Potenzielle Energie

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Modellvorstellung und Ursache der potenziellen Energie

Beim Spannen einer Feder arbeitet die äußere Kraft der Hand gegen die innere Federkraft und erhöht dadurch die potenzielle Energie der Feder.

Die potenzielle Energie ist eine sehr anschauliche Größe, denn es ist die Energie, die man in etwas hineinsteckt, indem man es im weiteren Sinne "spannt". Spannen kann man alles, was innere Kräfte auf seine Bestandteile ausübt, also z. B. Gummibänder, Federn, sich anziehende Massen, sich anziehende oder abstoßende elektrische Ladungen oder Magnete usw. Beim Zusammendrücken oder Auseinanderziehen einer entspannten Feder erhält sie potenzielle Energie. Sobald man ein Ende loslässt, entspannt sich die Feder und ihre potenzielle Energie wird in kinetische Energie der Federmasse umgewandelt.
Vollkommen analog funktioniert das bei anderen Systemen, die man "spannen" kann:

  • Wenn man einen Stein von der Erde hochhebt, "spannt" man das System aus Stein und Erde gegen die anziehende Gewichtskraft. Sobald man den Stein loslässt, entspannt sich das System und seine potenzielle Energie wird in kinetische Energie des Steins umgewandelt.
  • Beim Spannen eines Bogens erhält er potenzielle Energie. Sobald man die Sehne loslässt, entspannt sich der Bogen und seine potenzielle Energie wird in kinetische Energie der Sehne umgewandelt, die auf den Pfeil übertragen wird.
  • Wenn man zwei entgegengesetzt elektrisch geladenen Platten auseinanderzieht, "spannt" man das System aus beiden Platten. Sobald man eine Platte loslässt, entspannt sich das System und seine potenzielle Energie wird in kinetische Energie der losgelassenen Platte umgewandelt.
  • Wenn man die Kompassnadel eines Kompasses gegen die Nord-Süd-Richtung verdreht, spannt man das System bestehend aus Kompassnadel und Magnetfeld der Erde. Sobald man die Kompassnadel loslässt, entspannt sich das System und seine potenzielle Energie wird in Rotationsenergie der Kompassnadel umgewandelt.

Bei einer freiwilligen Bewegung in einem gespannten System verringert sich automatisch seine potenzielle Energie. Nehmen wir an, ein System S bestehe aus den Komponenten S1 und S2. Um potenzielle Energie in das System hineinzustecken, muss man ein Teil des Systems (z. B. S1) gegen den Rest (S2) so verschieben, dass das System dabei gespannt wird. Das geht natürlich nur durch eine äußere Kraft \(\vec F^{S1,außen}\), z. B. die Muskelkraft, indem man mit der Hand an einem Ende der Feder oder an der Sehne des Bogens zieht.

Das Verschieben von etwas durch eine beliebige Kraft nennt man in der Physik "Arbeit" (Zeichen \(W\)), landläufig als "Kraft mal Weg" bekannt. Wenn man irgendwo potenzielle Energie hineinstecken will, muss man also mit einer äußere Kraft \(\vec F^{S1,außen}\) gegen die inneren Kräfte \(\vec F^{S1,S2}\) des zu spannenden Systems "arbeiten". Wenn man dann das System "loslässt", führen die inneren Kräfte zu einer Beschleunigung von Teilen des Systems (hier S1) und die potenzielle Energie wird - solange man Energieverluste durch Reibung vernachlässigen kann - vollständig in kinetische Energie umgesetzt.

  • Ohne anziehende oder abstoßende innere Kräfte kann ein System keine potenzielle Energie haben.
    • Wenn innere Kräfte anziehend sind, bedeutet ein größerer Abstand eine größere potenzielle Energie.
    • Wenn innere Kräfte abstoßend sind bedeutet ein kleinerer Abstand eine größere potenzielle Energie.

Der Zusammenhang zwischen einer inneren konservativen Kraft und ihrer potenziellen Energie

Die Newtonsche Mechanik basiert auf dem Begriff der "Kraft": Körper ändern ihre Bewegung aufgrund der Kräfte, die auf sie wirken. Alternativ kann man jedoch einen Ansatz basierend auf dem Begriff "Energie" verfolgen: Körper ändern ihre Bewegung, um ihre potenzielle Energie zu verringern. Die potenzielle Energie \(E_{pot}\) (oder \(V\) in der Theorie) ist eine Energie, die vom Ort (der Lage) des Körpers abhängt ("Lageenergie"). Sie existiert nur, wenn der Körper K Teil eines Systems S ist, dessen Bestandteile innere Kräfte aufeinander ausüben.

Innere Kräfte, denen eine potenzielle Energie zugeordnet werden kann, nennt man konservative Kräfte. Das "konservativ" bedeutet "erhalten". Durch diese Kräfte wird keine Energie dissipiert und die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie bleibt im System erhalten.
Abb.1 Zusammenhang zwischen einer konservativen Kraft und ihrer potenziellen Energie

Kraft und potenzielle Energie lassen sich über folgenden Zusammenhang ineinander überführen:

Wenn sich ein Körper in eine Richtung \(s\) um die Strecke \(\Delta s\) bewegt und dabei die potenzielle Energie \(V_S\) des Sytems von \(V_S\) auf \(V_S-\Delta V_S\) abnimmt, wirkt in diese Richtung die Kraft \(F_s^{K,S}=-\frac{\Delta V_S}{\Delta s}\) auf den Körper.
Die Kraft ist also einfach die negative Steigung ihrer potenziellen Energie: Die Kraft ist umso größer, je steiler ihre potenzielle Energie fällt. Das negative Vorzeichen zeigt, dass Körper immer in die Richtung beschleunigt werden, in die die potenzielle Energie abnimmt.

In der Newtonschen Mechanik ist die grundlegende Gleichung das Newtonsche Bewegungsgesetz \(\vec F^{K,außen}=\dfrac{d\vec p_{K}}{dt}\), in das die äußere Kraft \(\vec F^{K,außen}\) auf einen Körper als Input-Größe eingesetzt wird, und die Bahnkurve \(\vec r_{K}(t)\) des Körpers als Output herauskommt. Auch in der klassischen Mechanik kann mit dem Energieansatz statt mit der Kraft gearbeitet werden. Oft ist das sogar geschickter (Hamiltonsche Mechanik). Der Ansatz über die potenzielle Energie ist weniger universell als der der Kraft, denn nur für konservative Kräfte existiert eine potenzielle Energie. Nichtkonservative Reibungskräfte haben keine potenzielle Energie.

Mathematische Formulierung

Eindimensional: Es sei $s=x,y$ oder $z$. Die s-Komponente \(F^{K}_{kons,s}\) einer konservativen Kraft \({\vec F}^{K}_{kons}\) auf einen Körper K ist die negative Ableitung ihrer potenziellen Energie in Richtung \(s\):\(F_{kons,s}^{K}=-\frac{dV}{ds}\)

Dreidimensional: Eine konservative Kraft ist der negative Gradient ihrer potenziellen Energie: \(\vec F_{kons}^{K}=-\nabla V\)


Die Umkehrung dieses differentiellen Zusammenhangs liefert die Definition der potenziellen Energie \(V\) einer konservativen Kraft \(\vec F_{kons}^{K}\):

Definition potenzielle Energie: \(V(f)-V(i)=-\int\limits_i^f\vec F_{kons}^K \cdot d \vec s\).

Die potenzielle Energie ist nur als Differenz definiert, der Nullpunkt ist beliebig wählbar. Das Integral entspricht der Arbeit, die man mit einer äußeren Kraft \(\vec F^{K,außen}= - \vec F_{kons}^{K}\) gegen die innere Kraft \(\vec F_{kons}^K\) aufbringen muss, um ein Objekt im System von Punkt \(i\) nach Punkt \(f\) zu verschieben.

Auf der linken Seite des Integrals steht nur die Differenz der potenziellen Energien an den beiden Punkten i und f. Deshalb muss das Integral auf der rechten Seite für jeden x-beliebigen Weg von i nach f das gleiche Ergebnis liefern. Das bedeutet:

Für konservative Kräfte ist das Wegintegral von einem Punkt i zu einem Punkt f unabhängig davon, welcher Weg von i nach f gewählt wird.

Alltagsvorstellung und physikalisches Konzept

Man muss sich nur klarmachen, dass es potenzielle Energie immer nur in Systemen gibt, die abstoßende oder anziehende innere Kräfte auf ihre inneren Komponenten ausüben. Im physikalischen Sprachgebrauch wird das jedoch nicht deutlich: Sobald nur eines der Objekte im Feld eines anderen ruhenden Objektes verschoben wird, spricht man von "der potenziellen Energie des verschobenen Objektes".

  • Wenn man einen Stein anhebt, spricht man von "der potenziellen Energie des Steins" und verschleiert damit, dass die potenzielle Energie im System aus Stein und Erde steckt. Einen Stein allein kann man nicht spannen.
  • Genauso spricht man von "der potenziellen Energie einer Ladung" im elektrischen Feld eines geladenen Objektes und verschleiert damit, dass die potenzielle Energie in dem System steckt, das aus der Ladung und dem geladenen Objekt besteht, die das Feld erzeugt. Eine Ladung allein kann man nicht "spannen".

Schwierigkeit aufgrund des physikalischen Sprachgebrauchs

Aufgrund des physikalischen Sprachgebrauchs ist die Alltagvorstellung zur potenziellen Energie oft vage. Zum anderen wird sie nicht als ein universelles physikalisches Konzept erkannt. In der Alltagsvorstellung existiert häufig nur die potenziellen Energie der Gewichtskraft $mgh$, die jedes Objekt aus unerklärlichen Gründen automatisch erhält, wenn man es anhebt. Die Physik sieht das anders: Es gibt viele verschiedene Arten von potenzieller Energie. Jede Kraft, zu der eine potenzielle Energie gehört, nennt man konservative Kraft. Beispiele sind die Gewichtskraft, die Federkraft, die Gravitationskraft, die Coulombkraft. Gegenbeispiele sind alle Reibungskräfte.

Beispiele

Potenzielle Energie der Gewichtskraft

Die Gewichtskraft $F_g= -mg$ hat die potenzielle Energie $E_{pot}=mgh$ (Nullpunkt bei $h=0$).

Potenzielle Energie der Gravitationskraft

Die Gravitationskraft $\vec F_G= -\gamma \frac {m_1 m_2} {r^2} \frac {\vec r}{r}$ hat die potenzielle Energie $E_{pot}= -\gamma \frac {m_1 m_2} {r}$(Nullpunkt bei $r=\infty$).

Potenzielle Energie der Federkraft

Die Federkraft $F_F= -kx$ mit der Federkonstanten $k$ hat die potenzielle Energie $E_{pot}=\frac 1 2 k x^2$ (Nullpunkt bei $x=0$).

Potenzielle Energie der Coulomb-Kraft

Die Coulomb-Kraft $\vec F_C= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac {q_1 q_2} {r^2} \frac {\vec r}{r}$ hat die potenzielle Energie $E_{pot}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac {q_1 q_2}{r}$ (Nullpunkt bei $r=\infty$).

Konservative Kräfte können auch Drehmomente erzeugen,mit denen eine potenzielle Energie verbunden ist:

Potenzielle Energie eines elektrischen Dipols im elektrischen Feld

Das Drehmoment $\vec N = \vec p\times\vec E$ erzeugt die potenzielle Energie $E_{pot}=- \vec p \cdot\vec E=-pE \cos\varphi$ (Nullpunkt bei $\varphi=90°$).

Potenzielle Energie eines magnetischen Dipols im Magnetfeld

Das Drehmoment $\vec N = \vec \mu\times\vec B$ erzeugt die potenzielle Energie $E_{pot}=- \vec \mu \cdot\vec B=-\mu B \cos\varphi$ (Nullpunkt bei $\varphi=90°$)

Nutzen und Anwendung

Egal, wie schnell und auf welchem Weg man den Stein anhebt: Seine potenzielle Energie am Schluss ist gleich!

Der Nutzen der potenziellen Energie beruht darauf, dass sie nur von der Position - spricht dem Ort - der Objekte abhängt. Es ist dabei völlig egal, wie die Objekte an die Position gekommen sind, d. h. wie man das System "gespannt" hat. Entscheidend für die vorhande potenzielle Energie ist nur der am Ende des Verschiebevorgangs vorliegende Zustand, also z. B. die endgültige Höhe eines Steins. Weg und Geschwindigkeit des Anhebens spielen keine Rolle. Genauso ist es, wenn sich das System "entspannt" bzw. ein Objekt losgelassen wird.

Der geniale Trick: Wenn man wissen möchte, welche kinetische Energie ein Objekt am Ort \(f\) hat, wenn es am Ort \(i\) gestartet ist, benötigt man nur die Differenz der potenziellen Energien der Orte \(i\) und \(f\): \(\Delta V=V(i)-V(f)\). Es ist sogar völlig unnötig, die Kräfte an den Orten \(i\) und \(f\) oder unterwegs zu betrachten. Ja, sogar der Weg von \(i\) nach \(f\) und die benötigte Zeit spielt keine Rolle. Denn der Energieerhaltungssatz für abgeschlossene Systeme liefert \(E_{kin}(i)+ V(i) = E_{kin}(f)+ V(f)\) und damit \(E_{kin}(f) = E_{kin}(i)+\Delta V\). Aus der Energie gewinnt man dann z. B. die Geschwindigkeit oder andere gesuchte Größen. Die potenzielle Energie ist also die geeignete physikalische Größe, wenn man nach Energien und Geschwindigkeiten als Funktion des Ortes sucht. Wenn man wissen will, wie lange etwas dauert, muss man die Trajektorie hinzunehmen.

Beispiel: Kollision zweier Kugeln, die auf gleicher Höhe gestartet sind. Egal, wie kompliziert und unterschiedlich der Weg beider Kugeln sein mag: Wenn sich die Kugeln treffen, sind sie zwangsläufig auf gleicher Höhe und haben somit die gleiche potenzielle Energie. Und weil beide aus der gleichen Höhe gestartet sind, hat sich bei beiden die gleiche Menge potenzieller Energie in kinetische Energie gewandelt. Deshalb sind sie immer gleich schnell, wenn sie sich treffen. Wann sie sich treffen, bekommen wir über die potenzielle Energie jedoch nicht raus!
Zwei auf gleicher Höhe gestarte Kugeln sind bei ihrer Kollision gleich schnell.

Unterschied zwischen potenzieller Energie und Potenzial

Im Fall der Gravitationskraft und der Coulomb-Kraft (elektrische Kraft) ist es üblich, die potenzielle Energie auf die Masse bzw. die Ladung zu normieren: Man spricht dann vom "Potenzial" (Energie pro Masse, Einheit J/kg bzw. Energie pro Ladung, Einheit J/C = Volt) statt von der potenziellen Energie. In der klassischen Physik bzw. in der Experimentalphysik muss man sauber zwischen Potenzial und potenzieller Energie unterscheiden, allein schon, weil die Größen andere Einheiten haben.

Potenzielle Energie in der Quantenphysik

In der Quantenmechanik ist die grundlegende Gleichung die Schrödinger-Gleichung \(\hat H\psi=E\psi\). Der Hamilton-Operator \(\hat H\) ist die Summe der Operatoren der kinetischen Energie \(\hat T\) und der potenziellen Energie \(\hat V\). In die Schrödinger-Gleichung wird die potenzielle Energie \(V\) als Input-Größe eingesetzt, und die Wellenfunktion \(\psi\) und die Gesamtenergie \(E\) kommen als Output heraus. Der Begriff "Kraft" kommt quasi nicht mehr vor, statt dessen wird die potenzielle Energie verwendet. Leider ist auch hierbei der physikalische Sprachgebrauch irreführend: In der Quantenphysik spricht man einheitlich vom Potenzial und meint damit die potenzielle Energie.