs­richtung der Welle nacheinander „ange­schal­tet“ werden. Dadurch über­lagern sich die Ele­men­tarwellen nur in Vorwärtsrichtung zu einer neuen Wellenfront, in Rückwärtsrichtung inter­ferieren sie sich weg. Das zeigt die Animation in Abb.5.

Beispiel 1: Beugung, Ablenkung in den Schattenraum
Phänomen: An den Rändern ebener Wellenfronten, die durch ein Hindernis scharf begrenzt wurden, ist die Welle nicht scharf begrenzt, sondern breitet sich mit gekrümmten Wel­len­fronten in den Schattenraum aus. Erklärung: An den Rändern macht sich die Kugelgestalt der Huygenschen Elementarwellen bemerk­bar, weil sie keine Nachbarwellen mehr haben, mit denen sie sich zur ebenen Welle überlagern können.


Abb.B2
Beispiel 2: Reflexion
Phänomen: Trifft eine ebene Welle auf eine ebene Grenz­fläche zweier Medien, in denen die Phasen­ge­schwin­digkeit unter­schiedl­ich ist, wird ein Teil der Welle reflektiert. Erklärung: Durch das Eintreffen der Wellenfront werden auf der Grenzfläche an nebeneinander liegenden Punkten gleichzeitig Elementarwellen aus­gesendet. Anders als bei einer laufenden Welle (wie in Abb.5) entstehen diese Elementarwellen an der Grenzfläche immer am gleichen Ort. Daher erzeugen sie auch Wellenfronten, die gegen die ursprüngliche Richtung laufen. Das ist die reflektierte Welle.
Im zweiten Medium haben die Elemen­tar­wellen eine andere Geschwindigkeit. In der gezeigten Animation laufen sie langsamer. Daher haben die Elementarwellen kleinere Radien und die Wellenlänge verkürzt sich.