Harmonische Wellen und Brechung und Reflexion: Unterschied zwischen den Seiten

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==Physikalischer Kontext==
 
==Physikalischer Kontext==
Harmonische Wellen sind periodische [[Wellen]], die mit Hilfe von [[Trigonometrie|Sinus- und Kosinusfunktionen]] und einer einzigen Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl ausgedrückt werden können. Sie entstehen, wenn der Oszillator am Ausgangsort der Welle harmonisch schwingt. Wellen können prinzipiell beliebige Form haben. Mit Hilfe der Fourierreihen und der Fouriertransformation können alle Wellen als Summe harmonischer Wellen ausgedrückt werden. Daher sind harmonische Wellen ein besonders grundlegendes Modell. An vielen Stellen der Physik geht man von harmonischen ebenen  Wellen oder harmonischen Kugelwellen als Ausgangspunkt aus, z.B. quasi immer in der Optik, in der Akustik oder in der Quantenphysik bei den Rechteckpotenzialen.
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Für diesen Artikel solltest Du die [[Dipolstrahlung|Erzeugung]] und die [[elektromagnetische Wellen|Eigenschaften von elektromagnetischen Wellen]] kennen. Wir beschränken uns jetzt auf den Spektralbereich des sichtbaren Lichts. Optische Bauelemente verändern die auftreffenden oder hindurch tretenden [[Lichtwellen]]. Diese können dadurch ihre Richtung, ihre Geschwindigkeit, ihre [[Harmonische Wellen#Phase und Konstanten einer harmonischen Welle|Wellenlänge]], die Form ihrer [[Wellenausbreitung#Wellenfronten|Wellenfronten]], ihre Polarisation und vieles mehr ändern. Inzwischen können wir Licht auf nahezu jede erdenkliche Weise bedarfs­gerecht manipulieren, Kataloge von Lieferanten optischer Bauteile sind dick wie Telefonbücher. Doch die meisten Bauteile beruhen auf wenigen, fundamentalen Prinzipien. Wir teilen die auftretenden Phänomene ein in Brechung, Reflexion, [[Beugung]], [[Beugung und Interferenz an Blenden, Spalten und Gittern|Interferenz]], Streuung, Doppel­brechung, optische Aktivität, Absorption, Fluoreszenz. Die Brechung und die Reflexion werden wir jetzt kennen­lernen. Sie bilden einen Basisbaustein, um die Funktion und den Aufbau von optischen Instrumenten, wie [[Abbildungen mit Linsen|Linsen]], Prismen, Spektrometern und anderen optische Experimente verstehen und aufbauen zu können.
  
Harmonische Wellen entstehen, wenn die Welle durch eine periodische Anregung in Form einer [[harmonische Schwingung|harmonischen Schwingung]] mit einer Kreisfrequenz ω erzeugt wird. Jede Welle muss durch eine Funktion der Form $u(g(x,t))$ mit $g(x,t)=x-ct$ darstellbar sein (siehe [[Wellen#Lösungen der Wellengleichung|Wellen]]). Bei harmonischen Wellen lautet die Funktion $u(x,t)=A \cos( k (x -c t))=A\cos(kx-\omega t)$. Darin ist ''A'' die '''Amplitude''' der Welle und  ω die '''Kreisfrequenz''' der harmonischen Welle. Die Konstante ''k'' ist eine für uns neue Größe. Wir nennen sie '''Kreiswellenzahl''' oder einfach nur '''Wellenzahl''' und ihre Bedeutung wird im nächsten Absatz erklärt.  
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==Brechungsindex==
==Phase und Konstanten einer harmonischen Welle==
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Das Brechungsgesetz kennen Sie vemutlich schon aus der Schule, ebenso wie den Begriff '''Brechungs­index''' oder '''Brechzahl'''. Beide bedeuten dasselbe. Licht läuft in Materie langsamer und das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit ''c'' &asymp; 3 &times; 10<sup>8</sup> m/s zur Geschwindigkeit ''c<sub>m</sub>'' im Medium  nennt man Brechungsindex oder Brechzahl.
Statt des Kosinus könnte ebenso die Sinusfunktion verwendet werden. Das Argument der Winkelfunktion nennen wir wie bei der Schwingung '''Phase'''. Die Phase enthält die zwei Konstanten ''k'' und &omega;. Die Konstanten ''k'' und &omega; sind offensichtlich durch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle miteinander verknüpft: $kc=\omega$. Die Konstante ''k'' muss die Einheit m<sup>-1</sup> haben und die Konstante &omega; muss die Einheit s<sup>-1</sup> haben, weil das Argument der Winkelfunktion dimensions­los sein muss. Die Kreisfrequenz &omega; kennen wir schon von der Schwingung. Sie ist mit der Periodendauer ''T'' der Schwingung über
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<div class="law">Der Brechungindex ist das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit ''c'' zur Geschwindigkeit ''c<sub>m</sub>'' in einem Medium $n_m=\dfrac c{c_m}$ {{Gl|Nr=1}}</div>
<div>$\omega=\frac{2\pi}{T}$ {{Gl|Nr=1}}</div>  
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Danach ist also der Brechungsindex stets $n \ge 1$. Das Medium mit der größeren Brechzahl im Vergleich zu einem anderen nennt man „optisch dichter“ (Als eine etwas verwirrende Bezeichnung in der Physik bedeutet allerdings der Begriff „Optische Dichte“ etwas ganz anderes und bezieht sich auf die Stärke der Absorption.). Warum Licht in Materie langsamer läuft, erklärt der Artikel [[Brechungsindex]].
verknüpft. Wir bestimmen zuerst die anschauliche Bedeutung der Konstanten ''k'' und und ihren Zusammenhang mit &omega; und ''c''.
 
  
Als erstes stellen wir fest, dass die Periodizität des Kosinus verlangt, dass sich die Auslenkung $u(x,t)$ reproduziert, wenn sich die Phase um 2&pi; ändert, denn $\cos( \varphi) =\cos(\varphi \pm 2 \pi)$.  
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==Phänome von Brechung und Reflexion==
Als zweites betrachten wir einen einzelnen Oszillator an einem beliegen festen Ort ''x&#x27;''. Dessen Auslenkung $u(x',t)$ muss nach einer Periodendauer $T =\dfrac{2 \pi} {\omega}$ seiner Schwingung wieder die Gleiche sein: $u(x',t) = u(x',t + T)$. Das geht aber nur, wenn sich die Phasen wegen der Periodizität nur um 2&pi; unterscheiden, d.h. folgende Bedingung erfüllen: $k (x' -c (t+T)) =k (x' -c t) - 2 \pi$. Wir nehmen &minus;2&pi;, weil die Phase durch die Addition von ''T'' ja kleiner wird. Wenn wir zu dieser Gleichung $-kx'+kct$ hinzuaddieren, erhalten wir $-kcT=- 2\pi$ und daraus das Ergebnis
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[[Datei:Brechung2b.png|mini|Abb.1 Brechungs- und Reflexionsgesetz]]
<div>$k=\dfrac{2\pi}{cT}$ {{Gl|Nr=2}}.</div>
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Phänomen: Trifft eine Lichtstrahl schräg auf eine Grenzfläche zweier lichtdurchlässiger (trans­parenter) Medien, in denen die Phasen­geschwindigkeiten ''c<sub>1</sub>'' und ''c<sub>2</sub>'' bzw. die Brechungsindices ''n<sub>1</sub>'' und ''n<sub>2</sub>'' unter­schiedlich sind, wird ein Teil des Strahls reflektiert, der größere Teil durchdringt die Grenzfläche. Wir sagen, er wird '''transmittiert'''. Der transmittierte Teil wird abgelenkt, wir sagen dazu '''gebrochen'''.  
Daraus ergeben sich folgende Zusammenhänge:
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Für den gebrochenen Strahl ergibt sich aus geometrischen Betrachtungen oder aus dem [[Wellenausbreitung#Wellenwege: Fermatsches Prinzip|Fermatschen Prinzip]] das Snelliussche Brechungsgesetz.
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<div class="law">Als '''Brechung''' bezeichnet man die Richtungsänderung des transmittierten Anteils einer Welle an einer Grenzfläche zwischen zwei Medien. Die Brechung erfolgt nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz: $\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{n_2}{n_1}$ Darin ist &alpha; der vom Lot aus gemessene Einfallswinkel und &beta; der vom Lot aus gemessene Brechungswinkel. {{Gl|Nr=2}}</div>
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Beide Winkel werden vom Lot aus gemessen, α in Medium 1, β in Medium 2. Es beinhaltet, dass Licht beim Übergang in ein optisch dichteres (langsameres) Medium zum Lot hin gebrochen wird, im umgekehrten Fall vom Lot weg. Für die Richtungsänderung bei der Brechung gibt es eine einfache Analogie. Stelle Dir ein Auto vor, bei dem einseitig die Bremsen kaputt sind. Wenn man zu einer Vollbremsung gezwungen wird, bremst das Auto nur auf einer Seite. Nun wird es nicht mehr geradeaus fahren, sondern zur bremsenden Seite abgelenkt. Ebenso wird eine Lichtwelle, die schräg auf eine Medium trifft, dort zuerst gebremst, wo sie zuerst auf das Medium trifft, der Rest läuft noch ungebremst weiter. Dadurch wird auch die Lichtwelle zur bremsenden Seite umgelenkt.
  
Aufgrund von (1) liefert das unmittelbar den Zusammenhang der Kreiswellenzahl mit den anderen Konstanten $k =\dfrac{\omega}{c}$.<br>
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In Medium 1 wird der Strahl reflektiert. Hier gilt das Reflexionsgesetz.
Die Strecke $cT$ ist die Strecke, die die Welle in einer Periodendauer eines Oszillators zurücklegt. Diese Strecke nennen wir '''Wellenlänge''' $\lambda=cT$. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist damit $c=\frac{\lambda}{T}$. Die Aus­brei­tungs­ge­schwin­digkeit ''c'' nennen wir ab jetzt '''Phasengeschwindigkeit''', weil sie das Tempo eines Punktes konstanter Phase angibt.<br>
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<div class="law">Als '''Reflexion''' bezeichnet man die Welle, die an einer Grenzfläche zwischen zwei Medien entsteht und wie an der Oberfläche gespiegelt läuft. Die Reflexion erfolgt nach dem Reflexionsgesetz: Einfallswinkel = Ausfallswinkel $\alpha=\alpha'$ Darin ist &alpha; der vom Lot aus gemessene Einfallswinkel und &alpha;' der vom Lot aus gemessene Reflexionswinkel. {{Gl|Nr=3}}</div>
Mit Hilfe der Wellenlänge wird die Kreiswellenzahl zu $k =\dfrac{2 \pi} {\lambda}$. Sie hängt mit der Wellenlänge genauso zusammen, wie die Kreisfrequenz mit der Periodendauer. Und so, wie die Kreisfrequenz $\omega=\frac{2\pi}{T}$ ein Maß für die Anzahl der Schwingungsperioden pro Zeit ist (zeitliche Frequenz), ist die '''Kreiswellenzahl''' $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ ein Maß für die Anzahl der Wellenlängen pro Strecke (räumliche Frequenz). In beiden Fällen ist es die Anzahl mal 2&pi;. Um Wellenlänge und Kreiswellenzahl besser zu verstehen, denke man einfach an einen Lattenzaun: Wenn dieser 5 Latten pro Meter enthält, dann ist seine Lattenanzahl pro Meter das Gleiche wie die Wellenanzahl, nämlich 5/m und seine Kreiswellenzahl 5/m &times; 2&pi;. Seine Wellenlänge ist der Lattenabstand, d.h 1 m/5 = 0,2 m.
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Für die Reflexion gibt es keine einfache Analogie. Die Vorstellung, dass das Licht durch die Grenzfläche irgendwie umgelenkt würde, lässt sich nicht halten, denn dann müsste die Grenzfläche Kräfte auf die Lichtwelle ausüben können, was sie nicht kann. Was für Kräfte sollten das auch ein und wo sollten sie angreifen? Um die Reflexion zu verstehen, müssen wir das [[Wellenausbreitung#Wellenwanderung%3A_Das_Huygensche_Prinzip|Huygen­sche Prinzip]] heranziehen und erkennen, dass der reflektierte Strahl tatsächlich erst an der Grenzfläche entsteht. Die richtige Vorstellung folgt gleich.
{{Frage|Nummer=1|Frage=Eine harmonische Welle hat die Wellenlänge &lambda; =0,25 m. Welche Strecke legt die Welle in einer Periodendauer ''T'' eines Oszillators zurück? a) kann man nicht sagen, dazu fehlt die Angabe von ''c'', b) kann man nicht sagen, dazu fehlt die Angabe von ''T'', c) 0,25 m|Antwort=Richtig ist c) 0,25 m, denn das ist &lambda;. Eine harmonische Welle legt in einer Periodendauer die Strecke &lambda; zurück, egal welchen Wert ''T'' und ''c'' haben.}}
 
{{Frage|Nummer=2|Frage=Zwei harmonische Wellen werden mit gleicher Kreisfrequenz &omega; in zwei unterschiedlichen Medien angeregt. In Medium 1 ist die Phasengeschwindigkeit ''c''<sub>1</sub> größer als die Phasengeschwindigkeit ''c''<sub>2</sub> in Medium 2. Dann ist die Wellenlänge in Medium 1 a) größer als, b) genauso groß wie, c) kleiner als in Medium 2.|Antwort=Richtig ist a) größer als in Medium 2. Denn bei gleicher Kreisfrequenz ist die Periodendauer ''T'' beider Wellen gleich und die schnellere Welle legt in der gleichen Zeit die größere Strecke zurück.}}
 
{{Frage|Nummer=3|Frage=Zwei harmonische Wellen A und B haben A) 10 Wellenberge pro Meter und B) 50 Wellenberge pro Meter. Welche hat die größere Kreiswellenzahl und welche hat die größere Wellenlänge?|Antwort=B hat die größere Kreiswellenzahl, nämlich ''k''<sub>B</sub> = 50/m &times; 2&pi;, während A nur ''k''<sub>A</sub> = 10/m &times; 2&pi; hat. Dagegen hat A die größere Wellenlänge nämlich &lambda;<sub>A</sub> = 1/10 m = 0,1 m, während B nur &lambda;<sub>B</sub>=1/50 m = 0,02 m hat.}}
 
{{Frage|Nummer=4|Frage=Kann eine Welle mit der Wellenlänge &lambda; = 0,5 m und der Periodendauer ''T'' = 0,25 s die Phasengeschwindigkeit ''c'' = 1 m/s haben?|Antwort=Natürlich nicht, denn ihre Geschwindigkeit ist &lambda;/''T''= 2 m/s.}}
 
  
==Mathematische Beschreibung==
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{{Bildfrage|Nummer=1|Frage=Der weisse Bereich sei Luft, der blaue sei Wasser. Wasser hat den größeren Brechungsindex. Welcher der Strahlen A bis C in Luft passt zum Strahl im Wasser?|Antwort=A, weil das Licht beim Übergang von Luft zu Wasser zum Lot hin und beim Übergang von Wasser nach Luft vom Lot weg gebrochen wird.|Bild=Brechung1.png|Size=75px}}
Wir fassen die eingeführten Konstanten zusammen. Sie dienen zur mathematischen Beschreibung einer harmonischen Welle:
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{{Bildfrage|Nummer=2|Frage=Im grauen Bereich sei das Licht langsamer als außerhalb. Beurteile für die Strahlengänge a bis d, ob sie möglich sind. Begründe Deine Antworten!|Antwort=Alle sind nicht möglich! a) weil &beta;=0 nur für &alpha; = 0  auftreten kann, b) weil beim Austritt vom Lot weg gebrochen werden muss, c) weil es keine Brechung ohne Grenzfläche gibt, d) weil bei der Reflexion der Ausfallswinkel kleiner als der Einfallswinkel ist.|Bild=Brechungq4.png}}
<div class="law">Die '''Wellenlänge''' $\lambda=cT$ ist die Strecke, die eine harmonische Welle in einer Periodendauer $T =\frac{2 \pi} {\omega}$ seiner Oszillatoren zurücklegt und entspricht dem Abstand zweier Wellenberge. {{Gl|Nr=3a}}<br>
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{{Bildfrage|Nummer=3|Frage=Eine Münze liegt auf dem Boden einem leeren Becher. Du positionierst dein Auge so über den Rand des Bechers, dass Du die Münze gerade nicht mehr sehen kannst. Was wird geschehen, wenn Du Wasser in den Becher füllst, ohne Deine Position zu verändern?|Antwort=<div class="tleft abild">[[Datei:Brechungq2a.png|mini|ohne||Abb.F3a]]</div>Die Münze wird sichtbar, weil sie scheinbar angehoben wird. Durch die Brechung vom Lot weg gelangt das von der Münze ausgehende Licht nun in unser Auge.|Bild=Brechungq2.png|Size=75px}}
Die '''Kreisfrequenz''' $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ gibt die Anzahl der Schwingungen pro Zeit multipliziert mit 2&pi; an. Die Kreisfrequenz ist ein Maß für die zeitliche Frequenz der Welle.{{Gl|Nr=3b}}<br>
 
Die '''Kreiswellenzahl''' $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$ gibt die Anzahl der Wellenberge pro Länge multipliziert mit 2&pi; an. Die Wellenzahl ist ein Maß für die räumliche Frequenz der Welle. {{Gl|Nr=3c}}<br>
 
Die '''Phasengeschwindigkeit''' $c=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{\lambda}{T}$ gibt an, wie schnell sich ein Punkt der Welle mit festem Wert der Phase (z. B. ein Wellenberg bzw. ein Maximum der Auslenkung) fortbewegt. {{Gl|Nr=3d}}</div>
 
Mit diesen Größen können wir jetzt eine eindimensionale harmonischen Welle in ihrer üblichen allgemeinen Form aufschreiben. Im allgemeinen Fall kann die Phase noch eine konstante Phasenverschiebung $\varphi_0$ enthalten, die die Anfangsauslenkung bei ''x'' = 0 und ''t'' = 0 bestimmt. Außerdem kann die Welle nicht nur in die positive x-Richtung sondern auch in die negative x-richtung laufen. Eine Umkehrung der Laufrichtung wird durch die Umkehrung des Vorzeichens von ''ct'' erzeugt. Außerdem kann statt des Kosinus die Sinusfunktion verwendet werden. Das ergibt
 
<div class="law">'''Harmonische Welle''' mit der Amplitude ''A'': $u(x,t)=A\cdot\cos(kx\mp\omega t\mp\varphi_0)=A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}x\mp\frac{2\pi}{T}t\mp\varphi_0)$ {{Gl|Nr=4}}<br>Ein negatives Vorzeichen bewegt die Welle in positive ''x''-Richtung, eine positives Vorzeichen in die negative ''x''-Richtung. </div>
 
  
Wie bei jeder Welle sind darin sind ''u'' und ''x'' Platzhalter:
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==Modellvorstellung==
* ''u'' ist der Platzhalter für die schwingende physikalische Größe. Schreibt man bei einer Schallwelle $p(x,t)$, dann schwingt der Druck ''p''.
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<div class="tright">[[Datei:Brechung3.png|mini|ohne|Abb.2 Erklärung der Brechung durch das [[Wellenausbreitung#Wellenwanderung%3A_Das_Huygensche_Prinzip|Huygensche Prinzip]]]]</div>
* ''x'' ist der Platzhalter für die Laufrichtung der Welle. Schreibt man $u(y,t)$, dann läuft die Welle in ''y''-Richtung.
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Die zugrundeliegende Modell­vor­stel­lung verwendet das [[Wellenausbreitung#Wellenwanderung%3A_Das_Huygensche_Prinzip|Huygen­sche Prinzip]]. Betrachten wir zuerst Abb.2, oberes Bild: Wenn ein Punkt einer ebenen Wellenfront (gestrichelte Linien in Abb.2) auf die Grenze von ''c<sub>1</sub>'' nach ''c<sub>2</sub>'' trifft, werden dort gleichzeitig nebeneinanderliegende kugelförmige Ele­mentarwellen (gestrichelte Halbkreise) ausgesendet. Neh­men wir an, ''c<sub>1</sub>'' sei größer als ''c<sub>2</sub>'' und die Welle kommt aus Medium 1 und trifft zuerst senkrecht auf Medium 2. Die normalerweise kreisförmigen Ele­men­tar­wellen laufen nun in beiden Medien unterschiedlich schnell, des­halb  muss man sie nun in jedem Medium getrennt als Halbkreise betrachten. Betrachtet man diese halb­kreis­förmigen  Elementar­wellen zu einem Zeitpunkt nach der Erzeu­gung, dann haben es gleich­zeitig erzeugte Elementarwellen (gleiche Linienart) im zweiten Medium weniger weit geschafft als in Medium 1, da hier die Geschwindigkeit kleiner ist. Ihre Radien sind also kleiner. Dadurch wird auch die Wellenlänge in Medium 2 kleiner .  
Die Amplitude ''A'' gibt uns den Maximalwert und den Minimalwert von $u(x,t)$ an:
 
* Maximalwert $u(x,t) = A$, Minimalwert $u(x,t) = -A$.
 
Die Phase enthält die Konstanten der Welle:
 
* Sie enthält entweder ''k'' und &omega; oder &lambda; und ''T''.
 
* Jedes Paar hängt über die Phasengeschwindigkeit zusammen $c = \frac {\omega}k=\frac{\lambda}T$.
 
* Jeweils zwei der Konstanten ''k'', &omega;, ''c'' bzw. &lambda;, ''T'', ''c'' legen die dritte fest.  
 
Das Vorzeichen in der Phase bestimmt, in welche Richtung die Welle läuft: Die Laufrichtung ist die Bewegung einer Auslenkung konstanter Phase für ''t'' > 0. Die Phase kann bei wachsendem ''t'' nur konstant bleiben, wenn sich der Summand $kx$ gegenläufig zu $\pm\omega t$ ändert:
 
* Bei einer in positive Richtung (rechts) laufenden Welle haben $kx$ und $\omega t$ unterschiedliche Vorzeichen: $-kx+\omega t$ oder $kx-\omega t$.
 
* Bei einer in negative Richtung (links) laufenden Welle haben $kx$ und $\omega t$ gleiche Vorzeichen: $kx+\omega t$ oder $-kx-\omega t$.
 
  
Wir fassen noch einmal alles zusammen, was man sich merken sollte: $\underbrace{u(x ,t)}_{"Auslenkung"}
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Nun lassen wir die Wellenfronten schräg einfallen (Abb. 2, unteres Bild). Dann trifft eine Front neben­ein­ander­liegende Punkte auf der Grenz­fläche zu Medium 2 nicht mehr gleichzeitig und es werden zeitlich nacheinander neben­einanderliegende Elementarwellen erzeugt. Der Einfallswinkel der Front und die Geschwin­digkeit ''c<sub>1</sub>'' in Medium 1 bestimmen den Zeitversatz der Aussendung.  Zu einem beliebigen späteren Zeitpunkt haben sich zuerst erzeugte Wellen weiter ausgebreitet als danach erzeugte Wellen. In beiden Medien kann man die Tangente an diese nun unterschiedlich großen Halbkreiswellen legen. Dies sind die neuen Wellenfronten. Senkrecht dazu steht der zugehörige Strahl. Durch die kleineren Radien ergibt sich in Medium 2 für den Strahl eine neue, zum einfallenden Strahl abgeknickte Richtung. Deshalb nennt man die Welle gebrochen.
=  \underbrace{A}_{"Amplitude"} \cdot \cos(\underbrace{k x \mp  \omega t \mp \varphi_0}_{"Phase"})$ sowie (3a-d).
 
  
===Wellen im Raum===
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{{Frage|Nummer=4|Frage=Ist die Vorstellung richtig, dass der reflektierte Strahl dadurch entsteht, dass ein Teil des einfallenden Lichtes einfach umgelenkt wird, so wie ein Tennisball, der von einer Wand abprallt?|Antwort=Nein! Nach dem [[Wellenausbreitung#Wellenwanderung%3A_Das_Huygensche_Prinzip|Huygenschen Prinzip]] werden auf der Grenzfläche vom einfallenden Licht kugelförmige Elementarwellen erzeugt. Nur diese erzeugen den reflektierten Strahl. Vom ursprünglichen Licht ist im reflektierten Licht nichts enthälten. Das reflektierte Licht ist also nicht dasselbe Licht, das einfällt. Das reflektierte Licht wird erst in der Grenzfläche erzeugt. Wie unhaltbar die Vorstellung der "Tennisballreflexion" von Licht ist, zeigt sich bereits bei senkrechtem Einfall. Damit das Licht seine Richtung um 180° ändern könnte, müsste es wie ein Tennisball an der Grenzfläche auf ''v'' = 0 abgebremst und dann wieder beschleunigt werden. Licht kann man jedoch nicht zum Stillstand bringen.}}
Bei Wellen im Raum, d.h. Wellen, die nicht nur in eine Richtung ''x'', sondern wie eine Kugelwelle in alle möglichen Richtungen läuft, wird die Kreiswellenzahl zum Wellenvektor $\vec k$ und der Ort zum Ortsvektor $\vec r$. In der Phase steckt dann das Skalarprodukt $\vec k\cdot\vec r$. Der Wellenvektor $\vec k$ zeigt stets in die Laufrichtung der Welle. Für seinen Betrag gilt $|\vec k|=\frac{2\pi}{\lambda}$. Für Wellen im Raum verwendet man nur den Wellenvektor. 
 
<div class="law">'''Harmonische Welle''' im Raum: $u(x,t)=A\cdot\cos(\vec k\cdot\vec r\mp\omega t\mp\varphi_0)$ {{Gl|Nr=5}} </div>
 
Der Wel­len­vektor hat bei einer Welle eine ähnlich Bedeutung wie der Impuls bei einem Teilchen: Er drückt die Bewegungsrichtung der Welle aus und beinhaltet ihre Kreisfrequenz. Wenn bei Wellengleicher Geschwindigkeit ''k'' klein ist, ist die Wellenlänge $\lambda = cT$ groß. Dann ist die Periodendauer ''T'' groß, also die Schwingung langsam. Lichtwellen, Schallwellen und Wasserwellen breiten sich im Raum aus. Hier ist dann auch die Art der Wellenfront wichtig. Wir unterscheiden Wellen im Raum nach der Form der Wellenfronten in ebene Wellen und Kugelwellen. In allen Fällen steht der Wellenvektor immer senkrecht auf den Wellenfronten.
 
{{Beispiel|Nr=1|Titel=Wellenvektor|Text=Bei einer Lichtwelle entspricht der Wellen­vektor anschaulich dem Lichtstrahl: Er zeigt genau dahin, wohin sich die Welle bewegt. Sein Betrag beinhaltet die Wellenlänge und beschreibt die Farbe des Lichts.}}
 
  
==Grafische Darstellung==
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<div style="clear:both">
[[Datei:Waveharm20.gif|mini|Abb.1 Harmonische Welle]]
 
[[Datei:Waveharm2.png|mini|400px|Abb.2 Die Welle aus Abb.1 in der Foto- und Filmdarstellung.]]
 
Wie im Artikel Wellen erläutert, sind Wellen am besten als bewegtes Bild darstellbar. Die zugehörigen statischen Bilder sind die Momentaufnahme ("Foto") und die Bewegung einer der Oszillatoren als Funktion der Zeit ("Film"). Abb.2 zeigt links das Foto der Welle aus Abb.1 zum Zeitpunkt ''t''<sub>0</sub> = ''T''/2. In Abb.1 blitzt der Zeitpunkt des Fotos kurz auf. Rechts ist die Auslenkung des in Abb.1 rot markierten Oszillators bei ''x''<sub>0</sub> = 5 als Funktion der Zeit (Film) gezeigt. Aus der Fotodarstellung können wir die Wellenlänge &lambda; ablesen. Aus der Filmdarstellung können wir die Periodendauer ''T'' ablesen. Aus diesen beiden Angaben erhalten wir die Phasengeschwindigkeit ''c''. Aus allen Darstellungen können wir außerdem die Amplitude ''A'' ablesen. Die Amplitude ist der Betrag der maximalen Auslenkung, d.h. der maximalen Abweichung von der Ruhelage. Mit Hilfe dieser Konstanten können wir die mathematische Funktion der Welle vollständig angeben.
 
{{Beispiel|Nr=2|Titel=Grafische Darstellung von harmonischen Wellen auswerten|Text=Nehmen an, die gezeigten Zahlen in Abb.2 hätten die Einheitn ''x'' und ''u'' in m und ''t'' in s! Bestimme &lambda;, ''T'' und ''c'' für die Welle in Abb.2. Aus Abb.2 links lesen wir &lambda; = 10 m ab (Abstand zwischen zwei Maxima), und aus Abb.2 rechts ''T'' = 5 s (ebenfalls Abstand zwischen zwei Maxima). Das ergibt die Phasengeschwindigkeit $c=\frac{\text{10 m} }{\text{5 s} }=\text{2}\frac{\text m}{\text s}$.<br>
 
Gebe die mathematische Funktion der Welle aus Abb.2 an! Hierzu benötigen wir noch die Amplitude ''A''. Wir können Sie sowohl links als auch rechts ablesen und erhalten ''A'' = 1,0 m. Um die Phase zu bestimmen, müssen wir wissen, wo die Welle bei ''t'' = 0 war. Unser Foto zeigt die Welle nach einer hablen Periodendauer, d.h. bei ''t'' = ''T''/2.. Da eine Welle in einer Periodedauer ''T'' die Wellenlänge &lambda; zurücklegt, war sie bei ''t'' = 0 um eine halbe Wellenlänge nach -''x'' verschoben. Das heißt, bei t = 0 lag eine Maximum bei x = 0. Das verlangt eine Kosinusfunktion ohne Phasenverschiebung. Damit lautet die Funktion der Welle $u(x,t)=\text{1,0 m} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{\text{10 m} }x\mp\frac{2\pi}{\text{5 s} }t\right)$.}} 
 
{{Bildfrage|Nummer=5|Frage=Bestimme aus Abb.F2 die Konstanten &lambda; und ''T'' und daraus die Phasengeschwindigkeit ''c''!|Antwort=Links lesen wir &lambda; = 4 m ab, rechts ''T'' = 10 s. Das ergibt die Phasengeschwindigkeit $c=\frac{\text{4 m} }{\text{10 s} }=\text{0,4}\frac{\text m}{\text s}$.|Bild=Waveharmf2.png|Size=400px}}
 
{{Frage|Nummer=6|Frage=Das Foto in Abb.F2 zeiget die Welle bei ''t''=0 s. Gebe die Funktion der Welle aus Abb.F2 an!|Antwort=Links lesen wir &lambda; = 4 m ab, rechts ''T'' = 10 s. Die Amplitude ist ''A'' = 0,8 m. Bei ''t'' = 0 s ist die Auslenkung &minus;''A''. Das ergibt sich bei einem Kosinus mit der Phasenverschiebung &#177;&pi; und bei einem Sinus mit der Phasenverschiebung &minus;&pi;/2. Mögliche Funktionen sind daher $u(x,t)=\text{0,8 m} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{\text{4 m} }x\mp\frac{2\pi}{\text{10 s} }t\pm\pi\right)$ oder $u(x,t)=\text{0,8 m} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{\text{4 m} }x\mp\frac{2\pi}{\text{10 s} }t-\frac{\pi}{2}\right)$.}}
 
  
==Intensität einer harmonischen Welle==
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==Herleitungen==
Wie jede Welle transportiert auch eine harmonische Welle Energie. Für eine harmonische Welle in einem Medium der Massendichte &rho; lässt sich die Intensität ''I'' allgemein berechnen und angeben.
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===Brechungsgesetz===
<div class="law">Die Intensität einer harmonischen Welle ist: $I=\frac PF=\frac 12 \rho\cdot c\cdot \omega^2 A^2$. Darin ist ''A'' die Amplitude der Welle, &omega; die Kreisfrequenz, ''c'' die Phasengeschwindigkeit und &rho; die Dichte des Mediums. {{Gl|Nr=5}}</div>
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[[Datei:Brechung5.png|mini|Abb.3 Herleitung des Brechungsgesetzes]]
Die Intensität gibt an, welche Energie pro Zeit von der Welle auf eine bestimmte Fläche ''F'' gebracht wird. Für Wellen auf einem Seil oder einer Saite verwendet man statt der Dichte $\rho=\frac{dm}{dV}$ die lineare Massendichte $\mu=\frac{dm}{dx}$, die die Masse pro Länge angibt. Über den Zusammenhang $\rho=\frac {dm}{dV}=\frac{dm}{F\cdot dx}=\frac{\mu}{F}$ lässt sich diese ebenfalls in (5) einsetzen. Darin ist dann ''F'' die Querschnittsfläche des Seils bzw. der Saite.
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Zum Zeitpunkt ''t'' = 0 schneidet eine Wellenfront im Punkt A eine Grenzfläche und erzeugt dort eine Elementarwelle. In der Zeit ''t'' (z.B. eine Perioden­dauer) schiebt sich die Wellenfront in Medium 1 um die Strecke $\overline {BC} = c_1\cdot t$ weiter und schneidet dann die Grenz­fläche im Punkt C. Der Abstand $\overline {AC}$ hängt vom Einfallswinkel &alpha; des Strahls zum Lot und von ''c<sub>1</sub>'' ab: Das blaue Dreieck liefert: $\sin(\alpha) = {c_1 t}/ {\overline {A C}}$. Während dieser Zeit ''t'' hat sich die in A erzeugte Ele­men­tar­welle in Medium 2 um $c_2\cdot t$ ausgebreitet. Die Tangente $\overline {EC}$ an diese Kreiswelle durch C gibt die Richtung der gebrochenen Wellenfronten. Der gebrochenen Strahl steht senkrecht darauf und für seinen Winkel &beta; zum Lot erhält man aus dem roten Dreieck: $\sin(\beta) = {c_2 t}/{\overline {A C}}$. Division beider Gleichungen liefert das Snelliussche Brechungsgesetz: $\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \dfrac{{c_1 t} /{\overline {A C} } } { {c_2 t}/{\overline {A C} } }=\dfrac{c_1}{c_2}$.</div>
===Herleitung===
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<div style="clear:both">
Wir bestimmen jetzt den Zusammenhang zwischen ''I'' und den Parametern der Welle, wie Amplitude ''A'', Wellenzahl ''k'' oder Kreisfrequenz &omega;. Dazu betrachten wir eine Welle, die in ''x''-Richtung läuft und berechnen die Energie ''dE'' der Oszillatoren in dem Volumen $dV=F\cdot dx=F\cdot c\cdot dt$. Wenn sich die Welle mit der Phasengeschwindigkeit ''c'' bewegt, trifft nämlich genau diese Energie im Zeitintervall ''dt'' auf die Fläche ''F''. Die Federkonstante der Oszillatoren sei ''D'', die Masse eines Oszillators sei ''dm'', die Auslenkung eines Oszillators sei $u(t) = A \sin(\omega t)$. Jeder einzelne Oszillator trägt die Energie $dE=E_{pot}+E_{kin}$. Seine potenzielle Energie ist $dE_{pot}=\frac 12 D u^2$. Weil $\omega^2=D/dm$ ist, können wir ''D'' durch $D=dm\cdot \omega^2$ ersetzen. Zusammen mit ''u'' ergibt das $dE_{pot}=\frac 12 dm\cdot\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t)$. Die kinetische Energie des Oszillators ist $dE_{kin}= \frac 12 dm\cdot {\dot u}^2$.  Wir bilden die Ableitung $\dot u(t) = \omega\cdot A\cdot \cos(\omega t)$ und setzen sie ein. Das ergibt $dE_{kin}= \frac 12 dm\cdot \omega^2\cdot A^2\cdot  \cos^2(\omega t)$. Das alles setzen wir in $dE$ ein und erhalten $dE=\frac 12 dm\cdot  \omega^2\cdot  A^2\cdot  \sin^2(\omega t)+\frac 12 dm\cdot  \omega^2\cdot  A^2\cdot  \cos^2(\omega t)$. Mit dem trigonometrischen Pythagoras ergibt sich pro Oszillator die Energie $dE=\frac 12 dm\cdot \omega^2\cdot A^2$. Die Masse drücken wir über die Massendichte &rho; des Mediums aus: $\rho=\frac{dm}{dV}\ \Rightarrow\ dm=\rho\cdot dV=\rho\cdot F\cdot dx$. Damit erhalten wir $dE=\frac 12 \rho\cdot F\cdot dx \cdot\omega^2 A^2$.
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===Reflexionsgesetz===
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[[Datei:Brechung4.png|mini|Abb.4 Herleitung des Reflexionsgesetzes]]
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Das Reflektionsgesetz lässt sich auch sehr hübsch aus dem [[Wellenausbreitung#Wellenwege: Fermatsches Prinzip|Fermatschen Prinzip]] gewinnen. Das besagt, das eine Welle immer den Weg nimmt, über den sie am schnellsten ans Ziel kommt. Das ist üblicherweise der direkte Weg. Wie kommt man aber am schnellsten von A nach B, wenn man unterwegs die Linie L berühren muss, d.h. nicht den direkten Weg gehen darf (Abb.4)? Vielleicht erst direkt zu L und dann zu B? Oder ist es egal, wo ma L berührt? Es ist nicht egal und eine Welle kennt die Lösung. Man findet sie, indem man A und den Weg bis L an L spiegelt (A' in Abb.4). Der schnellste Weg von A' nach B ist der Direkte, der genauso lang ist wie der durchgezogene Weg von A nach B. Alle anderen Wege sind länger. Vergleicht man die Winkel α = γ = α', findet man das Reflektionsgesetz:  α = α'.</div>
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Die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie ist konstant, wie es bei einem harmonische Oszillator sein muss. Wie eingangs erwähnt, trifft die Energie aus dem Volumen $dV=F\cdot c\cdot dt$ im Zeitintervall ''dt'' auf die Fläche ''F''. Wir erstzen deshalb $dx=c\cdot dt$. Ableiten nach der Zeit liefert dann die Leistung, die die Welle im Zeitintervall ''dt'' auf die Fläche bringt, und ergibt $P=\frac{dE}{dt}=\frac 12 \rho\cdot F\cdot c\cdot \omega^2 A^2$ denn $\frac{dx}{dt}=c$. Division durch die Fläche ''F'' liefert schließlich die Intensität und (5).
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==Totalreflexion==
{{Frage|Nummer=7|Frage=Drei gleichartige Wellen laufen im gleichen Medium. Sie unterscheiden sich nur in ihren Amplituden und ihren Frequenzen: Welle 1 hat die Amplitude 2''A'' und die Kreisfrequenz &omega;, Welle 2 hat 2''A'' und &omega;/2 und Welle 3  hat ''A'' und 2&omega;. Sortiere die Wellen nach ihrer Intensität!|Antwort=1=3>2, denn die Intensitäten von Welle 1 und Welle 3 sind proportional zu $4A^2\omega^2$ und die von Welle 2 nur zu $A^2\omega^2$, d.h. die Intensitäten von Welle 1 und Welle 3 sind viermal so groß wie die von Welle 2.}}
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[[Datei:Brechung6.png|mini|Abb.5 Totalreflexion]]
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Totalreflexion: Ein Sonderfall der Brechung kann sich ergeben, wenn Licht vom optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium übergeht, also ''c<sub>1</sub>'' < ''c<sub>2</sub>'' bzw. ''n<sub>1</sub>'' > ''n<sub>2</sub>'' ist. Für diesen Fall wird das Licht vom Lot weg gebrochen. Für einen bestimmten Einfallswinkel &alpha;<sub>G</sub>, den wir '''Grenzwinkel für Totalrefexion''' nennen, ist der Winkel des gebrochenen Strahls &beta; = 90°, er verläuft also in der Grenzfläche (Abb.5). Wird der Einfalls­winkel noch größer, kann es keinen gebrochenen Strahl mehr geben. Der Grenzwinkel hängt wegen $\sin(\beta)=sin(90°) = 1$ nur von den Geschwindigkeiten bzw. Brechungsindices ab:
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<div class="law">Grenzwinkel für Totatreflexion: $\sin(\alpha_G)=\frac{c_1}{c_2} =\frac{n_2}{n_1}$ {{Gl|Nr=4}}</div>
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Auf der Totalreflexion basiert die gesamte Lichtleitertechnologie. Glasfaserkabel ermöglichen eine viel schnellere Datenübertragungsrate als herkömmliche Kabel und sind ein Baustein einer schnellen Internetverbindung.</div>
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<div class="example" style="clear:both">[[Datei:Brechung7.png|mini|Abb.6 Aufbau einer Glasfaser]]'''Beispiel:''' '''Lichtleiter''' Der Aufbau eines Lichtleiters (Glasfaser) besteht vom Prinzip her aus einer inneren Faser (dem Kern) mit dem Brechungindes ''n<sub>1</sub>'' und einem Durchmesser ''d'', der von einem Mantel mit dem Brechungsindex ''n<sub>2</sub>'' umgeben ist. Wenn man möglichst viel Licht in so eine Faser hineinbekommen möchte, muss man beachten, dass das Licht nicht unter beliebigen Winkeln auf die Faser treffen darf, sondern ein bestimmter Winkel nicht überschritten werden darf, weil sonst in der Faser keine Totalreflexion mehr auftritt. Diesen Winkel nennt man Akzeptanzwinkel ''θ<sub>A</sub>''. Wie groß ist ''θ<sub>A</sub>'', wenn der Brechungsindex der um­gebenden Luft ''n<sub>0</sub>'' = 1,00 ist?
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Der Akzeptanzwinkel ''θ<sub>A</sub>'' ergibt sich erstens aus der Brechung an der Stirnfläche und zweitens aus der anschließenden Totalreflexion am Mantel.<br>
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Für die Brechung an der Stirnfläche gilt: $\frac{\sin(\theta_A)} {\sin(\beta)} = \frac{n_1}{n_0} = \frac{\sin(\theta_A)}{\sin(90° -\alpha_G)}= \frac{\sin(\theta_A)} {\cos(\alpha_G)}$. Das ergibt $n_0 \sin(\theta_A) = n_1 \cos(\alpha_G)$.<br>
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Für die Totalreflexion ergibt sich: $\sin(\alpha_G) = \frac{n_2}{n_1} \Rightarrow~{\sin^2(\alpha_G)} = \left (\frac{n_2} {n_1} \right )^2 = 1-cos^2(\alpha_G)~\Rightarrow~\cos^2(\alpha_G)=1- \frac{n_2^2} {n_1^2}$. Dabei wurde der [[Trigonometrie#Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen|trigonometrische Pythagoras]] ausgenutzt, d.h. $sin^2(x)+\cos^2(x)=1$.<br>
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Beides zusammen ergibt $n_0^2 \sin^2(\theta_A) = n_1^2 \cos^2(\alpha_G) = n_1^2(1 -\frac{n_2^2}{n_1^2})~\Rightarrow~ n_0 \sin(\theta_A) =\sqrt{n_1^2-n_2^2}$.
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Für eine Faser mit einem Kernindex ''n<sub>1</sub>'' = 1,47, einem Kerndurchmesse ''d'' = 0,50 mm und einem Mantel mit ''n<sub>2</sub>'' =1,45 in Luft (''n<sub>0</sub>'' = 1,00) ergibt das $\theta_A =\arcsin(\sqrt{1,47^2-1,45^2})=0,244$. Das entspricht $\theta_A=14°$, ein ziemlich typischer Wert.  
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[[category:Optik]]
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[[category:Geometrische Optik]]
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[[category:Wellenoptik]]

Version vom 29. Juli 2020, 13:05 Uhr

Physikalischer Kontext

Für diesen Artikel solltest Du die Erzeugung und die Eigenschaften von elektromagnetischen Wellen kennen. Wir beschränken uns jetzt auf den Spektralbereich des sichtbaren Lichts. Optische Bauelemente verändern die auftreffenden oder hindurch tretenden Lichtwellen. Diese können dadurch ihre Richtung, ihre Geschwindigkeit, ihre Wellenlänge, die Form ihrer Wellenfronten, ihre Polarisation und vieles mehr ändern. Inzwischen können wir Licht auf nahezu jede erdenkliche Weise bedarfs­gerecht manipulieren, Kataloge von Lieferanten optischer Bauteile sind dick wie Telefonbücher. Doch die meisten Bauteile beruhen auf wenigen, fundamentalen Prinzipien. Wir teilen die auftretenden Phänomene ein in Brechung, Reflexion, Beugung, Interferenz, Streuung, Doppel­brechung, optische Aktivität, Absorption, Fluoreszenz. Die Brechung und die Reflexion werden wir jetzt kennen­lernen. Sie bilden einen Basisbaustein, um die Funktion und den Aufbau von optischen Instrumenten, wie Linsen, Prismen, Spektrometern und anderen optische Experimente verstehen und aufbauen zu können.

Brechungsindex

Das Brechungsgesetz kennen Sie vemutlich schon aus der Schule, ebenso wie den Begriff Brechungs­index oder Brechzahl. Beide bedeuten dasselbe. Licht läuft in Materie langsamer und das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit c ≈ 3 × 108 m/s zur Geschwindigkeit cm im Medium nennt man Brechungsindex oder Brechzahl.

Der Brechungindex ist das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit c zur Geschwindigkeit cm in einem Medium $n_m=\dfrac c{c_m}$     (1)

Danach ist also der Brechungsindex stets $n \ge 1$. Das Medium mit der größeren Brechzahl im Vergleich zu einem anderen nennt man „optisch dichter“ (Als eine etwas verwirrende Bezeichnung in der Physik bedeutet allerdings der Begriff „Optische Dichte“ etwas ganz anderes und bezieht sich auf die Stärke der Absorption.). Warum Licht in Materie langsamer läuft, erklärt der Artikel Brechungsindex.

Phänome von Brechung und Reflexion

Abb.1 Brechungs- und Reflexionsgesetz

Phänomen: Trifft eine Lichtstrahl schräg auf eine Grenzfläche zweier lichtdurchlässiger (trans­parenter) Medien, in denen die Phasen­geschwindigkeiten c1 und c2 bzw. die Brechungsindices n1 und n2 unter­schiedlich sind, wird ein Teil des Strahls reflektiert, der größere Teil durchdringt die Grenzfläche. Wir sagen, er wird transmittiert. Der transmittierte Teil wird abgelenkt, wir sagen dazu gebrochen. Für den gebrochenen Strahl ergibt sich aus geometrischen Betrachtungen oder aus dem Fermatschen Prinzip das Snelliussche Brechungsgesetz.

Als Brechung bezeichnet man die Richtungsänderung des transmittierten Anteils einer Welle an einer Grenzfläche zwischen zwei Medien. Die Brechung erfolgt nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz: $\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{n_2}{n_1}$ Darin ist α der vom Lot aus gemessene Einfallswinkel und β der vom Lot aus gemessene Brechungswinkel.     (2)

Beide Winkel werden vom Lot aus gemessen, α in Medium 1, β in Medium 2. Es beinhaltet, dass Licht beim Übergang in ein optisch dichteres (langsameres) Medium zum Lot hin gebrochen wird, im umgekehrten Fall vom Lot weg. Für die Richtungsänderung bei der Brechung gibt es eine einfache Analogie. Stelle Dir ein Auto vor, bei dem einseitig die Bremsen kaputt sind. Wenn man zu einer Vollbremsung gezwungen wird, bremst das Auto nur auf einer Seite. Nun wird es nicht mehr geradeaus fahren, sondern zur bremsenden Seite abgelenkt. Ebenso wird eine Lichtwelle, die schräg auf eine Medium trifft, dort zuerst gebremst, wo sie zuerst auf das Medium trifft, der Rest läuft noch ungebremst weiter. Dadurch wird auch die Lichtwelle zur bremsenden Seite umgelenkt.

In Medium 1 wird der Strahl reflektiert. Hier gilt das Reflexionsgesetz.

Als Reflexion bezeichnet man die Welle, die an einer Grenzfläche zwischen zwei Medien entsteht und wie an der Oberfläche gespiegelt läuft. Die Reflexion erfolgt nach dem Reflexionsgesetz: Einfallswinkel = Ausfallswinkel $\alpha=\alpha'$ Darin ist α der vom Lot aus gemessene Einfallswinkel und α' der vom Lot aus gemessene Reflexionswinkel.     (3)

Für die Reflexion gibt es keine einfache Analogie. Die Vorstellung, dass das Licht durch die Grenzfläche irgendwie umgelenkt würde, lässt sich nicht halten, denn dann müsste die Grenzfläche Kräfte auf die Lichtwelle ausüben können, was sie nicht kann. Was für Kräfte sollten das auch ein und wo sollten sie angreifen? Um die Reflexion zu verstehen, müssen wir das Huygen­sche Prinzip heranziehen und erkennen, dass der reflektierte Strahl tatsächlich erst an der Grenzfläche entsteht. Die richtige Vorstellung folgt gleich.

Abb.F1
Kontrollfrage 1: Der weisse Bereich sei Luft, der blaue sei Wasser. Wasser hat den größeren Brechungsindex. Welcher der Strahlen A bis C in Luft passt zum Strahl im Wasser?
A, weil das Licht beim Übergang von Luft zu Wasser zum Lot hin und beim Übergang von Wasser nach Luft vom Lot weg gebrochen wird.


Abb.F2
Kontrollfrage 2: Im grauen Bereich sei das Licht langsamer als außerhalb. Beurteile für die Strahlengänge a bis d, ob sie möglich sind. Begründe Deine Antworten!
Alle sind nicht möglich! a) weil β=0 nur für α = 0 auftreten kann, b) weil beim Austritt vom Lot weg gebrochen werden muss, c) weil es keine Brechung ohne Grenzfläche gibt, d) weil bei der Reflexion der Ausfallswinkel kleiner als der Einfallswinkel ist.


Abb.F3
Kontrollfrage 3: Eine Münze liegt auf dem Boden einem leeren Becher. Du positionierst dein Auge so über den Rand des Bechers, dass Du die Münze gerade nicht mehr sehen kannst. Was wird geschehen, wenn Du Wasser in den Becher füllst, ohne Deine Position zu verändern?
Abb.F3a
Die Münze wird sichtbar, weil sie scheinbar angehoben wird. Durch die Brechung vom Lot weg gelangt das von der Münze ausgehende Licht nun in unser Auge.



Modellvorstellung

Abb.2 Erklärung der Brechung durch das Huygensche Prinzip

Die zugrundeliegende Modell­vor­stel­lung verwendet das Huygen­sche Prinzip. Betrachten wir zuerst Abb.2, oberes Bild: Wenn ein Punkt einer ebenen Wellenfront (gestrichelte Linien in Abb.2) auf die Grenze von c1 nach c2 trifft, werden dort gleichzeitig nebeneinanderliegende kugelförmige Ele­mentarwellen (gestrichelte Halbkreise) ausgesendet. Neh­men wir an, c1 sei größer als c2 und die Welle kommt aus Medium 1 und trifft zuerst senkrecht auf Medium 2. Die normalerweise kreisförmigen Ele­men­tar­wellen laufen nun in beiden Medien unterschiedlich schnell, des­halb muss man sie nun in jedem Medium getrennt als Halbkreise betrachten. Betrachtet man diese halb­kreis­förmigen Elementar­wellen zu einem Zeitpunkt nach der Erzeu­gung, dann haben es gleich­zeitig erzeugte Elementarwellen (gleiche Linienart) im zweiten Medium weniger weit geschafft als in Medium 1, da hier die Geschwindigkeit kleiner ist. Ihre Radien sind also kleiner. Dadurch wird auch die Wellenlänge in Medium 2 kleiner .

Nun lassen wir die Wellenfronten schräg einfallen (Abb. 2, unteres Bild). Dann trifft eine Front neben­ein­ander­liegende Punkte auf der Grenz­fläche zu Medium 2 nicht mehr gleichzeitig und es werden zeitlich nacheinander neben­einanderliegende Elementarwellen erzeugt. Der Einfallswinkel der Front und die Geschwin­digkeit c1 in Medium 1 bestimmen den Zeitversatz der Aussendung. Zu einem beliebigen späteren Zeitpunkt haben sich zuerst erzeugte Wellen weiter ausgebreitet als danach erzeugte Wellen. In beiden Medien kann man die Tangente an diese nun unterschiedlich großen Halbkreiswellen legen. Dies sind die neuen Wellenfronten. Senkrecht dazu steht der zugehörige Strahl. Durch die kleineren Radien ergibt sich in Medium 2 für den Strahl eine neue, zum einfallenden Strahl abgeknickte Richtung. Deshalb nennt man die Welle gebrochen.

Kontrollfrage 4: Ist die Vorstellung richtig, dass der reflektierte Strahl dadurch entsteht, dass ein Teil des einfallenden Lichtes einfach umgelenkt wird, so wie ein Tennisball, der von einer Wand abprallt?
Nein! Nach dem Huygenschen Prinzip werden auf der Grenzfläche vom einfallenden Licht kugelförmige Elementarwellen erzeugt. Nur diese erzeugen den reflektierten Strahl. Vom ursprünglichen Licht ist im reflektierten Licht nichts enthälten. Das reflektierte Licht ist also nicht dasselbe Licht, das einfällt. Das reflektierte Licht wird erst in der Grenzfläche erzeugt. Wie unhaltbar die Vorstellung der "Tennisballreflexion" von Licht ist, zeigt sich bereits bei senkrechtem Einfall. Damit das Licht seine Richtung um 180° ändern könnte, müsste es wie ein Tennisball an der Grenzfläche auf v = 0 abgebremst und dann wieder beschleunigt werden. Licht kann man jedoch nicht zum Stillstand bringen.


Herleitungen

Brechungsgesetz

Abb.3 Herleitung des Brechungsgesetzes
Zum Zeitpunkt t = 0 schneidet eine Wellenfront im Punkt A eine Grenzfläche und erzeugt dort eine Elementarwelle. In der Zeit t (z.B. eine Perioden­dauer) schiebt sich die Wellenfront in Medium 1 um die Strecke $\overline {BC} = c_1\cdot t$ weiter und schneidet dann die Grenz­fläche im Punkt C. Der Abstand $\overline {AC}$ hängt vom Einfallswinkel α des Strahls zum Lot und von c1 ab: Das blaue Dreieck liefert: $\sin(\alpha) = {c_1 t}/ {\overline {A C}}$. Während dieser Zeit t hat sich die in A erzeugte Ele­men­tar­welle in Medium 2 um $c_2\cdot t$ ausgebreitet. Die Tangente $\overline {EC}$ an diese Kreiswelle durch C gibt die Richtung der gebrochenen Wellenfronten. Der gebrochenen Strahl steht senkrecht darauf und für seinen Winkel β zum Lot erhält man aus dem roten Dreieck: $\sin(\beta) = {c_2 t}/{\overline {A C}}$. Division beider Gleichungen liefert das Snelliussche Brechungsgesetz: $\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \dfrac{{c_1 t} /{\overline {A C} } } { {c_2 t}/{\overline {A C} } }=\dfrac{c_1}{c_2}$.

Reflexionsgesetz

Abb.4 Herleitung des Reflexionsgesetzes
Das Reflektionsgesetz lässt sich auch sehr hübsch aus dem Fermatschen Prinzip gewinnen. Das besagt, das eine Welle immer den Weg nimmt, über den sie am schnellsten ans Ziel kommt. Das ist üblicherweise der direkte Weg. Wie kommt man aber am schnellsten von A nach B, wenn man unterwegs die Linie L berühren muss, d.h. nicht den direkten Weg gehen darf (Abb.4)? Vielleicht erst direkt zu L und dann zu B? Oder ist es egal, wo ma L berührt? Es ist nicht egal und eine Welle kennt die Lösung. Man findet sie, indem man A und den Weg bis L an L spiegelt (→ A' in Abb.4). Der schnellste Weg von A' nach B ist der Direkte, der genauso lang ist wie der durchgezogene Weg von A nach B. Alle anderen Wege sind länger. Vergleicht man die Winkel α = γ = α', findet man das Reflektionsgesetz: α = α'.

Totalreflexion

Abb.5 Totalreflexion

Totalreflexion: Ein Sonderfall der Brechung kann sich ergeben, wenn Licht vom optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium übergeht, also c1 < c2 bzw. n1 > n2 ist. Für diesen Fall wird das Licht vom Lot weg gebrochen. Für einen bestimmten Einfallswinkel αG, den wir Grenzwinkel für Totalrefexion nennen, ist der Winkel des gebrochenen Strahls β = 90°, er verläuft also in der Grenzfläche (Abb.5). Wird der Einfalls­winkel noch größer, kann es keinen gebrochenen Strahl mehr geben. Der Grenzwinkel hängt wegen $\sin(\beta)=sin(90°) = 1$ nur von den Geschwindigkeiten bzw. Brechungsindices ab:

Grenzwinkel für Totatreflexion: $\sin(\alpha_G)=\frac{c_1}{c_2} =\frac{n_2}{n_1}$     (4)
Auf der Totalreflexion basiert die gesamte Lichtleitertechnologie. Glasfaserkabel ermöglichen eine viel schnellere Datenübertragungsrate als herkömmliche Kabel und sind ein Baustein einer schnellen Internetverbindung.
Abb.6 Aufbau einer Glasfaser
Beispiel: Lichtleiter Der Aufbau eines Lichtleiters (Glasfaser) besteht vom Prinzip her aus einer inneren Faser (dem Kern) mit dem Brechungindes n1 und einem Durchmesser d, der von einem Mantel mit dem Brechungsindex n2 umgeben ist. Wenn man möglichst viel Licht in so eine Faser hineinbekommen möchte, muss man beachten, dass das Licht nicht unter beliebigen Winkeln auf die Faser treffen darf, sondern ein bestimmter Winkel nicht überschritten werden darf, weil sonst in der Faser keine Totalreflexion mehr auftritt. Diesen Winkel nennt man Akzeptanzwinkel θA. Wie groß ist θA, wenn der Brechungsindex der um­gebenden Luft n0 = 1,00 ist?

Der Akzeptanzwinkel θA ergibt sich erstens aus der Brechung an der Stirnfläche und zweitens aus der anschließenden Totalreflexion am Mantel.
Für die Brechung an der Stirnfläche gilt: $\frac{\sin(\theta_A)} {\sin(\beta)} = \frac{n_1}{n_0} = \frac{\sin(\theta_A)}{\sin(90° -\alpha_G)}= \frac{\sin(\theta_A)} {\cos(\alpha_G)}$. Das ergibt $n_0 \sin(\theta_A) = n_1 \cos(\alpha_G)$.
Für die Totalreflexion ergibt sich: $\sin(\alpha_G) = \frac{n_2}{n_1} \Rightarrow~{\sin^2(\alpha_G)} = \left (\frac{n_2} {n_1} \right )^2 = 1-cos^2(\alpha_G)~\Rightarrow~\cos^2(\alpha_G)=1- \frac{n_2^2} {n_1^2}$. Dabei wurde der trigonometrische Pythagoras ausgenutzt, d.h. $sin^2(x)+\cos^2(x)=1$.
Beides zusammen ergibt $n_0^2 \sin^2(\theta_A) = n_1^2 \cos^2(\alpha_G) = n_1^2(1 -\frac{n_2^2}{n_1^2})~\Rightarrow~ n_0 \sin(\theta_A) =\sqrt{n_1^2-n_2^2}$. Für eine Faser mit einem Kernindex n1 = 1,47, einem Kerndurchmesse d = 0,50 mm und einem Mantel mit n2 =1,45 in Luft (n0 = 1,00) ergibt das $\theta_A =\arcsin(\sqrt{1,47^2-1,45^2})=0,244$. Das entspricht $\theta_A=14°$, ein ziemlich typischer Wert.