Signifikante Stellen

Aus PhysKi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Warum sind signifikante Stellen wichtig?

Für die Form und Darstellung wissenschaftlicher Berechnungen gibt es Regeln und Konventionen[1][2][3]. Dazu gehört auch die richtige Schreibweise von Zahlenangaben und Messergebnissen. Messergebnisse physikalischer Größen beinhalten stets eine gewisse Unsicherheit, sie sind nicht beliebig genau. In wissenschaftlichen Arbeiten oder Protokollen erfolgt die Angabe eines Messergebnisses deshalb immer zusammen mit seiner Unsicherheit. Und zwar entweder durch die absolute Unsicherheit, wie z.B. $1,50(6)\ \text m$ oder $1,50\ \text m\pm 0,06\ \text m$ oder durch die Angabe der relativen Unsicherheit wie $1,50\ \text m\cdot(1\pm 4\text%)$. Die Genauigkeit des Ergebnisses, d.h. seine Qualität, kann man nur anhand seiner relativen Unsicherheit beurteilen, weil für diese die Größe des Zahlenwertes keine Rolle spielt. Denn die Messung einer großen Zahl mit 0,1% Unsicherheit ist wesentlich präziser als die einer kleinen Zahl mit 10% Unsicherheit, obwohl letztere eine kleinere absolute Unsicherheit hat. In Beispielrechnungen, Übungsaufgaben und Lehrbüchern verwendet man eine verkürzte Schreibweise und drückt die Genauigkeit der Zahl einfach durch die Anzahl der geschriebenen Ziffern aus, wie z.B. 1,50 m. Durch das Weglassen der dritten und aller weiteren Nachkommastelle macht man deutlich, dass diese unbekannt und die letzte Nachkommastelle gerundet ist. Durch Runden wird eine Zahl weniger genau und erhält eine Unsicherheit. Die Schreibweise 1,50 m beinhaltet durch die Rundung ebenso eine Unsicherheit wie die Angabe eines Messergebnisses durch $1,50\ \text m\pm 0,06\ \text m$ oder $1,50\ \text m\cdot(1\pm 4\text%)$. Der wesentliche Unterschied ist, dass die Unsicherheit nicht explizit gegeben ist. Dennoch muss sie in Berechnungen berücksichtigt werden! Die bekannten Ziffern einer Zahl nennt man ihre signifikanten Stellen. Zahlenangaben dürfen nur signifikante Stellen enthalten. Wenn man nicht auf signifikante Stellen achtet, täuscht man eine kleinere oder eine größere Genauigkeit der Zahl vor, als tatsächlich vorhanden ist. Dies widerspricht guter wissenschaftlicher Praxis!

Kontrollfrage 2: Sortiere folgende Zahlenangaben a = 243 ± 1 und b = 0,11 und c = 17,4 · (1 ± 1%) nach ihrer Genauigkeit (größte Genauigkeit zuerst)!
a > c > b! Die relative Unsicherheit von a ist 0,4%, bei b könnte die weggelassene Stelle z.B. auch eine 4 sein, woraus sich eine Unsicherheit von 4% ergibt, und bei c ist sie 1% !


Runden von Zahlen

In der Wissenschaft erfolgt das Runden einer Zahl nicht willkürlich, sondern nach festgelegten Regeln, die z.B. in der DIN 1333[4] beschrieben sind.

Rundungsarten

Für das Runden gibt es zwei Arten: kaufmännisch und mathematisch. Das kaufmännische Runden lernt man in der Schule: Die Rundungsstelle sei w. Wenn z die Ziffer der Zahl an der Stelle w ist, bestimmt die folgende Ziffer, was mit z geschieht: Folgt eine Ziffer < 5, bleibt z gleich (abrunden), folgt eine Ziffer ≥ 5, dann wird z um 1 erhöht (aufrunden). Das mathematische Runden unterscheidet sich davon nur darin, dass eine 5, sofern sie nur von Nullen gefolgt wird, stets zur nächsten geraden Zahl gerundet wird.

Beispiel: Die Zahl 15,7450 soll auf die Zehnerstelle w = 0,01 (Hundertstel) gerundet werden. Die Ziffer dort ist z = 4, es folgt eine 5. Kaufmännisches Runden ergibt 15,75. Mathematisches Runden ergibt 15,74.

Festlegen der Rundungsstelle

Für das Festlegen der Rundungsstelle w gilt folgende Relation: Die Zehnerstelle w, auf die eine Zahl gerundet werden muss, ergibt sich aus der Unsicherheit u der Zahl durch die Grenzen u/30 < wu/3. Eine Zehnerstelle ist z.B. 10 oder 0,01 oder 0,0001.

Beispiel: Eine Zahl habe die Unsicherheit u = 0,06. Dann ist u/30 = 0,002 und u/3 = 0,02. Die Rundungsstelle w muss dazwischen liegen und beträgt w = 0,01. Das bedeutet, die Zahl muss auf Hundertstel gerundet werden.

Unsicherheit durch Runden

Andersherum bedeutet das aber auch, dass eine gerundete Zahl zwangsläufig mit einer Unsicherheit u mit 3w < u < 30w behaftet ist. Wenn die Zahl auf die zweite Nachkommastelle gerundet ist, hat sie eine Unsicherheit u zwischen 0,03 und 0,3. Ohne weitere Angaben lässt sich diese zwar nicht weiter einschränken. Dennoch muss diese Unsicherheit in Berechnungen mit dieser Zahl berücksichtigt werden. Dies geschieht durch die richtige Wahl der signifikanten Stellen!

Zahlenformate und ihre signifikanten Stellen

Zahlenangaben kann man in verschiedenen Formaten machen. Die wichtigsten Zahlenformate sind:

  1. Dezimalschreibweise, z.B. $0,074$ mit Vor- und Nachkommastellen (074)
  2. Exponentialschreibweise, z.B. $7,4\times 10^{-2}$ mit Mantisse (7,4) und Exponent (-2) zur Basis 10
  3. Bruch, $\frac{74}{1000}$ mit Zähler (74) und Nenner (1000)

Zur Angabe von Zahlen mit Unsicherheit verwendet man in der Wissenschaft standardmäßig die Exponentialschreibweise und nur für "handliche" Zahlen (ca. zwischen 0,001 und 1000) auch die Dezimalschreibweise. Ganze Zahlen, die am Ende Nullen aufweisen, müssen in Exponentialschreibweise angegeben werden, damit die Unsicherheit der Zahl eindeutig ablesbar ist. In Exponentialschreibweise muss das Zeichen × als Multiplikationszeichen verwendet werden, der Punkt · ist nicht zulässig[3]. Spezielle Formen der Exponentialschreibweise sind die wissenschaftliche Schreibweise ("scientific notation"), bei welcher der Exponent so gewählt wird, dass die Mantisse nur eine von Null verschiedenen Vorkommastelle hat, und die technische Notation, bei der der Exponent durch 3 teilbar sein muss. Beide kann man verwenden.

Brüche werden nur für exakte Zahlenangaben verwendet (z.B. bei Winkeln in Radiant $\frac \pi 2$) und beinhalten keine Unsicherheit.

Zählung der Anzahl signifikanter Stellen

In Exponentialschreibweise wird die Anzahl der signifikanten Stellen ausschließlich durch die Mantisse angezeigt. Für Mantissen und "pure" Dezimalzahlen ist das Verfahren gleich: Man liest die Zahl von vorn nach hinten und sucht die erste Ziffer, die nicht Null ist. Diese und alle darauf folgenden Ziffern einschließlich eventueller Nullen sind signifikante Stellen. Ihre Anzahl ist die Anzahl signifikanter Stellen. Das bedeutet, bei der Zählung signifikanter Stellen nimmt die Null eine Sonderstellung ein: Wenn am Anfang der Zahl eine oder mehrere Nullen stehen ("führende Nullen"), werden diese ignoriert. Führende Nullen zählen nicht mit zu den signifikanten Stellen! Am Ende stehende Nullen zählen dagegen mit, denn sie legen die Rundungsstelle fest und bestimmen die Genauigkeit der Zahl. Die Stellung eines eventuell vorhandenen Kommas ist bedeutungslos. Ebenso die Größe eines Exponenten in Exponentialschreibweise.

Die Anzahl der signifi­kan­ten Stellen einer Dezimalzahl oder Mantisse ist die Anzahl der angege­be­nen Ziffern abzüglich der führenden Nullen!
Die Anzahl der signifi­kan­ten Stellen einer Zahl in Exponentialschreibweise ist die Anzahl der signifikanten Stellen der Mantisse!
Beispiel: Die Dezimalzahl 0,00740 enthält nach den drei führenden Nullen die Ziffern 7 und 4 und 0. Das sind drei Ziffern und die Zahl hat deshalb drei signifikante Stellen. In Exponentialschreibweise könnte man sie als $74,0 \times 10^{-4}$ oder $7,40 \times 10^{-3}$ oder $0,740 \times 10^{-2}$ schreiben. In allen Fällen hat sie ebenfalls drei signifikante Stellen. Die Position des Kommas ist für die Zählung ohne Belang! 74 hat ebenso wie 7,4 zwei signifikante Stellen! Ebenso hat 0,74 und 0,074 und 0,0074 etc. zwei signifikante Stellen, denn die führenden Nullen zählen nicht! Dagegen haben die Zahlenangaben 7,40 und 0,740 und 0,0740 und 0,00740 jeweils drei signifikante Stellen, denn die Nullen am Ende nach der 4 zählen mit!

Warum ist das so? Weil führende Nullen nur die Größe bzw. die Größenordnung der Zahl festlegen, ebenso wie der Exponent in Exponentialschreibweise. Signifikante Stellen sind jedoch ein Maß für die Genauigkeit, d.h. den relativen Fehler einer Zahl! Betrachten wir dazu als Beispiel die Zahl 1,00 mit drei signifikanten Stellen! Sie habe die Unsicherheit $\pm 0,05$, d.h. ihr relativer Fehler sei $\pm 5 \text %$. Um diese Unsicherheit bzw. den relativen Fehler anzugeben, ist es unnötig und unwesentlich zu wissen, welche physikalische Größe in welcher Einheit mit der Zahl angegeben wird. Es könnte eine Länge in Kilometer sein: L1 = 1,00 km. Ebenso aber auch eine Länge in Meter: L2 = 1,00 m. L2 ist zwar kleiner als L1, jedoch nicht genauer bekannt. Der relative Fehler ist in beiden Fällen gleich. Wir können auch L1 in Meter ausdrücken L1 = 1,00 × 103 m. Auch dies ändert nichts an dem relativen Fehler, sondern nur an der Größenordnung der Zahl.

Kontrollfrage 4: Sortiere die vier Zahlen a = 503 und b = 0,0076 und c = 100,0 ×103 und d = 7 nach der Anzahl ihrer signifikanten Stellen (kleinste Anzahl zuerst)!
d < b < a < c! d hat eine, b hat zwei, a hat drei und c hat vier signifikante Stellen!


Unterschied zwischen Nachkommastellen und signifikanten Stellen

Die Genauigkeit einer Zahlenangabe darf nicht vom gewählten Zahlenformat abhängen. Die Anzahl der Nachkommastellen hängt dagegen unmittelbar vom Zahlenformat ab, in dem der Zahlenwert angegeben wird, d.h. ob sie in Dezimal- oder Exponentialschreibweise darstellt wird und welcher Exponent gewählt wird. Nachkommastellen und signifikante Stellen sind deshalb zwangsläufig nicht dasselbe! Tatsächlich bestimmt die Anzahl der signifikanten Stellen einer Zahl, wie viele Nachkommastellen man im gewählten Zahlenformat hinschreiben darf!

Beispiel: Das Rechenergebnis 70,449 soll mit drei signifikanten Stellen ausgedrückt werden. Die Dezimalschreibweise wäre 70,4 und enthält eine Nachkommastelle. Die Exponentialschreibweise in "Scientific Notation" wäre $7,04 \times 10^{1}$ enthält zwei Nachkommastellen. Die Exponentialschreibweise in technischer Notation" wäre $0,0704 \times 10^{3}$ enthält vier Nachkommastellen.

Bestimmung signifikanter Stellen von Berechnungsergebnissen

Auch Rechenergebnisse sollten nur Ziffern enthalten, die signifikant sind, d.h. deren Wert sich eindeutig aus den gegebenen Zahlenwerten ergibt. Dazu muss man die Anzahl der signifikanten Stellen des Ergebnisses bestimmen und das Ergebnis passend runden. Diese Arbeit muss man selbst durchführen, denn Computer und Taschenrechner interpretieren jede Zahleneingabe als exakt. Sie interpretieren eine Eingabe von 7,4 als 7,400000... . Deshalb geben sie für ein Ergebnis viel zu viele Stellen an und wir müssen die Anzahl signifikanter Stellen selbst bestimmen. Dazu gibt es folgende einfache Regeln, die sich letzlich auf Fehlerfortpflanzung zurückführen lassen:

Produkte und Quotienten

Ein Produkt oder Quotient hat so viele signifikante Stellen, wie der Faktor mit der geringsten Anzahl signifikanter Stellen!
Beispiel: Berechne $s=\frac 1 2 a t^2$ mit $a = 1,5\ \text {m/s}^2$ und $t = 1,2345\ \text s$! Rechenergebnis: $s = 0,913654\ \text m$. Der Bruch 1/2 ist exakt, a hat zwei signifikante Stellen, t hat vier signifikante Stellen. Das Ergebnis muss zwei signifikante Stellen haben und lautet korrekt: $s = 0,91\ \text m$.

Summen und Differenzen

Eine Summe oder Differenz zweier Zahlen ist an der kleinsten Zehnerstelle zu runden, die in allen Summanden noch gegeben ist!
Beispiel: Berechne die Summe L folgender Längen: $L_1= 1,16\ \text m$, $L_2= 0,0244\ \text m$, $L_3= 12,1\ \text m$. Rechenergebnis: $L = 13,2844\ \text m$. L1 geht bis 0,01, L2 geht bis 0,0001, L3 geht bis 0,1. Nur 0,1 ist in allen Summanden gegeben, daher ist das Ergebnis bei 0,1 m zu runden und lautet korrekt: $L = 13,3\ \text m$.

Zwischenergebnisse

Gegebene Zahlen und Zwischenergebnisse fließen stets ungerundet und mit maximaler Stellenzahl (Maschinengenauigkeit) in jede Berechnung ein! Nur für die Angabe von Ergebnissen wird auf die signifikanten Stellen gerundet!
Beispiel: Berechne die konstante Beschleunigung a in m/s2 und daraus auch die Geschwindigkeit v in km/h für ein Auto, das aus dem Stand nach t = 7,5 s die Strecke s = 86,2 m zurückgelegt hat! Aus $s=\frac 1 2 a t^2$ folgt $a = \sqrt{\frac{2 s} {t^2}}$. Damit erhält man $v = a t$. Die Umrechnung in km/h erfolgt durch $v = v_{m/s} \times 3,6\frac {\text{km/h}}{\text{m/s}}$. Einsetzen der Zahlen mit voller Genauigkeit (Maschinengenauigkeit) ergibt $a = 1,750682 \ \text{m/s}^2$ und damit $v_{m/s} =13,130118\ \text{m/s}$ und $v =47,268425\ \text{km/h}$. Die Ergebnisse müssen auf zwei signifikante Stellen gerundet werden, weil t nur zwei signifikante Stellen hat. Sie lauten $a = 1,8 \ \text{m/s}^2$ und $v =47\ \text{km/h}$.

Wenn man fehlerhaft mit dem gerundeten Wert von a rechnet, ergibt sich statt dessen $v_{m/s} =1,8 \ \text{m/s}^2\cdot 7,5\ \text s=13,5\ \text{m/s}$ und $v =48,6\ \text{km/h}$. Das falsche Runden bewirkt das falsche Ergebnis $v =49\ \text{km/h}$.

Kontrollfrage 5: Wie lautet das Ergebnis folgender Berechnung: 4 (1,14 × 10-2) + 12,2 = ?
Das Ergebnis ist lautet 12,2! Denn nur das Endergebnis 12,2456 darf gerundet werden! Aus der Summenregel folgt, dass auf die Zehnerstelle 0,1 gerundet werden muss. Wenn man den Faktor 4 (1,14 × 10-2) = 0,0456 vor der Addition auf eine signifikante Stelle rundet, erzeugt man einen vermeidbaren Rundungsfehler!


Allgemeine Berechnungen

Um die signifikanten Stellen bei anderen mathematischen Operationen zu bestimmen, müsste man genau genommen die Unsicherheiten aller Zahlen kennen und die Gauß'sche Fehlerfortpflanzung anwenden, aus der sich auch die genannten Regeln für Multiplikation und Addition ergeben. Für Beispielrechnungen und Übungsaufgaben ist es ausreichend, Ergebnisse mit der Anzahl von signifikanten Stellen anzugeben, die die ungenaueste gegebene Zahl hat, die in die Berechnung eingeht.

Beispiel: Eine Kraft hat den Betrag F = 17,3 N und liegt unter dem Winkel θ = 24° zur x-Achse in der xy-Ebene. Berechne die Komponenten der Kraft und gebe den Vektor $\vec F$ an! Die Komponenten sind $F_x = F \cos(\theta)$ und $F_y = F \sin(\theta)$. Der Vektor ist $\vec F=\left (\matrix{ F_x \cr F_y}\right)$. Einsetzen der Zahlen ergibt Fx = 15,804336 N und Fy = 7,036544 N. Der Winkel hat nur zwei signifikante Stellen. Daher ist das Ergebnis $\vec F=\left (\matrix{ 16 & \text N \cr 7,0 & \text N }\right)$.

Falsche Wahl signifikanter Stellen

Einer der häufigsten Anfängerfehler ist die Angabe eines Ergebnisses mit viel zu vielen signifikanten Stellen. Und wenn "notgedrungen" Ergebnisse mit der richtigen Anzahl signifikanter Stellen angegeben werden "müssen", wird häufig das Gleichheitszeichen durch ein ≈ ersetzt. Daran kann man sehr gut erkennen, welche Bauchschmerzen es Anfängern bereitet, eine Taschenrechneranzeige abzukürzen. Der Profi erkennt daran sofort den Laien. Wer Physik unterrichten möchte, muss den Umgang mit signifikanten Stellen beherrschen. Ansonsten erweckt er in etwa den gleichen Eindruck seiner Kompetenz, wie ein angehender Deutschlehrer, der den richtigen Umgang mit wie und als oder das Gleiche und dasselbe nicht beherrscht!



  1. DIN EN ISO 80000-1 Größen und Einheiten - Teil 1: Allgemeines (2017)
  2. GUM: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, JCGM 100:2008, (GUM 1995 with minor corrections), Bureau International des Poids es Mesures (2008)
  3. 3,0 3,1 The International System of Units(SI), Broschüre des Bureau Internationaldes Poids et Mesures (9. Edition) (2019)
  4. DIN 1333 Zahlenangaben (1992)