Magnetisches Dipolmoment

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Physikalischer Kontext

Abb.1 Dipolmoment $\vec \mu$ und Magnetfeld eines Kreistroms

Wenn man zwei entgegengesetzt gleiche elektrische Ladungen auseinanderzieht, dann entsteht ein elektrischer Dipol, den man über sein elektrisches Dipolmoment beschreiben kann. Das magnetische Analogon dazu ist der magnetische Dipol, den man über sein magnetisches Dipolmoment beschreiben kann. Das magnetische Dipolmoment wird häufig einfach nur magnetisches Moment genannt (auch im PhysKi), d.h. man unterschlägt den Vorsatz "Dipol" einfach. Der Beriff "Dipolmoment" entstammt der sogenannten Multipolentwicklung. Dabei drückt man eine Ladungsverteilung als Summe verschiedenener Momente (Monopolmoment, Dipolmoment, Quadrupolmoment, Oktupolmoment...) aus. Bei einer elektrischen Ladung gibt es vor dem Dipolmoment noch das Monopolmoment als Basisbaustein. Für eine Magnetfeld existiert kein Monopolmoment, der Basisbaustein ist das Dipolmoment. Deshalb kann man das "Dipol" auch weglassen. Ein magnetischer Dipol bzw. ein magnetisches Dipolmoment ensteht, sobald ein elektrischer Strom auf einer geschlossenen Bahn fließt, im einfachsten Fall ist das eine Kreisbahn, d.h. ein Kreisstrom. Wie auch das elektrische Dipolmoment ist das magnetische Dipolmoment ein Vektor. Zu einem elektrischen und einem magnetischen Dipolmoment gehört ein Feld, nämlich das Feld eines Dipols. Die Dipolfelder sehen in beiden Fällen gleich aus und können durch die gleiche Formel beschrieben werden. Für das elektrische Feld muss man nur das elektrische Dipolmoment und für das magnetische Feld das magnetische Dipolmoment in die Formel für das Feld einsetzen. Nur elektrische Felder erzeugen Kräfte und Drehmomente auf elektrische Dipole. Nur Magnetfelder erzeugen Kräfte und Drehmomente auf magnetische Dipole. Das bedeutet, ein elektrisches Feld übt keine Kräfte auf einen magnetischen Dipol aus und ein magnetisches Feld übt keine Kräfte auf einen elektrischen Dipol aus. Auch Drehmomente und potenzielle Energie sind für beide Dipolmomente in ihren jeweiligen Feldern gleich.

Definition des magnetischen Dipolmomentes

Abb.2 Strom I und Flächeninhalt A bestimmen µ

Magnetische Dipolmomente entstehen durch geschlossene Ströme. Wenn eine Strom mit der Stromstärke I auf einer geschlossenen Bahn fließt, die eine Fläche A umrandet, dann ist damit ein magnetisches Dipolmoment verbunden.

Das magnetische Dipolmoment $\vec \mu$ eines Stroms der Stärke I, der im Rand einer Fläche $\vec A$ fließt, ist: $\vec \mu=I\vec A$. Die Richtung des Flächenvektors $\vec A$ und $\vec \mu$ ist über den Umlaufsinn von I festgelegt. Krümmt man die Finger in die Umlaufrichtung von I, dann zeigt der Daumen die Richtung von $\vec \mu$. Die Einheit des magnetischen Dipolmomentes ist $[\mu]=\rm {A}\cdot{m^2}$. Sie hat keinen eigenen Namen. In der Atomphysik gibt man magnetische Momente in der Regel als Vielfache des Bohrschen Magnetons $\mu_B$ an.    (1)

Ein magnetisches Dipolmoment ist umso größer, je größer die Stromstärke und je größer die vom Strom umrandete Fläche ist. Wenn n gleiche Stromschleifen aufeinenderliegen, wie z.B. bei einer Spule, dann ist das magnetische Dipolmoment einfach $\vec\mu=n\cdot I\vec A$, denn wir haben den n-fachen Strom bei gleichem Flächeninhalt A.

Abb.F1
Verständnisfrage 1: Sortiere die Stromschleifen in Abb.F1 nach dem Betrag ihres magnetischen Dipolmomentes (größter zuerst)!
A=D>C>B, denn bei D die Fläche nur halb so groß wie bei A, dafür aber der Strom doppelt so groß, und bei C ist bei gleichem Strom die Fläche kleiner als bei A, jedoch größer als bei B.


Verständnisfrage 2: Gebe für die Stromschleifen in Abb.F1 die Richtung von $\vec\mu$ an!
In allen vier Fällen steht $\vec\mu$ senkrecht auf der Zeichenebene (Daumenregel).


Ursache von magnetischen Dipolmomenten

Die Ursachen von magnetischen Dipolemomenten sind im klassischen Bild umlaufende Ströme. Auf makroskopischer Ebene sind das stromdurchflossene Leiterschleifen und Spulen, die beliebig geformt sein können. Einfache Fälle sind kreisförmige oder rechteckige Leiterschleifen.

Auf mikroskopischer Ebene erzeugen auch elementare Teilchen, die einen Drehimpuls haben, magnetische Dipolmomente. Einen Drehimpuls stellen wir uns klassisch entweder als eine Bewegung auf einer Kreisbahn (Bahndrehimpuls) oder als eine Rotation des Teilchens um seinen Schwerpunkt (Spin) vor. Auch wenn diese klassische Vorstellung in der Quantenphysik nicht mehr ganz zutreffend ist, so ist dennoch mit dem Drehimpuls der Teilchen ein magnetisches Dipolmoment verbunden. Zum Beispiel haben Elektronen, Protonen und Neutronen von Natur aus einen unveränderlichen Spin und damit ein unveränderlches magnetisches Dipolmoment. Bei Neutronen, die keine Nettoladung tragen, ist das überrasched. Es liegt daran, dass sich in ihrem Inneren entgegengesetzt gleiche Ladungen befinden. Deren elektrisches Feld kompensiert sich nach außen, deren magnetisches Dipolmoment jedoch nicht. Zusätzlich zu ihrem Spin können die Teilchen auch noch einen veränderlichen Bahndrehimpuls haben, der zu einem weiteren magnetischen Dipolmoment führt. Diese mikroskopischen magnetischen Dipolmomente bewirken das magnetische Verhalten von Materie. Beim Einschalten von Magnetfeldern kann der Bahndrehimpuls durch Induktion beeinflusst werden. Dadurch werden auch magnetische Dipolmomente induziert. Makroskopisch lässt sich das gut in einem Fadenstrahlrohr sehen. Der anfangs auf gerader Bahn fliegende Elektronenstrahl wird beim Einschalten eines Magnetfeldes auf eine Kreisbahn gezwungen, womit ein magnetisches Dipolmoment verbunden ist.

Magnetische Dipolmomente in äußeren Magnetfeldern

Homogenes äußeres Feld

Abb.3 Kräfte und Drehmoment auf eine Stromschleife

Wenn sich eine Stromschleife in einem homogenen Magnetfeld befindet, dann wirken Lorentz-Kräfte auf jeden Abschnitt der Leiterschleife. Je nachdem, wie die Schleife relativ zum Feld orientiert ist, entstehen unterschiedliche Kräfte. Wir können die Orientierung der Schleife durch den Winkel θ ausdrücken, unter dem das magnetische Dipolmoment $\vec \mu$ relativ zu $\vec B$ liegt. Wenn $\vec \mu$ und $\vec B$ parallel sind, d.h. θ = 0, sind alle Lorentz-Kräfte weg vom Zentrum weg gerichtet. Wenn $\vec \mu$ und $\vec B$ entgegengesetzt gerichtet sind, d.h. θ = π, sind alle Lorentz-Kräfte zum Zentrum der Schleife hin gerichtet. In diesen Fällen entsteht weder eine Nettokraft noch ein Nettodrehmoment. Die Schleife wird ihre Lage nicht ändern. In allen anderen Fällen entsteht ein Drehmoment, dass die Schleife ausrichtet.

Drehmoment

Abb.3 zeigt den Fall, dass das magnetische Dipolmoment einer rechteckigen Stromschleife unter dem Winkel θ zu $\vec B$ liegt. Die Kräfte auf die kurzen Seiten der Länge a zeigen nach oben und nach unten. Die Kräfte auf die langen Seiten mit der Länge b stehen senkrecht zum Feld und zur Stromdichte. Ihre Richtungen sind besser aus der Vogelperspektive zu erkennen. Die Lorentz-Kräfte erzeugen ein Kräftepaar und ein Drehmoment $\vec M=\vec \mu \times \vec B$. Das sieht man so: Die Lorentz-Kraft auf jede Seite hat den Betrag $F=I b B$. Ein Kräftpaar erzeugt ein Drehmoment entsprechend "Kraft mal Abstand der Angriffspunkte" $\vec M=\vec a\times\vec F$. Der Abstand der Angriffspunkte ist a, d.h. die Länge der kurzen Seite, der Winkel zwischen der Seite a und $\vec F$ ist θ. Somit hat das Drehmoment den Betrag $M=a F \sin(\theta)$. Einsetzen von F und µ liefert $M=a b I B \sin(\theta)=\mu B\sin(\theta)$. Das ist der Betrag von $\vec M=\vec \mu\times\vec B$. Die Komponenten von $\vec F$, die das Drehmoment erzeugen, sind diejenigen, die senkrecht zur Seite a stehen: $F_{\perp}=I b B \sin(\theta)$. Sie sind in Abb.3 in der Vogelperspektive transparent angedeutet.

Das Drehmoment $\vec M$, das auf ein magnetisches Dipolmoment $\vec\mu$ in einem homogenen Magnetfeld $\vec B$ wirkt, ist $\vec M=\vec \mu\times \vec B$    (2)

Der Zusammenhang gilt allgemein, auch wenn die Stromschleife nicht rechteckig ist. Das Drehmoment ist so gerichtet, dass es $\vec \mu$ parallel zu $\vec B$ ausrichtet, d.h. θ = 0 einstellt. Es ist null, wenn $\vec \mu$ parallel zu $\vec B$ liegt. Hier liegt ein stabiles Gleichgewicht vor. Es ist ebenfalls null, wenn $\vec \mu$ entgegengesetzt zu $\vec B$ gerichtet ist, d.h. θ = π. In diesem Fall lässt jedoch jede kleine Winkeländerung das Drehmoment anwachsen, so dass ebenfalls $\vec \mu$ parallel zu $\vec B$ ausrichtet wird. Bei θ = π liegt somit ein labiles Gleichgewicht vor. Eine analoge Beziehung gilt für einen elektrischen Dipol in einem elektrischen Feld.

Abb.F3
Verständnisfrage 3: Die Abb.F3 zeigt drei Orientierungen eines magnetischen Dipolmomentes in einem homogenen Feld $\vec B$. Sortiere die Anordnungen nach dem Betrag des Drehmomentes (größter zuerst)!
B>A>C, entsprechend dem Sinus zwischen $\vec\mu$ und $\vec B$.



Potenzielle Energie

Weil auf eine magnetisches Dipolmoment in einem homogenen Magnetfeld ein Drehmoment ausgeübt wird, welches das magnetische Dipolmoment parallel zum Feld ausrichten will, bilden $\vec \mu$ und $\vec B$ gemeinsam ein System mit inneren Kräften, das man spannen kann. Das bedeutet, damit ist eine potenzielle Energie verbunden. Die potenzielle Energie ist minimal, wenn $\vec \mu$ parallel zu $\vec B$ liegt und maximal, wenn $\vec \mu$ entgegengesetzt zu $\vec B$ gerichtet ist. Die potenzielle Energie $E_{pot,f}-E_{pot,f}=-\int\limits_i^f \vec F_{i}\cdot d\vec s$, die mit einer inneren Kraft $\vec F_i$ verbunden ist, berechnen wir am einfachsten über die Arbeit W durch eine äußere Kraft $\vec F_a=-\vec F_i$, denn diese Arbeit ist die Energie, die beim Spannen in das System als potenzielle Energie hineingesteckt wird. Das ergibt $W=E_{pot,f}-E_{pot,i}=-\int\limits_i^f \vec F_{i}\cdot d\vec s =\int\limits_i^f \vec F_{a}\cdot d\vec s$. Nun liegt jedoch eine Drehbewegung vor. Um die Arbeit bei einer Drehbewegung zu berechnen, müssen wir entsprechend den Ersetzungregeln, um von der Translationsbewegung zur Drehbewegung zu kommen, die äußere Kraft durch ein äußeres Drehmoment und den Weg durch den Drehwinkel ersetzen. Hier bedeutet das, aus $\vec F_a$ wird $\vec M_a$ und aus $d\vec s$ wird $d\vec\theta$. Der Vektor $d\vec\theta$ lieget parallel zur Drehachse und zeigt in die gleiche Richtung wie $\vec M_a$, welches entgegengesetzt zu $\vec M$ in (2) gerichtet ist, jedoch den gleichen Betrag $M_a=\mu B\sin(\theta)$ hat. Als Startpunkt wählen wir $i=0$ und $f=\theta_f$. Das ergibt $E_{pot,\theta_f}-E_{pot,0}=\int\limits_0^{\theta_f} \vec M_{a} d\vec\theta=\int\limits_0^{\theta_f} \mu\ B\sin(\theta) d\theta$. Das Integral ergibt $E_{pot,\theta_f}-E_{pot,0}=\mu\ B[-\cos(\theta)]_0^{\theta_f}=-\mu B\cos(\theta_f)-(-\mu B\cos(0))$. Der Vergleich der linken und rechten Seite der Gleichung zeigt unmittelbar $E_{pot,\theta}=-\mu B\cos(\theta)=-\vec \mu\cdot\vec B$.

Die potenzielle Energie eines magnetischen Dipols in einem homogenen Magnetfeld $\vec B$ ist $E_{pot}=-\vec \mu\cdot \vec B$    (3)

Das Ungewohnte an diesem Zusammenhang ist, dass der kleinste Wert der potenziellen Energie nicht null, sondern −µB ist. Die potenzielle Energie ist null, wenn das Dipolmoment senkrecht zum Magntefeld steht. Dies ist jedoch eine instabile Orientierung und nicht das Minimum der potenziellen Energie. Eine analoge Beziehung gilt für einen elektrischen Dipol in einem elektrischen Feld.

Abb.F4
Verständnisfrage 4: Die Abb.F4 zeigt vier Orientierungen eines magnetischen Dipolmomentes in einem homogenen Feld $\vec B$. Sortiere die Anordnungen nach ihrer potenziellen Energie (größte zuerst)!
A>C>B>D, entsprechend dem Kosiunus des Winkels zwischen $\vec\mu$ und $\vec B$.



Inhomogenes äußeres Feld

In einem homogenen Magnetfeld kann ein magnetischer Dipol nur ausgrichtet werden. In einem inhomogenen Feld wirken auch Kräfte, die den ganzen Dipol bzw. die Stromschleife beschleunigen können. Das kann man sich auf zwei Arten überlegen: einmal über die Lorentz-Kräfte und zum anderen mathematisch.

Qualitative Erklärung der Kraftwirkunng durch die Lorentz-Kräfte

Abb.4 Kraftwirkung im inhomogenen Magnetfeld

In einem inhomogenen Feld ist die Feldstärke nicht mehr überall gleich. Wenn sie in eine Richtung zunimmt, dann rücken in diese Richtung die Feldlinien enger zusammen, denn der Abstand der Feldlinien ist ja ein Maß für die Feldstärke. Das bedeutet zwangsläufig, dass in einem inhomogenen Magnetfeld die Feldlinien nicht mehr parallel sein können. Dadurch liegen die Lorentz-Kräfte auf die Strome einer Stromschleife nicht mehr in der Ebene der Stromschleife, sondern sind gegen diese geneigt. Die radialen Komponenten von gegenüberliegenden Stücken der Stromschleife heben sich jeweils auf, doch die Komponenten senkrecht zur Stromschliefe addieren sich. Dadurch wird die Stromschleife beschleunigt. Die Richtungen der jeweiligen Kräfte lassen sich mit der Rechte-Hand-Regel finden (Abb.4). Als gemeinsame Regel findet man:

Wenn $\vec \mu$ in die gleiche Richtung wie $\vec B$ zeigt, wird der magnetische Dipol zur größeren Feldstärke beschleunigt, d.h. in das Feld hineingezogen.
Wenn $\vec \mu$ in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec B$ zeigt, wird der magnetische Dipol zur kleineren Feldstärke beschleunigt, d.h. aus dem Feld herausgedrängt.

Dieses Verhalten und diese Kräfte sind diejenigen, die wir zwischen zwei Magneten wahrnehmen, die sich anziehen oder abstoßen. Die anziehenden und abstoßenden Kräfte werden durch die Inhomogenität der Felder und die magnetischen Dipolmomente verursacht. Wie können wir die Kraft quantitativ berechnen?

Quantitative Kraftwirkung auf einen magnetischen Dipol im inhomogenen Feld

Um die Kraft quantitativ berechnen zu können, gehen wir von der potenziellen Energie aus. Wie wir wissen, ist der allgemeine Zusammenhang zwischen einer Kraft und ihrer potenziellen Energie $\vec F=-\nabla E_{pot}$. Nun gehen wir davon aus, dass $\vec \mu$ konstant ist. Dann ist $\vec F=-\nabla (-\vec\mu\cdot\vec B)= \nabla(\vec\mu \cdot\vec B)$. Wenn wir das ausmultiplizieren erhalten wir $\vec F^{\mu,B}=\nabla(\mu_x B_x+\mu_y B_y+\mu_z B_z)=\mu_x\frac{\partial B}{\partial x}\hat x+\mu_y\frac{\partial B}{\partial y}\hat y+\mu_z\frac{\partial B}{\partial z}\hat z$.

Die Kraft $\vec F^{\mu,B}$ auf ein magnetisches Dipolmoment $\vec\mu$ in einem inhomogenen Magntefeld $\vec B$ berechnete sich durch $\vec F^{\mu,B}=\mu_x\frac{\partial B}{\partial x}\hat x+\mu_y\frac{\partial B}{\partial y}\hat y+\mu_z\frac{\partial B}{\partial z}\hat z$.    (4a)


Wenn die z-Richtung in die mittlere Richtung von $\vec B$ gelegt wird (Konvention), vereinfacht sich das zu $\vec F^{\mu,B}=\mu_z\frac{\partial B}{\partial z}\hat z$ und $\vec F$ hat nur eine z-Komponente.     (4b)

Wir sehen, dass für die Kraft nur die Komponente von $\vec \mu$ in die mittlere Richtung von $\vec B$ relevant ist. Es ist Konvention, die Richtung von $\vec B$ als z-Richtung zu bezeichnen. Wenn $\vec \mu_z$ in die gleiche Richtung wie $\vec B$, d.h. in die z-Richtung zeigt, ist µz positiv, ansonsten ist µz negativ. Der Feldgradient $\frac{\partial B}{\partial z}$ ist positiv, wenn B in z-Richtung zunimmt, ansonsten negativ.

Beispiel: Kraft im inhomogenen Feld:
  • In Abb.4 oben zeigt die z-Richtung nach links, weil das die mittlere Richtung von $\vec B$ ist. Das B-Feld nimmt nach links (in z-Richtung) ab, der Feldgradient ist daher negativ.
    • Oben links: Auch µ zeigt nach links (+z), ist also positiv. Die Kraft ergibt sich aus einem positiven und einem negativen Faktor und ist daher negativ und zeigt nach −z, d.h. nach rechts.
    • Oben rechts: µ zeigt jetzt nach rechts (−z), ist also negativ. Weil beide Faktoren negativ sind, ist die Kraft nun positv und zeigt nach +z, d.h. nach links.
  • In Abb.4 unten zeigt die z-Richtung nach rechts, weil das die mittlere Richtung von $\vec B$ ist. Das B-Feld nimmt nach rechts (in z-Richtung) zu, der Feldgradient ist daher positiv.
    • Unten links: µ zeigt auch nach rechts (+z), ist also positiv. Weil beide Faktoren positiv sind, ist auch die Kraft positv und zeigt nach +z, d.h. nach rechts.
    • Unten rechts: µ zeigt nach links (−z), ist also negativ. Die Kraft ergibt sich aus einem positiven und einem negativen Faktor und ist daher negativ und zeigt nach −z, d.h. nach links.

Wir haben damit den Zusammenhang gefunden, mit dem man theoretisch die Kraft zwischen zwei Magneten bestimmn kann. Gleichungen (4a) und (4b) sind die magnetischen Äquivalente zur allgemeinen Coulomb-Kraft $\vec F_C=q\vec E$ im elektrischen Feld. Der eine Magnet wird dann als magnetischer Dipol $\vec \mu$ betrachtet (analog zur Probeladung q), der andere Magnet erzeugt das Feld $\vec B$ (analog zu $\vec E$). In der Praxis scheitert die Verwendung von (4a) und (4b) meist daran, dass von beiden Magneten weder das magnetische Dipolmoment $\vec \mu$ noch der Feldgradient $\frac{\partial B}{\partial z}$ genau bekannt ist. Die Kraft zwischen zwei z.B. Stabmagneten lässt sich zwar einfach messen, jedoch schwierig theoretisch berechnen. Sehr nützlich ist (4b) jedoch, wenn wir mikroskopische magnetische Dipole in bekannten Feldern mit bekannten Feldgradienten betrachten, wie z.B. beim Stern-Gerlach-Experiment.

Abb.F5
Verständnisfrage 5: Die Abb.F5 zeigt drei Kreisströme. In A und B bewegt sich ein Elektron im Uhrzeigersinn, in C bewegt sich ein Proton gegen den Uhrzeigersinn. Gebe für die drei Bilder die Richtung von $\vec \mu$ an
Eine negative Ladung gegen den Uhrzeigersinn erzeugt den gleichen Strom wie eine positive Ladung im Uhrzeigersinn. Daher ist $\vec\mu$ bei A, B und C nach der Daumenregel nach oben gerichtet.


Verständnisfrage 6: Bestimme die Richtung der resultierenden Kraft auf die Kreisströme in Abb.F5!
Bei A und C sind die Richtungen von $\vec \mu$ und $\vec B$ entgegengesetzt. Das bedeutet, beide Kreisströme werden aus dem Feld heraugedrückt und die Kräfte wirken nach oben. Bei B sind die Richtungen von $\vec \mu$ und $\vec B$ gleich und der Kreisstrom wird in das Feld gezogen. Die Kraft ist nach unten gerichtet.


Das Magnetfeld eines magnetischen Dipols

Das Magnetfeld eines magnetischen Dipols mit dem Radius R lässt sich für Abstände rR analog wie das Feld eines elektrischen Dipols beschreiben. Die allgemeine Berechnung ist schwierig und führt auf elliptische Integrale, die sich nur numerisch berechenen lassen [1]. Einfache Lösungen gibt es jedoch für Punkte auf der z-Achse und in der xy-Ebene, wenn man $\vec\mu$ in die z-Richtung legt, sowie für den Mittelpunkt der Schleife (s.u.).

Magnetfeld eines magnetischen Dipols mit dem Dipolmoment $\vec\mu$ ist für große Abstände $\vec B(\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi} \left(3\dfrac{(\vec \mu\cdot \vec r)\vec r}{ r^5}-\dfrac{\vec \mu}{ r^3}\right)$    (5a)


Das Magnetfeld in Kugelkoordinaten, wenn $\vec\mu$ auf der z-Achse liegt: $\vec B(\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{\mu}{r^3}\left(2\cos(\theta)\hat r-\sin(\theta)\hat \theta)\right)$    (5b)

Die letzte Gleichung in Kugelkoordinaten ist besonders übersichtlich. Darin ist θ der Polarwinkel zur z-Achse, $\hat r$ der Einheitsvektor von $\vec r$ und $\hat\theta$ der Einheitsvektor zum Polarwinkel θ (senkrecht zu $\hat r$ in der rz-Ebene). Die Gleichungen lassen sich leicht mit $\vec\mu\cdot\vec r=\mu \cdot r\cos(\theta)$ und $\vec\mu=\mu(\cos(\theta)\hat r+\sin(\theta)\hat \theta)$ ineinander überführen.

In den Formeln sollte man die magnetische Feldkonstante $\mu_0$ keinesfalls mit dem magnetischen Dipolmoment $\vec \mu$ oder dessen Betrag $\mu$ verwechseln! Das Feld ist in Abb.1 dargestellt. Die Feldstärke nimmt mit 1/r3 ab. Aus (5b) lassen sich einfach die Feldstärken auf der z-Achse, d.h. für θ = 0 und in der xy-Ebene, d.h. für θ = π/2, bestimmen und vergleichen. Man erhält $\vec B(r_z)=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\mu}{r^3}\hat r$ und $\vec B(r_{xy})=-\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mu}{r^3}\hat r$. Die Feldstärke ist bei gleichem Abstand in z-Richtung doppelt so groß wie in der xy-Ebene. Dadurch ist auch die potenzielle Energie kleiner, wenn sich ein magnetischer Dipol in z-Richtung an einen anderen Dipol hängt, als wenn er sich neben den anderen Dipol hängen würde. Aus diesem Grund bilden magnetische und elektrische Dipole Ketten aus und keine Flächen. Sie hängen sich hintereinander und nicht nebeneinander.

Das Feld im Mittelpunkt einer Stromschleife $\vec B_M={\mu_0}\dfrac{I}{2 R}\ \hat z$ sowie auf der z-Achse $\vec B(z)=\frac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{\vec \mu}{(z^2+R^2)^{3/2}}$ erhalten wir einfach über das Biot-Savart-Gesetz (siehe dessen Anwendungsbeispiele).



  1. Wolfgang Demtröder, Experimentalphysik 2, 5. Aufl., Springer Verlag, Heidelberg (2009)