Rechtssystem

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Rechtssystem

Abb. 2 Rotierte Rechtssysteme
Abb. 1 Rechtssystem und Daumenregel

In einem Rechtssystem haben die Achsen des kartesischen Koordinatensystems eine festgelegte dreidimensionale Anordnung bzw. Reihenfolge. Diese Anordnung ist entscheidend, damit Vorzeichen von mathematischen Operationen und die Richtung von Vektoren eindeutig festgelegt sind. In einem Rechtssystem zeigen die Koordinatenachsen x, y und z in dieser Reihenfolge in die gleichen Richtungen wie Daumen, Zeigefinger und der angewinkelte Mittelfinger der rechten Hand in dieser Reihenfolge. Die Reihenfolge der Koordinatenachsen entspricht einer Rechtsschraube. Das bedeutet, wenn man sich von +x nach +y bewegt, schraubt man sich gegen den Uhrzeigersinn nach +z, wenn man auf der Spitze der z-Achse sitzend gegen die z-Richtung blickt. In einem Rechtssystem entspricht die Rechtsschraube dem positiven Drehsinn. Den Drehsinn gibt die Daumenregel an: Die z-Achse wird mit der rechten Hand so umriffen, dass der Daumen in die Richtung der positiven z-Achse weist. Dann zeigen die gekrümmten Finger der rechten Hand den positiven Drehsinn an. In einem Rechtssystem wird die x-Achse durch eine positive Drehung um 90° in die y-Achse überführt (Abb.1, ganz rechts).

Ein Rechtssystem bleibt ein Rechtssystem, auch wenn man das Koordinatensystem rotiert oder x, y und z zyklisch vertauscht[1]. In Abb.2 oben wurde das Koordinatensystem um die z-Achse im Uhrzeigersinn rotiert. Die Reihenfolge $x\to y\to z$ aus Abb.1 (Daumen = x, Zeigerfinger = y, Mittelfinger = z) wurde nach $z\to x \to y$ zyklisch getauscht und ist ebenfalls eine Rechtssystem mit Daumen = z, Zeigefinger = x und Mittelfinger = y. In Abb.2 unten wurde das Koordinatensystem auch um die x-Achse rotiert. Nun zeigt die z-Achse nach unten. Wieder schraubt man sich, wenn man gegen die z-Richtung blickt, auf dem Weg von der positiven x-Achse zur positiven y-Achse gegen den Uhrzeigersinn in die positive z-Richtung.

In der Physik verwendet man generell Rechtssysteme. Nur in der Geodäsie (Kartierung der Erdoberfläche) werden Linkssysteme verwendet.

Abb. F1
Kontrollfrage 1: Welche der in Abb.F1 gezeigten Koordinatensysteme sind Rechtssysteme? Begründe!
Nur d)! Am einfachsten ist die Überprüfung mit Hilfe der Daumenregel. Man umgreift gedanklich die z-Achse mit der Faust und überprüft, ob die x-Achse durch eine 90°-Verdrehung in positive Drehrichtung in die y-Achse überführt wird. Das ist nur bei d) der Fall. In allen anderen Fällen sind x- und y-Achse vertauscht.


Linkssystem

In einem Linkssystem bilden die Achsen eine Linksschraube. Das bedeutet, wenn man sich von +x nach +y bewegt, schraubt man sich im den Uhrzeigersinn nach +z, wenn man auf der Spitze der z-Achse sitzend gegen die z-Richtung blickt. Ein Linkssystem kann nicht durch Rotation in eine Rechtssystem überführt werden. Linkssysteme kommen in der Physik quasi nicht vor. Nur in der Geodäsie (Kartierung der Erdoberfläche) werden sie verwendet. Die Systeme a) bis c) in Abb.F1 sind Linkssysteme.


  1. Zyklisch vertauschen bedeutet: "Nach rechts schieben und was dabei rechts wegfällt, wird links wieder angefügt". Beispiel: Zyklische Vertauschung von 1,2,3 → 3,1,2 → 2,3,1