Wellenausbreitung: Unterschied zwischen den Versionen

Aus PhysKi
Zur Navigation springen Zur Suche springen
(Die Seite wurde neu angelegt: „__TOC__ ==Physikalischer Kontext== ==Wellen im Raum== thumb|Diffraction through Pinhole Zur zeichnerischen Darstellun…“)
 
(13 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 
__TOC__
 
__TOC__
 
==Physikalischer Kontext==
 
==Physikalischer Kontext==
 +
[[Wellen]] sind Funktionen von Ort und Zeit, daher ist ihre grafische Dar­stel­lung aufwendig und erfordert drei Di­men­sionen oder Animationen, da man ja die Auslenkung als dritte Achse neben Ort und Zeit benötigt. Als Vereinfachung stellt man Wellen in der Regel zweidimensional dar, wobei man entweder den Ort oder die Zeit konstant hält [[Wellen#Grafische_Darstellung_von_Wellen|("Foto" oder "Film")]]. Doch solche Darstellungen reduzieren den Lauf der Welle auf eine Richtung und enthalten keine Informationen über die Ausbreitung der Welle im Raum. Gerade diese ist aber wichtig, wenn man Phänomene wie Beugung und Brechung verstehen will. Die Darstellung von Wellen wird schnell sehr aufwendig, wenn man ihre Ausbreitung im Raum und nicht nur entlang einer Raumrichtung aufzeigen will. Eine Welle ist ja nichts Loka­lisiertes und läuft normalerweise - außer bei Seilwellen - nicht entlang einer Linie. Man denke nur an eine kreisförmige Wasserwelle, wenn ein Tropfen ins Wasser fällt. Um zu zeigen, wie eine Welle sich im Raum ausbreitet, wählt man stark vereinfachte Darstellungen der Welle in Form von Wellenfronten oder Strahlen. Sich im Raum ausbreitende Wellen unterscheidet man zum einen nach der Form der Wellenfronten. Die beiden wesentlichen Formen sind ebene Wellen und Kugelwellen. Zum anderen beschreibt man ihre Ausbreitung mit Hilfe von Prinzipien. Das wichtigste ist das Huygensche Prinzip, nützlich ist auch das Fermatsche Prinzip. Das Huygensche Prinzip basiert auf einer grafischen Überlagerung von Kugelwellen und ist die Basis zum Verständnis von Beugung und Brechung. In diesem gesamten Artikel beschränken wir uns auf [[harmonische Wellen]].
 +
 +
==Wellenfronten==
 +
[[File:Diffraction through Pinhole.svg|thumb|Abb.1 Kugelwellen (grau) und ebene Wellen (rot)]]
 +
Wenn wir am Meeresstrand stehen und die Brandungswellen wie Wasserwände heranrollen sehen, dann sehen wir die Wellenfronten der Wasserwellen. Jede Wasserwand ist eine Wellenfront. Zur zeichnerischen Darstellung von Wellen im Raum verwenden wir häufig solche Wellen­fron­ten. Die Wellen­fronten einer Welle sind Flächen glei­cher Phase (z. B. "Wel­len­berg" oder "Wellen­tal"), die zum gleichen Zeitpunkt erzeugt wur­den. Ihre Oszillatoren schwingen syn­chron und ihre Schwin­gun­gen sind „gleich alt“, d.h. zum gleichen Zeitpunkt ''t'' erzeugt worden. Der Abstand zweier Wellenfronten ist stets die Wellenlänge. Die Wellenfronten sind aus­ge­dehn­te zwei- oder dreidimensionale Objekte, die sich mit der Phasen­geschwin­digkeit ''c'' durch den Raum schieben. Sie sind das, was man von einer (sichtbaren) Welle sieht. Wellenfronten werden nur noch als Flächen oder Linien gezeichnet. Sie enthalten als als Information die dreidimensionale Form der Welle und die Wellenlänge, die den Abstand vorgibt.
 +
 +
Man unterscheidet Wellen nach der Form ihrer Wellen­fronten. Die wichtigsten Formen sind Kugelwellen und ebene Wellen. Kugelwellen entstehen, wenn die Welle irgendwo punktförmig angeregt wird. Vom Anregungsort laufen die Wellen in alle Richtungen radial weg. Die Wellenfronten sind Kugelschälen, die stetig größer werden. Abb.1 zeigt Kugelwellen, die an einem kleine Loch entstehen (grau). Weil die Flächen der Wellenfronten stetig größer werden, verteilt sich auch die Energie auf eine stetig größer werdende Fläche. Deshalb nimmt die Amplitude einer Kugelwelle mit zunehmendem Abstand vom Erregerpunkt schnell ab.
 +
 +
Ebene Wellen haben ebene Wellenfronten (Abb.1, rot). Die Größe der Wellenfronten ändert sich nicht bei der Ausbreitung. Überall laufen die Wellen parallel und gleichphasig. Da sich die Fläche der Wellenfronten nicht ändert, bleibt auch die Amplitude konstant. Ebene Wellen sind eine Idealisierung. Man erzeugt sie näherungsweise, indem eine Erregerebene in einem Medium oszilliert.
 +
 +
Kugelwellen lassen sich in großem Abstand vom Erregerzentrum sehr gut als ebene Wellen nähern. So, wie wir den Erdboden als eben wahrnehmen, wenn wir auf ihm stehen, weil der Erdradius im Vergleich zu unserem Abstand sehr groß ist, so sieht auch jede Kugelwelle in sehr großem Abstand eben aus, wenn der Radius der Kugel im Vergleich zur Wellenlänge sehr groß ist.
 +
 
==Wellen im Raum==
 
==Wellen im Raum==
[[File:Diffraction through Pinhole.svg|thumb|Diffraction through Pinhole]]
+
===Mathematische Darstellung===
 +
Bei Wellen im Raum, d.h. Wellen, die nicht nur in eine Richtung ''x'', sondern in alle möglichen Richtungen läuft, wird die Kreiswellenzahl zum Wellenvektor $\vec k$ und der Ort zum Ortsvektor $\vec r$. In der Phase steckt dann das Skalarprodukt $\vec k\cdot\vec r$. Der Wellenvektor $\vec k$ zeigt stets in die Laufrichtung der Welle. Für seinen Betrag gilt $|\vec k|=\frac{2\pi}{\lambda}$. Für Wellen im Raum verwendet man nur den Wellenvektor. 
 +
<div class="law">'''Harmonische Welle''' im Raum: $u(x,t)=A\cdot\cos(\vec k\cdot\vec r\mp\omega t\mp\varphi_0)$ {{Gl|Nr=1}} </div>
 +
Der Wel­len­vektor hat bei einer Welle eine ähnlich Bedeutung wie der Impuls bei einem Teilchen: Er drückt die Bewegungsrichtung der Welle aus und beinhaltet ihre Kreisfrequenz. Wenn bei Wellen gleicher Geschwindigkeit ''k'' klein ist, ist die Wellenlänge $\lambda = cT$ groß. Dann ist die Periodendauer ''T'' groß, also die Schwingung langsam.
 +
{{Beispiel|Nr=1|Titel=Wellenvektor|Text=Bei einer Lichtwelle entspricht der Wellen­vektor anschaulich dem Lichtstrahl: Er zeigt genau dahin, wohin sich die Welle bewegt. Sein Betrag beinhaltet die Wellenlänge und beschreibt die Farbe des Lichts.}}
 +
Mit dem Wellenvektor können wir nun Kugelwellen und ebene Wellen mathematisch ausdrüchen:
 +
<div class="law">
 +
'''Kugelwellen''': Die Wellenfronten sind Kugelflächen und die Amplitude nimmt mit 1/''r'' ab: $u(\vec r,t)=\frac Ar \cdot \cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t -  \varphi_0)$  {{Gl|Nr=2a}}<br>
 +
'''Ebene Wellen''': Die Wellenfronten sind Ebenen und die Amplitude ist konstant: $u(\vec r,t)=A\cdot \cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t -  \varphi_0)$ {{Gl|Nr=2b}}
 +
</div>
 +
Beide Arten von Wellen kann man auch in komplexer Schreibweise ausdrücken:
 +
<div class="law">
 +
'''Kugelwellen''', Komplexe Schreibweise: $\tilde u(\vec r,t)=\frac Ar A\cdot e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t -  \varphi_0)}$ {{Gl|Nr=2ac}}<br>
 +
'''Ebene Wellen''', Komplexe Schreibweise: $\tilde u(\vec r,t)=A\cdot e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t -  \varphi_0)}$ {{Gl|Nr=2bc}}</div>
 +
In allen Fällen steht der Wellenvektor immer senkrecht auf den Wellenfronten.
  
Zur zeichnerischen Darstellung von Wellen im Raum verwenden wir Wellen­fron­ten oder Strah­len. Eine Welle ist nichts Loka­lisiertes, sondern etwas, das sich im Raum ausbreitet. Die Wellen­fronten sind Flächen glei­cher Phase (z. B. "Wel­len­berg" oder "Wellen­tal"), die zum gleichen Zeitpunkt erzeugt wur­den. Ihre Oszillatoren schwingen syn­chron und ihre Schwin­gun­gen sind „gleich alt“. Es sind aus­ge­dehn­te Objekte, die sich mit der Phasen­geschwin­digkeit c durch den Raum schieben. Sie sind das, was man von einer (sichtbaren) Welle sieht. Man bezeichnet Wellen auch nach der Form ihrer Wellen­fronten. Die wichtigsten Formen sind:
+
===Zeichnerischen Darstellung===
 +
Zur zeichnerischen Darstellung von Wellen im Raum verwenden wir Wellen­fron­ten oder Strah­len. Eine Welle ist nichts Loka­lisiertes, sondern etwas, das sich im Raum ausbreitet. Die Wellen­fronten sind Flächen glei­cher Phase (z. B. "Wel­len­berg" oder "Wellen­tal"), die zum gleichen Zeitpunkt erzeugt wur­den. Ihre Oszillatoren schwingen syn­chron und ihre Schwin­gun­gen sind „gleich alt“. Es sind aus­ge­dehn­te Objekte, die sich mit der Phasen­geschwin­digkeit ''c'' durch den Raum schieben. Sie sind das, was man von einer (sichtbaren) Welle sieht. Man bezeichnet Wellen auch nach der Form ihrer Wellen­fronten. Die wichtigsten Formen sind:
 
<div class="law">
 
<div class="law">
Ebene Wellen: Die Wellenfronten sind Ebenen:
+
Ebene Wellen: Die Wellenfronten sind Ebenen und die Amplitude ist konstant: $u(\vec r,t)=A\cdot \cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t -  \varphi_0)$
.
+
Komplexe Schreibweise: $\tilde u(\vec r,t)=A\cdot e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t -  \varphi_0)}$<br>
Kugelwellen: Die Wellenfronten sind Kugelflächen:</div>
+
Kugelwellen: Die Wellenfronten sind Kugelflächen und die Amplitude nimmt mit 1/r ab: $u(\vec r,t)=\frac Ar \cdot \cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t -  \varphi_0)$
 +
Komplexe Schreibweise: $\tilde u(\vec r,t)=\frac Ar A\cdot e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t -  \varphi_0)}$</div>
  
 
==Zeichnung von Wellen==
 
==Zeichnung von Wellen==
 
Auch hierbei fällt die drei­di­men­sionale Darstellung oft schwer, wes­wegen man sie meist zwei­di­men­sional zeichnet: ebene Wellenfronten werden zu geraden Strichen, kugelförmige Wellen­fronten werden zu Kreisen. Der Abstand zwischen den Linien ist die Wellenlänge. Bei einer ebenen Welle ist die Amplitude der Welle überall gleich und bleibt es beim Weiter­wandern auch. Bei Kreis- oder Kugelwellen ist die Amplitude auf einer der Fronten überall gleich, wird aber beim Wei­ter­wandern ständig kleiner, was man auch in Abb. 9.12 (oben) sehr schön sehen kann. Kreis- oder Kugelwellen entstehen, wenn die Welle durch eine Auslenkung an einem Punkt er­zeugt wird. Ebene Wellen entstehen bei einer groß­flächigen gleichphasigen Anregung. Au­ßer­dem können wir einen kleinen Ausschnitt einer Kreis- oder Kugelwelle im großen Abstand von ihrem Zentrum als ebene Wellen nähern, was wir oft tun werden. Auf jeden Punkt einer Wellenfront können wir uns einen Wellenvektor denken, der senkrecht auf ihr steht, weil er in ihre Ausbreitungsrichtung zeigt. Bei ebenen Wellen sind die Wellen­vektoren überall gleich lang und gleich gerichtet. Bei Kugelwellen sind sie auch über­all gleich lang, zeigen aber radial nach außen.
 
Auch hierbei fällt die drei­di­men­sionale Darstellung oft schwer, wes­wegen man sie meist zwei­di­men­sional zeichnet: ebene Wellenfronten werden zu geraden Strichen, kugelförmige Wellen­fronten werden zu Kreisen. Der Abstand zwischen den Linien ist die Wellenlänge. Bei einer ebenen Welle ist die Amplitude der Welle überall gleich und bleibt es beim Weiter­wandern auch. Bei Kreis- oder Kugelwellen ist die Amplitude auf einer der Fronten überall gleich, wird aber beim Wei­ter­wandern ständig kleiner, was man auch in Abb. 9.12 (oben) sehr schön sehen kann. Kreis- oder Kugelwellen entstehen, wenn die Welle durch eine Auslenkung an einem Punkt er­zeugt wird. Ebene Wellen entstehen bei einer groß­flächigen gleichphasigen Anregung. Au­ßer­dem können wir einen kleinen Ausschnitt einer Kreis- oder Kugelwelle im großen Abstand von ihrem Zentrum als ebene Wellen nähern, was wir oft tun werden. Auf jeden Punkt einer Wellenfront können wir uns einen Wellenvektor denken, der senkrecht auf ihr steht, weil er in ihre Ausbreitungsrichtung zeigt. Bei ebenen Wellen sind die Wellen­vektoren überall gleich lang und gleich gerichtet. Bei Kugelwellen sind sie auch über­all gleich lang, zeigen aber radial nach außen.

Version vom 27. Juli 2020, 21:56 Uhr

Physikalischer Kontext

Wellen sind Funktionen von Ort und Zeit, daher ist ihre grafische Dar­stel­lung aufwendig und erfordert drei Di­men­sionen oder Animationen, da man ja die Auslenkung als dritte Achse neben Ort und Zeit benötigt. Als Vereinfachung stellt man Wellen in der Regel zweidimensional dar, wobei man entweder den Ort oder die Zeit konstant hält ("Foto" oder "Film"). Doch solche Darstellungen reduzieren den Lauf der Welle auf eine Richtung und enthalten keine Informationen über die Ausbreitung der Welle im Raum. Gerade diese ist aber wichtig, wenn man Phänomene wie Beugung und Brechung verstehen will. Die Darstellung von Wellen wird schnell sehr aufwendig, wenn man ihre Ausbreitung im Raum und nicht nur entlang einer Raumrichtung aufzeigen will. Eine Welle ist ja nichts Loka­lisiertes und läuft normalerweise - außer bei Seilwellen - nicht entlang einer Linie. Man denke nur an eine kreisförmige Wasserwelle, wenn ein Tropfen ins Wasser fällt. Um zu zeigen, wie eine Welle sich im Raum ausbreitet, wählt man stark vereinfachte Darstellungen der Welle in Form von Wellenfronten oder Strahlen. Sich im Raum ausbreitende Wellen unterscheidet man zum einen nach der Form der Wellenfronten. Die beiden wesentlichen Formen sind ebene Wellen und Kugelwellen. Zum anderen beschreibt man ihre Ausbreitung mit Hilfe von Prinzipien. Das wichtigste ist das Huygensche Prinzip, nützlich ist auch das Fermatsche Prinzip. Das Huygensche Prinzip basiert auf einer grafischen Überlagerung von Kugelwellen und ist die Basis zum Verständnis von Beugung und Brechung. In diesem gesamten Artikel beschränken wir uns auf harmonische Wellen.

Wellenfronten

Abb.1 Kugelwellen (grau) und ebene Wellen (rot)

Wenn wir am Meeresstrand stehen und die Brandungswellen wie Wasserwände heranrollen sehen, dann sehen wir die Wellenfronten der Wasserwellen. Jede Wasserwand ist eine Wellenfront. Zur zeichnerischen Darstellung von Wellen im Raum verwenden wir häufig solche Wellen­fron­ten. Die Wellen­fronten einer Welle sind Flächen glei­cher Phase (z. B. "Wel­len­berg" oder "Wellen­tal"), die zum gleichen Zeitpunkt erzeugt wur­den. Ihre Oszillatoren schwingen syn­chron und ihre Schwin­gun­gen sind „gleich alt“, d.h. zum gleichen Zeitpunkt t erzeugt worden. Der Abstand zweier Wellenfronten ist stets die Wellenlänge. Die Wellenfronten sind aus­ge­dehn­te zwei- oder dreidimensionale Objekte, die sich mit der Phasen­geschwin­digkeit c durch den Raum schieben. Sie sind das, was man von einer (sichtbaren) Welle sieht. Wellenfronten werden nur noch als Flächen oder Linien gezeichnet. Sie enthalten als als Information die dreidimensionale Form der Welle und die Wellenlänge, die den Abstand vorgibt.

Man unterscheidet Wellen nach der Form ihrer Wellen­fronten. Die wichtigsten Formen sind Kugelwellen und ebene Wellen. Kugelwellen entstehen, wenn die Welle irgendwo punktförmig angeregt wird. Vom Anregungsort laufen die Wellen in alle Richtungen radial weg. Die Wellenfronten sind Kugelschälen, die stetig größer werden. Abb.1 zeigt Kugelwellen, die an einem kleine Loch entstehen (grau). Weil die Flächen der Wellenfronten stetig größer werden, verteilt sich auch die Energie auf eine stetig größer werdende Fläche. Deshalb nimmt die Amplitude einer Kugelwelle mit zunehmendem Abstand vom Erregerpunkt schnell ab.

Ebene Wellen haben ebene Wellenfronten (Abb.1, rot). Die Größe der Wellenfronten ändert sich nicht bei der Ausbreitung. Überall laufen die Wellen parallel und gleichphasig. Da sich die Fläche der Wellenfronten nicht ändert, bleibt auch die Amplitude konstant. Ebene Wellen sind eine Idealisierung. Man erzeugt sie näherungsweise, indem eine Erregerebene in einem Medium oszilliert.

Kugelwellen lassen sich in großem Abstand vom Erregerzentrum sehr gut als ebene Wellen nähern. So, wie wir den Erdboden als eben wahrnehmen, wenn wir auf ihm stehen, weil der Erdradius im Vergleich zu unserem Abstand sehr groß ist, so sieht auch jede Kugelwelle in sehr großem Abstand eben aus, wenn der Radius der Kugel im Vergleich zur Wellenlänge sehr groß ist.

Wellen im Raum

Mathematische Darstellung

Bei Wellen im Raum, d.h. Wellen, die nicht nur in eine Richtung x, sondern in alle möglichen Richtungen läuft, wird die Kreiswellenzahl zum Wellenvektor $\vec k$ und der Ort zum Ortsvektor $\vec r$. In der Phase steckt dann das Skalarprodukt $\vec k\cdot\vec r$. Der Wellenvektor $\vec k$ zeigt stets in die Laufrichtung der Welle. Für seinen Betrag gilt $|\vec k|=\frac{2\pi}{\lambda}$. Für Wellen im Raum verwendet man nur den Wellenvektor.

Harmonische Welle im Raum: $u(x,t)=A\cdot\cos(\vec k\cdot\vec r\mp\omega t\mp\varphi_0)$     (1)

Der Wel­len­vektor hat bei einer Welle eine ähnlich Bedeutung wie der Impuls bei einem Teilchen: Er drückt die Bewegungsrichtung der Welle aus und beinhaltet ihre Kreisfrequenz. Wenn bei Wellen gleicher Geschwindigkeit k klein ist, ist die Wellenlänge $\lambda = cT$ groß. Dann ist die Periodendauer T groß, also die Schwingung langsam.

Beispiel 1: Wellenvektor
Bei einer Lichtwelle entspricht der Wellen­vektor anschaulich dem Lichtstrahl: Er zeigt genau dahin, wohin sich die Welle bewegt. Sein Betrag beinhaltet die Wellenlänge und beschreibt die Farbe des Lichts.


Mit dem Wellenvektor können wir nun Kugelwellen und ebene Wellen mathematisch ausdrüchen:

Kugelwellen: Die Wellenfronten sind Kugelflächen und die Amplitude nimmt mit 1/r ab: $u(\vec r,t)=\frac Ar \cdot \cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0)$     (2a)


Ebene Wellen: Die Wellenfronten sind Ebenen und die Amplitude ist konstant: $u(\vec r,t)=A\cdot \cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0)$     (2b)


Beide Arten von Wellen kann man auch in komplexer Schreibweise ausdrücken:

Kugelwellen, Komplexe Schreibweise: $\tilde u(\vec r,t)=\frac Ar A\cdot e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0)}$     (2ac)


Ebene Wellen, Komplexe Schreibweise: $\tilde u(\vec r,t)=A\cdot e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0)}$     (2bc)

In allen Fällen steht der Wellenvektor immer senkrecht auf den Wellenfronten.

Zeichnerischen Darstellung

Zur zeichnerischen Darstellung von Wellen im Raum verwenden wir Wellen­fron­ten oder Strah­len. Eine Welle ist nichts Loka­lisiertes, sondern etwas, das sich im Raum ausbreitet. Die Wellen­fronten sind Flächen glei­cher Phase (z. B. "Wel­len­berg" oder "Wellen­tal"), die zum gleichen Zeitpunkt erzeugt wur­den. Ihre Oszillatoren schwingen syn­chron und ihre Schwin­gun­gen sind „gleich alt“. Es sind aus­ge­dehn­te Objekte, die sich mit der Phasen­geschwin­digkeit c durch den Raum schieben. Sie sind das, was man von einer (sichtbaren) Welle sieht. Man bezeichnet Wellen auch nach der Form ihrer Wellen­fronten. Die wichtigsten Formen sind:

Ebene Wellen: Die Wellenfronten sind Ebenen und die Amplitude ist konstant: $u(\vec r,t)=A\cdot \cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0)$ Komplexe Schreibweise: $\tilde u(\vec r,t)=A\cdot e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0)}$
Kugelwellen: Die Wellenfronten sind Kugelflächen und die Amplitude nimmt mit 1/r ab: $u(\vec r,t)=\frac Ar \cdot \cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0)$

Komplexe Schreibweise: $\tilde u(\vec r,t)=\frac Ar A\cdot e^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi_0)}$

Zeichnung von Wellen

Auch hierbei fällt die drei­di­men­sionale Darstellung oft schwer, wes­wegen man sie meist zwei­di­men­sional zeichnet: ebene Wellenfronten werden zu geraden Strichen, kugelförmige Wellen­fronten werden zu Kreisen. Der Abstand zwischen den Linien ist die Wellenlänge. Bei einer ebenen Welle ist die Amplitude der Welle überall gleich und bleibt es beim Weiter­wandern auch. Bei Kreis- oder Kugelwellen ist die Amplitude auf einer der Fronten überall gleich, wird aber beim Wei­ter­wandern ständig kleiner, was man auch in Abb. 9.12 (oben) sehr schön sehen kann. Kreis- oder Kugelwellen entstehen, wenn die Welle durch eine Auslenkung an einem Punkt er­zeugt wird. Ebene Wellen entstehen bei einer groß­flächigen gleichphasigen Anregung. Au­ßer­dem können wir einen kleinen Ausschnitt einer Kreis- oder Kugelwelle im großen Abstand von ihrem Zentrum als ebene Wellen nähern, was wir oft tun werden. Auf jeden Punkt einer Wellenfront können wir uns einen Wellenvektor denken, der senkrecht auf ihr steht, weil er in ihre Ausbreitungsrichtung zeigt. Bei ebenen Wellen sind die Wellen­vektoren überall gleich lang und gleich gerichtet. Bei Kugelwellen sind sie auch über­all gleich lang, zeigen aber radial nach außen.