Wellen

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Physikalischer Kontext

Abb.1 Wassertropfen und Wasserwelle (Bildquelle:Wikimedia Commons)

Wellen sind neben Teilchen das zweite wichtige Konzept der Physik. In der Mechanik treten Wellen in elastischen Medien auf. Die Optik basiert auf elektromagnetischen Wellen und die Quantenphysik basiert auf Wahrscheinlichkeitswellen und dem Welle-Teilchen-Dualismus. Das Verständnis der Physik von Wellen ist ein unverzichtbarer Basisbaustein zum Verständnis großer Gebiete der Physik.

Bisher haben wir gelernt, wie die Physik mit Hilfe von Bewegungsgleichungen die Bewegung und Ausbreitung von Teilchen und Teilchensystemen beschreibt. Für Wellen sind dagegen andere Konzepte nützlicher, denn hier bewegen sich keine Teichen in Ausbreitungsrichtung fort, sondern etwas anderes. Tatsächlich bewegt sich Energie in Aus­brei­tungs­richtung durch den Raum: Eine Welle ist Energietransport ohne Massentransport. Manche Wellen transportieren auch Impuls. Gleichzeitig bewegen sich zwar auch Teilchen, nur eben nicht kontinuierlich weg von ihrem Platz. Ein Medium, in dem sich eine Welle ausbreiten kann, besteht aus vielen miteinander wechselwirkenden gleichartigen Teilchen. Eine Welle entsteht, wenn in diesem Meer gleichartiger Teilchen irgendwo eines oder wenige durch einen äußeren Einfluss bewegt werden. Als Welle bezeichnet man die sukzessive Weiterleitung dieser Anfangsbewegung an alle anderen Teilchen. Eine Welle ist somit eine nacheinander alle Teilchen erfassende Bewegung.

Stelle Dir eine Reihe stehen­der Dominosteine vor: Wenn der erste Stein umkippt, stößt dieser den zweiten Stein an, so dass dieser auch umkippt, der zweite stößt den dritten an, der dritte den nächsten usw. Dabei wird der Impuls und die kinetische Energie des ersten Steins weitertransportiert, ohne dass sich ein Stein weit von seinen Standort entfernt. Das wäre eine Stoßwelle. So ähnlich funktioniert das bei allen Wellen, die wir in diesem Kapitel betrachten. Der Unterschied ist, dass unsere „Dominosteine“ nicht einfach nebeneinander stehen, sondern wie durch Federn miteinander ver­bun­den sind und harmonisch schwingen können. Die Energie, die von einem Objekt zum nächsten übertragen wird, ist die der harmonischen Schwingung. Das Wandern der Energie nehmen wir als Wandern der maximalen Auslenkung der Schwingung war. Die Bewegung der Energie selbst ist vergleichsweise einfach: Sie bewegt sich gleichförmig in Ausbreitungsrichtung. Nur zwei Phäno­mene können die Ausbreitungsrichtung oder die Geschwindigkeit ändern: Brechung und Beugung. Bei der Brechung ändert sich beides, bei der Beugung nur die Richtung. Unseren Hauptaugenmerk werden wir auf eine spezielle Form von Wellen legen: den harmo­nischen Wellen. Harmonische Wellen sind periodisch und können durch Sinus- und Kosinus-Fun­k­tio­nen beschrieben werden.

Wellen in der Natur

Bevor wir in die Theorie einsteigen, wollen wir ein paar Beispiele für Wellen anschauen. Eine eindrucksvolle Beispiel, das das Wesen einer Welle sehr gut verdeutlicht, ist die La-Ola-Welle oder Stadion-Welle, mit der ein Publikum seine Begeisterung ausdrückt. Die einzelnen Zuschauer schwingen nacheinander ihre Arme hoch oder stehen auf, ohne ihren Platz zu verlassen, und erzeugen so die La-Ola-Welle, die sich durch das Publikum bewegt. Als Demonstrationsexperiment betrachtet man häufig eine Seilwelle oder die Welle einer Wellenmaschine, weil man sie sehr einfach erzeugen und beobachten kann. Dabei läuft eine Querauslenkung ein Seil oder eine Reihe von miteinander verbundenen Pendeln entlang. An solchen Wellen kann man viele Phäno­mene sehr schön studieren, weil sie sich nur in eine Richtung ausbreiten und man die Auslenkung sehr gut sehen kann. Ihre Geschwindigkeiten sind in der Regel so langsam, (ca. 0,1 m/s), dass man die Welle gut mit dem Auge verfolgen kann. Bei unseren Alltagswellen, wie Lichtwellen, Schallwellen und Wasserwellen ist das anders: Schallwellen sind unsichtbar. Lichtwellen zwar nicht, aber viel zu schnell und zu klein, als das wir ihren Wellencharakter unmittelbar wahrnehmen könn­ten. Wasser­wellen haben beide Nach­teile nicht, doch sie treten in der Natur selten als harmonische Welle auf, weil Wind und Wetter ein zu großes Durcheinander erzeu­gen. Nur bei Brandungswellen und aus dem Flugzeug über einem Ozean kann man die „Harmonie“ der Wasserwellen erahnen. Wenn man sie jedoch künstlich erzeugt, oder einen Zeh in ein unberührtes Schwimmbad steckt, sind sie genau das Richtige, wenn man flächige Wellenaus­brei­tung studieren möchte. Als Demonstrationsexperiment dienen deshalb Wellenwannen. Das sind flache rechteckige Wasserbecken, in denen man durch periodisches Eintauchen von Stiften oder Leisten gezielt Kreis- oder ebene Wellen erzeugen und studieren kann.

Entstehung einer Welle

Wellen entstehen, wenn viele identische Pendel lose gekoppelt sind.

Gekoppelte Pendel

Um das zu verstehen, betrach­ten wir zuerst ein Experiment:

Abb.2 Zwei gleiche Pendel, links einzeln, rechts starr verbunden
Abb.3 Zwei gleiche Pendel, mit Feder verbunden

Experiment gekoppelte Pendel: Zwei gleiche Stangen werden am oberen Ende aufgehängt und bilden zwei gleiche Pendel, die einfach nebeneinander hängen ohne sich zu berühren. Wenn wir sie anstoßen, schwingen sie unabhängig voneinander mit der gleichen Frequenz und beeinflussen sich nicht gegenseitig. Ein Austausch von Energie findet nicht statt (Abb.2, links). Jetzt verbinden wir sie durch eine starre Stange. Wenn wir jetzt die Pendel anstoßen, müs­sen sie gemein­sam, d. h. gleichphasig, schwingen. Auch hierbei findet kein Austausch von Energie zwischen den Pendeln statt, beide Pendel tragen die gleiche Energie (Abb.2, rechts). Nun verbinden wir die Pendel durch eine weiche Feder. Zuerst lenken wir beide Pendel gleich aus, so dass sie gleichphasig mit gleicher Amplitude schwingen. Auch hierbei ändert sich nichts, ein Energieaustausch zwischen den Pendeln findet nicht statt (Abb.3, links). Nun lassen wir beide Pendel mit gleicher Amplitude gegenphasig schwin­gen. Wir erhalten das gleiche Ergebnis (Abb.3, mitte).

Zum Ab­schluss lenken wir nur eines der Pendel aus. Nun geschieht folgendes: Die Amplitude seiner Schwin­gung nimmt ständig ab, während das andere Pendel mit zunehmender Amplitude zu schwingen beginnt. Nach einigen Perioden ist unser erstes Pendel in Ruhe und nur noch das zweite Pendel schwingt. Jetzt beginnt der Prozess rückwärts: Die Amplitude der Schwingung des zweiten Pendels wird kleiner, während die des ersten Pendels wieder wächst, bis schließlich der Ausgangszustand wieder hergestellt ist. Das ganze wiederholte von vorn. Jetzt findet ein Energieaustausch zwi­schen den Pendeln statt: Die Energie der Schwin­gung überträgt sich periodisch von einem Pendel zum andern: Sie „schwingt“ selbst zwi­schen beiden Pendeln hin und her. Das zeigt: Zwischen zwei gleichen Pendeln findet nur dann ein Energie­aus­tausch statt, wenn sie lose gekoppelt sind und nicht gleich- oder gegenphasig schwingen (Abb.3, rechts).

Das wollen wir jetzt verstehen. Als Basismodell benötigen wir die Physik der erzwungenen Schwingung und ein Verständnis der Arbeit. Dort haben wir gesehen, dass ein Motor einem Oszillator nur dann effizient Energie übertragen kann, wenn er ihn mit seiner Resonanzfrequenz ω0 anregt und die Kraft der Auslenkung um π/2 vorauseilt. Denn nur dann wird während einer gesamten Periode positive Arbeit verrichtet und Nettoenergie an den Oszillator übertragen, weil nur dann Kraft und Weg während der gesamten Periodendauer gleichgerichtet sind. Sobald zwei gleiche Pendel gekoppelt sind, können wir ein Pendel als Motor des anderen auf­fassen: Weil die Pendel gleich sind, ist die Frequenzbedingung, d.h. die Anregung mit ω0, immer erfüllt. Aber nur im letzten Fall − bei der losen Kopplung und der einseitigen Auslenkung − ist auch die Phasen­ver­schie­bung zwischen Kraft und Aus­lenkung passend, so dass Energie übetragen werden kann. Daher kann nur dann Pendel 1 seine Energie an Pendel 2 abgeben. Der Witz ist nun, dass der Energieaustausch nicht stoppt, sobald beide Pendel gleich viel Energie haben, sondern so lange weitergeht, bis ein Pendel seine Energie komplett abgegeben hat. Das liegt daran, dass durch die Phasenbedingung immer nur das vorauseilende Pendel als Motor wirkt und sich die Pendel nur „überholen“, wenn eines der Pendel ruht. Dadurch ist die Richtung des Energietransportes festgelegt.

Verständnisfrage 1: Erkläre, warum zwei gleiche mit gleicher Amplitude gleichphasig schwingende Pendel keine Energie von einem Pendel zum anderen übertragen können!
Weil sie keine Kräfte aufeinander ausüben, denn dabei wird die Feder nie gespannt oder gestaucht.
Verständnisfrage 2: Erkläre, warum zwei gleiche mit gleicher Amplitude gegenphasig schwingende Pendel keine Energie von einem Pendel zum anderen übertragen können!
Man kann sich das zum einen über die Arbeit überlegen. Zum anderen verlangt es jedoch schlicht die Symmetrie! Ein gegenphasig schwingendes System gleicher Pendel ist vollkommen symmetrisch bezüglich rechts und links. Weil es keinen Unterschied zwischen rechts und links gibt, kann es auch keinen Grund geben, warum sich Energie von rechts nach links oder umgekehrt bewegen sollte.
Verständnisfrage 3: Erkläre, warum bei zwei gleichen mit gleicher Amplitude schwingenden Pendeln, bei dem eines dem anderen um π/2 vorauseilt, Energie von vorauseilenden zum hinterherhinkenden Pendel übertragen wird!
Abb.F3a Auslenkungen (schwarz) und Geschwindigkeit (blau) und Kraft (grün) auf P2
Weil das vorauseilende Pendel P2 abwechselnd am hinterherhinkenden Pendel P1 zieht oder es schiebt. In beiden Fällen führt es ihm Energie zu und verliert dabei selbst welche. Wenn man die Arbeit genauer analysiert (Abb.F3a), wird dem hinterherhinkendem Pendel während 6/8 der Periode Energie zugeführt (positive Arbeit) und nur während 2/8 der Periode wieder Energie entnommen (negative Arbeit). Die Arbeit ist positiv, wenn Kraft und Geschwindigkeit das gleiche Vorzeichen haben (rot schattiert). Weil F und v nicht gleichzeitig, sondern um eine Achtelperiode versetzt das Vorzeichen wechseln, wird zwischendurch kurzzeitig die Arbeit negativ. Doch insgesamt wird in einer Periode Energie übertragen.


Pendelreihe

Jetzt denken wir uns eine ganze Reihe aus lose gekoppelten Pendeln, von der wir das erste an­stoßen: Es wird seine Energie auf das zweite übertragen, dieses auf das dritte usw. Pendel 1 ist Motor von Pendel 2, Pendel 2 wird Motor von Pendel 3 usw. Die vorauseilenden Pendel übertragen ihre Energie auf die nachhinkenden Pendel: Eine Welle läuft durch die Pendelreihe.

Abb.4 Reihe gleicher Pendel, lose verbunden

Experiment Pendelreihe Eine größere Anzahl identischer Faden­pendel wird in einer Reihe im gleichen Abstand aufgehängt. Die Pendel werden lose gekoppelt, indem ihre Fäden mit einem wei­te­ren Faden verbunden werden, an den zwischen je zwei Pendel eine kleine Masse (z. B. eine kleine Wäscheklammer) gehängt wird. Das erste Pendel wird nun senkrecht zur Stange (transversal) ausgelenkt. Man kann anhand der Amplitude der Pendel beobach­ten, wie die Schwingungsenergie langsam von einem Pendel zum anderen übertragen wird, am Ende der Pendelreihe um­kehrt und wieder zurückläuft. Die Pendel bewegen sich dabei deutlich schneller als die Energie. Das gleiche Phänomen sieht man, wenn das erste Pendel parallel zur Stange (longitudinal) ausgelenkt wird. Das zeigt: Bei einer Reihe lose gekoppelter Pendel wird Schwingungsenergie in eine Richtung transportiert. Die Geschwindigkeit des Energietransports ist anders als die der Pendel. Die Schwingung kann senkrecht oder parallel zur Laufrichtung der Energie erfolgen.

Stärkere Kopplung

Abb.5 Erzeugung eines Wellenpulses in einer Pendel­kette. Die schwarzen Pfeile deuten die Geschwindigkeit an, die roten Pfeile die resultierende Kraft. Rote Kurve: Aus­len­kung des Pendels P2 bei xt als Funktion der Zeit. Schwarze Kurve: Auslenkung aller Pendel P1 .. P8 zum Zeitpunkt tx.

Was geschieht, wenn wir die Kopplung zwischen den Pendeln stärker machen? Dann wird die Kraft zwischen den Pendeln stärker und folglich die Arbeit, die das „Motorpendel“ verrichtet größer. Es überträgt seine Energie also schneller auf das nächste Pendel und daher läuft die Energie schneller durch die Pendelreihe. Die Geschwindigkeit der Welle erhöht sich also, wenn man die Zugkraft zwischen den Pendeln erhöht.

Bei den bisher betrachteten Wellen war es so, dass die Übertragung der Ener­gie immer mehrere Perioden der Schwin­gung benötigte. Das ist nicht zwingend. Jetzt betrach­ten wir den Fall, dass die Kopplung so stark ist, dass bei einer Auslenkung von Pendel 1 sein Nachbar gleich mit­gezogen wird und Pendel 1 seine Ener­gie bereits ab­ge­geben hat, wenn es das erste Mal in die Ruhelage zurückkehrt. Wir be­trach­ten dazu Abb.5. Die Richtung der Ausbreitung ist x, die der Aus­len­kung ist y. Zum Start (2. Reihe, Zeitpunkt t0) lenken wir das erste Pendel (P1) durch eine äu­ßere Kraft (dicker grüner Pfeil) schnell gegen die rück­trei­ben­de Kraft sei­ner Feder aus und lassen es sofort wieder los. Dabei neh­men wir seinen Nach­barn P2 be­reits etwas mit. So­lan­ge die Aus­len­kung von P2 kleiner als die von P1 ist, wird P1 nach −y und P2 nach +y be­schleunigt. P1 und P2 bewegen sich gegenläufig. Sobald die Aus­lenkung von P2 größer als die von P1 ist, wird P1 nach +y beschleunigt, also gebremst und verliert seine Energie. Gleichzeitig dreht sich auch die Kraft auf P2 um, das nun ebenfalls abgebremst wird, bis im Umkehrpunkt v = 0 ist. Gleichzeitig beschleunigt P2 jedoch P3 nach +y und führt diesem einen Teil seiner Energie zu. Ab jetzt wiederholt sich der gleiche Vorgang wie beim Start: Sobald die Auslenkung von P3 größer ist als die von P2, wird P2 gebremst und verliert seine verbliebene Energie an P3. Die Anfangsenergie wird so von Pendel zu Pendel weitergereicht. Wir betrachten dazu auch die Arbeit: Weg und Geschwindigkeit sind stets gleich­ge­richtet. Man sieht an den Pfeilen in Abb.5 (grün = F, blau = v) sehr schön: Beim jeweils rechten Nachbarn sind Kraft und Weg gleichgerichtet, die Arbeit ist positiv: hier wird Energie zugeführt. Am jeweils linken Pendel sind Kraft und Weg entgegengesetzt gerichtet: hier wird Energie entnommen. Völlig analog können wir das für die Geschwindigkeit und die Leistung formulieren.

Modellvorstellung

In unserer Modellvorstellung für Wellen nehmen wir jetzt an, dass sich die Teilchen eines Mediums wie Luft oder Wasser oder auch eines Objekte wie ein Seil oder eine Platte genau wie diese Pendelreihe verhalten. Gedanklich zerlegen wir die Luft in einzelne Luftteilchen oder kleine "Luftwürfel", das Wasser in einzelne Wasserteilchen oder kleine "Wasserwürfel". Auch das Seil oder die Platte zerlegen wir in kleine differentielle Massestücke, beim Seil kleine Scheibchen (wie bei einer Salami), bei der Platte wären es kleine Flächenstückchen usw..

In unserer Modellvorstellung nehmen wir nun an, dass zwischen diesen Stückchen Kräfte wirken, so als ob sie durch Federn verbunden seien. Das trifft die Realität ziemlich gut. Denn das Kennzeichen einer solchen Kraft ist, dass sie in einem bestimmten Abstand (Ruhelage) null ist, dass sie abstoßend wirkt, wenn sich die Stückchen nähern, und dass sie anziehend wirkt, wenn sie sich voneinander entfernen. Das passt auf jeden Fall. Eine Idealisierung steckt in der Annahme, dass die Kraft proportional zum Abstand von der Ruhelage ist. Häufig trifft aber auch das sehr gut zu, insbesondere für sehr kleine Abweichungen von der Ruhelage. Jedes dieser gedachten Stückchen nimmt nun die Rolle eines Pendels unserer Pendelkette ein. Wenn wir eines dieser Stückchen anstoßen oder auslenken, wird sich eine Welle über alle anderen Stückchen ausbreiten.

Jedes Stückchen benimmt sich wie ein winziges Pendel, das harmonisch schwingen kann. Es ist also in unserer Modellvorstellung ein harmonischer Oszillator und deswegen nennen wir es ab jetzt nicht mehr Stückchen, sondern Oszillator.

Verständnisfrage 4: Wenn Du einen Stein in ruhiges Wasser wirfst, dann entsteht eine kreisförmige Welle an der Oberfläche. Wenn Du einen Stein in Sand wirfst, entsteht zwar ein ringförmiger Wall, jedoch keine Welle. Warum nicht? Erkläre!
Wir können einen Sandhaufen machen, mit Wasser klappt das nicht. Und zwar, weil zwischen den Sandkörnern die Reibungskräfte stark sind, und die Gewichtskraft kompensieren. Deshalb kann die Gewichtskraft die Sandkörner nicht zurück in die Ausgangslage treiben, d.h. es gibt keine rücktreibende Kraft. Im Wasser dominiert dagegen die Gewichtskraft, die Reibung zwischen Wasserschichten und Wasserteilchen ist vernachlässigbar. Ohne rücktreibende Kraft in die Ruhelage entsteht auch keine Welle!.
Verständnisfrage 5: Stelle Dir vor, die Federn in Abb.5 würden ausgetauscht und zwar a) in welche mit der Federkosntante Da = 5 N/m, dann b) in welche mit Db = 7 N/m und schließlich c) in welche mit Dc = 0,1 N/m. Sortiere die Federn danach, wie schnell die Welle läuft (größtes Tempo zurerst)
Das ergibt: b > a > c, Die Federkraft ist $F=-D x$, d.h. F ist umso größer, je größer die Federkonstante D ist. Je größer die Kraft, d.h. umso härter die Feder, umso schneller wird die Energie transportiert und umso schneller läuft die Welle.
Verständnisfrage 6: Betrachte die Medien Luft, Wasser und Stein! Überlege Dir, was "härter" ist, wo die Kräfte zwischen den Teilchen vermutlich größer sind und überlege Dir die Reihenfolge der Wellengeschwindigkeiten in diesen drei Medien!
Das ergibt: Luft > Wasser > Stein. Die Wellen in diesen Medien sind z.B. Schallwellen. In Luft ist die Schallgeschwindigkeit ca. 330 m/s, in Wasser ca. 1500 m/s und in Stein sogar 3000-3800 m/s, je nach Gesteinsart. Je härter ein Stoff, umso größer die Wellengeschwindigkeit.


Mathematische Beschreibung von Wellen

Wellengleichung

Jetzt haben wir die Aufgabe, diesen Mechanismus als Bewegungsgleichung zu formulieren. Dazu müssten wir uns die Kräfte auf die Oszillatoren überlegen und daraus die Bewegungsgleichung bilden. Anders als bei einer Schwingung, bei der wir nur die Zeitabhängigkeit der Auslenkung eines Oszillators beschreiben müssen, enthält eine Welle viele Oszillatoren an vielen Orten. Ihre Bewegungsgleichung und deren Lösungen müssen daher nicht nur die Zeitabhängigkeit der Auslenkung eines Oszillators, sondern auch dessen Ort beschreiben: Sie müssen angeben, welche Auslenkung ein Oszillator am Ort x zum Zeitpunkt t hat. Anders gesagt: Wir suchen eine Möglichkeit, die gesamte Abb.5 auf einmal zu beschreiben und nicht nur eine Zeile oder eine Spalte darin. Die gesuchte Auslenkung muss eine Funktion $y(x,t)$ sein. Wenn wir die Auslenkung nun allgemeiner u nennen, müssen die Lösungen also Funktionen u(x,t) von Ort und Zeit sein.

Schon bei den Schwingungen haben wir gesehen, dass sich z. B. die Bewegungsgleichung eines Federpendels aus anderen Kräften herleitet als die eines Faden­pendels oder eines Wasserpendels. Doch trotz der unterschiedlichen Kräfte und Herleitungen haben alle sich ergebenden Bewegungs­gleichungen eine einheitliche universelle Form, nämlich die

  • Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators $\ddot u + \omega^2 u =0$,

weil sie ja auch immer die gleiche Art der Bewegung beschreiben, nämlich eine harmonische Schwingung. In der Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators steckt dann nur noch die Kreisfrequenz ω der Schwingung, die von den wirkenden Kräften abhängt. Als Lösung der Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators haben wir die Auslenkung $u(t)=A\cdot\cos(\omega t)$ erhalten.

Auch für Wellen gibt es eine solche universelle Bewegungsgleichung, sie heisst Wellengleichung. Wie bei verschiedenen Schwingungen ergeben sich auch für verschiedene Wellen, wie z. B. Wasserwellen, Schallwellen, Seilwellen etc, jeweils andere Kräfte und andere Herleitungen, doch alle führen am Ende auf die universelle Wellengleichung, in der dann auch nur noch eine Konstante steckt, nämlich die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle c.

Für die Welle können wir uns diese einheitliche universelle Form der Wellengleichung auch anhand Abb.5 überlegen. Wenn wir zum Zeitpunkt t0 = 0 eine Auslenkung u=u0 am Ort x0 verursachen, bewegt sich u0 unverändert mit der Geschwindigkeit c in x-Richtung. Zum Zeitpunkt t1 ist sie bereits an den Ort $x_1=x_0+c t_1$ gelaufen. Daraus ergibt sich für den Ausgangsort $x_0=x_1-c t_1$ und für die Auslenkung $u(x_1, t_1) = u(x_0 , 0)=u(x_1 − ct_1, 0)=u_0$. Was sagt uns das? Es sagt uns, dass in unserer gesuchten Funktion $u(x,t)$ die Größen x und t nicht beliebig zusammenhängen können, sondern immer in der Form $x-ct$ auftreten müssen, damit das Weiterlaufen einer Auslenkung richtig beschrieben wird. Deshalb führen wir jetzt die Funktion $g(x,t)=x − ct$ ein und diese Funktion wird nun zum Argument unserer gesuchten Auslenkung, d.h. $u(x,t) = u(g(x,t))=u(x-ct)$. Damit haben wir schon die allgemeine Lösungsfunktion der Wellengleichung gefunden. Wir suchen aber nicht die Lösungsfunktion, sondern die Gleichung selbst. Um aus einer Bewegungsgleichung die Lösungsfunktion zu bestimmen, muss man diese integrieren. Um umgekehrt aus einer Lösungsfunktion die Bewegungsgleichung zu bestimmen, muss man differenzieren.

Beispiel 1: Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators aus seiner Lösungsfunktion
Wir bestimmen die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators aus seiner Lösungsfunktion, indem wir diese zweimal nach der Zeit ableiten: Lösungsfunktion $u(t)=A\cdot\cos(\omega t)$, erste Zeitableitung: $\dot u=-\omega\cdot A\cdot\sin(\omega t)$, zweite Zeitableitung: $\ddot u=-\omega^2\cdot A\cdot\cos(\omega t)$. Einsetzen von u ergibt die Bewegungsgleichung: $\ddot u=-\omega^2\cdot u\ \Rightarrow\ \ddot u+\omega^2 u =0$.

Deshalb benötigen wir nun die zweite Zeitableitung von u. Wir können u mit Hilfe der Kettenregel und der Abkürzung $\frac{du}{dg} = f'(g)$ zweimal nach der Zeit ableiten: $\dot u = \frac{du}{dg} \dot g =-c f'(g)$ und $\ddot u = -c (-c) f''(g)=c^2 f''(g)$. Anders als eine Schwingung breitet sich eine Welle aber auch im Raum aus. Um das zu erfassen, bilden wir auch die zweite Ortsableitung: $u' = \frac{du}{dg} g' =1 \cdot f'(g)$ und $u'' = f''(g)$. Der Vergleich beider Ergebnisse liefert $\ddot u=c^2 u''$. Das ist die gesuchte Differenzialgleichung, d.h. die Bewe­gungs­glei­chung einer Welle: die Wellengleichung.

Die Wellengleichung lautet: $\ddot u=c^2 u''$     (1)

Sie verknüpft die zweite Ableitung nach der Zeit mit der zweiten Ableitung nach dem Ort und enthält als Konstante nur die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle. Sie gilt für jede klassische Welle [1]. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c hängt von den „Feder­eigen­schaf­ten“ des betrachteten Mediums und den „Trägheitseigenschaften“ des Mediums ab. Für verschiedene Wellenarten ergeben sich andere Ausdrücke für c, so wie sich für unterschiedliche Pendel auch andere Ausdrücke für ω ergeben. Um den Ausdruck für c für eine bestimmte Wellenart zu bestimmen, muss man die Wellengleichung für die jeweilige Wellenart explizit aufstellen. Das ist in der Regel ziemlich aufwendig und findet sich in diversen Lehrbüchern.

Beispiel 2: Geschwindigkeiten von Wellen
Für eine Seilwelle oder die Saite eines Musikinstrumentes ist c durch die Zugkraft F am Seil und die lineare Massendichte μ (Masse pro Länge) gegeben $c=\sqrt{\frac{F}{\mu} }$. Für eine Schallwelle ist c durch das Kompressionsmodul K und die Dichte ρ des Mediums gegeben: $c=\sqrt{\frac{K}{\rho} }$. Für eine Wasserwelle ist $c \approx \sqrt{\frac{g \lambda} {2 \pi} }$ (Tiefwasserwellen) oder $c \approx \sqrt{g d}$ (Flachwasserwellen, Wassertiefe < λ/2).


Lösungen der Wellengleichung

Abb.6 Wellen können eine beliebige Form haben

Unsere Herleitung beinhaltet, dass jede beliebige Funktion $u(g)$ mit $g(x,t) = x − ct$ die Wellen­glei­chung löst. Das drückt aus, dass Wellen eine beliebige periodische oder nichtperiodische Gestalt ha­ben können. Entscheidend für die Form der Welle ist die Form der Anregung, d.h. wie der erste Oszillator durch irgendeine äußere Kraft gemäß $u(0,t)$ bewegt wird. Was auch immer als $u(0,t)$ erzeugt wird, wird dann mit $u(x-ct)$ weitergeleitet.

Jede Funktion $u(x-ct)$ mit dem Argument $x-ct$ löst die Wellengleichung.     (2)

Ein Beispiel für eine nichtperiodische Welle ist der Wellenpuls in Abb.5, der in Abb.6 oben animiert ist. Die Art der Auslenkung durch eine äußere Kraft, die den ersten Oszillator bewegt, ist durch den roten Punkt angedeutet. Natürlich kann man auch eine Auslenkung nach oben und nach unten durchführen. Das zeigt Abb.6 in der Mitte. Genauso können wir nicht einmalig, sondern periodisch auslenken. Wenn wir den ersten Oszillator harmonisch mit konstanter Kreisfrequenz ω schwingen lassen, dann erhalten wir eine periodische Welle, und zwar eine harmonische Welle.

Harmonische Wellen sind ganz besonders wichtig, denn letztlich lassen sich aus ihnen beliebige andere Wellen formen. Aus diesem Grund werden harmonische Wellen in einem gesonderten Artikel betrachtet. Bei harmonischen Wellen drückt man das Argument statt als $x-ct$ in der Regel als $k(x-ct)=kx-\omega t$ aus. Die Konstante k nennt man Kreiswellenzahl und $\omega=kc$ ist die Kreisfrequenz der Oszillatoren. Die Strecke, die eine Welle in einer Periodendauer T ihrer Oszillatoren zurücklegt, nennt man Wellenlänge λ und die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist damit $c=\frac{\lambda}{T}$. Und so, wie die Kreisfrequenz $\omega=\frac{2\pi}{T}$ ein Maß für die Anzahl der Schwingungsperioden pro Zeit ist, ist die Kreiswellenzahl $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ ein Maß für die Anzahl der Wellenlängen pro Strecke. In beiden Fällen ist es die Anzahl mal 2π.

Verständnisfrage 7: Welchen Einfluss hat die Art der Ausgangsauslenkung der Welle a) auf die Form von $u(x,t)$, b) auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit c? Begründe!
a) Die Art der Ausgangsauslenkung gibt nur die Form von $u(x,t)$ vor. Auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit hat sie keinen Einfluss, denn diese hängt nur von den Kräften zwischen den Oszillatoren ab.
Verständnisfrage 8: Kann $u(x,t)=A e^{-k^2(x -c t)^2}$ eine Lösung der Wellengleichung sein? Darin ist k eine Konstante. Begründe!
Ja, denn das Argument der Exponentialfunktion hängt bis auf die Konstante k nur von $x-ct$ ab, wie für eine Lösung gefordert. Diese Funktion ist übrigens in Abb.6 oben dargestellt.
Verständnisfrage 9: Kann $u(x,t)=A \sin(kx -\omega t)$ eine Lösung der Wellengleichung sein? Darin ist k eine Konstante. Begründe!
Ja, aber nur dann dann, wenn $\omega = k c$ ist. Denn dann können wir für das Argument $kx-\omega t=k x-k c t=k(x-c t)$ schreiben. Und dann erfüllt die Funktion die Bedingung an eine Lösung der Wellengleichung!


Transversal- und Longitudinalwellen

Abb.7 Die Wellen aus Abb.12 als Longitudinalwellen
Abb.8 Linear und zirkular polarisierte Transversalwellen

Gehen wir gedanklich noch einmal zurück zur Pendelreihe. Bisher haben wir nur die Auslenkung eines Pendels quer zur Laufrichtung der Welle diskutiert. Es spricht jedoch nichts dagegen, eine Auslenkung parallel zu Ausbreitungsrichtung zu erzeugen. Auch in diesem Fall entsteht eine Welle und auch diese wird durch (1) beschrieben. Wir unterscheiden Wellen danach, wie die Auslenkung zur Laufrichtung gerichtet ist, und zwar in zwei Arten von Wellen: Transversal- und Longitudinalwellen:

Bei Transversalwellen erfolgt die Auslenkung senkrecht zur Laufrichtung der Energie.
Bei Longitudinalwellen erfolgt die Auslenkung parallel zur Laufrichtung der Energie.

Abb.6 zeigt Transversalwellen. Abb.7 zeigt die gleichen Wellen wie in Abb.6, jedoch als Longitudinalwellen. Die Unterscheidung ist deshalb wichtig, weil bei Transversalwellen auch noch die Ebene, in der die Oszillation stattfindet, wichtig werden kann. Die Orientierung der Oszillationen bezeichnet man als Polarisation.

Polarisation

Wenn alle Oszillatoren in der gleichen Ebene schwingen, nennt man die Welle linear polarisiert. Abb.8 zeigt harmonische Transversalwellen. Die obere ist vertikal linear polarisiert, die mittlere ist horizontal linear polarisiert. Bei der unteren Wellen läuft die Auslenkung im Kreis. So eine Welle nennt man zirkular polarisiert. Sie ergibt sich aus der Summe der oberen und der mittleren Welle. Beachte, dass die obere und die mittlere Welle um π/2 phasenverschoben sind, entsprechend Kosiunus und Sinus. Daher ergibt sich für ihre Summe an jedem Ort x eine Kreisbahn.

Beispiel 3:  
Seilwellen sind Transversalwellen. Auch Lichtwellen sind Transversalwellen. Insbsondere bei Lichtwellen ist die Polarisation häufig wichtig. Lichtwellen, die von einem einzelnen Atom oder Molekül erzeugt werden, sind von Natur aus linear oder zirkular polarisiert. Unpolarisiertes Licht entsteht, wenn sich viele Lichtwellen von vielen Atomen oder Molekülen mit unterschiedlichen Polarisationen überlagern.
Die kurzzeitige Stauchung einer Feder erzeugt eine Longitudinalwelle. Schallwellen sind ebenfalls Longitudinalwellen. Die Luftteilchen verdichten sich in Ausbreitungsrichtung.
Wasserwellen sind eine Mischform, d.h. sie sind eine Überlagerung aus Transversal- und Longitudinalwellen. Von der Seite gesehen laufen die Wassermoleküle auf Kreisen.


Verständnisfrage 10: Sind Erdebebenwellen (seismische Wellen) Longitudinalwellen oder Transversalwellen? Recherchiere die Antwort!
Sie treten in beiden Formen auf! Seismische Wellen kann man in P-Wellen (longitudinal) und S-Wellen (transversal) unterscheiden [2]. Animationen beider Wellenarten finden sich hier.


Mathematische Darstellung von Lösungen der Wellengleichung

Wie wir bisher gelernt haben, wird eine Welle allgemein durch eine Funktion $u(x,t)$ dargestellt. Darin ist x der Platzhalter für die Laufrichtung und u der Platzhalter für die oszillierende Größe. Wenn eine Welle nicht in x, sondern in die y-Richtung läuft, müsste es z.B. $u(y,t)$ heißen. Wenn bei einer Transversalwelle die Auslenkung der Welle dabei in z-Richtung erfolgt, könnte man sie als $z(y,t)$ oder $Z(y,t)$ bezeichnen. Wenn die Welle eine Longitudinalwelle ist, könnte man sie als $Y(y,t)$ ausdrücken.

Beispiel 4: Funktionen für Longitudinal- und Transversalwellen

In allen Beispielen sind A und k sind Konstanten.

  1. Die Funktion der Welle in Abb.6 oben ist $y(x,t)=A\cdot e^{-k^2(x-ct)^2}$. Würde die Welle in y-Richtung laufen und die Auslenkung in z-Richtung erfolgen, wäre die Funktion $z(y,t)=A\cdot e^{-k^2(y-ct)^2}$.
  2. Die Funktion der zirkular polarisierten Transversalwelle in Abb.8 unten, die x-Richtung läuft, ist $\vec u(x,t)=A\cos(k(x-ct))\hat y+A\sin(k(x-ct))\hat z$. Diese Welle müssen wir vektoriell beschreiben. Würde die Welle in z-Richtung laufen und die Auslenkung in x- und y-Richtung erfolgen, wäre die Funktion $\vec u(z,t)=A\cos(k(z-ct))\hat x+A\sin(k(z-ct))\hat y$.
  3. Die Longitudinalwelle in Abb.7, mitte, die x-Richtung läuft, ist durch die Funktion $X(x,t)=-2 A\cdot k(x-ct) e^{-k^2(x-ct)^2}$ gegeben. $X(x,t)$ ist die Auslenkung des Oszillators, dessen Ruhelage am Ort x ist. Der momentane Ort Xm dieses Oszillators zur Zeit t ist $X_m(x,t)=x-2 A\cdot k(x-ct) e^{-k^2(x-ct)^2}$. Würde die Welle in z-Richtung laufen, wäre die Auslenkung $Z(z,t)=-2 A\cdot k(z-ct) e^{-k^2(z-ct)^2}$ und der momentane Ort $Z_m(z,t)=z-2 A\cdot k(z-ct) e^{-k^2(z-ct)^2}$.
  4. Die Auslenkung der harmonischen Longitudinalwelle in Abb.7 unten können wir durch $X(x,t)=A\cos(k(x-ct))$ angeben. Der momentane Ort Xm dieses Oszillators zur Zeit t ist $X_m(x,t)=x+A\cos(k(x-ct))$. Wir können diese Welle auch als Druckwelle in der Form $p(x,t)=p_0+A_p\sin(k(x-ct))$ angeben. Darin ist $p_0$ der normale Umgebungsdruck. Die Amplitude $A_p$ des Druckes hängt mit der Amplitude A der Auslenkung über $A_p=K A k$ zusammen (siehe Schallwellen)). Darin ist K das Kompressionsmodul.


Grafische Darstellung von Wellen

Wellen sind Objekte, die sich in Raum und Zeit ausbreiten. Die beste Darstellung ist deshalb die Animation, d.h. das bewegte Bild. In Büchern ist so etwas nicht möglich und daher muss man andere Formate wählen. Eine Möglichkeit ist es, die Welle in mehreren zeitlich aufeinanderfolgenden Bildern darzustellen, so wie in Abb.5. Dabei zeigt man ähnlich wie bei einer Stroboskopaufnahme verschiedene Bilder der Welle, die in gleichem zeitlichen Abstand aufgenommen wurden. Vom Informationsgehalt ist das gleichwertig zur Animation. In der Regel werden jedoch weniger aufwendige Formate gewählt, die dann auch weniger Information enthalten. Es ist ziemlich frustrierend, zu versuchen, einem Bild (oder auch einem Text) Informationen zu entnehmen, die darin garnicht enthalten sind. Deshalb ist es wichtig, dass Du die vereinfachte Darstellung von Wellen und die darin enthaltenen Informationen richtig interpretieren kannst.

Momentaufnahme ("Foto")

Abb.9 "Foto"- und "Film"darstellung einer Welle

Eine Möglichkeit, eine Welle zu zeigen, ist die Momentaufnahme. Man macht quasi ein "Foto" von der Welle und zeigt dieses. Das Bild zeigt dann die momentane räumliche Gestalt der Welle zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt. Aus dem "Foto" können wir die Form der Welle und bei periodischen Wellen die Wellenlänge ablesen. Ein "Foto" entspricht einer Zeile in Abb.5. In Abb.9 oben ist dies am Beispiel des Wellenpulses aus Abb.5 gezeigt. Die schwarze Kurve zeigt die Auslenkung $y(x,t_x)$ der Oszillatoren zum festen Zeitpunkt tx als Funktion des Ortes x. Das ist die häufigste Darstellung einer Welle.

Lokale Bewegung ("Film")

Eine andere Möglichkeit ist die, sich einen der Oszillatoren der Welle an einem bestimmten Ort auszuwählen. Dessen Bewegung lässt sich dann als Funktion der Zeit zeichnen. Dies entspricht einem "Film" an einer ganz bestimmten Stelle der Welle. Aus dem "Film" können wir die Periodendauer einer Oszillation ablesen. Ein "Film" entspricht einer Spalte in Abb.5. In Abb.9 unten ist dies wieder am Beispiel des Wellenpulses aus Abb.5 gezeigt. Die rote Kurve zeigt die Auslenkung $y(x_t,t)$ des Oszillators am festen Ort xt als Funktion der Zeit t. Diese Darstellung findet man selten allein, meistens in Ergänzung zur Foto.

Beide Darstellungen zeigen nur jeweils einen Aspekt der Welle. Aus der Fotodarstellung erhalten wir keine zeitlichen Informationen, d.h. wir können nicht sehen, wie schnell sich die Welle oder die Oszillatoren bewegen. Aus der Filmdarstellung erhalten wir keine räumlichen Informationen, d.h. wir können nicht sehen, wie die Welle als ganzes aussieht. Insbesondere die Filmdarstellung lässt sich nicht von einer Schwingung unterscheiden, denn sie zeigt ja auch nur eine Schwingung, nämlich die des herausgegriffenen Oszillators. Beide gemeinsam enthalten dann wieder alle Informationen über die Welle. Aus der Fotodarstellung können wir entnehmen, welche Strecke während einer bestimmten Bewegung eines Oszillators zurückgelegt wird. Aus der Filmdarstellung können wir entnehmen, welche welche Zeit während dieser bestimmten Bewegung vergeht. Die zurückgelegte Strecke dividiert durch die dafür benötigte Zeit ergibt die Geschwindigkeit der Welle.

Abb.B5
Beispiel 5: Geschwindigkeit einer Wasserwelle aus "Foto" und "Film"
Ein Schiffbrüchiger schaukelt in seinem Boot auf den Wellen. Er sieht die Wellenberge im Abstand von 10 m. Das zeigt die Fotodarstellung ind Abb.B5 oben. Mit seiner Uhr stellt er fest, dass er sich in 10 s vier mal auf- und ab bewegt. Das zeigt die Filmdarstellung ind Abb.B5 unten. Wie schnell laufen die Wellen?
In der Fotodarstellung sehen wir, dass sich die Welle während einer Periode, d.h. einmal von oben nach unten und wieder hoch, 10 m weiterbewegt. In der Filmdarstellung sehen wir, dass es in 10 s viermal auf und ab geht. Daher dauert eine Periode $T=\frac {\text{10 s} }{4} =\text{2,5 s}$. Die Welle legt somit 10 m in 2,5 s zurück und hat die Geschwindigkeit $c=\frac{\text{10 m} }{\text{2,5 s} }=\text{4,0 m/s}$.


Energietransport und Intensität

Abb.15 Energiedichte und Energietransport

Eine Welle transportiert die Energie, die in den Schwingungen ihres Mediums steckt. Man drückt den Energie­transport entweder in Form der Leistung P (Energie pro Zeit) oder üblicher als Intensität I (Leistung pro Fläche) aus. Eine Welle ist ja üblicherweise ein ausgedehntes veränderliches Objekt. Wenn die Welle auf eine bestimmte reale oder gedachte Fläche F trifft, transportiert sie die Energie ihrer Oszillatoren auf diese Fläche. Bei einer Lichtwelle könnte das die beleuchtete Fläche sein, bei einer Schallwelle die Fläche unseres Trommelfells und bei einer Seilwelle die Querschnittsfläche des Seils. Zu einem bestimmten Zeitpunkt trägt jeder einzelne Oszillator eine individuelle momentane kinetische (Ekin,i) und potenzielle Energie (Epot,i). Um den Energietransport zu erfassen, betrachtet man ein Volumen V, durch das die Welle läuft, und addiert die Energien aller darin enthaltenen Oszilla­toren. Das ergibt die in dem Volumen enhaltene Energie $E = E_{kin} + E_{pot}=\sum\limits_i E_{kin,i}+\sum\limits_i E_{pot,i}$. Das Volumen V trägt dann die Energiedichte $w = \frac E V=\frac{E_{kin} + E_{pot} } {V}$. Die Welle läuft jedoch durch das Volumen hin­durch, wodurch die Energiedichte des Volumens zeitlich schwanken kann. Für einen Wellenpuls ist die Energiedichte z.B. immer null, außer wenn der Puls gerade im betrachteten Volumen ist. Wie lange dauert es nun, bis die gesamte im Volumen enthältene Energie auf der Fläche aufgetroffen ist? Das hängt natürlich davon ab, wie schnell die Welle läuft. Wenn ihre Geschwindigkeit c ist, dann legt die Welle in einer Zeit t die Strecke ct zurück. Folglich trifft die Energie aller Oszillatoren, die im Volumen $V=ct\cdot F$ sind, in der Zeit t auf die Fläche F. Damit können wir nun aus der Energiedichte die Intensität bestimmen: $w = \frac E V= \frac E { F \cdot c t}= \frac P { F \cdot c}= \frac I c$. Umgestellt nach I erhalten wir die wichtige Beziehung für die

Intensität einer Welle mit der Energiedichte $w$ ind der Ausbreitungsgeschwindigkeit c: $I=wc$ mit $[I]=\frac{\text{W} }{\text{m}^2}$     (2)

Diese grundlegende Beziehung zeigt unmittelbar, dass eine Welle Energie ist, die sich mit der Geschwindigkeit c bewegt. Man kann sie sich besonders gut merken, wenn man an eine verschmutzte Toilette denkt ... .

Für periodische harmonische Wellen $u(x,t) =A \cos(k(x-ct))$, die in einem Medium mit der Dichte ρ laufen, lässt sich die allgemeine Beziehung (2) konkretisieren und die Intensität als Funktion der Amplitude und der Kreisfrequenz ω der Oszillatoren angeben. Dann ergibt sich nämlich ein konstanter Mittelwert für die Energiedichte $\langle w \rangle = \frac{\langle E \rangle} {V}=\frac{\langle E_{kin} \rangle +\langle E_{pot} \rangle} {V}=\frac 12 \rho \omega^2 A^2$ (Herleitung siehe harmonische Wellen). Mit Hilfe der mittleren Energiedichte kann man die mittlere Intensität I einer Welle ausdrücken.

Mittlere Intensität einer harmonischen Welle: $\langle I\rangle=\frac 12 \rho\cdot c\cdot \omega^2 A^2$. Darin ist ρ die Dichte des Mediums, ω die Kreisfrequenz und A die Amplitude der Welle.     (3)

Das Zeichen für die Mittelwertbildung lässt man bei harmonischen Wellen in der Regel weg. Besonders wichtig ist der Zusammenhang

Die mittlere Intensität einer harmonischen Welle ist proportional zum Quadrat der Amplitude: $I\propto A^2$     (3)

Dieser Zusammenhang ist universell und gilt nicht nur für mechanische, sondern auch für elektromagnetische Wellen.

Verständnisfrage 11: Drei ansonsten gleiche Wellen unterscheiden sich nur in ihrer Amplitude. Die Wellen haben die Amplituden A, 2A und 3A. In welchem Verhältnis stehen die Intensitäten der Wellen?
1:4:9, d.h. die Wellen haben die Intensitäten I, 4I, 9I. Die zweite Welle hat eine viermal so große und die dritte eine neunmal so große Intensität wie die erste Welle.
  1. Für die Materiewellen der Quantenphysik gilt eine andere Wellengleichung, nämlich die Schrödinger-Gleichung.
  2. Seite „Seismische Wellen“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 13. Februar 2020, 20:33 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Seismische_Wellen&oldid=196792919 (Abgerufen: 27. Juli 2020, 05:19 UTC)