Beugung und Interferenz an Blenden, Spalten und Gittern: Unterschied zwischen den Versionen

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===Intensitätsverteilung der Beugung am Einzelspalt===
 
===Intensitätsverteilung der Beugung am Einzelspalt===
Die Intensität am Einfachspalt bekommen wir daraus durch den doppelten Grenzübergang ''N'' → ∞ und ''d'' → 0. Dabei müssen wir nur aufpassen, das die Spaltbreite ''b'' natürlich eine Konstante ist. Wir beginnen quasi mit einem Spalt ''N'' = 1 der Breite ''b'', wenn wir ''N'' = 2 wählen, muss $d = b/2$ sein usw., d.h. es muss immer $N\cdot d = b$ gelten. Das setzen wir im Zähler ein. Im Nenner können wir deshalb $d = b/N$ ersetzen. Da die Gesamtintensität erhalten bleiben muss, müssen wir auch die Amplitude mit zunehmendem N schrumpfen lassen $A_N=A_0/N$. Jetzt setzen wir alles in 1. ein und quadrieren für die Intensität: $I(\alpha)=\left(\frac{A_0}{N}\right)^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{\sin^2(\pi \frac{b}{N\lambda} \sin \alpha)}$. Wenn wir jetzt  ''N'' → ∞ gehen lassen, dürfen wir im Nenner die [[Trigonometrie#Kleinwinkelnäherung|Kleinwinkelnäherung]] durchführen und erhalten $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{A_0}{N}\right)^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{\sin^2(\pi \frac{b}{N\lambda} \sin \alpha)}=\left(\frac{A_0}{N}\right)^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{(\pi \frac{b}{N\lambda} \sin \alpha)^2}=A_0^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{(\pi \frac{b}{\lambda} \sin \alpha)^2}$. Damit haben wir b) gefunden, d.h. die Intensität durch Beugung am Einzelspalt:<br>
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Die Intensität am Einfachspalt bekommen wir daraus durch den doppelten Grenzübergang ''N'' → ∞ und ''d'' → 0. Dabei müssen wir nur aufpassen, das die Spaltbreite ''b'' natürlich eine Konstante ist. Wir beginnen quasi mit einem Spalt ''N'' = 1 der Breite ''b'', wenn wir ''N'' = 2 wählen, muss $d = b/2$ sein usw., d.h. es muss immer $N\cdot d = b$ gelten. Das setzen wir im Zähler ein. Im Nenner können wir deshalb $d = b/N$ ersetzen. Da die Gesamtintensität erhalten bleiben muss, müssen wir auch die Amplitude mit zunehmendem N schrumpfen lassen $A_N=A_0/N$. Jetzt setzen wir alles in $I_N(\alpha)$ ein und quadrieren für die Intensität: $I(\alpha)=\left(\frac{A_0}{N}\right)^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{\sin^2(\pi \frac{b}{N\lambda} \sin \alpha)}$. Wenn wir jetzt  ''N'' → ∞ gehen lassen, dürfen wir im Nenner die [[Trigonometrie#Kleinwinkelnäherung|Kleinwinkelnäherung]] durchführen und erhalten $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{A_0}{N}\right)^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{\sin^2(\pi \frac{b}{N\lambda} \sin \alpha)}=\left(\frac{A_0}{N}\right)^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{(\pi \frac{b}{N\lambda} \sin \alpha)^2}=A_0^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{(\pi \frac{b}{\lambda} \sin \alpha)^2}$.  
b) $I_{1}(\alpha)=I_0 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{(\pi \frac{b}{\lambda} \sin \alpha)^2}$ und das ist auch der erste Faktor von (3b).
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Damit haben wir b) gefunden, d.h. die Intensität durch Beugung am Einzelspalt:<br>
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b) $I_{1}(\alpha)=I_0 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{(\pi \frac{b}{\lambda} \sin \alpha)^2}$<br>
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und das ist auch der erste Faktor von (3b).
  
 
Damit wurden (2b) und (3b) insgesamt gezeigt.
 
Damit wurden (2b) und (3b) insgesamt gezeigt.

Aktuelle Version vom 27. Juli 2020, 17:47 Uhr

Physikalischer Kontext

Blenden, Spalte und Gitter bilden nebeneinanderliegende, zweidimensionale Strukturen, an denen Beugung und Interferenz auftritt, wenn die Abmessungen der Strukturen in der Größenordnung der Wellenlänge der auftreffenden Strahlung liegt. Beugung und Interferenz kann auch an hintereinanderliegenden, dreidimensionalen Strukturen auftreten. Dann sehen die Phänomene etwas anders aus (Bragg-Bedingung).

Übersicht über die Phänomene

Abb.1 Beugung an Lochblende und Spalt

Wenn Lichtwellen der Wellenlänge λ auf einzelne Strukturen treffen, die kleiner oder in der Größenordnung von λ sind, werden sie an ihnen gebeugt. Das bedeutet, ihre Ausbreitungsrichtung verändert sich so, dass ein Teil der Lichtwelle in den Schattenraum gelangt. Diese Strukturen können Löcher, Kugeln, Spalte, Drähte oder einzelne Kanten sein. Wenn wir die Beugung an einer einzelnen Struktur betrachten, entstehen dadurch seitlich schwache Interferenz­maxima, deren Intensität mit zunehmender Ordnung sehr schnell abnimmt. Dazwischen liegen dunkle Minima.

Einzelne Öffnungen

An einer kreisförmigen Öffnung ("Lochblende") mit Durchmesser D ist die Richtung des ersten Minimums durch

Erstes Beungungsminimum einer Lochblende mid dem Durchmesser D: $\sin(\alpha_{min})=1,22 \frac {\lambda} D$     (1)

gegeben.

Abb.2 Links: Verschiedene Spaltbreiten Rechts: verschiedene Wellenlängen

Bei einem rechteckigen Spalt der Breite b liegen die Minima links und rechts vom Spalt bei den Winkeln

Minima am Einzelspalt der Breite b: $\sin(\alpha_{min})=n\cdot \frac {\lambda} b$ mit $n \in \mathbb{N}_0$    (2a)

Die Beu­gungs­ordnung n bekommt links und rechts unter­schiedliche Vor­zeichen, die Wahl ist willkürlich. Den Intensitätsverlauf können wir durch

Intensität am Einzelspalt der Breite b: $I_1(\alpha)=I_0 \frac{\sin^2(\gamma)}{\gamma^2}$ mit $\gamma= \pi\frac{b}{\lambda}\cdot \sin(\alpha)$     (2b)

berechnen. Je klei­ner die Struktur, umso stärker die Beugung, umso breiter ist das ist zentrale Maximum. Je kürzer die Wellenlänge, umso geringer die Beugung, umso schma­ler ist das zentrale Maximum. Diese Systematik zeigt Abb.2.

Periodische Strukturen

Abb.3 Oben Einfachspalt, mitte Doppelspalt, unten Fünfachspalt.

Wenn dagegen Licht auf doppelte oder periodische Mehr­fach­strukturen trifft, entstehen dabei in regel­mäßigen Ab­ständen intensive Interferenz­maxima, deren Intensität mit zu­nehmender Ordnung wenig bis garnicht abnimmt. Ihre Intensität ist umso größer und sie sind umso schmaler, je mehr Elemente die Struktur enthält. Zwischen den Maxima liegen die Minima, die im Gegenzug umso breiter sind, je mehr Elemente die Struktur enthält. Die Intensität wird also mit zunehmender Elementzahl auf immer kleinere Raum­be­reiche konzentriert. Abb.3 zeigt das anhand mehrerer Spalte. Deren Anordnung verdeutlichen die weißen Linien, das Grüne ist die Intensität auf einem Schirm im großen Abstand hinter den Spalten: Oben sieht man die Beugung an einem Spalt, es handelt sich um den zentralen Ausschnitt aus Abb.1. Dessen Inten­sitäts­verteilung bleibt als einhüllendes Muster immer erhal­ten. Darunter sehen wir den gleichen Spalt doppelt, das nennen wir einen Doppelspalt. Jetzt treten zusätzlich regel­mäßige Streifen auf, die das gesamte Beugungsbild des Einfachspalts durchsetzten. Das sind die Interferenzmaxima. Unten sehen wir den gleichen Spalt fünf mal. So etwas, nämlich mehr als zwei Spalte nebeneinander, nennen wir ein Gitter. Nun sind die Maxima deutlich schmaler geworden und die Minima breiter. Bei genauem Hinsehen erkennt man im Bereich der Minima drei ganz schwache Nebenmaxima. Die Spaltbreite ist in allen Bildern immer gleich, und der Spaltabstand d ist immer das fünffache der Spaltbreite b. Man sieht: Die Lage der Interferenzmaxima ändert sich mit zuneh­mender Spalt­zahl nicht. Sie ist nur abhängig vom Spaltabstand d und unabhängig von der Spaltanzahl N und der Spaltbreite b. Die Maxima liegen unter den Winkeln

Maxima an Mehrfachspalten mit Spaltabstand d: $\sin(\alpha_n)=n\cdot \frac {\lambda} d$ mit $n \in \mathbb{N}_0$     (3a)

Das ist der gleiche Zusammenhang, der beim Einzelspalt die Lage der Minima beschreibt. Beim Mehrfachspalt ist es die Lage der Maxima und statt b steht nun d im Nenner. Das sollte man sich merken!

Je schmaler die Maxima umso größer wird ihre Intensität. Das sieht man in den Bildern leider nicht. Mit bloßem Auge sieht man das übrigens auch kaum, denn das Auge hat kein absolutes lineares, sondern nur ein relatives Intensitätsempfinden. Die Anzahl der Spalte N bestimmt die Anzahl der Teilwellen, die miteinander interferieren. Je mehr Teilwellen miteinander interferieren, umso schärfer werden die Maxima. Das ist eine allgemeingültiges Phänomen. Für die Intensität am Mehr­fach­spalt gilt

Intensität am Mehrfachspalt mit der Spaltanzahl N im Spaltabstand d: $I_N(\alpha)=I_0 {\frac{\sin^2(\gamma)} {\gamma^2}}\cdot { \frac{\sin^2(N \cdot \delta)} {\sin^2(\delta)}}$ mit $\gamma = \pi\frac{b}{\lambda} \cdot \sin(\alpha)$ und $\delta=\pi\frac{d}{\lambda} \cdot \sin(\alpha)$     (3b)

Darin ist I0 die Intensität der Welle vor einem der Spalte. Der erste Faktor beinhaltet die Beugung an jedem Einzelspalt, der zweite Faktor enthält die Interferenz der Spalte untereinander. Für einen Doppelspalt ist N = 2 und der letzte Faktor wird wegen $\sin(2x) = 2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x)$ zu $4\cos^2(δ)$. Die Intensität in einem Interferenzmaximum ist hinter einem Doppelspalt also bereits viermal so groß wie hinter einem Einzelspalt.

Untersuche die Interferenzmuster mit einem GeoGebra-Applet (Erstellt und zur Verfügung gestellt von Robin Kaufmann, Oleg Jaschke und Thomas Albrecht, herzlichen Dank!). Das Applet zeigt die Intensitäten auf einem Schirm hinter den Spalten als Funktion des Ortes. Ein Klick auf das Reset-Zeichen Reset stellt die Anfangswerte wieder ein.

Aufgaben zum Applet: Finde selbst heraus, wie Abstand und Breite der Maxima und Form der Einhüllenden vom Spaltabstand, der Spaltbreite und der Wellenlänge abhängen:

Aufgabe 1: Verändere den Spaltabstand! Beschreibe, wie sich der Abstand der Maxima verändert! Was ändert sich noch?
Wenn der Spaltabstand größer wird, rutschen die Maxima zusammen. Dabei werden sie auch schmaler. Sonst ändert sich nichts.
Aufgabe 2: Stelle den Spaltabstand auf ca. 2000 nm! Verändere die Spaltbreite. Beschreibe, wie sich die Einhüllende verändert! Was ändert sich noch?
Wenn die Spaltbreite größer wird, wird die Einhüllende schmaler. Sonst ändert sich nichts.
Aufgabe 3: Stelle den Spaltabstand auf ca. 2500 nm und die Spaltbreite auf ca. 250 nm! Verändere die Wellenlänge. Beschreibe, was sich nun verändert! Was ändert sich nicht?
Wenn die Wellenlänge größer wird, wird das gesamte Interferenzmuster auseinandergezogen. Der Abstand der Maxima wird größer und die Einhüllende wird im gleichen Maß breiter. Sonst ändert sich nichts.
Aufgabe 4: Stelle die Ausgangswerte ein, indem Du den Reset-Button klickst! Verändere nun die Anzahl der Spalte! Beschreibe, wie sich die Breite der Maxima verändert! Was ändert sich noch?
Wenn die Spaltanzahl größer wird, werden die Maxima schmaler. Sonst ändert sich nichts.
Aufgabe 5: Stelle die Spaltanzahl auf 1 und die Spaltbreite auf 500 nm. Verändere nun die Spaltbreite und die Wellenlänge! Beschreibe, wie sich die Breite des Maximums verändert! Was zeigt die Kurve?
Wenn die Spaltbreite kleiner oder die Wellenlänge größer wird, wird das Maximum breiter. Die Kurve zeigt die Beugung am einzelnen Spalt.

Nun wollen wir klären, mit welchen Modellvorstellungen wir die geschilderten Phänome erklären können: Dazu ändern wir etwas die Reihenfolge und betrachten zuerst den Doppelspalt, dann das Gitter und schließlich den Einzelspalt.

Abb.F1
Kontrollfrage 1: Sortiere die Intensitätsverteilungen in Abb.F1 nach der Breite der Spalte (größte zuerst)!
B>A>C>D, je schmaler das zentrale Maximum, umso breiter der Spalt. Je größer die Wellenlänge umso breiter das zentrale Maximum. Daher muss bei größerer Wellenlänge auch der Spalt breiter sein, wenn sich das Maximum nicht verbreitern soll.


Abb.F2
Kontrollfrage 2: Sortiere die Intensitätsverteilungen in Abb.F2 nach der Anzahl der Spalte (größte zuerst)!
A>D>C>B>E, A zeigt 5 Spalte, D zeigt 4 Spalte, C zeigt 3 Spalte, D zeigt 2 Spalte und E einen Spalt.


Abb.F3
Kontrollfrage 3: Sortiere die Intensitätsverteilungen in Abb.F3 nach dem Abstand der Spalte (größte zuerst)!
C=D>E>A>B, je enger der Abstand der Linien umso größer der Abstand der Spalte.



Herleitung der Beugungswinkel

Doppelspalt und Gitter

In unserer Modellvorstellung nehmen wir zuerst ein Gitter mit einer großen Zahl von Spalten an und picken uns gedanklich zwei benachbarte Spalte heraus. Wir lassen eine ebene Welle darauf treffen. Beim Auftreffen schalten sie nach dem Huygenschen Prinzip simul­tan in den Spalten identische Elementarwellen gleicher Amplitude an (Halbkreise in Abb.5). Das ist der Startschuss für einen ungerechten Wettlauf mit be­kann­tem Ausgang: Betrachten wir einen beliebigen Punkt P, so wird diejenige Welle dort zuerst ankommen, die dahin den kürzesten Weg hat, denn alle Wellen laufen gleich schnell, nämlich mit Lichtgeschwindigkeit c.

Gangunterschied

Abb.5 Fraunhofer-Beugung am Doppelspalt

Den Wegunterschied zweier Wellen zu einem Punkt P nennen wir Gangunterschied Δs. Der Gang­unterschied Δs bestimmt jetzt die Phasenverschiebungen δ der beiden Wellen bei P. Ein Gangunterschied von λ ergibt eine Phasenverschiebung genau um 2π, d.h. $\dfrac{\delta}{2 \pi}=\dfrac{\Delta s}{\lambda}$. Das bedeutet

Ein Gangunterschied $\Delta s$ führt zu Phasenverschiebung $\delta =2 \pi \frac{\Delta s}{\lambda}$     (4)

Wenn $\Delta s = n\cdot\lambda$ ein ganzzahliges Vielfaches von λ, also $n\in\mathbb{N}_0$ ist, herrscht dort konstruktive Interferenz und es liegt ein Interferenzmaximum vor. Bei einem ungerad­zahligen Vielfachen von λ/2, also $(2 n+1) \cdot \lambda/ 2 = (n+ 1/2) \cdot \lambda$ mit $n\in\mathbb{N}_0$ herrscht dort destruk­tive Interferenz und es liegt ein Inter­ferenz­minimum vor. Das A und O ist es also, Gangunterschiede zu bestimmen, um die Richtungen der Maxima und Minima zu finden. Die höhere Schule ist es dann, dazu auch noch die Intensitäts­verteilungen auszurechnen.

Fraunhofer-Beugung

Soweit das Grundmodell, nun wollen wir konkreter werden. Dazu müssen wir zwei Fälle unterscheiden:

  1. Wir betrachten Orte nahe an den Spalten. Dort laufen die Elementarwellen als Kugelwellen um die Wette und diesen Fall nennen wir Fresnel-Beugung.
  2. Wir sind sehr weit weg von den Spalten. Dort nähern wir die Elementarwellen als ebene Wellen und diesen Fall nennen wir Fraunhofer-Beugung.

Fall 1 ist kompliziert, wir betrachten ihn in der Vertiefung weiter unten. Wir beschränken uns auf Fall 2, d.h. die Fraunhofer-Beugung. Auch dabei gibt es eine Komplikation: Wir müssen uns nämlich vorstellen können, dass sich zwei parallele Strahlen im Unendlichen schneiden. Und etwas inkonsequent fassen wir die Wellen überall als ebene Wellen auf, auch in der Nähe der Spalte. Dort betrachten wir zwei Strahlen, die in die gleiche Richtung, also parallel loslaufen. Sehr weit weg wollen wir die Wellen dagegen am selben Ort betrachten. Zeichnerisch bauen wir eine Unterbrechung ein, die das „sehr weit weg“ andeutet. Parallele Strahlen sind aber nie am selben Ort. Deshalb werden die Strahlen in vielen Büchern tatsächlich sich schneidend gezeichnet, wodurch dann aber die Winkelbeziehungen nicht mehr stimmen (grüne Linie in Abb.5). Dieses Dilemma ist eigentlich unnötig und löst sich sofort auf, wenn man sich erinnert, dass ein Strahl ja nur eine gedankliche Idealisierung ist, die die Richtung der Welle angibt. Eine Welle ist aber etwas Ausgedehntes und die Wellenfronten durchdringen sich. Wir deuten deshalb einfach auch sehr weit weg die Wellenfronten an und lassen die Strahlen parallel.

Bestimmung des Gangunterschiedes

Wie bestimmt man nun den Gangunterschied? Dazu sucht man die Elementarwelle, die am nächsten zu P liegt, und zeichnet durch ihren Erzeugungsort eine ebene Wellenfront ihres aus­lau­fen­den Strahls (rot gestrichelt in Abb.5). Die Wellenfront macht man so lang, dass sie den aus dem Nachbarspalt austretenden Strahl schneidet. Die Strecke zwischen diesem Schnittpunkt und dem Erzeugungsort des Nachbarstrahls ergibt den Gangunterschied Δs. Nun müssen wir noch die Geometrie analysieren und Δs durch gegebene Größen ausdrücken. Für unseren Doppelspalt finden wir:

De Gangunterschied ${\Delta s}$ zweier Wellen, die im Abstand d erzeugt werden und unter dem Winkel α gebeugt werden, beträgt ${\Delta s} = d \cdot \sin(\alpha)$     (5)

Für konstruktive Interferenz, d.h. die Richtung der Maxima, muss das ein ganzzahliges Vielfaches von λ sein. Zusammen ergibt das ${\Delta s} = d \cdot \sin(\alpha)= n\cdot\lambda$, womit wir (3a) gezeigt haben. Bevor wir weitergehen, machen wir uns noch klar, dass ein Maximum nicht nur am Punkt P, sondern überall entlang der durch α gegebenen Richtung vorliegt. Gleiches gilt für die Minima.

Vom Doppelspalt zum Gitter

Um vom Doppelspalt zum Gitter zu kommen, betrachten wir jetzt beliebige andere Paare neben­ein­ander­liegende Spalte und finden natürlich das gleicher Ergebnis. Für alle Paare werden in die Maxima unter den gleichen Winkeln erzeugt, deren Orte ändern sich also nicht. Nun betrachten wir ein Paar, zwischen dem ein anderer Spalt liegt: Wenn der Gangunterschied zum Nachbarspalt gleich λ ist, ist er zum übernächsten Nachbarn 2λ, d.h. auch diese beiden Strahlen interferieren konstruktiv. Das können wir beliebig weiterspinnen und stellen fest: Die Wellen aller Spalte interferieren in der gleichen Richtung konstruktiv. Je nachdem, wie viele Spalte zwischen einem Paar sind, ist der Gang­unter­schied ein entsprechend höheres, aber immer ganzzahliges Vielfaches von λ. Damit erklärt unsere Modellvorstellung, unter welchen Richtungen die Maxima bei Doppelspalt und Gitter auftreten und dass die Richtungen der Maxima unabhängig von der Zahl der Spalte sind. Außerdem steuern zu allen Maxima alle Spalte ihre Elementarwelle bei. Das erklärt, warum die Intensität eines Maximums mit der Spaltzahl zunimmt und warum alle Maxima etwa gleich intensiv sind.

Einzelspalt

Abb.6 Linke falsche, rechts richtige Modellvorstellung

Jetzt betrachten wir noch den Einfachspalt. Zuerst könnte man meinen, dass von einem Spalt auch nur eine Elementarwelle ausgeht. Das würde zwar auch schon das Auftreten der Beugung grund­sätz­lich erklären, aber das Beu­gungs­bild qualitativ nicht rich­tig wieder­geben. Die Intensität wäre nicht vom Winkel abhängig. Diese Modellvorstellung muss also falsch sein (Abb.6, links).

Vorstellung unendlich vieler Strahlen

Die richtige Modellvorstellung zeigt Abb.6 rechts. Tatsächlich müssen wir uns jetzt des erste Mal den leeren Raum innerhalb des Spaltes als Quelle von unendlich vielen unendlich dichten Elementar­wellen vorstellen. Genauso, wie wir es auch bei der Licht­aus­breitung im Vakuum tun können. Zu den unendlich vielen unendlich dichten Elementarwellen gehören auch unendlich viele unendlich dichte Strahlen. Von diesen unendlich vielen Strahlen betrachten wir jetzt wieder alle, die in die gleiche Richtung unter dem gleichen Winkel α, also parallel loslaufen. Diese Strahlen bilden ein paralleles Strahlen­bündel. Der Gag bei der Modellvorstellung des Einzel­spaltes ist es nun, dass man dieses Strahlenbündel in eine kleine Zahl von Teilbündeln zerlegt. Aus jedem Teilbündel greift man sich einen Strahl heraus und betrachtet die Interferenz paarweise.

Zerlegung in Teilbündel

Abb.7 Zerlegung des Lichtes in Teilbündel

Dazu gleich ein konkretes Beispiel: Wir zerlegen das Strahlenbündel in zwei gleiche Teilbündel und greifen uns aus jedem Bündel den obersten Strahl heraus, also 1 und 2 in Abb. 7a. Ihr Gang­unterschied ist dann ${\Delta s} = b/2 \cdot \sin(\alpha)$. Wenn jetzt ${\Delta s} = \lambda /2$ ist, löschen sich die Strah­len aus. Das Gleiche gilt für jedes nach unten versetzte Strahlenpaar, also z.B. auch für das gepunktete mittlere Paar 1' und 2'. Deshalb löschen sich die beiden Teilbündel gegenseitig vollständig aus. In Richtung α liegt also ein Interferenzminimum und wir finden den Winkel durch ${\Delta s} = b/2 \cdot \sin(\alpha)=\lambda/2~\Rightarrow~ \sin(\alpha)=\lambda/b$.

Wo lie­gen die anderen Minima und wo die Maxima? Wir könnten nun folgenden Fehler begehen und argumentieren: „Wenn ${\Delta s} = n \cdot \lambda$ ist, muss doch ein Maximum vorliegen, denn dann haben wir konstruktive Interferenz zwischen den Teilbündeln“. Das ist leider falsch, denn dann ist der Gang­unter­schied zwischen Strahl 1 und 1' ebenso wie zwischen 2 und 2' wieder λ/2, das heißt, nun löschen sich die Strahlen innerhalb eines Bündels aus. Und die konstruktive Interferenz zwischen den Bündeln ist bedeutungslos, denn zweimal nix ist wieder nix. Die gleiche Argumentation gilt für jedes Vielfache $n\cdot λ/2$. Wir müssen gedanklich dann immer unser Strahlenbündel in 2n Teilbündel zerlegen, also eine gerade Anzahl, die sich dann paarweise auslöschen. Und da ${\Delta s'}=2 \cdot{\Delta s} = b \cdot \sin(\alpha)$ ist, finden wir daraus die Beugungsrichtung der Minima: $2 \cdot\Delta s = b \cdot \sin(\alpha)=2 \cdot n \cdot\lambda/2~\Rightarrow~ \sin(\alpha)=n \cdot \lambda/b$. Damit haben wir (2a) gezeigt.

Wenn Du das nachvollziehen konntest, sind die Richtungen der Maxima für Dich nun ein Kinderspiel. Damit Intensität über­bleiben kann, brauchen wir eine ungerade Zahl von Teil­bündeln. Die bekommen wir, wenn $\Delta s'$ ein ungradzahliges Viel­faches von λ/2 ist. Dann löschen sich immer alle Teilbündel bis auf eines paarweise aus. Abb.7b zeigt das am Beispiel dreier Teilbündel: Wenn $\Delta s' = 3/2 \lambda$ ist, dann ist $\Delta s = 1/2 \lambda$ und Strahl 1 und 2 und Bündel 1 und 2 löschen sich aus, Bündel 3 bleibt über. Daraus finden wir sofort die Richtung der Maxima $\Delta s' = b \cdot \sin(\alpha)=(2n +1)\cdot\lambda/2~\Rightarrow~ \sin(\alpha)=(n+1/2) \cdot \lambda/b$. Und wir verstehen auch sofort, warum ihre Intensität so gering ist und sehr schnell abnimmt, denn ein Großteil der Intensität interferiert sich weg.

Zusammenfassung

Wir fassen die Modellvorstellungen zusammen: Zur Erklärung der Beugung an Spalten und Gittern nehmen wir an, dass innerhalb der Spalte simultan kugelförmige Elementarwellen erzeugt werden. Weit weg von den Spalten nähern wir diese als ebene Wellen. Der Gangunterschied zweier unterschiedlicher Elementarwellen, die in die gleiche Richtung laufen, bestimmt die Intensität in diese Richtung. Die Richtung der Beugungsmaxima und -minima drücken wir durch den Winkel α zur Senkrechten aus. Einen Einfachspalt behandeln wir wie ein Gitter mit unendlich vielen unendlich schmalen Spalten.

Kontrollfrage 4: Tritt an einem Spalt oder mehreren Spalten das Interferenzmuster nur dahinter auf oder auch davor auf?
Auch davor. Die Elementarwellen, die in den Spalten entstehen, sind Kugelwellen und werden in jede Richtung abgestrahlt. Und sie werden immer am gleichen Ort erzeugt. Deshalb gibt es - anders als bei einer sich im Raum ausbreitenden Welle, bei der die Elementarwellen ja nacheinander an verschiedenen Orten erzeugt werden - keine Vorzugsrichtung.


Herleitung der Intensitäten

Abb.8 Überlagerung von Beugung und Interferenz

Bevor wir losrechnen, wollen wir zuerst verstehen, warum wir bei einem Doppelspalt oder Gitter ein Interferenzmuster sehen, das sich immer aus zwei Faktoren zusammensetzt, nämlich
a) der Intensitätsverteilung durch die Interferenz an den Mehrfachspalten,
b) der Intensitätsverteilung durch die Beugung an jedem einzelnen Spalt.
Anders ausgedrückt: Das Interferenzmuster hinter Mehrfachspalten wird immer mit der Intensitätsverteilung des Einfachspaltes moduliert. Abb.8 verdeutlicht, warum das so ist: Die Beugung am einzelnen Spalt erzeugt den blauen Gangunterschied, die Interferenz zweier Spalte den roten Gangunterschied. Der blaue Gangunterschied gibt die Intensität vor, die durch den roten Gangunterschied interferieren kann. Die Argumentation kennen wir im Grunde schon und wir betrachten sie am Doppelspalt in Abb.8: Setzen wir uns gedanklich in die Spalte, dann liefern beide Spalte, einzeln betrachtet, in der gleichen Richtung ihre Beugungsmaxima und -minima. Wenn ein Beugungsminimum des Einzelspalts vorliegt, nützt es nichts, wenn für diese Richtung ein Interferenzmaximum des Doppelspalts vorliegt, nix mal irgendwas ist immer noch nix, es bleibt dunkel. Wo der Einzelspalt Dunkelheit liefert, bleibt es auch hinter Mehrfachspalten dunkel. Analog gibt die Beugung des Einzelspalts für alle Richtungen die Intensität vor.

Intensitätsverteilung durch die Interferenz an den Mehrfachspalten

Abb.9 Die Summe der Amplituden in kom­plex­er Dar­stellung

Wir verwenden unsere Modellvorstellung, dass jeder Spalt eine Elementarwelle erzeugt und die Amplituden A0 aller Elementarwellen gleich sind. In der komplexen Dar­stellung (Abb.9) werden zwei Wellen mit der Amplitude A0 und der Phasen­verschie­bung δ zu zwei Zeigern der Länge A0 mit einem Winkel δ zwischen ihnen. Wir betrachten zuerst den Mehrfachspalt am Beispiel des Fünffach-Spalts: Wir haben also fünf Wellen und damit fünf Zeiger zu addieren, die alle die gleiche Phasenverschiebung δ zu ihrem Nachbarn haben. Das ergibt in der komplexen Ebene eine kreisförmige Anord­nung der Zeiger und unsere Aufgabe ist es, die vektorielle Summe A dieser Zeiger auszurechnen.

Die Zeiger bilden einen Kreisbogen mit dem Radius R und dem Winkel $\beta=N\cdot\delta$, wobei N die Anzahl der Zeiger ist. Die Zeigersumme A ist eine Sehne des entsprechenden Kreises. Die Länge A einer Sehne über einen Winkel β eines Kreises ist $A = 2 R\cdot \sin(\beta / 2)$, was man aus der Geometrie in Abb.9 rechts unmittelbar sehen kann. Den Radius R bekommen wir aus A0 und δ, denn die Geometrie zeigt $R =\frac 12 \cdot \frac{A_0} {\sin(\delta / 2)}$. Wir setzen β und R in die Sehnenformel ein und erhalten daraus die Intensität für eine beliebige Spaltzahl N. Es ergibt sich $A = 2\underbrace{\left(\frac 12 \cdot \dfrac{A_0}{\sin(\delta / 2)}\right)}_R\sin(\underbrace{N\cdot\delta}_{\beta}/2)=A_0 \dfrac{\sin(N \frac{\delta}{2})} {\sin(\frac{\delta}{2})}$. Abschließend setzen wir noch (5) in (4) ein, d.h. $\Delta s = d\ \sin(\alpha)$ in $\delta =2 \pi \frac{\Delta s}{\lambda}$, und erhalten so $\delta =2 \pi \frac{d}{\lambda}\sin(\alpha)$. Damit bekommen wir als Ergebnis für die Amplitude $A(\alpha)=A_0 \dfrac{\sin(N \pi \frac {d} {\lambda} \sin \alpha)}{\sin(\pi \frac{d}{\lambda} \sin \alpha)}$. Um aus der Amplitude A die Intensität I zu bestimmen, müssen wir diese noch quadrieren, denn $I= A^2$. Damit bekommen wir als Ergebnis für
$I_{N}(\alpha)=A_0^2 \dfrac{\sin^2(N \pi \frac {d} {\lambda} \sin \alpha)}{\sin^2(\pi \frac{d}{\lambda} \sin \alpha)}$, was dem zweiten Faktor von (3b) entspricht.

Intensitätsverteilung der Beugung am Einzelspalt

Die Intensität am Einfachspalt bekommen wir daraus durch den doppelten Grenzübergang N → ∞ und d → 0. Dabei müssen wir nur aufpassen, das die Spaltbreite b natürlich eine Konstante ist. Wir beginnen quasi mit einem Spalt N = 1 der Breite b, wenn wir N = 2 wählen, muss $d = b/2$ sein usw., d.h. es muss immer $N\cdot d = b$ gelten. Das setzen wir im Zähler ein. Im Nenner können wir deshalb $d = b/N$ ersetzen. Da die Gesamtintensität erhalten bleiben muss, müssen wir auch die Amplitude mit zunehmendem N schrumpfen lassen $A_N=A_0/N$. Jetzt setzen wir alles in $I_N(\alpha)$ ein und quadrieren für die Intensität: $I(\alpha)=\left(\frac{A_0}{N}\right)^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{\sin^2(\pi \frac{b}{N\lambda} \sin \alpha)}$. Wenn wir jetzt N → ∞ gehen lassen, dürfen wir im Nenner die Kleinwinkelnäherung durchführen und erhalten $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{A_0}{N}\right)^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{\sin^2(\pi \frac{b}{N\lambda} \sin \alpha)}=\left(\frac{A_0}{N}\right)^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{(\pi \frac{b}{N\lambda} \sin \alpha)^2}=A_0^2 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{(\pi \frac{b}{\lambda} \sin \alpha)^2}$. Damit haben wir b) gefunden, d.h. die Intensität durch Beugung am Einzelspalt:
b) $I_{1}(\alpha)=I_0 \dfrac{\sin^2( \pi \frac {b} {\lambda} \sin \alpha)}{(\pi \frac{b}{\lambda} \sin \alpha)^2}$
und das ist auch der erste Faktor von (3b).

Damit wurden (2b) und (3b) insgesamt gezeigt.

Abb.F5
Kontrollfrage 5: Sortiere die Intensitätsverteilungen in Abb.F5 a) nach dem Abstand d der Spalte und b) nach der Breite b der Spalte (größte zuerst)!
a) D>A=C>B, je enger die Abstand der Linien umso gröößer d. b) A=B=D>C, je schmaler das zentrale Maximum der Einhüllenden, umso größer b.



Vertiefung

Fresnel-Beugung

Bis hierher haben wir uns auf die Fraunhofer-Beugung und rechteckige Öffnungen beschränkt. Alle anderen Fälle werden auch deutlich komplizierter. Für die Fresnel-Beugung müssen wir statt ebener Wellen nun Kugelwellen unter unterschiedlichen Richtungen aufaddieren. Wir müssten also das Beugungsintegral[1] $$\vec E_P(x,y,z)= C \cdot \iint\limits_{Blende} \vec E_S(x_B, y_B,0) \frac{\exp(-i \vec k \cdot \vec r)}{|\vec r|} dx_B dy_B$$ lösen, dass die Summe über alle innerhalb einer Blende generierten Elementar­wellen in einem Punkt P im Raum darstellt. Wer daran Spass hat, kann sich das in Spezialbüchern zur Optik etwas genauer anschauen, doch übersteigt das hier den Rahmen. Auch die Beugung an einer Kreissblende werden wir deshalb nicht vertiefen. Bei der Berechnung stößt man auf Bessel-Funktionen und die Minima des Beugungsbildes sind die Nullstellen der Bessel-Funktionen. Merken sollte man sich für die Praxis jedoch (1), denn dieser Wert bestimmt die minimale erreichbare Fokusgröße für eine Wellenlänge, den wir Beugungs­grenze nennen. Den zentralen Fleck nennt man Airy-Scheibchen.

Beugung als Fourier-Transformation

Für ein tieferes Verständnis ist es gut zu wissen, dass das Beugungsintegral einen sehr wichtigen, für uns neuen mathematischen Zusammenhang zwischen dem Beugungsbild und der beugenden Struktur beinhaltet, den man Fourier-Transformation nennt, und dem wir später bei den Materie­wellen genauer kennenlernen werden. In der Fraunhofer-Näherung, d.h. für große Abstände zur Blende, lässt sich sich das Beugungsintegral in die Gestalt einer Fourier-Transformation bringen. Das Beugungsbild ist das Betrags­quadrat $| {\vec E}_P |={\vec E}_P \cdot {\vec E}_P^*$ und $\vec E_P$ ist dann bis auf eine Konstante gleich der Fourier-Transformierten des Beugungsobjektes, bzw. genauer seiner Transmissionsfunktion. Dieser Zusammenhang ist von funda­mentaler Bedeutung, denn die Fourier-Transformation ist umkehrbar. Durch Rücktrans­formation lässt sich aus einem gemessenen Beugungsbild die verursachende Beugungsstruktur berechnen. Das ist die Grundlage aller experimentellen Methoden, die aus Beugungs- und Streubildern Strukturen bestimmen, z.B. der Röntgenbeugung zur Kristallstrukturbestimmung oder der Neutronenstreuung zur Kernstruktur­untersuchung. Für die Implementierung der Fourier-Transformation auf Computern stehen heute sehr effiziente Algorithmen zur Verfügung (FFT - Fast-Fourier-Transformation). So, wie Sie jetzt einem Beugungbild ansehen können, ob es von einer Kreisblende, einem Spalt oder einem Gitter aus N Spalten erzeugt wurde, sehen Profis einem komplizierteren Beugungsbild die Struktur bereits an. Und die Details der Struktur können Sie sie durch Fourier-Transformation aus­rechnen.

  1. Wolfgang Demtröder, Experimentalphysik 2, 5. Aufl., Springer Verlag, Heidelberg (2009)