Wechselstromkreise

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Physikalischer Kontext

Wozu braucht man Wechselspannung und Wechselsstrom? Kann man nicht alles, was man möchte auch mit Gleichstrom erzielen? Die Antwort ist klar: Nein! Wechselspannung und Wechselstrom sind viel flexibler. Sie ermöglichen zum Beispiel eine Signalübertragung durch Modulation von Strom und Spannung. Mit ohmschen Widerständen kann man nur heizen und beleuchten. Radio, Handy, Computer, Herd, Kühlschrank, Mikrowelle etc. verlangen Bauteile, die ganz andere Kennlinien und Verhalten zeigen, und im Gleichstromkreis nicht funktionieren würden. Im Wechselstromkreis sind Spannungen u. Ströme zeitabhängig und schwingen sinusförmig. Die Elektronen bewegen sich periodisch hin und her. Strom und Spannung können gegeneinander phasenverschoben sein. Diese Phasenverschiebung bestimmt, welche Leistung der Wechselstromkreis einer Spannungsquelle entnimmt. Haushaltsstrom ist Wechselstrom. Das ist so, weil sich Wechselspannung zum einen sehr einfach konventionell mit Generatoren erzeugen lässt, die vom Wirkprinzip eine Wechselspannung (sinusförmig) liefern. Und zum anderen, weil Energie in Form von Wechselspannung mit sehr geringen Verlusten übertragen werden kann.

Bestandteile von Wechselstromkreisen

Abb.1 Schaltsymbole von Widerstand, Kondensator und Spule
Abb.2 Spannungsabfälle an Widerstand, Kondensator und Spule als Funktion der Zeit

Während man in Gleichstromkreisen mit in der Regel Ohmschen Widerstanden bestückt, können Wechselstromkreise auch Kondensatoren (Kapazitäten) und Spulen (Induktivitäten) enthalten. Abb.1 zeigt die Schaltungssymbole. Kondensatoren und Spulen bilden im Gleichstromkreis zeitabhängige Widerstände.

Strom und Spannung am Ohmschen Widerstand

Bei einem Ohmschen Widerstand ist der Widerstand $R=\frac U I$ bis auf eine mögliche Temperaturabhängigkeit konstant.

Strom und Spannung am Ohmschen Widerstand $I=\frac U R$ und $U=R I$    (1)

Der Strom ist proportional zur Spannung.

Strom und Spannung am Kondensator

Ein Kondensator der Kapazität C bildet ungeladen einen sehr kleinen und aufgeladen einen unendlich großen Widerstand. Sein Widerstand ist somit nicht konstant und hängt vom Ladezustand ab. Für den Kondensator gilt $Q=C U$. Beim Aufladen ändert sich die Ladung gemäß $\frac{dQ}{dt}=C \frac {dU}{dt}$. Weil $I=\frac{dQ}{dt}$, ergibt das

Strom und Spannung am Kondensator: $I= C\frac{dU}{dt}$ und $U= \frac 1C\int{I}{dt}$   (2)

Strom und Spannung sind nicht mehr proportional zueinander, sondern hängen differentiell voneinander ab.

Strom und Spannung an der Spule

Eine Spule mit der Induktivität L erzeugt auch in ihren eigenen Windungen eine Induktionsspannung $U_L=L\frac{dI}{dt}$, die einen Spannungsabfall erzeugt und jeder Stromänderung entgegenwirkt. Für langsame Stromänderungen bildet die Spule einen sehr kleinen und für schnelle Stromänderungen einen sehr großen Widerstand.

Strom und Spannung an der Spule: $U= L\frac{dI}{dt}$ und $I= \frac 1L\int{U}{dt}$   (3)

Auch hier sind Strom und Spannung nicht mehr proportional zueinander, sondern hängen differentiell voneinander ab.

Abb.2 zeigt die jeweiligen Spannungsabfälle in Abhängigkeit von der Zeit für eine rechteckförmige Eingangsspannung U0. Der elektrische Widerstand ist ganz allgemein als $R(t)=\frac{ U(t)} {I(t)}$ definiert. Im Fall von Spule und Kondensator ist $R=R(t)$ keine Konstante mehr. Für beliebige zeitlich veränderliche Eingangsspannungen muss man die Gleichungen (2) und (3) lösen. Für sinusförmige Wechselspannungen kann man die Zeitabhängigkeit jedoch einfach in eine Frequenzabhängigkeit umwandeln. Wechselstromkreise beschreibt man deswegen mit frequenzabhängigen Widerständen, die man Impedanzen nennt. Dazu ist es außerordentlich hilfreich und nützlich, Strom, Spannung und Widerstände als komplexe Größen zu schreiben, weil dieses die Rechnung stark vereinfacht.

Schreibweise mit komplexen Größen

Wechselstromkreise behandelt man normalerweise mit Hilfe komplexer Zahlen, d.h. man schreibt, Strom, Spannung und Widerstände als komplexe Größen. Die Schreibweise als komplexe Größe verwendet man als mathematisches Hilfsmittel zur Vereinfachung von Rechnungen und nicht, weil irgendwelche Größen tatsächlich komplex sind. Alle physikalischen Größen sind reell. Wenn aus komplexen Größen physikalisch messbare Werte bestimmt werden, dann sind diese entweder durch den Realteil oder den Betrag der komplexen Größe gegeben. In beiden Fällen erhalten wir aus der komplexen Größe wieder eine reelle Größe, und nur diese entspricht tatsächlich einer physikalischen Größe. In diesem Abschnitt wird davon ausgegangen, dass der Umgang mit komplexen Zahlen bekannt ist.

Eine "normale" reelle Wechselspannung $U(t)=U_0 \cos(\omega t+\varphi_U)$ kann man als Realteil einer komplexen Größe $U(t)=\mathrm{Re}[\tilde U(t)]=\mathrm{Re}[U_0 e^{i(\omega t+\varphi_U)}]$ schreiben.

Ebenso kann man einen "normalen" reellen Wechselstrom $I(t)=I_0 \cos(\omega t+\varphi_I)$ als Realteil einer komplexen Größe $I(t)=\mathrm{Re}[\tilde I(t)]=\mathrm{Re}[I_0 e^{i(\omega t+\varphi_I)}]$ schreiben.
Ebenso kann man einen "normalen" reellen Wechselstromwiderstand $Z_L=\omega L$ als Betrag eines komplexen Widerstandes $|\tilde Z_L|=|i \omega L|$ schreiben.

Der Vorteil dieser Schreibweise ist, dass die differentiellen Zusammenhänge zwischen U und I an Spule und Kondensator damit nur die Zeitableitung der Exponentialfunktion erfordern, d.h. nur eine Multiplikation mit erzeugen. Das vereinfacht alle Rechnungen ungemein (sofern man mit komplexen Zahlen vertraut ist).

Üblicherweise lässt man die Kennzeichnung als komplexe Zahl z.B. durch eine Tilde in den meisten Rechnungen mit komplexen Größen weg, weil durch das i klar ist, dass die Größe komplex ist. Üblicherweise lässt man auch das Re[..] in den meisten Rechnungen mit komplexen Größen weg, weil klar sein sollte, dass man nur den Realteil meint.

Dementsprechend schreiben wir auch die komplexen Ausdrücke für I(t) und U(t) ohne Tilde und schreiben nicht explizit Re[..], auch wenn wir nur den Realteil meinen.

Kontrollfrage 1: Wie lautet der Realteil von $e^{i x}$?
Das sagt uns die Eulersche Formel: $e^{i x}=\cos(x)+i \sin(x)$. Der Realteil ist $\cos(x)$, der Imaginärteil ist $\sin(x)$.
Kontrollfrage 2: Wie lautet der Betrag von $Z = A + i B$?
Der Betrag ist $|Z| = \sqrt{(A + i B)(A - i B)}=\sqrt{A^2+B^2}$.


Komplexer Strom und komplexe Spannung

Die komplexen Ausdrücke für Strom und Spannung entsprechen anschaulich Zeigern in der komplexen Zahlenebene. Für t = 0 liegen sie unter den Winkeln $\varphi_U$ bzw. $\varphi_I$ zur reellen Achse. Wenn sich t ändert, ändert sich die Orientierung der Zeiger. Wächst t kontinuierlich an, dann rotierern die Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω in der komplexen Zahlenebene. Dabei bleibt der Winkel $\varphi=\varphi_u-\varphi_I$ zwischen beiden Zeigern fest. Der Winkel $\varphi=\varphi_u-\varphi_I$ gibt die feste Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom an. Dies ist der einzige wichtige Wert, deshalb kann man immer $\varphi_I=0$ setzen. Damit wird $\varphi=\varphi_U$. So gehen auch wir vor. Im folgenden gilt also:

Eine Wechselspannung $U(t)=U_0 \cos(\omega t+\varphi)$ ist der Realteil der komplexen Größe $U(t)=U_0 e^{i(\omega t+\varphi)}$.
Ein Wechselstrom $I(t)=I_0 \cos(\omega t)$ ist der Realteil der komplexen Größe $I(t)=I_0 e^{i(\omega t)}$.
Abb.3 Zusammenhang zwischen der komplexen Schreibweise für I und U und den reellen Funktionen

Abb.3 verdeutlicht die Zusammenhänge. Sie zeigt links die reellen Funktionen und rechts die komplexe Darstellung. Die Amplituden I0 und U0 der reellen Wechselgrößen I(t) und U(t) geben die Längen (Beträge) der Zeiger der komplexen Größen vor. Die Längen sind durch gestrichelte Kreise angedeutet. Zum Zeitpunkt $t_0=0$ liegt der Stromzeiger I(t) (blau) auf der reellen Achse, weil wir $\varphi_I=0$ gesetzt haben. Der Spannungszeiger U(t)(rot gestrichelt) liegt unter dem Winkel $\varphi$ zur reellen Achse. Der blaue und der rote Punkt geben die Werte der Realteile von I(blau) und U (rot) für t0 an. Diese Werte sind die Auslenkungen der reellen Kurven I(t) und U(t) bei t0 in der linken Darstellung. In beiden Darstellungen ist noch ein weiterer Zeitpunkt t1 markiert. In der komplexen Darstellung haben sich die Zeiger weitergedreht (transparent) und nun andere Realteile (transparente Punkte). Diese sind wieder die Auslenkungen der reellen Kurven, nun bei t1.

Abb. F3
Kontrollfrage 3: Welche/r der Zeitpunkte A bis E gehört zur gezeigten Stellung von Strom- und Spannungszeiger?
D ist richtig. Der Realteil von U ist +4 Kästchen, der Realteil von I ist -3 Kästchen. Das passt nur zu Punkt D. Wer Punkt C genommen hat, hat Real- und Imaginärteil verwechselt.



Komplexe Widerstände: Impedanzen

Abb.4 Impedanz als fester Zeiger

Widerstände in Wechselstromkreisen nennt man Impedanzen und bezeichnet sie üblicherweise mit dem Buchstaben Z. Wie beim Gleichstromkreis ist die Impedanz als Widerstand definiert:

Die Impedanz ist der Quotient aus U und I: $Z=\frac{U(t)}{I(t)}=\frac{U_0 e^{i(\omega t+\varphi)}}{I_0 e^{i(\omega t)}}= \frac{U_0}{I_0} e^{i\varphi}=|Z| e^{i\varphi}$    (4)

Die Impedanz ist in der komplexen Zahlenebene ein fester Zeiger, der nicht rotiert (Abb.4). Den Realteil R nennt man Wirkwiderstand, den Imaginärteil X nennt man Blindwiderstand. Damit lässt sich Z auch in der Form $Z=R+i X$ schreiben. Aus (1) und Abb.4 können wir unmittelbar ablesen:

Die Phasenverschiebung φ zwischen U und I ist über $\tan(\varphi)=\frac{\mathrm{Im}[Z]}{\mathrm{Re}[Z]}=\frac{X}{R}$ gegeben.    (5)
Das Verhältnis von Spannungs- und Stromamplitude ist über den Betrag von Z gegeben: $|Z|=\frac{U_0}{I_0}$    (6)

Daraus können wir sehen, dass die Aufgabe bei der Analyse von Wechselstromkreisen darin besteht, seine Impedanz zu bestimmen. Sobald man diese hat, kann man Stromstärke, Spannung und Phasenverschiebung bestimmen.

Impedanzen können zwar komplex sein, doch dennoch wird mit ihnen genau so gerechnet wie mit Ohmschen Widerständen in Gleichstromkreisen. Unabhängig davon, welches Bauteil eine bestimmte Impedanz erzeugt, gilt immer:

In Reihenschaltungen von Impedanzen werden die Impedanzen addiert: $Z_{ges}=Z_1+Z_2$    (7)
In Parallelschaltungen von Impedanzen werden die Kehrwerte der Impedanzen addiert: $\frac 1{Z_{ges}}=\frac 1{Z_1}+\frac 1{Z_2}\rightarrow Z_{ges}=\frac{Z_1 Z_2} {Z_1+Z_2}$    (8)


Abb.B1
Abb.B1 zeigt eine Schaltung mit vier Bauteilen. Die Impedanzen seien ZR für R, ZC für beide Kondensatoren zusammen und ZL für L. Die Impedanzen der einzelnen Kondensatoren seien ZC1 für C1 und ZC2 für C2. Die Kondensatoren sind parallel geschaltet, daher ist ihre gemeinsame Impedanz $Z_C=\frac{Z_{C1}Z_{C2}}{Z_{C1}+Z_{C2}}$. Damit ergibt sich eine Reihenschaltung aller Impedanzen und es ist $Z_{ges}=Z_R+Z_C+Z_L$.
Warum muss man die Impedanzen der Kondensatoren nach (8) berechnen, obwohl man ihre Kapazitäten in Parallelschaltung addieren müsste? Weil die Impedanzen ja ihre Widerstände sind, deshalb muss man sie wie Widerstände berechnen. Das gilt für alle Bauteile.

Um diese Zusammenhänge anwenden zu können, benötigen wir Ausdrücke für die Impedanzen von Ohmschen Widerständen, Kondensatoren und Spulen. Diese berechnen wir mit Hilfe von (1), (2) und (3) aus dem Zusammenhang $Z=\frac{U(t)}{I(t)}$.

Abb.5 Impedanzen von R, C und L

Impedanz eines Ohmschen Widerstandes

$U(t)=R \cdot I(t)\ \rightarrow\ Z_R(\omega)= \frac{U(t)}{I(t)}= \frac{R \cdot I(t)} {I(t)}=R $

Die Impedanz eines Ohmschen Widerstandes ist $Z_R=R$ und reell.

Die Impedanz ist in Abb.4a) gezeigt. Sie liegt auf der reellen Achse. Strom und Spannung sind in Phase.

Impedanz eines Kondensators

$I = C \frac{d U(t)} {d t}=C \frac{d } {d t} U_0 ^{i(\omega t+\varphi)}=i \omega C\cdot U(t)\ \rightarrow\ Z_C(\omega)= \frac{U(t)} {i \omega C \cdot U(t)}= \frac 1 {i \omega C} =-\frac {i}{\omega C}$

Die Impedanz eines Kondensators ist $Z_C=- \frac{i}{ \omega C}$ und rein imaginär.

Die Impedanz ist in Abb.4b) gezeigt. Sie liegt auf der negativen imaginären Achse. Der Strom eilt der Spannung um π/2 (90°) voraus ("Am Kondensator eilt der Strom vor!").

Impedanz einer Spule

$U = L \frac {d I(t)}{d t}= L \frac {d }{d t}I_0 ^{i\omega t}= i \omega L \cdot I(t)\ \rightarrow\ Z_L(\omega)= \frac{i \omega L \cdot I(t)} { I(t)}= {i \omega L} $

Die Impedanz einer Spule ist $Z_L=i\omega L$ und rein imaginär.

Die Impedanz ist in Abb.4c) gezeigt. Sie liegt auf der positiven imaginären Achse. Die Spannung eilt dem Strom um π/2 (90°) voraus ("An der SpUle ist die Spannung U vorne!)".

Mit Hilfe dieser Impedanzen lassen sich nun Wechselstromkreise analysieren. Da die Impedanzen ZC und ZL von der Frequenz abhängen, sind auch die resultierenden Impedanzen in der Regel frequenzabhängig. Das bedeutet, man bekommt als Ergebnis auch frequenzabhängige Kurven für die Strom- und Spannungsamplituden und die Phasenverschiebung. Dadurch lassen sich Wechselstromkreise als Frequenzfilter wie z,.B. Hochpass, Tiefpass oder Bandpass einsetzen.

Abb. F4
Kontrollfrage 4: Zeigt Abb.F4 Strom und Spannung an einem Widerstand, einem Kondensator oder einer Spule?
An einer Spule, denn die Spannung eilt dem Strom voraus. Man darf die Darstellungen nicht wie ein Zielfoto interpretieren. Nicht wer weiter rechts, sondern wer weiter links ist, eilt voraus. Denn wer sein Maximum weiter links hat, hat dieses zu kleineren Zeiten, d.h. früher erreicht. Und wer etwas früher erreicht, eilt voraus.



Anwendungsbeispiel

Abb.B1 Reihenschwingkreis
Abb.B2 Ergebnisse für Stromamplitude und Phasenverschiebung
Der Reihenschwingkreis: Ein Reihenschwingkreis besteht aus einem Widerstand, einem Kondensator und einer Spule, die in Reihe geschaltet sind. Bestimme die Stromamplitude in Abhängigkeit von der Spannungsamplitude und die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.

Die Gesamtimpedanz ist die Summe der einzelnen Impedanzen, da alle Bauteile in Reihe geschaltet sind. Das ergibt $Z_{ges} = {R}+i\omega L - \frac {i}{\omega C}= \underbrace{R}_{\mathrm{Re}[Z]}+i\underbrace{(\omega L - \frac 1{\omega C})}_{\text{Im}[Z]}$.
Die Stromamplitude ist $I_0=\frac{U_0}{|Z_{ges}|}$. Der Betrag von Z ist $|Z|=\sqrt{R^2+(\omega L - \frac {1}{\omega C})^2}$. Somit ist die Stromamplidude $I_0=\frac{U_0}{\sqrt{R^2+(\omega L - \frac {1}{\omega C})^2}}$.
Die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom ist $\tan(\varphi)=\frac{\omega L - \frac 1{\omega C}}{R}$.

Die Ergebnisse sind in Abb.B2 gezeigt. Die Stromamplitude zeigt ein Maximum nahe bei $\omega_0$. Das Maximum liegt vor, wenn $\omega L -\frac 1{\omega C}=0$ ist. Das ergibt $\omega_0=\frac 1{\sqrt{L C}}$. Diese Frequenz ist die Resonanzfrequenz des Schwingkreises. Die Kurve deckt sich vollständig mit der Resonanzkurve einer erzwungenen mechanischen Schwingung. Im Maximum ist die Phasenverschiebung null. Strom und Spannung sind dann in Phase und die Leistungsaufnahme ist maximal. Ein solcher Schwingkreis dient zum Beispiel als Bandpass, weil in ihm nur ein kleiner Frequenzbereich merkliche Stromamplituden erreicht. Greift man die Spannung am Kondensator ab, kann man die Strom- in eine Spannungsamplitude umwandeln.

Leistung in einem Wechselstromkreis

Abb.7 Leistung an R,C,L und Z

In Gleichstromkreisen, d.h. in Stromkreisen, die nur Ohmsche Widerständen enthalten, sind U und I immer phasengleich, d.h. die Maxima und Minima fallen zusammen, auch wenn wir eine Wechselspannung anlegen. In Wechselstromkreisen, die auch andere Bauteile enthalten können, ist das nicht zwingend so. In einem Gleichstromkreis ist die Leistung $P = U I$. Dies ist auch in einem Wechselstromkreis so, nur dass nun $P=P(t)=U(t)\cdot I(t)$ und die Leistung zeitabhängig ist. Da die Leistung $P=\frac{dE}{dt}$ ist, erhalten wir die in einer Periode T aufgenommene Energie über $E=\int\limits_0^T P dt$. Wie bei jedem Integral ist das anschaulich eine Fläche. Hier ist es die Fläche, die zwischen Leistungskurve und t-Achse eingeschlossen ist.

Wirk- und Blindleistung

Wenn U(t) und I(t) in Phase sind, ist ihr Produkt stets positiv und oszilliert zwischen 0 und einem Maximalwert. Das entspricht einer steigenden und fallenden Energieaufnahme, d.h. der Stromkreis entnimmt der Spannungsquelle ständig Energie. Das ist bei einem Ohmschen Widerstand der Fall. Die in einer Periodendauer T entnommene Energie geteilt durch T ist die entnommene Leistung. Die entnommene Leistung führt zur Erwärmung des Widerstandes (Abb.7, R). Diese Leistung, die der Spannungsquelle dauerhaft entnommenen wird, nennt man Wirkleistung.

Wenn U(t) und I(t) nicht in Phase sind, sondern um ±π/2 verschoben sind, wie an Kondensator und Spule, dann oszilliert die Leistung mit der Zeit und kann positive und negative Werte annehmen. Das entspricht einer wechselnden Energieaufnahme und -abgabe (Abb.7 C und L). Beim Laden eines Kondensators wird z.B. Energie aufgenommen und in das elektrische Feld gesteckt, die dann beim Entladen wieder abgegeben wird. Beim Anstieg des Stromes in einer Spule wird Energie aufgenommen und in das Magnetfeld gesteckt, die beim Abfallen des Stromes wieder abgegeben wird. In diesen Fällen mittelt sich die Leistung über eine Periode weg und der Spannungsquelle wird keine Leistung dauerhaft entnommen. Diese Leistung, die sich wegmittelt, wird Blindleistung Q genannt.

Wenn U(t) und I(t) nicht in Phase sind, sondern eine beliebige Phasenverschiebung φ aufweisen, dann setzt sich die Leistung aus zwei Anteilen zusammen, nämlich der Wirkleistung, die dauerhaft entnommen wird und der Blindleistung, die sich wegmittelt (Abb.7, Z). Die Wirkleistung entspricht in Abb.7 für Z der Fläche der Leistungskurve, d.h. man muss die negativen Flächen von den positiven abziehen.

Effektive Leistung, effektiver Strom und effektive Spannung

Um zu einer Zahl für die Leistung zu kommen, mittelt man diese über eine Periode. Die mittlere Leistung nennt man effektive Leistung Peff. Die effektive Leistung hängt von den Amplituden I0 und U0 von Strom und Spannung und der Phasenverschiebung $\varphi$ ab. Aus Z erhalten wir den Ohmschen Widerstand durch $R= \mathrm{Re[Z]}=|Z| \cos(\varphi)=\frac{U_0}{I_0}\cos(\varphi)$. Damit ist $I_0\cdot R= {U_0}\cos(\varphi)$. Setzen wir das in den Ausdruck für P ein, ergibt sich die effektive Leistung.

Effektive Leistung: $\bar P=P_{eff}=\frac 12 I_0^2 R=\frac 12 I_0 U_0 \cos(\varphi)=I_{eff} U_{eff} \cos(\varphi)$

Hierbei wurde verwendet, dass der Mittelwert über eine Periode $T=\frac{2\pi}{\omega}$ sowohl für $\cos^2(\omega t)$ als auch für $\sin^2(\omega t)$ gleich $\frac 1 2$ ist. Der letzte Ausdruck enthält die sogenannten Effektivwerte Ieff und Ueff für Strom und Spannung. Diese führt man ein, um Leistungen in Gleich- und Wechselstromkreisen vergleichen zu können. Die Effektivwerte geben an, welchen Wert ein Gleichstrom bzw. eine Gleichspannung haben müsste, um die gleiche effektive Leistung Peff des Wechselstromkreises für $\varphi=0$ zu erzeugen. Ihre Werte sind:

Effektiver Strom: $I_{eff}=\frac 1 { \sqrt 2} I_0$ und effektive Spannung: $U_{eff}=\frac 1 { \sqrt 2} U_0$

Beide Ausdrücke erhält man aus $P_{eff} = I_{eff} U_{eff}=\frac 1 2 I_0^2 R =I_{eff}^2 R \to I_{eff} =\sqrt{\frac 1 2 I_0^2}=\frac 1 { \sqrt 2} I_0$ und analog für die effektive Spannung $P_{eff} =\frac 1 2 \frac{U_0^2} R =\frac{U_{eff}^2} R \to U_{eff} =\frac 1 { \sqrt 2} U_0$.

Kontrollfrage 5: Die Angabe der Netzspannung von 230 V in Deutschland ist die Angabe des Effektivewertes. Wie groß ist die Amplitude U0 der Netzspannung?
$U_0=\sqrt{2} U_{eff}=325 \text{ V}$.


Leistungsübertragung

Wenn man elektrische Leistung über große Strecken mit möglichst kleinen Verlusten übertragen will, ist eine möglichst große Spannung zu wählen. Die gleiche Leistung kann man mit einem großen Strom bei kleiner Spannung oder einem kleinen Strom bei großer Spannung übertragen. Die Verluste entstehen durch den Strom am Ohmschen Widerstand R. Weil man den Ohmschen Widerstand des Kabels zwar klein, jedoch nicht null machen kann, muss der Strom möglichst klein, d.h. die Spannung möglichst groß gewählt werden. Der Leistungsverlust PV im Kabel wird durch $P_V=I_{eff}^2 R$ bestimmt.

Beispiel: Hochspannungsleitungen haben einen typischen Ohmschen Widerstand pro Länge von R/L = 0,1 Ω/km, darunter kommt man technisch nicht. Nehmen wir an, die Leistung Peff = 115 kW soll über eine Strecke von 4,0 km übetragen werden, dann hat das Kabel den Widerstand R = 0,4 Ω. Würde man diese Leistung mit Netzspannung, d.h. Ueff = 230 V übetragen, dann wäre in den Leitungen eine Stromstärke von Ieff = Peff/Ueff = 500 A erforderlich. Der Leistungsverlust wäre PV = Ieff2 R = (500 A)2 × 0,4 Ω= 100 kW ≈ 90%. Wählt man statt dessen eine Hochspannung, z.B. Ueff = 23 kV, dann entsteht im Kabel nur noch eine Stromstärke von Ieff = 5,0 A und der Leistungsverlust ist nur noch PV = (5,0 A)2 × 0,4 Ω= 10 W ≈ 0,01%.

Wechselspannung lässt sich mit Hilfe von Transformatoren leicht zwischen Netzspannung und Hochspannung umwandeln. Dies geschieht in Umspannwerken. Gleichspannung lässt sich nicht so einfach in Hochspannung umwandeln.