Harmonische Wellen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Waveharm2.png|mini|400px|Abb.2 Die Welle aus Abb.1 in der Foto- und Filmdarstellung.]]
 
[[Datei:Waveharm2.png|mini|400px|Abb.2 Die Welle aus Abb.1 in der Foto- und Filmdarstellung.]]
 
Wie im Artikel Wellen erläutert, sind Wellen am besten als bewegtes Bild darstellbar. Die zugehörigen statischen Bilder sind die Momentaufnahme ("Foto") und die Bewegung einer der Oszillatoren als Funktion der Zeit ("Film"). Abb.2 zeigt links das Foto der Welle aus Abb.1 zum Zeitpunkt ''t''<sub>0</sub> = ''T''/2. In Abb.1 blitzt der Zeitpunkt des Fotos kurz auf. Rechts ist die Auslenkung des in Abb.1 rot markierten Oszillators bei ''x''<sub>0</sub> = 5 als Funktion der Zeit (Film) gezeigt. Aus der Fotodarstellung können wir die Wellenlänge &lambda; ablesen. Aus der Filmdarstellung können wir die Periodendauer ''T'' ablesen. Aus diesen beiden Angaben erhalten wir die Phasengeschwindigkeit ''c''. Aus allen Darstellungen können wir außerdem die Amplitude ''A'' ablesen. Die Amplitude ist der Betrag der maximalen Auslenkung, d.h. der maximalen Abweichung von der Ruhelage. Mit Hilfe dieser Konstanten können wir die mathematische Funktion der Welle vollständig angeben.
 
Wie im Artikel Wellen erläutert, sind Wellen am besten als bewegtes Bild darstellbar. Die zugehörigen statischen Bilder sind die Momentaufnahme ("Foto") und die Bewegung einer der Oszillatoren als Funktion der Zeit ("Film"). Abb.2 zeigt links das Foto der Welle aus Abb.1 zum Zeitpunkt ''t''<sub>0</sub> = ''T''/2. In Abb.1 blitzt der Zeitpunkt des Fotos kurz auf. Rechts ist die Auslenkung des in Abb.1 rot markierten Oszillators bei ''x''<sub>0</sub> = 5 als Funktion der Zeit (Film) gezeigt. Aus der Fotodarstellung können wir die Wellenlänge &lambda; ablesen. Aus der Filmdarstellung können wir die Periodendauer ''T'' ablesen. Aus diesen beiden Angaben erhalten wir die Phasengeschwindigkeit ''c''. Aus allen Darstellungen können wir außerdem die Amplitude ''A'' ablesen. Die Amplitude ist der Betrag der maximalen Auslenkung, d.h. der maximalen Abweichung von der Ruhelage. Mit Hilfe dieser Konstanten können wir die mathematische Funktion der Welle vollständig angeben.
{{Beispiel|Nr=1|Titel=Grafische Darstellung von harmonischen Wellen auswerten|Text=Nehmen an, die gezeigten Zahlen in Abb.2 hätten die Einheitn ''x'' und ''u'' in m und ''t'' in s! Bestimme &lambda;, ''T'' und ''c'' für die Welle in Abb.2. Aus Abb.2 links lesen wir &lambda; = 10 m ab (Abstand zwischen zwei Maxima), und aus Abb.2 rechts ''T'' = 5 s (ebenfalls Abstand zwischen zwei Maxima). Das ergibt die Phasengeschwindigkeit $c=\frac{\text{10 m} }{\text{5 s} }=\text{2}\frac{\text m}{\text s}$.<br>
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{{Beispiel|Nr=2|Titel=Grafische Darstellung von harmonischen Wellen auswerten|Text=Nehmen an, die gezeigten Zahlen in Abb.2 hätten die Einheitn ''x'' und ''u'' in m und ''t'' in s! Bestimme &lambda;, ''T'' und ''c'' für die Welle in Abb.2. Aus Abb.2 links lesen wir &lambda; = 10 m ab (Abstand zwischen zwei Maxima), und aus Abb.2 rechts ''T'' = 5 s (ebenfalls Abstand zwischen zwei Maxima). Das ergibt die Phasengeschwindigkeit $c=\frac{\text{10 m} }{\text{5 s} }=\text{2}\frac{\text m}{\text s}$.<br>
 
Gebe die mathematische Funktion der Welle aus Abb.2 an! Hierzu benötigen wir noch die Amplitude ''A''. Wir können Sie sowohl links als auch rechts ablesen und erhalten ''A'' = 1,0 m. Um die Phase zu bestimmen, müssen wir wissen, wo die Welle bei ''t'' = 0 war. Unser Foto zeigt die Welle nach einer hablen Periodendauer, d.h. bei ''t'' = ''T''/2.. Da eine Welle in einer Periodedauer ''T'' die Wellenlänge &lambda; zurücklegt, war sie bei ''t'' = 0 um eine halbe Wellenlänge nach -''x'' verschoben. Das heißt, bei t = 0 lag eine Maximum bei x = 0. Das verlangt eine Kosinusfunktion ohne Phasenverschiebung. Damit lautet die Funktion der Welle $u(x,t)=\text{1,0 m} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{\text{10 m} }x\mp\frac{2\pi}{\text{5 s} }t\right)$.}}   
 
Gebe die mathematische Funktion der Welle aus Abb.2 an! Hierzu benötigen wir noch die Amplitude ''A''. Wir können Sie sowohl links als auch rechts ablesen und erhalten ''A'' = 1,0 m. Um die Phase zu bestimmen, müssen wir wissen, wo die Welle bei ''t'' = 0 war. Unser Foto zeigt die Welle nach einer hablen Periodendauer, d.h. bei ''t'' = ''T''/2.. Da eine Welle in einer Periodedauer ''T'' die Wellenlänge &lambda; zurücklegt, war sie bei ''t'' = 0 um eine halbe Wellenlänge nach -''x'' verschoben. Das heißt, bei t = 0 lag eine Maximum bei x = 0. Das verlangt eine Kosinusfunktion ohne Phasenverschiebung. Damit lautet die Funktion der Welle $u(x,t)=\text{1,0 m} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{\text{10 m} }x\mp\frac{2\pi}{\text{5 s} }t\right)$.}}   
 
{{Bildfrage|Nummer=5|Frage=Bestimme aus Abb.F2 die Konstanten &lambda; und ''T'' und daraus die Phasengeschwindigkeit ''c''!|Antwort=Links lesen wir &lambda; = 4 m ab, rechts ''T'' = 10 s. Das ergibt die Phasengeschwindigkeit $c=\frac{\text{4 m} }{\text{10 s} }=\text{0,4}\frac{\text m}{\text s}$.|Bild=Waveharmf2.png|Size=400px}}
 
{{Bildfrage|Nummer=5|Frage=Bestimme aus Abb.F2 die Konstanten &lambda; und ''T'' und daraus die Phasengeschwindigkeit ''c''!|Antwort=Links lesen wir &lambda; = 4 m ab, rechts ''T'' = 10 s. Das ergibt die Phasengeschwindigkeit $c=\frac{\text{4 m} }{\text{10 s} }=\text{0,4}\frac{\text m}{\text s}$.|Bild=Waveharmf2.png|Size=400px}}

Version vom 27. Juli 2020, 17:00 Uhr

Physikalischer Kontext

Harmonische Wellen sind periodische Wellen, die mit Hilfe von Sinus- und Kosinusfunktionen und einer einzigen Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl ausgedrückt werden können. Sie entstehen, wenn der Oszillator am Ausgangsort der Welle harmonisch schwingt. Wellen können prinzipiell beliebige Form haben. Mit Hilfe der Fourierreihen und der Fouriertransformation können alle Wellen als Summe harmonischer Wellen ausgedrückt werden. Daher sind harmonische Wellen ein besonders grundlegendes Modell. An vielen Stellen der Physik geht man von harmonischen ebenen Wellen oder harmonischen Kugelwellen als Ausgangspunkt aus, z.B. quasi immer in der Optik, in der Akustik oder in der Quantenphysik bei den Rechteckpotenzialen.

Harmonische Wellen entstehen, wenn die Welle durch eine periodische Anregung in Form einer harmonischen Schwingung mit einer Kreisfrequenz ω erzeugt wird. Jede Welle muss durch eine Funktion der Form $u(g(x,t))$ mit $g(x,t)=x-ct$ darstellbar sein (siehe Wellen). Bei harmonischen Wellen lautet die Funktion $u(x,t)=A \cos( k (x -c t))=A\cos(kx-\omega t)$. Darin ist A die Amplitude der Welle und ω die Kreisfrequenz der harmonischen Welle. Die Konstante k ist eine für uns neue Größe. Wir nennen sie Kreiswellenzahl oder einfach nur Wellenzahl und ihre Bedeutung wird im nächsten Absatz erklärt.

Phase und Konstanten einer harmonischen Welle

Statt des Kosinus könnte ebenso die Sinusfunktion verwendet werden. Das Argument der Winkelfunktion nennen wir wie bei der Schwingung Phase. Die Phase enthält die zwei Konstanten k und ω. Die Konstanten k und ω sind offensichtlich durch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle miteinander verknüpft: $kc=\omega$. Die Konstante k muss die Einheit m-1 haben und die Konstante ω muss die Einheit s-1 haben, weil das Argument der Winkelfunktion dimensions­los sein muss. Die Kreisfrequenz ω kennen wir schon von der Schwingung. Sie ist mit der Periodendauer T der Schwingung über

$\omega=\frac{2\pi}{T}$     (1)

verknüpft. Wir bestimmen zuerst die anschauliche Bedeutung der Konstanten k und und ihren Zusammenhang mit ω und c.

Als erstes stellen wir fest, dass die Periodizität des Kosinus verlangt, dass sich die Auslenkung $u(x,t)$ reproduziert, wenn sich die Phase um 2π ändert, denn $\cos( \varphi) =\cos(\varphi \pm 2 \pi)$. Als zweites betrachten wir einen einzelnen Oszillator an einem beliegen festen Ort x'. Dessen Auslenkung $u(x',t)$ muss nach einer Periodendauer $T =\dfrac{2 \pi} {\omega}$ seiner Schwingung wieder die Gleiche sein: $u(x',t) = u(x',t + T)$. Das geht aber nur, wenn sich die Phasen wegen der Periodizität nur um 2π unterscheiden, d.h. folgende Bedingung erfüllen: $k (x' -c (t+T)) =k (x' -c t) - 2 \pi$. Wir nehmen −2π, weil die Phase durch die Addition von T ja kleiner wird. Wenn wir zu dieser Gleichung $-kx'+kct$ hinzuaddieren, erhalten wir $-kcT=- 2\pi$ und daraus das Ergebnis

$k=\dfrac{2\pi}{cT}$     (2) .

Daraus ergeben sich folgende Zusammenhänge:

Aufgrund von (1) liefert das unmittelbar den Zusammenhang der Kreiswellenzahl mit den anderen Konstanten $k =\dfrac{\omega}{c}$.
Die Strecke $cT$ ist die Strecke, die die Welle in einer Periodendauer eines Oszillators zurücklegt. Diese Strecke nennen wir Wellenlänge $\lambda=cT$. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist damit $c=\frac{\lambda}{T}$. Die Aus­brei­tungs­ge­schwin­digkeit c nennen wir ab jetzt Phasengeschwindigkeit, weil sie das Tempo eines Punktes konstanter Phase angibt.
Mit Hilfe der Wellenlänge wird die Kreiswellenzahl zu $k =\dfrac{2 \pi} {\lambda}$. Sie hängt mit der Wellenlänge genauso zusammen, wie die Kreisfrequenz mit der Periodendauer. Und so, wie die Kreisfrequenz $\omega=\frac{2\pi}{T}$ ein Maß für die Anzahl der Schwingungsperioden pro Zeit ist (zeitliche Frequenz), ist die Kreiswellenzahl $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ ein Maß für die Anzahl der Wellenlängen pro Strecke (räumliche Frequenz). In beiden Fällen ist es die Anzahl mal 2π. Um Wellenlänge und Kreiswellenzahl besser zu verstehen, denke man einfach an einen Lattenzaun: Wenn dieser 5 Latten pro Meter enthält, dann ist seine Lattenanzahl pro Meter das Gleiche wie die Wellenanzahl, nämlich 5/m und seine Kreiswellenzahl 5/m × 2π. Seine Wellenlänge ist der Lattenabstand, d.h 1 m/5 = 0,2 m.

Kontrollfrage 1: Eine harmonische Welle hat die Wellenlänge λ =0,25 m. Welche Strecke legt die Welle in einer Periodendauer T eines Oszillators zurück? a) kann man nicht sagen, dazu fehlt die Angabe von c, b) kann man nicht sagen, dazu fehlt die Angabe von T, c) 0,25 m
Richtig ist c) 0,25 m, denn das ist λ. Eine harmonische Welle legt in einer Periodendauer die Strecke λ zurück, egal welchen Wert T und c haben.
Kontrollfrage 2: Zwei harmonische Wellen werden mit gleicher Kreisfrequenz ω in zwei unterschiedlichen Medien angeregt. In Medium 1 ist die Phasengeschwindigkeit c1 größer als die Phasengeschwindigkeit c2 in Medium 2. Dann ist die Wellenlänge in Medium 1 a) größer als, b) genauso groß wie, c) kleiner als in Medium 2.
Richtig ist a) größer als in Medium 2. Denn bei gleicher Kreisfrequenz ist die Periodendauer T beider Wellen gleich und die schnellere Welle legt in der gleichen Zeit die größere Strecke zurück.
Kontrollfrage 3: Zwei harmonische Wellen A und B haben A) 10 Wellenberge pro Meter und B) 50 Wellenberge pro Meter. Welche hat die größere Kreiswellenzahl und welche hat die größere Wellenlänge?
B hat die größere Kreiswellenzahl, nämlich kB = 50/m × 2π, während A nur kA = 10/m × 2π hat. Dagegen hat A die größere Wellenlänge nämlich λA = 1/10 m = 0,1 m, während B nur λB=1/50 m = 0,02 m hat.
Kontrollfrage 4: Kann eine Welle mit der Wellenlänge λ = 0,5 m und der Periodendauer T = 0,25 s die Phasengeschwindigkeit c = 1 m/s haben?
Natürlich nicht, denn ihre Geschwindigkeit ist λ/T= 2 m/s.


Mathematische Beschreibung

Wir fassen die eingeführten Konstanten zusammen. Sie dienen zur mathematischen Beschreibung einer harmonischen Welle:

Die Wellenlänge $\lambda=cT$ ist die Strecke, die eine harmonische Welle in einer Periodendauer $T =\frac{2 \pi} {\omega}$ seiner Oszillatoren zurücklegt und entspricht dem Abstand zweier Wellenberge.     (3a)


Die Kreisfrequenz $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ gibt die Anzahl der Schwingungen pro Zeit multipliziert mit 2π an. Die Kreisfrequenz ist ein Maß für die zeitliche Frequenz der Welle.    (3b)


Die Kreiswellenzahl $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$ gibt die Anzahl der Wellenberge pro Länge multipliziert mit 2π an. Die Wellenzahl ist ein Maß für die räumliche Frequenz der Welle.     (3c)


Die Phasengeschwindigkeit $c=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{\lambda}{T}$ gibt an, wie schnell sich ein Punkt der Welle mit festem Wert der Phase (z. B. ein Wellenberg bzw. ein Maximum der Auslenkung) fortbewegt.     (3d)

Mit diesen Größen können wir jetzt eine eindimensionale harmonischen Welle in ihrer üblichen allgemeinen Form aufschreiben. Im allgemeinen Fall kann die Phase noch eine konstante Phasenverschiebung $\varphi_0$ enthalten, die die Anfangsauslenkung bei x = 0 und t = 0 bestimmt. Außerdem kann die Welle nicht nur in die positive x-Richtung sondern auch in die negative x-richtung laufen. Eine Umkehrung der Laufrichtung wird durch die Umkehrung des Vorzeichens von ct erzeugt. Außerdem kann statt des Kosinus die Sinusfunktion verwendet werden. Das ergibt

Harmonische Welle mit der Amplitude A: $u(x,t)=A\cdot\cos(kx\mp\omega t\mp\varphi_0)=A\cos(\frac{2\pi}{\lambda}x\mp\frac{2\pi}{T}t\mp\varphi_0)$     (4)
Ein negatives Vorzeichen bewegt die Welle in positive x-Richtung, eine positives Vorzeichen in die negative x-Richtung.

Wie bei jeder Welle sind darin sind u und x Platzhalter:

  • u ist der Platzhalter für die schwingende physikalische Größe. Schreibt man bei einer Schallwelle $p(x,t)$, dann schwingt der Druck p.
  • x ist der Platzhalter für die Laufrichtung der Welle. Schreibt man $u(y,t)$, dann läuft die Welle in y-Richtung.

Die Amplitude A gibt uns den Maximalwert und den Minimalwert von $u(x,t)$ an:

  • Maximalwert $u(x,t) = A$, Minimalwert $u(x,t) = -A$.

Die Phase enthält die Konstanten der Welle:

  • Sie enthält entweder k und ω oder λ und T.
  • Jedes Paar hängt über die Phasengeschwindigkeit zusammen $c = \frac {\omega}k=\frac{\lambda}T$.
  • Jeweils zwei der Konstanten k, ω, c bzw. λ, T, c legen die dritte fest.

Das Vorzeichen in der Phase bestimmt, in welche Richtung die Welle läuft: Die Laufrichtung ist die Bewegung einer Auslenkung konstanter Phase für t > 0. Die Phase kann bei wachsendem t nur konstant bleiben, wenn sich der Summand $kx$ gegenläufig zu $\pm\omega t$ ändert:

  • Bei einer in positive Richtung (rechts) laufenden Welle haben $kx$ und $\omega t$ unterschiedliche Vorzeichen: $-kx+\omega t$ oder $kx-\omega t$.
  • Bei einer in negative Richtung (links) laufenden Welle haben $kx$ und $\omega t$ gleiche Vorzeichen: $kx+\omega t$ oder $-kx-\omega t$.

Wir fassen noch einmal alles zusammen, was man sich merken sollte: $\underbrace{u(x ,t)}_{"Auslenkung"} = \underbrace{A}_{"Amplitude"} \cdot \cos(\underbrace{k x \mp \omega t \mp \varphi_0}_{"Phase"})$ sowie (3a-d).

Wellen im Raum

Bei Wellen im Raum, d.h. Wellen, die nicht nur in eine Richtung x, sondern wie eine Kugelwelle in alle möglichen Richtungen läuft, wird die Kreiswellenzahl zum Wellenvektor $\vec k$ und der Ort zum Ortsvektor $\vec r$. In der Phase steckt dann das Skalarprodukt $\vec k\cdot\vec r$. Der Wellenvektor $\vec k$ zeigt stets in die Laufrichtung der Welle. Für seinen Betrag gilt $|\vec k|=\frac{2\pi}{\lambda}$. Für Wellen im Raum verwendet man nur den Wellenvektor.

Harmonische Welle im Raum: $u(x,t)=A\cdot\cos(\vec k\cdot\vec r\mp\omega t\mp\varphi_0)$     (5)

Der Wel­len­vektor hat bei einer Welle eine ähnlich Bedeutung wie der Impuls bei einem Teilchen: Er drückt die Bewegungsrichtung der Welle aus und beinhaltet ihre Kreisfrequenz. Wenn bei Wellengleicher Geschwindigkeit k klein ist, ist die Wellenlänge $\lambda = cT$ groß. Dann ist die Periodendauer T groß, also die Schwingung langsam. Lichtwellen, Schallwellen und Wasserwellen breiten sich im Raum aus. Hier ist dann auch die Art der Wellenfront wichtig. Wir unterscheiden Wellen im Raum nach der Form der Wellenfronten in ebene Wellen und Kugelwellen. In allen Fällen steht der Wellenvektor immer senkrecht auf den Wellenfronten.

Beispiel 1: Wellenvektor
Bei einer Lichtwelle entspricht der Wellen­vektor anschaulich dem Lichtstrahl: Er zeigt genau dahin, wohin sich die Welle bewegt. Sein Betrag beinhaltet die Wellenlänge und beschreibt die Farbe des Lichts.


Grafische Darstellung

Abb.1 Harmonische Welle
Abb.2 Die Welle aus Abb.1 in der Foto- und Filmdarstellung.

Wie im Artikel Wellen erläutert, sind Wellen am besten als bewegtes Bild darstellbar. Die zugehörigen statischen Bilder sind die Momentaufnahme ("Foto") und die Bewegung einer der Oszillatoren als Funktion der Zeit ("Film"). Abb.2 zeigt links das Foto der Welle aus Abb.1 zum Zeitpunkt t0 = T/2. In Abb.1 blitzt der Zeitpunkt des Fotos kurz auf. Rechts ist die Auslenkung des in Abb.1 rot markierten Oszillators bei x0 = 5 als Funktion der Zeit (Film) gezeigt. Aus der Fotodarstellung können wir die Wellenlänge λ ablesen. Aus der Filmdarstellung können wir die Periodendauer T ablesen. Aus diesen beiden Angaben erhalten wir die Phasengeschwindigkeit c. Aus allen Darstellungen können wir außerdem die Amplitude A ablesen. Die Amplitude ist der Betrag der maximalen Auslenkung, d.h. der maximalen Abweichung von der Ruhelage. Mit Hilfe dieser Konstanten können wir die mathematische Funktion der Welle vollständig angeben.

Beispiel 2: Grafische Darstellung von harmonischen Wellen auswerten

Nehmen an, die gezeigten Zahlen in Abb.2 hätten die Einheitn x und u in m und t in s! Bestimme λ, T und c für die Welle in Abb.2. Aus Abb.2 links lesen wir λ = 10 m ab (Abstand zwischen zwei Maxima), und aus Abb.2 rechts T = 5 s (ebenfalls Abstand zwischen zwei Maxima). Das ergibt die Phasengeschwindigkeit $c=\frac{\text{10 m} }{\text{5 s} }=\text{2}\frac{\text m}{\text s}$.

Gebe die mathematische Funktion der Welle aus Abb.2 an! Hierzu benötigen wir noch die Amplitude A. Wir können Sie sowohl links als auch rechts ablesen und erhalten A = 1,0 m. Um die Phase zu bestimmen, müssen wir wissen, wo die Welle bei t = 0 war. Unser Foto zeigt die Welle nach einer hablen Periodendauer, d.h. bei t = T/2.. Da eine Welle in einer Periodedauer T die Wellenlänge λ zurücklegt, war sie bei t = 0 um eine halbe Wellenlänge nach -x verschoben. Das heißt, bei t = 0 lag eine Maximum bei x = 0. Das verlangt eine Kosinusfunktion ohne Phasenverschiebung. Damit lautet die Funktion der Welle $u(x,t)=\text{1,0 m} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{\text{10 m} }x\mp\frac{2\pi}{\text{5 s} }t\right)$.


Abb.F5
Kontrollfrage 5: Bestimme aus Abb.F2 die Konstanten λ und T und daraus die Phasengeschwindigkeit c!
Links lesen wir λ = 4 m ab, rechts T = 10 s. Das ergibt die Phasengeschwindigkeit $c=\frac{\text{4 m} }{\text{10 s} }=\text{0,4}\frac{\text m}{\text s}$.


Kontrollfrage 6: Das Foto in Abb.F2 zeiget die Welle bei t=0 s. Gebe die Funktion der Welle aus Abb.F2 an!
Links lesen wir λ = 4 m ab, rechts T = 10 s. Die Amplitude ist A = 0,8 m. Bei t = 0 s ist die Auslenkung −A. Das ergibt sich bei einem Kosinus mit der Phasenverschiebung ±π und bei einem Sinus mit der Phasenverschiebung −π/2. Mögliche Funktionen sind daher $u(x,t)=\text{0,8 m} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{\text{4 m} }x\mp\frac{2\pi}{\text{10 s} }t\pm\pi\right)$ oder $u(x,t)=\text{0,8 m} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{\text{4 m} }x\mp\frac{2\pi}{\text{10 s} }t-\frac{\pi}{2}\right)$.


Intensität einer harmonischen Welle

Wie jede Welle transportiert auch eine harmonische Welle Energie. Für eine harmonische Welle in einem Medium der Massendichte ρ lässt sich die Intensität I allgemein berechnen und angeben.

Die Intensität einer harmonischen Welle ist: $I=\frac PF=\frac 12 \rho\cdot c\cdot \omega^2 A^2$. Darin ist A die Amplitude der Welle, ω die Kreisfrequenz, c die Phasengeschwindigkeit und ρ die Dichte des Mediums.     (5)

Die Intensität gibt an, welche Energie pro Zeit von der Welle auf eine bestimmte Fläche F gebracht wird. Für Wellen auf einem Seil oder einer Saite verwendet man statt der Dichte $\rho=\frac{dm}{dV}$ die lineare Massendichte $\mu=\frac{dm}{dx}$, die die Masse pro Länge angibt. Über den Zusammenhang $\rho=\frac {dm}{dV}=\frac{dm}{F\cdot dx}=\frac{\mu}{F}$ lässt sich diese ebenfalls in (5) einsetzen. Darin ist dann F die Querschnittsfläche des Seils bzw. der Saite.

Herleitung

Wir bestimmen jetzt den Zusammenhang zwischen I und den Parametern der Welle, wie Amplitude A, Wellenzahl k oder Kreisfrequenz ω. Dazu betrachten wir eine Welle, die in x-Richtung läuft und berechnen die Energie dE der Oszillatoren in dem Volumen $dV=F\cdot dx=F\cdot c\cdot dt$. Wenn sich die Welle mit der Phasengeschwindigkeit c bewegt, trifft nämlich genau diese Energie im Zeitintervall dt auf die Fläche F. Die Federkonstante der Oszillatoren sei D, die Masse eines Oszillators sei dm, die Auslenkung eines Oszillators sei $u(t) = A \sin(\omega t)$. Jeder einzelne Oszillator trägt die Energie $dE=E_{pot}+E_{kin}$. Seine potenzielle Energie ist $dE_{pot}=\frac 12 D u^2$. Weil $\omega^2=D/dm$ ist, können wir D durch $D=dm\cdot \omega^2$ ersetzen. Zusammen mit u ergibt das $dE_{pot}=\frac 12 dm\cdot\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t)$. Die kinetische Energie des Oszillators ist $dE_{kin}= \frac 12 dm\cdot {\dot u}^2$. Wir bilden die Ableitung $\dot u(t) = \omega\cdot A\cdot \cos(\omega t)$ und setzen sie ein. Das ergibt $dE_{kin}= \frac 12 dm\cdot \omega^2\cdot A^2\cdot \cos^2(\omega t)$. Das alles setzen wir in $dE$ ein und erhalten $dE=\frac 12 dm\cdot \omega^2\cdot A^2\cdot \sin^2(\omega t)+\frac 12 dm\cdot \omega^2\cdot A^2\cdot \cos^2(\omega t)$. Mit dem trigonometrischen Pythagoras ergibt sich pro Oszillator die Energie $dE=\frac 12 dm\cdot \omega^2\cdot A^2$. Die Masse drücken wir über die Massendichte ρ des Mediums aus: $\rho=\frac{dm}{dV}\ \Rightarrow\ dm=\rho\cdot dV=\rho\cdot F\cdot dx$. Damit erhalten wir $dE=\frac 12 \rho\cdot F\cdot dx \cdot\omega^2 A^2$.

Die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie ist konstant, wie es bei einem harmonische Oszillator sein muss. Wie eingangs erwähnt, trifft die Energie aus dem Volumen $dV=F\cdot c\cdot dt$ im Zeitintervall dt auf die Fläche F. Wir erstzen deshalb $dx=c\cdot dt$. Ableiten nach der Zeit liefert dann die Leistung, die die Welle im Zeitintervall dt auf die Fläche bringt, und ergibt $P=\frac{dE}{dt}=\frac 12 \rho\cdot F\cdot c\cdot \omega^2 A^2$ denn $\frac{dx}{dt}=c$. Division durch die Fläche F liefert schließlich die Intensität und (5).

Kontrollfrage 7: Drei gleichartige Wellen laufen im gleichen Medium. Sie unterscheiden sich nur in ihren Amplituden und ihren Frequenzen: Welle 1 hat die Amplitude 2A und die Kreisfrequenz ω, Welle 2 hat 2A und ω/2 und Welle 3 hat A und 2ω. Sortiere die Wellen nach ihrer Intensität!
1=3>2, denn die Intensitäten von Welle 1 und Welle 3 sind proportional zu $4A^2\omega^2$ und die von Welle 2 nur zu $A^2\omega^2$, d.h. die Intensitäten von Welle 1 und Welle 3 sind viermal so groß wie die von Welle 2.