Magnetfeld

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Physikalischer Kontext

Abb.1 Lorentz-Kraft auf eine im Magnetfeld bewegte Ladung

Jeder weiss, dass die Erde ein Magnetfeld trägt. Es wurde schon früh entdeckt und diente mit Hilfe des Kompasses zur Navigation. Wir können Magnetfelder nicht wahrnehmen, viele Tiere jedoch sehr wohl, sie haben einen "Magnetsinn". Wodurch können wir Menschen feststellen, dass ein Magnetfeld vorhanden ist und wodurch entsteht es?

Wenn sich ein geladenes Teilchen durch einem Raumbereich bewegt und dabei auf das Teilchen eine Lorentz-Kraft wirkt, dann sagt man, in diesem Raumbereich ist ein Magnetfeld $\vec B$ vorhanden. Das Magnetfeld ist also wie das elektrische Feld phänomenologisch über die Kraftwirkung definiert. Während die Ursache von elektrischen Feldern Ladungen sind, sind die Ursachen von Magnetfeldern elektrische Ströme, d.h. bewegte Ladungen. Elektrische und magnetische Felder haben im Grunde die gleiche Ursache, nämlich elektrische Ladungen. Wenn Ladungen bewegt werden, erzeugen sie neben dem elektrischen Feld auch ein Magnetfeld. Erst die Relativitätstheorie lüftet den Zusammenhang beider Felder. Reine Magnetfelder erzeugt man durch stromdurchflossene Leiter, z.B. in Form von Spulen. Denn stromdurchflossene Leiter sind elektrisch neutral und erzeugen deshalb kein elektrisches Feld, sondern nur ein Magnetfeld.

In jeder Materie befinden sich bewegte Ladungen, im einfachsten Bild (Bohrsches Atommodell) als kleine Kreisströme durch die um den Atomkern kreisenden Elektronen. Auch rotierende Ladungen sind bewegt und erzeugen Magnetfelder. Deshalb erzeugen auch Teilchen mit einem Spin, die Ladungen enhalten, Magnetfelder. Den Spin kann man sich im einfachsten Bild als Rotation des Teilchens um seinen Schwerpunkt vorstellen. Alle Bestandteile des Atoms (Elektronen, Protonen und Neutronen) haben einen Spin und erzeugen Magnetfelder. Deshalb enthält jede Materie Magnetfelder und reagiert auf Magnetfelder. Bis auf wenige Ausnahmen (Ferromagnetismus, Supermagneten) ist der makroskopische Magnetismus der Materie jedoch sehr schwach, so dass er sich im Alltag kaum bemerkbar macht. Auf mikroskopischer, d.h. atomarer Ebene sieht das aber ganz anders aus. Dort ist auch ein Stück Holz magnetisch. Der Magnetismus der Atombestandteile ist bestimmend für die magnetischen Eigenschaften des Atoms und so wesentliche Eigenschaften des Atoms wie seinen Drehimpuls.

Definition des Magnetfeldes

Wenn sich ein geladenes Teilchen mit der Ladungsmenge q mit der Geschwindigkeit $\vec v$ durch einem Raumbereich bewegt und dabei auf das Teilchen eine Kraft senkrecht zu $\vec v$ wirkt, wirkt, dann sagt man, in diesem Raumbereich ist ein Magnetfeld $\vec B$ vorhanden. Die Kraft nennt man Lorentz-Kraft.

Das Magnetfeld $\vec B$ ist über die Lorentz-Kraft definiert: $\vec F=q\vec v \times \vec B$ mit $|\vec B|=\frac{|\vec F|}{|q\vec v_{\perp}|}$, worin $\vec v_{\perp}$ die Komponente von $\vec v$ senkrecht zu $\vec B$ ist. Die Einheit des Magnetfeldes ist das Tesla: $[B]=\rm T=\frac{V\cdot s}{m^2}$.

Die Einheit ergibt sich über $[B]=\frac{[E]}{[v]}=\rm \frac { N}{C}\cdot \frac{s}{m}=\frac { V}{m}\cdot \frac{s}{m}=\frac{V\cdot s}{m^2}$, denn die Einheit des elektrischen Feldes ist $[E]=\rm\frac{[N]}{[C]}=\frac{[V]}{[m]}$. Das Magnetfeld ist also wie das elektrische Feld zuerst einmal rein phänomenologisch über die Kraftwirkung durch die Lorentz-Kraft definiert. Dennoch möchten wir natürlich wissen, wodurch Magnetfelder hervorgerufen werden.

Ursache von Magnetfeldern

Die Ursachen von elektrischen Feldern sind Ladungen. Die Ursachen von Magnetfeldern sind Ströme, d.h. bewegte Ladungen. Das ist die Aussage des Ampereschen Gesetzes. Damit kann man sich zufriedengeben, dann ist man auf der phänomenologischen, d.h. beschreibenden Ebene. Man kann (und sollte!) aber auch vertieft fragen: Warum erzeugt eine Ladung ein weiteres Feld, sobald sie sich bewegt? Und Bewegung ist ja relativ. Eine Ladung, die sich für uns bewegt, kann in einem anderen Bezugssystem ja ruhen. Was wird dann aus ihrem Magnetfeld? Der Umstand, dass Magnetfelder etwas mit Bewegung, genauer, mit Relativbewegung, zu tun haben, sowie, dass die zugehörige Kraft Lorentz-Kraft heisst, sollte uns hellhörig werden lassen. Relativebewegungen und auch der Vorsatz "Lorentz" sind uns in der speziellen Relativitätstheorie bereits begegnet. Tatsächlich liefert sie die Antwort darauf, wie Magnetfelder und elektrische Felder zusammenhängen.

Relativistischer Zusammenhang von Magnetfeldern und elektrischen Feldern

Abb.1 Lorentz-Kraft in S und Kraft in S'

Wir betrachten zuerst eine Ladung q, die sich im Laborsystem S gleichförmig mit der Geschwindigkeit $\vec v$ bewegt und auf die eine Lorentz-Kraft $\vec F_L=\vec F$ wirkt. Per Definition ist dann im Laborsystem ein Magnetfeld $\vec B$ vorhanden. Diese Kraft muss nach dem 1.Postulat in jedem Bezugssystem vorhanden und gleich stark und gleich gerichtet sein. Wäre das nicht so, dann hätten wir eine Möglichkeit gefunden, ein ruhendes von einem gleichförmig bewegtem Bezugssystem zu unterscheiden. Als zweites Bezugssystem S' wählen wir nun das Ruhesystem der Ladung q. Weil sie darin ruht, d.h. $\vec v=0$ ist, kann hier keine Lorentz-Kraft wirken. Dennoch müssen wir in S' ebenfalls eine Kraft $\vec F'$ auf q messen, und diese mus gleich $\vec F$ sein, d.h. $\vec F=\vec F'$. Die einzige Kraft, die in S' auf q wirken kann, ist eine Coulomb-Kraft!

Eine Lorentz-Kraft in S kann im Ruhesystem der Ladung q nur noch eine Coulomb-Kraft sein.

Setzen wir die Kräfte gleich und formulieren das mathematisch, dann erhalten wir $\underbrace{\vec F_L=q\vec v\times\vec B}_{\rm {in\ S}}=\underbrace{q\vec E=\vec F'}_{\rm {in\ S'}}$. Das ist ein ganz wichtiger Zusammenhang, denn er erzählt uns, wie ein $\vec B$-Feld mit einem $\vec E$-Feld zusammenhängt. Denn die Ladungsmenge q ist relativistisch invariant, d.h. q ist in beiden Bezugssystemen gleich. Wir dürfen also durch q dividieren und erhalten: $\underbrace{\vec v\times\vec B}_{\rm {in\ S}}=\underbrace{\vec E}_{\rm {in\ S'}}$. Diese Gleichung können wir so interpretieren: Eine Lorentz-Kraft in S wird zu einer Coulomb-Kraft in S', weil aus einem Magnetfeld $\vec B$ in S ein elektrisches Feld $\vec E$ in S' wird. Dieser Zusammenhang muss immer gelten, auch wenn wir uns die Probeladung q nun wegdenken. Denn er ist unabhängig von q. Und deshalb muss er auch gelten, wenn wir statt der Probeladung q nun Ladungen qI in einem Leiter betrachten, die einen Strom I und ein Magnetfeld $\vec B$ in S erzeugen.

Abb.2 $\vec B$-Feld in S und $\vec E$-Feld in S'

Nun begeben wir uns also in das Ruhesystem der stromerzeugenden Ladungen qI. Auch in deren Ruhesystem System S' von qI kann nun kein Magnetfeld mehr existieren, weil keine Stromstärke I mehr vorhanden ist. Es muss aber als Ersatz ein anderes Feld da sein, um die Kraftwirkungen auf elektrische Ladungen zu erzeugen. Wieder kann dieses Feld nur ein $\vec E$-Felds sein. Wie halten fest:

Ein $\vec B$-Feld in S kann im Ruhesystem S' der stromerzeugenden Ladungen qI nur noch ein $\vec E$-Feld sein. Es ergibt sich aus $\vec B$ über $\vec v\times\vec B =\vec E$.    (1)

Damit haben wir einen ersten Zusammenhang der Felder gefunden. Nämlich, lax gesagt: Im Grunde sind elektrisches und magnetisches Feld "irgendwie das gleiche" und beide werden durch Ladungen verursacht. Sie sind zwei Erscheinungsformen des gleichen Feldes, das man in der höheren Physik durch den elektromagnetischen Feldtensor beschreibt. Wenn die Ladungen ruhen, dann nennen wir es ein elektrisches Feld $\vec E$, wenn die Ladungen bewegt sind, dann entsteht ein magnetisches Feld $\vec B$. Nun verschwindet natürlich ein elektrisches Feld nicht einfach, sobald Ladungen bewegt werden. Beim Übergang von einem ruhenden in ein bewegtes Bezugssystem werden elektrische und magnetische Felder auf bestimmte Art "gemischt" und im Normalfall sind beide Feldanteile vorhanden. Bevor wir uns das anschauen können, benötigen wir jedoch erst einmal die umgekehrte Transformation.

Abb.3 Welches $\vec B$-Feld entsteht, wenn ein $\vec E$-Feld mit v bewegt wird?

Welches Magnetfeld $\vec B$ entsteht, wenn wir anfangen, Ladungen zu bewegen, die ein $\vec E$-Feld erzeugen? Diese "Rücktransformation" können wir uns intuitiv erschließen. Bei der Lorentz-Transformation wurde nur das Vorzeichen von v umgedreht, wenn wir Größen statt von S nach S' umgekehrt von S' nach S transformierten. Probieren wir das! Das führt auf den naiven Ansatz $-\vec v\times\vec E=\vec B$. Hier bekommen wir jedoch ein Problem mit den Einheiten, denn $\vec E$ und $\vec B$ und die Einheiten von $\vec B$ und $\vec E$ sind nicht gleich. Statt dessen ist die $[B]=\frac{[E]}{[v]}$. Unser erster Ansatz für die Transformation lässt sich nur retten, wenn wir mit einem reziproken Geschwindigkeitsquadrat wie 1/v2 multiplizieren. Tatsächlich müssen wir mit $\frac 1 {c^2}$, d.h. dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit multiplizieren. Das lässt sich auf viele Arten zeigen, z.B. indem man das Magnetfeld eines stromführenden Leiters mit dem elektrischen Feld eines geladenen Drahtes vergleicht, wie in [1]. Die richtige Transformation lautet damit

Ein $\vec E$-Feld in S erzeugt im mit v bewegten System S' ein $\vec B$-Feld. Es ergibt sich aus $\vec E$ über $-\frac{\vec v}{c^2}\times\vec E =\vec B$.    (2)

Damit haben wir die grundlegenden Zusammenhänge der Felder gefunden. Die Gleichungen (1) und (2) beschreiben jedes Feld für sich betrachtet. Tatsächlich können immer beide Felder vorhanden sein. Wenn sich z.B. eine Elektronendichte als Elektronenstrahl bewegt, dann erzeugt dieser ein elektrisches Feld und ein Magnetfeld. Wenn sich die gleiche Elektronendichte in einem stromführenden Leiter bewegt, der ja elektrisch neutral ist, dann wird nur ein Magnetfeld erzeugt. Die Gleichungen (1) und (2) gelten für vc, was in einem stromführenden Leiter immer der Fall ist. Die Ladungen bewegen sich darin etwa mit der Geschwindigkeit eines Uhrzeigers. Betrachten wir beide Felder gemeinsam, erhalten wir:

Transformation der Felder für vc: $\vec E'=\vec E+\vec v \times\vec B$     (3a) und

$\vec B'=\vec B-\frac{\vec v}{c^2} \times\vec E$     (3b), sowie $\vec E=\vec E'-\vec v \times\vec B'$     (3c) und $\vec B=\vec B'+\frac{\vec v}{c^2} \times\vec E'$     (3d)

Wenn sich die Ladungen mit relativistischen Geschwindigkeiten bewegen, was z.B. bei einem Elektronenstrahl vorkommen könnte, dann sehen die Transformationen etwas anders aus. Denn dann müssen wir zum einen zwischen den Feldkomponenten parallel und senkrecht zu $\vec v$ unterscheiden und zum andern enthalten sie noch den Lorentz-Faktor γ, der für vc gleich 1 ist (siehe [1] und Lorentz-Transformation der Felder).

Darstellung von Magnetfeldern

Abb.4 Daumenregel

Auch Magnetfelder können wie elektrische Felder durch Feldvektoren oder Feldlinien dargestellt werden. Im Gegensatz zu den Feldlinien der elektrischen Felder ruhender Ladungen sind Magnetfeldlinien jedoch immer geschlossen. Magnetfeldlinien umschließen die sie erzeugenden Ströme. Den Umlaufsinn der Magnetfeldlinien findet man mit der Daumenregel. Dazu muss man sich vorstellen, man umfasst den stromführenden Leiter mit der rechten Hand, und zwar so, dass der Daumen in die technische Stromrichtung zeigt. Dann gibt die Krümmung der Finger den Umlaufsinn der Magnetfeldlinien an (Abb.4).

Abb.5 Qualitative Darstellung einiger B-Felder

Einige wichtige Magnetfelder

Abb.5 zeigt einige wichtige Magnetfelder, nämlich das

  • eines stromdurchflossenen Leiters: $\vec B(\vec r) =\frac{\mu_0I}{2\pi r}\vec e_{\varphi}$. Darin ist r der senkrechte Abstand vom Leiter und $\vec e_{\varphi}$ der tangentiale Einheitsvektor,
  • das einer stromdurchflossenen kreisförmigen Leiterschleife mit Radius R: $\vec B(z) =\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\hat z$ für Punkte auf der z-Achse, wenn die Schleife den Radius R hat und in der xy-Ebene liegt, sowie $\vec B(\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi} \left(3\dfrac{(\vec \mu\cdot \vec r)\vec r}{ r^5}-\dfrac{\vec \mu}{ r^3}\right)$ für rR,
  • das einer langen stromdurchflossenen Spule im Inneren: $B=\mu_0 \frac N L I$, wenn die Spule N Windungen und die Länge L hat. Streng gilt das nur für eine unendlich lange Spule, ist aber immer eine gute Näherung, wenn der Radius der Windungen viel kleiner als die Länge der Spule ist..

I ist stets die elektrische Stromstärke. Zur Berechnung dieser Felder gibt es verschiedene Methoden, sie kann z.B. mit (2) oder mit dem Ampereschen Gesetz oder mit dem Biot-Savart-Gesetz erfolgen. Einer stromdurchflossenen Leiterschleife oder Spule kann man ein magnetisches Dipolmoment μ zuordnen. Magnetische Dipolmomente sind wichtig zur Berechnung von Kraftwirkungen und Drehmomenten im Magnetfeld.

Kontrollfrage 1: Welchen Betrag hat das Magnetfeld im Mittelpunkt eines Kreisstromes?
Wir müssen im Feld der kreisförmigen Leiterschleife z=0 setzen, das ergibt $ B(0) =\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2)^{3/2} }=\frac{\mu_0 I }{2R}$.
Kontrollfrage 2: In Abb.5 sind Feldlinien gezeichnet, die nicht geschlossen sind. Wie muss man das deuten?
Das hat nur darstellerische Gründe. Auch diese Feldlinien sind geschlossen und setzen sich über den Bereich der Zeichnung hinaus fort.
Kontrollfrage 3: Sowohl beim Kreisstrom als auch in der Spule sind die Feldlinien im Inneren dichter als außerhalb. Was bedeutet das und wie kann man das einfach erklären?
Dichtere Feldlinien bedeutet größere Feldstärke. Das ist einfach zu verstehen, wenn man sich das Feld eines geraden Leiters anschaut und diesen dann zu einem Kreisstrom biegt. Dadurch werden die Feldlinien im Inneren zusammengedrückt und außerhalb auseinander gezogen. Im Inneren steigt die Feldstärke an, außerhalb nimmt sie ab.


Superposition von Magnetfeldern

Auch für magnetfelder gilt das Superpositionsprinzip. Das Magnetfeld $\vec B(\vec r)$ durch einen Strom I wird nicht davon beeinflusst, ob irgendwelche weiteren Ströme andere Magnetfelder $\vec B_i(\vec r)$ am gleichen Ort erzeugen. Das bedeutet, wir können Magnetfelder, die verschiedene Ströme Ii am Ort $\vec r$ erzeugen, einfach vektoriell addieren. Wir bestimmen das Feld $\vec B_{1}$ durch $I_1$, dann $\vec B_{2}$ durch $I_2$ usw. bis $\vec B_{n}$ durch $I_n$ und addieren schließlich alle Felder zum resultierenden Feld $\vec B(\vec r)$.

Für das Magnetfeld gilt das Superpositionsprinzip: $\vec B(\vec r)=\sum\limits_{i=1}^n \vec B_i(\vec r)$.
Beispiel: Addition zweier Magnetfelder: Im Inneren einer Spule herrscht ein homogenes Magnetfeld $\vec B_Sp = B_0 \hat x$, dem ein zeitlich veränderliches Magnetfeld $\vec B_t(t)=B_y \cos(\omega t)\hat y$ überlagert ist. Bestimme einen Ausdruck für das resultierende Magnetfeld!
Das resultierende Magnetfeld ist die Summe der einzelnen Felder, d.h. $\vec B=\vec B_Sp +\vec B_t=B_0 \hat +B_y \cos(\omega t)\hat y$.
Abb.F1
Kontrollfrage 4: Abb.F1 zeigt drei Anordnungen von Stromschleifen. Bei B und C liegt eine kleinere Stromschleife zentriert in einer größeren Stromschleife. Der Radius der großen Stromschleifen sowie die Stromstärke in allen Stromschleifen ist gleich. Sortiere die Anordnungen nach dem Betrag des Magnetfeldes im Mittelpunkt der Schleifen! Gebe für jede Anordnung die Richtung des Magnetfeldes im Mittelpunkt an!
B>A>C, denn bei B addieren sich die Feldstärken, weil die Felder gleichgerichtet sind, bei C subtrahieren sich die Feldstärken, weil die Felder entgegengesetzt gerichtet sind. Deshalb muss B größer als A und C kleiner als A sein. Die Daumenregel liefert die Feldrichtung. Bei A und B zeigt es nach oben, bei C nach unten, denn das Feld durch den kleineren Kreisstrom ist nach untengerichtet und seine Feldstärke ist größer als die des äußeren Kreisstroms.




  1. 1,0 1,1 Dieter Meschede, Gerthsen Physik, 23. Auflage, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, (2006)