Wellen
Inhaltsverzeichnis
Physikalischer Kontext
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Wellen sind neben Teilchen das zweite wichtige Konzept der Physik. In der Mechanik treten Wellen in elastischen Medien auf. Die Optik basiert auf elektromagnetischen Wellen und die Quantenphysik basiert auf Wahrscheinlichkeitswellen und dem Welle-Teilchen-Dualismus. Das Verständnis der Physik von Wellen ist ein unverzichtbarer Basisbaustein zum Verständnis großer Gebiete der Physik.
Bisher haben wir gelernt, wie die Physik mit Hilfe von Bewegungsgleichungen die Bewegung und Ausbreitung von Teilchen und Teilchensystemen beschreibt. Für Wellen sind dagegen andere Konzepte nützlicher, denn hier bewegen sich keine Teichen in Ausbreitungsrichtung fort, sondern etwas anderes. Tatsächlich bewegt sich Energie in Ausbreitungsrichtung durch den Raum: Eine Welle ist Energietransport ohne Massentransport. Manche Wellen transportieren auch Impuls. Gleichzeitig bewegen sich zwar auch Teilchen, nur eben nicht kontinuierlich weg von ihrem Platz. Ein Medium, in dem sich eine Welle ausbreiten kann, besteht aus vielen miteinander wechselwirkenden gleichartigen Teilchen. Eine Welle entsteht, wenn in diesem Meer gleichartiger Teilchen irgendwo eines oder wenige durch einen äußeren Einfluss bewegt werden. Als Welle bezeichnet man die sukzessive Weiterleitung dieser Anfangsbewegung an alle anderen Teilchen. Eine Welle ist somit eine nacheinander alle Teilchen erfassende Bewegung.
Stelle Dir eine Reihe stehender Dominosteine vor: Wenn der erste Stein umkippt, stößt dieser den zweiten Stein an, so dass dieser auch umkippt, der zweite stößt den dritten an, der dritte den nächsten usw. Dabei wird der Impuls und die kinetische Energie des ersten Steins weitertransportiert, ohne dass sich ein Stein weit von seinen Standort entfernt. Das wäre eine Stoßwelle. So ähnlich funktioniert das bei allen Wellen, die wir in diesem Kapitel betrachten. Der Unterschied ist, dass unsere „Dominosteine“ nicht einfach nebeneinander stehen, sondern wie durch Federn miteinander verbunden sind und harmonisch schwingen können. Die Energie, die von einem Objekt zum nächsten übertragen wird, ist die der harmonischen Schwingung. Das Wandern der Energie nehmen wir als Wandern der maximalen Auslenkung der Schwingung war. Die Bewegung der Energie selbst ist vergleichsweise einfach: Sie bewegt sich gleichförmig in Ausbreitungsrichtung. Nur zwei Phänomene können die Ausbreitungsrichtung oder die Geschwindigkeit ändern: Brechung und Beugung. Bei der Brechung ändert sich beides, bei der Beugung nur die Richtung. Unseren Hauptaugenmerk werden wir auf eine spezielle Form von Wellen legen: den harmonischen Wellen. Harmonische Wellen sind periodisch und können durch Sinus- und Kosinus-Funktionen beschrieben werden.
Wellen in der Natur
Bevor wir in die Theorie einsteigen, wollen wir ein paar Beispiele für Wellen anschauen. Eine eindrucksvolle Beispiel, das das Wesen einer Welle sehr gut verdeutlicht, ist die La-Ola-Welle oder Stadion-Welle, mit der ein Publikum seine Begeisterung ausdrückt. Die einzelnen Zuschauer schwingen nacheinander ihre Arme hoch oder stehen auf, ohne ihren Platz zu verlassen, und erzeugen so die La-Ola-Welle, die sich durch das Publikum bewegt. Als Demonstrationsexperiment betrachtet man häufig eine Seilwelle oder die Welle einer Wellenmaschine, weil man sie sehr einfach erzeugen und beobachten kann. Dabei läuft eine Querauslenkung ein Seil oder eine Reihe von miteinander verbundenen Pendeln entlang. An solchen Wellen kann man viele Phänomene sehr schön studieren, weil sie sich nur in eine Richtung ausbreiten und man die Auslenkung sehr gut sehen kann. Ihre Geschwindigkeiten sind in der Regel so langsam, (ca. 0,1 m/s), dass man die Welle gut mit dem Auge verfolgen kann. Bei unseren Alltagswellen, wie Lichtwellen, Schallwellen und Wasserwellen ist das anders: Schallwellen sind unsichtbar. Lichtwellen zwar nicht, aber viel zu schnell und zu klein, als das wir ihren Wellencharakter unmittelbar wahrnehmen könnten. Wasserwellen haben beide Nachteile nicht, doch sie treten in der Natur selten als harmonische Welle auf, weil Wind und Wetter ein zu großes Durcheinander erzeugen. Nur bei Brandungswellen und aus dem Flugzeug über einem Ozean kann man die „Harmonie“ der Wasserwellen erahnen. Wenn man sie jedoch künstlich erzeugt, oder einen Zeh in ein unberührtes Schwimmbad steckt, sind sie genau das Richtige, wenn man flächige Wellenausbreitung studieren möchte. Als Demonstrationsexperiment dienen deshalb Wellenwannen. Das sind flache rechteckige Wasserbecken, in denen man durch periodisches Eintauchen von Stiften oder Leisten gezielt Kreis- oder ebene Wellen erzeugen und studieren kann.
Entstehung einer Welle
Wellen entstehen, wenn viele identische Pendel lose gekoppelt sind.
Gekoppelte Pendel
Um das zu verstehen, betrachten wir zuerst ein Experiment:
Experiment gekoppelte Pendel: Zwei gleiche Stangen werden am oberen Ende aufgehängt und bilden zwei gleiche Pendel, die einfach nebeneinander hängen ohne sich zu berühren. Wenn wir sie anstoßen, schwingen sie unabhängig voneinander mit der gleichen Frequenz und beeinflussen sich nicht gegenseitig. Ein Austausch von Energie findet nicht statt (Abb.2, links). Jetzt verbinden wir sie durch eine starre Stange. Wenn wir jetzt die Pendel anstoßen, müssen sie gemeinsam, d. h. gleichphasig, schwingen. Auch hierbei findet kein Austausch von Energie zwischen den Pendeln statt, beide Pendel tragen die gleiche Energie (Abb.2, rechts). Nun verbinden wir die Pendel durch eine weiche Feder. Zuerst lenken wir beide Pendel gleich aus, so dass sie gleichphasig mit gleicher Amplitude schwingen. Auch hierbei ändert sich nichts, ein Energieaustausch zwischen den Pendeln findet nicht statt (Abb.3, links). Nun lassen wir beide Pendel mit gleicher Amplitude gegenphasig schwingen. Wir erhalten das gleiche Ergebnis (Abb.3, mitte).
Zum Abschluss lenken wir nur eines der Pendel aus. Nun geschieht folgendes: Die Amplitude seiner Schwingung nimmt ständig ab, während das andere Pendel mit zunehmender Amplitude zu schwingen beginnt. Nach einigen Perioden ist unser erstes Pendel in Ruhe und nur noch das zweite Pendel schwingt. Jetzt beginnt der Prozess rückwärts: Die Amplitude der Schwingung des zweiten Pendels wird kleiner, während die des ersten Pendels wieder wächst, bis schließlich der Ausgangszustand wieder hergestellt ist. Das ganze wiederholte von vorn. Jetzt findet ein Energieaustausch zwischen den Pendeln statt: Die Energie der Schwingung überträgt sich periodisch von einem Pendel zum andern: Sie „schwingt“ selbst zwischen beiden Pendeln hin und her. Das zeigt: Zwischen zwei gleichen Pendeln findet nur dann ein Energieaustausch statt, wenn sie lose gekoppelt sind und nicht gleich- oder gegenphasig schwingen (Abb.3, rechts).
Das wollen wir jetzt verstehen. Als Basismodell benötigen wir die Physik der erzwungenen Schwingung und ein Verständnis der Arbeit. Dort haben wir gesehen, dass ein Motor einem Oszillator nur dann effizient Energie übertragen kann, wenn er ihn mit seiner Resonanzfrequenz ω0 anregt und die Kraft der Auslenkung um π/2 vorauseilt. Denn nur dann wird während einer gesamten Periode positive Arbeit verrichtet und Nettoenergie an den Oszillator übertragen, weil nur dann Kraft und Weg während der gesamten Periodendauer gleichgerichtet sind. Sobald zwei gleiche Pendel gekoppelt sind, können wir ein Pendel als Motor des anderen auffassen: Weil die Pendel gleich sind, ist die Frequenzbedingung, d.h. die Anregung mit ω0, immer erfüllt. Aber nur im letzten Fall − bei der losen Kopplung und der einseitigen Auslenkung − ist auch die Phasenverschiebung zwischen Kraft und Auslenkung passend, so dass Energie übetragen werden kann. Daher kann nur dann Pendel 1 seine Energie an Pendel 2 abgeben. Der Witz ist nun, dass der Energieaustausch nicht stoppt, sobald beide Pendel gleich viel Energie haben, sondern so lange weitergeht, bis ein Pendel seine Energie komplett abgegeben hat. Das liegt daran, dass durch die Phasenbedingung immer nur das vorauseilende Pendel als Motor wirkt und sich die Pendel nur „überholen“, wenn eines der Pendel ruht. Dadurch ist die Richtung des Energietransportes festgelegt.
Pendelreihe
Jetzt denken wir uns eine ganze Reihe aus lose gekoppelten Pendeln, von der wir das erste anstoßen: Es wird seine Energie auf das zweite übertragen, dieses auf das dritte usw. Pendel 1 ist Motor von Pendel 2, Pendel 2 wird Motor von Pendel 3 usw. Die vorauseilenden Pendel übertragen ihre Energie auf die nachhinkenden Pendel: Eine Welle läuft durch die Pendelreihe.
Experiment Pendelreihe Eine größere Anzahl identischer Fadenpendel wird in einer Reihe im gleichen Abstand aufgehängt. Die Pendel werden lose gekoppelt, indem ihre Fäden mit einem weiteren Faden verbunden werden, an den zwischen je zwei Pendel eine kleine Masse (z. B. eine kleine Wäscheklammer) gehängt wird. Das erste Pendel wird nun senkrecht zur Stange (transversal) ausgelenkt. Man kann anhand der Amplitude der Pendel beobachten, wie die Schwingungsenergie langsam von einem Pendel zum anderen übertragen wird, am Ende der Pendelreihe umkehrt und wieder zurückläuft. Die Pendel bewegen sich dabei deutlich schneller als die Energie. Das gleiche Phänomen sieht man, wenn das erste Pendel parallel zur Stange (longitudinal) ausgelenkt wird. Das zeigt: Bei einer Reihe lose gekoppelter Pendel wird Schwingungsenergie in eine Richtung transportiert. Die Geschwindigkeit des Energietransports ist anders als die der Pendel. Die Schwingung kann senkrecht oder parallel zur Laufrichtung der Energie erfolgen.
Stärkere Kopplung
Was geschieht, wenn wir die Kopplung zwischen den Pendeln stärker machen? Dann wird die Kraft zwischen den Pendeln stärker und folglich die Arbeit, die das „Motorpendel“ verrichtet größer. Es überträgt seine Energie also schneller auf das nächste Pendel und daher läuft die Energie schneller durch die Pendelreihe. Die Geschwindigkeit der Welle erhöht sich also, wenn man die Zugkraft zwischen den Pendeln erhöht.
Bei den bisher betrachteten Wellen war es so, dass die Übertragung der Energie immer mehrere Perioden der Schwingung benötigte. Das ist nicht zwingend. Jetzt betrachten wir den Fall, dass die Kopplung so stark ist, dass bei einer Auslenkung von Pendel 1 sein Nachbar gleich mitgezogen wird und Pendel 1 seine Energie bereits abgegeben hat, wenn es das erste Mal in die Ruhelage zurückkehrt. Wir betrachten dazu Abb.5. Die Richtung der Ausbreitung ist x, die der Auslenkung ist y. Zum Start (2. Reihe, Zeitpunkt t0) lenken wir das erste Pendel (P1) durch eine äußere Kraft (dicker grüner Pfeil) schnell gegen die rücktreibende Kraft seiner Feder aus und lassen es sofort wieder los. Dabei nehmen wir seinen Nachbarn P2 bereits etwas mit. Solange die Auslenkung von P2 kleiner als die von P1 ist, wird P1 nach −y und P2 nach +y beschleunigt. P1 und P2 bewegen sich gegenläufig. Sobald die Auslenkung von P2 größer als die von P1 ist, wird P1 nach +y beschleunigt, also gebremst und verliert seine Energie. Gleichzeitig dreht sich auch die Kraft auf P2 um, das nun ebenfalls abgebremst wird, bis im Umkehrpunkt v = 0 ist. Gleichzeitig beschleunigt P2 jedoch P3 nach +y und führt diesem einen Teil seiner Energie zu. Ab jetzt wiederholt sich der gleiche Vorgang wie beim Start: Sobald die Auslenkung von P3 größer ist als die von P2, wird P2 gebremst und verliert seine verbliebene Energie an P3. Die Anfangsenergie wird so von Pendel zu Pendel weitergereicht. Wir betrachten dazu auch die Arbeit: Weg und Geschwindigkeit sind stets gleichgerichtet. Man sieht an den Pfeilen in Abb.5 (grün = F, blau = v) sehr schön: Beim jeweils rechten Nachbarn sind Kraft und Weg gleichgerichtet, die Arbeit ist positiv: hier wird Energie zugeführt. Am jeweils linken Pendel sind Kraft und Weg entgegengesetzt gerichtet: hier wird Energie entnommen. Völlig analog können wir das für die Geschwindigkeit und die Leistung formulieren.
Modellvorstellung
In unserer Modellvorstellung für Wellen nehmen wir jetzt an, dass sich die Teilchen eines Mediums wie Luft oder Wasser oder auch eines Objekte wie ein Seil oder eine Platte genau wie diese Pendelreihe verhalten. Gedanklich zerlegen wir die Luft in einzelne Luftteilchen oder kleine "Luftwürfel", das Wasser in einzelne Wasserteilchen oder kleine "Wasserwürfel". Auch das Seil oder die Platte zerlegen wir in kleine differentielle Massestücke, beim Seil kleine Scheibchen (wie bei einer Salami), bei der Platte wären es kleine Flächenstückchen usw..
In unserer Modellvorstellung nehmen wir nun an, dass zwischen diesen Stückchen Kräfte wirken, so als ob sie durch Federn verbunden seien. Das trifft die Realität ziemlich gut. Denn das Kennzeichen einer solchen Kraft ist, dass sie in einem bestimmten Abstand (Ruhelage) null ist, dass sie abstoßend wirkt, wenn sich die Stückchen nähern, und dass sie anziehend wirkt, wenn sie sich voneinander entfernen. Das passt auf jeden Fall. Eine Idealisierung steckt in der Annahme, dass die Kraft proportional zum Abstand von der Ruhelage ist. Häufig trifft aber auch das sehr gut zu, insbesondere für sehr kleine Abweichungen von der Ruhelage. Jedes dieser gedachten Stückchen nimmt nun die Rolle eines Pendels unserer Pendelkette ein. Wenn wir eines dieser Stückchen anstoßen oder auslenken, wird sich eine Welle über alle anderen Stückchen ausbreiten.
Jedes Stückchen benimmt sich wie ein winziges Pendel, das harmonisch schwingen kann. Es ist also in unserer Modellvorstellung ein harmonischer Oszillator und deswegen nennen wir es ab jetzt nicht mehr Stückchen, sondern Oszillator.
Mathematische Beschreibung von Wellen
Wellengleichung
Jetzt haben wir die Aufgabe, diesen Mechanismus als Bewegungsgleichung zu formulieren. Dazu müssten wir uns die Kräfte auf die Oszillatoren überlegen und daraus die Bewegungsgleichung bilden. Anders als bei einer Schwingung, bei der wir nur die Zeitabhängigkeit der Auslenkung eines Oszillators beschreiben müssen, enthält eine Welle viele Oszillatoren an vielen Orten. Ihre Bewegungsgleichung und deren Lösungen müssen daher nicht nur die Zeitabhängigkeit der Auslenkung eines Oszillators, sondern auch dessen Ort beschreiben: Sie müssen angeben, welche Auslenkung ein Oszillator am Ort x zum Zeitpunkt t hat. Anders gesagt: Wir suchen eine Möglichkeit, die gesamte Abb.5 auf einmal zu beschreiben und nicht nur eine Zeile oder eine Spalte darin. Die gesuchte Auslenkung muss eine Funktion $y(x,t)$ sein. Wenn wir die Auslenkung nun allgemeiner u nennen, müssen die Lösungen also Funktionen u(x,t) von Ort und Zeit sein.
Schon bei den Schwingungen haben wir gesehen, dass sich z. B. die Bewegungsgleichung eines Federpendels aus anderen Kräften herleitet als die eines Fadenpendels oder eines Wasserpendels. Doch trotz der unterschiedlichen Kräfte und Herleitungen haben alle sich ergebenden Bewegungsgleichungen eine einheitliche universelle Form, nämlich die
- Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators $\ddot u + \omega^2 u =0$,
weil sie ja auch immer die gleiche Art der Bewegung beschreiben, nämlich eine harmonische Schwingung. In der Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators steckt dann nur noch die Kreisfrequenz ω der Schwingung, die von den wirkenden Kräften abhängt. Als Lösung der Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators haben wir die Auslenkung $u(t)=A\cdot\cos(\omega t)$ erhalten.
Auch für Wellen gibt es eine solche universelle Bewegungsgleichung, sie heisst Wellengleichung. Wie bei verschiedenen Schwingungen ergeben sich auch für verschiedene Wellen, wie z. B. Wasserwellen, Schallwellen, Seilwellen etc, jeweils andere Kräfte und andere Herleitungen, doch alle führen am Ende auf die universelle Wellengleichung, in der dann auch nur noch eine Konstante steckt, nämlich die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle c.
Für die Welle können wir uns diese einheitliche universelle Form der Wellengleichung auch anhand Abb.5 überlegen. Wenn wir zum Zeitpunkt t0 = 0 eine Auslenkung u=u0 am Ort x0 verursachen, bewegt sich u0 unverändert mit der Geschwindigkeit c in x-Richtung. Zum Zeitpunkt t1 ist sie bereits an den Ort $x_1=x_0+c t_1$ gelaufen. Daraus ergibt sich für den Ausgangsort $x_0=x_1-c t_1$ und für die Auslenkung $u(x_1, t_1) = u(x_0 , 0)=u(x_1 − ct_1, 0)=u_0$. Was sagt uns das? Es sagt uns, dass in unserer gesuchten Funktion $u(x,t)$ die Größen x und t nicht beliebig zusammenhängen können, sondern immer in der Form $x-ct$ auftreten müssen, damit das Weiterlaufen einer Auslenkung richtig beschrieben wird. Deshalb führen wir jetzt die Funktion $g(x,t)=x − ct$ ein und diese Funktion wird nun zum Argument unserer gesuchten Auslenkung, d.h. $u(x,t) = u(g(x,t))=u(x-ct)$. Damit haben wir schon die allgemeine Lösungsfunktion der Wellengleichung gefunden. Wir suchen aber nicht die Lösungsfunktion, sondern die Gleichung selbst. Um aus einer Bewegungsgleichung die Lösungsfunktion zu bestimmen, muss man diese integrieren. Um umgekehrt aus einer Lösungsfunktion die Bewegungsgleichung zu bestimmen, muss man differenzieren.
Wir bestimmen die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators aus seiner Lösungsfunktion, indem wir diese zweimal nach der Zeit ableiten: Lösungsfunktion $u(t)=A\cdot\cos(\omega t)$, erste Zeitableitung: $\dot u=-\omega\cdot A\cdot\sin(\omega t)$, zweite Zeitableitung: $\ddot u=-\omega^2\cdot A\cdot\cos(\omega t)$. Einsetzen von u ergibt die Bewegungsgleichung: $\ddot u=-\omega^2\cdot u\ \Rightarrow\ \ddot u+\omega^2 u =0$.
Deshalb benötigen wir nun die zweite Zeitableitung von u. Wir können u mit Hilfe der Kettenregel und der Abkürzung $\frac{du}{dg} = f'(g)$ zweimal nach der Zeit ableiten: $\dot u = \frac{du}{dg} \dot g =-c f'(g)$ und $\ddot u = -c (-c) f''(g)=c^2 f''(g)$. Anders als eine Schwingung breitet sich eine Welle aber auch im Raum aus. Um das zu erfassen, bilden wir auch die zweite Ortsableitung: $u' = \frac{du}{dg} g' =1 \cdot f'(g)$ und $u'' = f''(g)$. Der Vergleich beider Ergebnisse liefert $\ddot u=c^2 u''$. Das ist die gesuchte Differenzialgleichung, d.h. die Bewegungsgleichung einer Welle: die Wellengleichung.
Sie verknüpft die zweite Ableitung nach der Zeit mit der zweiten Ableitung nach dem Ort und enthält als Konstante nur die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle. Sie gilt für jede klassische Welle [1]. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c hängt von den „Federeigenschaften“ des betrachteten Mediums und den „Trägheitseigenschaften“ des Mediums ab. Für verschiedene Wellenarten ergeben sich andere Ausdrücke für c, so wie sich für unterschiedliche Pendel auch andere Ausdrücke für ω ergeben. Um den Ausdruck für c für eine bestimmte Wellenart zu bestimmen, muss man die Wellengleichung für die jeweilige Wellenart explizit aufstellen. Das ist in der Regel ziemlich aufwendig und findet sich in diversen Lehrbüchern.
Für eine Seilwelle oder die Saite eines Musikinstrumentes ist c durch die Zugkraft F am Seil und die lineare Massendichte μ (Masse pro Länge) gegeben $c=\sqrt{\frac{F}{\mu} }$. Für eine Schallwelle ist c durch das Kompressionsmodul K und die Dichte ρ des Mediums gegeben: $c=\sqrt{\frac{K}{\rho} }$. Für eine Wasserwelle ist $c \approx \sqrt{\frac{g \lambda} {2 \pi} }$ (Tiefwasserwellen) oder $c \approx \sqrt{g d}$ (Flachwasserwellen, Wassertiefe < λ/2).
Lösungen der Wellengleichung
Unsere Herleitung beinhaltet, dass jede beliebige Funktion $u(g)$ mit $g(x,t) = x − ct$ die Wellengleichung löst. Das drückt aus, dass Wellen eine beliebige periodische oder nichtperiodische Gestalt haben können. Entscheidend für die Form der Welle ist die Form der Anregung, d.h. wie der erste Oszillator durch irgendeine äußere Kraft gemäß $u(0,t)$ bewegt wird. Was auch immer als $u(0,t)$ erzeugt wird, wird dann mit $u(x-ct)$ weitergeleitet.
Ein Beispiel für eine nichtperiodische Welle ist der Wellenpuls in Abb.5, der in Abb.6 oben animiert ist. Die Art der Auslenkung durch eine äußere Kraft, die den ersten Oszillator bewegt, ist durch den roten Punkt angedeutet. Natürlich kann man auch eine Auslenkung nach oben und nach unten durchführen. Das zeigt Abb.6 in der Mitte. Genauso können wir nicht einmalig, sondern periodisch auslenken. Wenn wir den ersten Oszillator harmonisch mit konstanter Kreisfrequenz ω schwingen lassen, dann erhalten wir eine periodische Welle, und zwar eine harmonische Welle.
Harmonische Wellen sind ganz besonders wichtig, denn letztlich lassen sich aus ihnen beliebige andere Wellen formen. Aus diesem Grund werden harmonische Wellen in einem gesonderten Artikel betrachtet. Bei harmonischen Wellen drückt man das Argument statt als $x-ct$ in der Regel als $k(x-ct)=kx-\omega t$ aus. Die Konstante k nennt man Kreiswellenzahl und $\omega=kc$ ist die Kreisfrequenz der Oszillatoren. Die Strecke, die eine Welle in einer Periodendauer T ihrer Oszillatoren zurücklegt, nennt man Wellenlänge λ und die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist damit $c=\frac{\lambda}{T}$. Und so, wie die Kreisfrequenz $\omega=\frac{2\pi}{T}$ ein Maß für die Anzahl der Schwingungsperioden pro Zeit ist, ist die Kreiswellenzahl $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ ein Maß für die Anzahl der Wellenlängen pro Strecke. In beiden Fällen ist es die Anzahl mal 2π.
Transversal- und Longitudinalwellen
Gehen wir gedanklich noch einmal zurück zur Pendelreihe. Bisher haben wir nur die Auslenkung eines Pendels quer zur Laufrichtung der Welle diskutiert. Es spricht jedoch nichts dagegen, eine Auslenkung parallel zu Ausbreitungsrichtung zu erzeugen. Auch in diesem Fall entsteht eine Welle und auch diese wird durch (1) beschrieben. Wir unterscheiden Wellen danach, wie die Auslenkung zur Laufrichtung gerichtet ist, und zwar in zwei Arten von Wellen: Transversal- und Longitudinalwellen:
Bei Longitudinalwellen erfolgt die Auslenkung parallel zur Laufrichtung der Energie.
Abb.6 zeigt Transversalwellen. Abb.7 zeigt die gleichen Wellen wie in Abb.6, jedoch als Longitudinalwellen. Die Unterscheidung ist deshalb wichtig, weil bei Transversalwellen auch noch die Ebene, in der die Oszillation stattfindet, wichtig werden kann. Die Orientierung der Oszillationen bezeichnet man als Polarisation.
Polarisation
Wenn alle Oszillatoren in der gleichen Ebene schwingen, nennt man die Welle linear polarisiert. Abb.8 zeigt harmonische Transversalwellen. Die obere ist vertikal linear polarisiert, die mittlere ist horizontal linear polarisiert. Bei der unteren Wellen läuft die Auslenkung im Kreis. So eine Welle nennt man zirkular polarisiert. Sie ergibt sich aus der Summe der oberen und der mittleren Welle. Beachte, dass die obere und die mittlere Welle um π/2 phasenverschoben sind, entsprechend Kosiunus und Sinus. Daher ergibt sich für ihre Summe an jedem Ort x eine Kreisbahn.
Seilwellen sind Transversalwellen. Auch Lichtwellen sind Transversalwellen. Insbsondere bei Lichtwellen ist die Polarisation häufig wichtig. Lichtwellen, die von einem einzelnen Atom oder Molekül erzeugt werden, sind von Natur aus linear oder zirkular polarisiert. Unpolarisiertes Licht entsteht, wenn sich viele Lichtwellen von vielen Atomen oder Molekülen mit unterschiedlichen Polarisationen überlagern.
Die kurzzeitige Stauchung einer Feder erzeugt eine Longitudinalwelle. Schallwellen sind ebenfalls Longitudinalwellen. Die Luftteilchen verdichten sich in Ausbreitungsrichtung.
Wasserwellen sind eine Mischform, d.h. sie sind eine Überlagerung aus Transversal- und Longitudinalwellen. Von der Seite gesehen laufen die Wassermoleküle auf Kreisen.
Mathematische Darstellung von Lösungen der Wellengleichung
Wie wir bisher gelernt haben, wird eine Welle allgemein durch eine Funktion $u(x,t)$ dargestellt. Darin ist x der Platzhalter für die Laufrichtung und u der Platzhalter für die oszillierende Größe. Wenn eine Welle nicht in x, sondern in die y-Richtung läuft, müsste es z.B. $u(y,t)$ heißen. Wenn bei einer Transversalwelle die Auslenkung der Welle dabei in z-Richtung erfolgt, könnte man sie als $z(y,t)$ oder $Z(y,t)$ bezeichnen. Wenn die Welle eine Longitudinalwelle ist, könnte man sie als $Y(y,t)$ ausdrücken.
In allen Beispielen sind A und k sind Konstanten.
- Die Funktion der Welle in Abb.6 oben ist $y(x,t)=A\cdot e^{-k^2(x-ct)^2}$. Würde die Welle in y-Richtung laufen und die Auslenkung in z-Richtung erfolgen, wäre die Funktion $z(y,t)=A\cdot e^{-k^2(y-ct)^2}$.
- Die Funktion der zirkular polarisierten Transversalwelle in Abb.8 unten, die x-Richtung läuft, ist $\vec u(x,t)=A\cos(k(x-ct))\hat y+A\sin(k(x-ct))\hat z$. Diese Welle müssen wir vektoriell beschreiben. Würde die Welle in z-Richtung laufen und die Auslenkung in x- und y-Richtung erfolgen, wäre die Funktion $\vec u(z,t)=A\cos(k(z-ct))\hat x+A\sin(k(z-ct))\hat y$.
- Die Longitudinalwelle in Abb.7, mitte, die x-Richtung läuft, ist durch die Funktion $X(x,t)=-2 A\cdot k(x-ct) e^{-k^2(x-ct)^2}$ gegeben. $X(x,t)$ ist die Auslenkung des Oszillators, dessen Ruhelage am Ort x ist. Der momentane Ort Xm dieses Oszillators zur Zeit t ist $X_m(x,t)=x-2 A\cdot k(x-ct) e^{-k^2(x-ct)^2}$. Würde die Welle in z-Richtung laufen, wäre die Auslenkung $Z(z,t)=-2 A\cdot k(z-ct) e^{-k^2(z-ct)^2}$ und der momentane Ort $Z_m(z,t)=z-2 A\cdot k(z-ct) e^{-k^2(z-ct)^2}$.
- Die Auslenkung der harmonischen Longitudinalwelle in Abb.7 unten können wir durch $X(x,t)=A\cos(k(x-ct))$ angeben. Der momentane Ort Xm dieses Oszillators zur Zeit t ist $X_m(x,t)=x+A\cos(k(x-ct))$. Wir können diese Welle auch als Druckwelle in der Form $p(x,t)=p_0+A_p\sin(k(x-ct))$ angeben. Darin ist $p_0$ der normale Umgebungsdruck. Die Amplitude $A_p$ des Druckes hängt mit der Amplitude A der Auslenkung über $A_p=K A k$ zusammen (siehe Schallwellen)). Darin ist K das Kompressionsmodul.
Grafische Darstellung von Wellen
Wellen sind Objekte, die sich in Raum und Zeit ausbreiten. Die beste Darstellung ist deshalb die Animation, d.h. das bewegte Bild. In Büchern ist so etwas nicht möglich und daher muss man andere Formate wählen. Eine Möglichkeit ist es, die Welle in mehreren zeitlich aufeinanderfolgenden Bildern darzustellen, so wie in Abb.5. Dabei zeigt man ähnlich wie bei einer Stroboskopaufnahme verschiedene Bilder der Welle, die in gleichem zeitlichen Abstand aufgenommen wurden. Vom Informationsgehalt ist das gleichwertig zur Animation. In der Regel werden jedoch weniger aufwendige Formate gewählt, die dann auch weniger Information enthalten. Es ist ziemlich frustrierend, zu versuchen, einem Bild (oder auch einem Text) Informationen zu entnehmen, die darin garnicht enthalten sind. Deshalb ist es wichtig, dass Du die vereinfachte Darstellung von Wellen und die darin enthaltenen Informationen richtig interpretieren kannst.
Momentaufnahme ("Foto")
Eine Möglichkeit, eine Welle zu zeigen, ist die Momentaufnahme. Man macht quasi ein "Foto" von der Welle und zeigt dieses. Das Bild zeigt dann die momentane räumliche Gestalt der Welle zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt. Aus dem "Foto" können wir die Form der Welle und bei periodischen Wellen die Wellenlänge ablesen. Ein "Foto" entspricht einer Zeile in Abb.5. In Abb.9 oben ist dies am Beispiel des Wellenpulses aus Abb.5 gezeigt. Die schwarze Kurve zeigt die Auslenkung $y(x,t_x)$ der Oszillatoren zum festen Zeitpunkt tx als Funktion des Ortes x. Das ist die häufigste Darstellung einer Welle.
Lokale Bewegung ("Film")
Eine andere Möglichkeit ist die, sich einen der Oszillatoren der Welle an einem bestimmten Ort auszuwählen. Dessen Bewegung lässt sich dann als Funktion der Zeit zeichnen. Dies entspricht einem "Film" an einer ganz bestimmten Stelle der Welle. Aus dem "Film" können wir die Periodendauer einer Oszillation ablesen. Ein "Film" entspricht einer Spalte in Abb.5. In Abb.9 unten ist dies wieder am Beispiel des Wellenpulses aus Abb.5 gezeigt. Die rote Kurve zeigt die Auslenkung $y(x_t,t)$ des Oszillators am festen Ort xt als Funktion der Zeit t. Diese Darstellung findet man selten allein, meistens in Ergänzung zur Foto.
Beide Darstellungen zeigen nur jeweils einen Aspekt der Welle. Aus der Fotodarstellung erhalten wir keine zeitlichen Informationen, d.h. wir können nicht sehen, wie schnell sich die Welle oder die Oszillatoren bewegen. Aus der Filmdarstellung erhalten wir keine räumlichen Informationen, d.h. wir können nicht sehen, wie die Welle als ganzes aussieht. Insbesondere die Filmdarstellung lässt sich nicht von einer Schwingung unterscheiden, denn sie zeigt ja auch nur eine Schwingung, nämlich die des herausgegriffenen Oszillators. Beide gemeinsam enthalten dann wieder alle Informationen über die Welle. Aus der Fotodarstellung können wir entnehmen, welche Strecke während einer bestimmten Bewegung eines Oszillators zurückgelegt wird. Aus der Filmdarstellung können wir entnehmen, welche welche Zeit während dieser bestimmten Bewegung vergeht. Die zurückgelegte Strecke dividiert durch die dafür benötigte Zeit ergibt die Geschwindigkeit der Welle.
Ein Schiffbrüchiger schaukelt in seinem Boot auf den Wellen. Er sieht die Wellenberge im Abstand von 10 m. Das zeigt die Fotodarstellung ind Abb.B5 oben. Mit seiner Uhr stellt er fest, dass er sich in 10 s vier mal auf- und ab bewegt. Das zeigt die Filmdarstellung ind Abb.B5 unten. Wie schnell laufen die Wellen?
In der Fotodarstellung sehen wir, dass sich die Welle während einer Periode, d.h. einmal von oben nach unten und wieder hoch, 10 m weiterbewegt. In der Filmdarstellung sehen wir, dass es in 10 s viermal auf und ab geht. Daher dauert eine Periode $T=\frac {\text{10 s} }{4} =\text{2,5 s}$. Die Welle legt somit 10 m in 2,5 s zurück und hat die Geschwindigkeit $c=\frac{\text{10 m} }{\text{2,5 s} }=\text{4,0 m/s}$.
Energietransport und Intensität
Eine Welle transportiert die Energie, die in den Schwingungen ihres Mediums steckt. Man drückt den Energietransport entweder in Form der Leistung P (Energie pro Zeit) oder üblicher als Intensität I (Leistung pro Fläche) aus. Eine Welle ist ja üblicherweise ein ausgedehntes veränderliches Objekt. Wenn die Welle auf eine bestimmte reale oder gedachte Fläche F trifft, transportiert sie die Energie ihrer Oszillatoren auf diese Fläche. Bei einer Lichtwelle könnte das die beleuchtete Fläche sein, bei einer Schallwelle die Fläche unseres Trommelfells und bei einer Seilwelle die Querschnittsfläche des Seils. Zu einem bestimmten Zeitpunkt trägt jeder einzelne Oszillator eine individuelle momentane kinetische (Ekin,i) und potenzielle Energie (Epot,i). Um den Energietransport zu erfassen, betrachtet man ein Volumen V, durch das die Welle läuft, und addiert die Energien aller darin enthaltenen Oszillatoren. Das ergibt die in dem Volumen enhaltene Energie $E = E_{kin} + E_{pot}=\sum\limits_i E_{kin,i}+\sum\limits_i E_{pot,i}$. Das Volumen V trägt dann die Energiedichte $w = \frac E V=\frac{E_{kin} + E_{pot} } {V}$. Die Welle läuft jedoch durch das Volumen hindurch, wodurch die Energiedichte des Volumens zeitlich schwanken kann. Für einen Wellenpuls ist die Energiedichte z.B. immer null, außer wenn der Puls gerade im betrachteten Volumen ist. Wie lange dauert es nun, bis die gesamte im Volumen enthältene Energie auf der Fläche aufgetroffen ist? Das hängt natürlich davon ab, wie schnell die Welle läuft. Wenn ihre Geschwindigkeit c ist, dann legt die Welle in einer Zeit t die Strecke ct zurück. Folglich trifft die Energie aller Oszillatoren, die im Volumen $V=ct\cdot F$ sind, in der Zeit t auf die Fläche F. Damit können wir nun aus der Energiedichte die Intensität bestimmen: $w = \frac E V= \frac E { F \cdot c t}= \frac P { F \cdot c}= \frac I c$. Umgestellt nach I erhalten wir die wichtige Beziehung für die
Diese grundlegende Beziehung zeigt unmittelbar, dass eine Welle Energie ist, die sich mit der Geschwindigkeit c bewegt. Man kann sie sich besonders gut merken, wenn man an eine verschmutzte Toilette denkt ... .
Für periodische harmonische Wellen $u(x,t) =A \cos(k(x-ct))$, die in einem Medium mit der Dichte ρ laufen, lässt sich die allgemeine Beziehung (2) konkretisieren und die Intensität als Funktion der Amplitude und der Kreisfrequenz ω der Oszillatoren angeben. Dann ergibt sich nämlich ein konstanter Mittelwert für die Energiedichte $\langle w \rangle = \frac{\langle E \rangle} {V}=\frac{\langle E_{kin} \rangle +\langle E_{pot} \rangle} {V}=\frac 12 \rho \omega^2 A^2$ (Herleitung siehe harmonische Wellen). Mit Hilfe der mittleren Energiedichte kann man die mittlere Intensität I einer Welle ausdrücken.
Das Zeichen für die Mittelwertbildung lässt man bei harmonischen Wellen in der Regel weg. Besonders wichtig ist der Zusammenhang
Dieser Zusammenhang ist universell und gilt nicht nur für mechanische, sondern auch für elektromagnetische Wellen.
- ↑ Für die Materiewellen der Quantenphysik gilt eine andere Wellengleichung, nämlich die Schrödinger-Gleichung.
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