Lupe

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Physikalischer Kontext

Die Lupe ("Vergrößerungsglas") ist eine optisches Instrument, mit dem Gegenstände vergrößert betrachtet werden können. In der Regel besteht eine Lupe aus einer einzelnen Linse.

Funktionsweise

Sehwinkel

Abb.1 Der Sehwinkel bestimmt die Bildgröße

Eine Lupe erzeugt ein virtuelles aufrechtes Bild. Ihr Funktionsprinzip basiert auf einer Vergrößerung des Sehwinkels (Abb.1). Wenn Du Deinen Finger mit ausgestrecktem Arm betrachtest, erscheint er Dir kleiner, als kurz vor der Nasenspitze betrachtet, weil das Licht vom oberen und unteren Ende des Fingers unter einem größeren Winkel in das Auge eindringt und ein größeres Bild auf der Netzhaut erzeugt.

Nahpunkt

Das Auge kann einen Gegenstand nicht aus beliebiger Nähe betrachten. Der durchschnittliche Abstand N, mit dem ein gesundes normalsichtiges Auge einen Gegenstand scharf sehen kann, beträgt ca. 25 cm[1]. Das nennt man den Nahpunkt. Rückt der Gegenstand näher an das Auge, kann dieses nicht mehr auf den Gegenstand scharf stellen. Das Scharfstellen des Auges nennt man akkomodieren.

Mit einer Lupe kann das Auge näher an den Gegenstand heranrücken, ohne dass es stärker akkomodieren muss. Gleichzeitig wird der Sehwinkel vergößert, so daß der Gegenstand vergrößert erscheint.

Bestimmung der Vergrößerung

Entspanntes Auge

Abb.2 Lupe bei entspanntem Auge

Die Vergrößerung bestimmt sich aus dem Verhältnis des Sehwinkels bei normaler Betrachtung im Nahpunkt und der Betrachtung durch die Lupe. Abb.2 zeigt beide Fälle bei Nutzung einer Lupe mit enstpanntem Auge. Ohne Lupe sehen wir einen Gegenstand der Größe G vom Nahpunkt aus unter einem Winkel gemäß $\tan(\alpha_0)=\frac G N$ (hellgraues Dreieck). Mit Lupe können wir das Auge an den Brennpunkt heranrücken, wenn sich der Gegenstand im Brennpunkt befindet, und sehen dann mit entspanntem Auge ein virtuelles Bild im Unendlichen. Der neue Sehwinkel ist daher $\tan(\alpha_L)=\frac G f$ (orange Dreiecke). Die Vergrößerung ist das Verhälnis beider Winkel. In der Kleinwinkelnäherung ist $\tan(\alpha_0)\approx\alpha_0$ und $\tan(\alpha_L)\approx\alpha_L$. Damit erhalten wir ist $v=\frac{\alpha_L}{\alpha_0}=\frac{G/f}{G/N}=\frac N f$.

Die Vergrößerung einer Lupe, wenn sich das Auge im Brennpunkt befindet, ist $v=\frac N f$.     (1)

Die Vergrößerung ist umso größer, je kürzer die Brennweite der Lupe ist.

Akkomodiertes Auge

Abb.3 Lupe bei akkomodiertem Auge

Man kann die Vergrößerung etwas steigern, wenn man den Gegenstand zwischen Brennweite und Lupe platziert, und das Auge sehr nahe an die Lupe bringt (Abb3). Dann muss das Auge auf die Bildweite akkomodieren. Rücken wir den Gegenstand näher an die Lupe, verkürzt sich die Bildweite von ∞ auf einen endlichen Wert und gleichzeitig nimmt die Bildgröße zu. Die minimale Bildweite und die maximale Bildgröße sind erreicht, wenn das Bild im Nahpunkt liegt, d.h. $b=N$. Würden wir den Gegenstand noch näher an die Lupe bringen, wäre das Bild zwar noch größer, doch wir könnten das Auge nicht mehr darauf scharf stellen.

Bei dieser Nutzung der Lupe erhalten wir für den Sehwinkel $\tan(\alpha_L)=\frac B N=\frac G g$. Dann ist $v_a=\frac{\alpha_L}{\alpha_0}=\frac{G/g}{G/N}=\frac N g$. Aus der Linsengleichung erhalten wir mit $b=-N$ (bei Bildweiten links von der Linse ist die Bildweite negativ), dass $\frac 1 f=-\frac 1 N+\frac 1g$ ist, und somit $\frac 1g=\frac 1f+\frac 1N~\Rightarrow~g=\frac 1{1/f+1/N}=\frac{fN}{N+f}$. Einsetzen ergibt $v_a=\frac N {({fN})/({N+f})}=\frac{N+f}{f}=\frac N f+1$.

Die Vergrößerung einer Lupe, wenn sich das Auge nahe an der Linse befindet, ist $v_a=\frac N f+1$.     (2)
  1. Douglas C. Giancoli, Physik, 3. Auflage, Pearson Deutschland GmbH, München (2010)