Lorentz-Kraft

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Physikalischer Kontext

Abb.1 Lorentz-Kraft auf eine im Magnetfeld bewegt Ladung

Wenn sich ein geladenes Teilchen in einem Raumbereich bewegt, in dem ein Magnetfeld \(\vec B\) herrscht, dann wirkt auf dieses Teilchen eine Kraft, die man Lorentz-Kraft nennt. Diese Kraft wirkt nur, wenn das Teilchen eine Geschwindigkeit $\vec v \ne 0$ hat und verschwindet für $\vec v = 0$. Ihre Richtung steht senkrecht auf $\vec v$ und $\vec B$. Alle Kraftwirkungen zwischen Ladungen und Magneten und auch zwischen zwei Magneten lassen sich auf diese Kraft zurückführen. Für die Kraft zwischen zwei magnetischen Objekten gibt es kein so einfaches Kraftgesetz wie das Coulombsche Gesetz zwischen zwei elektrisch geladenen Objekten. Stattdessen werden alle Kraftwirkungen letztlich durch die Lorentz-Kraft verursacht. Die Lorentz-Kraft bewirkt z.B., dass Elektronen in einem Fadenstrahlrohr auf einer Kreisbahn laufen, aber auch, dass sich eine Kompassnadel oder eine stromdurchflossen Stromschleife in einem Magnetfeld ausrichten und, dass sich zwei Magnete anziehen. Um Kraftwirkungen auf und zwischen Magneten zu beschreiben, führt man das magnetische Dipolmoment ein. Die Lorentz-Kraft auf Ladungen ist weder anziehend noch abstoßend, sondern umlenkend, d.h. sie versucht, die Richtung von $\vec v$ zu ändern. Dennoch kann sie dadurch anziehende und abstoßende Kräfte zwischen Objekten hervorrufen. Die Ursache der Lorentz-Kraft lässt sich nur mit Hilfe der Relativitätstheorie verstehen. Sie wirkt ja nur auf bewegte Ladungen. Begibt man sich in das Ruhesystem der bewegten Ladungen, muss dort ebenfalls eine Kraft vorhanden sein. Dies kann nur noch eine Coulomb-Kraft sein. Daher ist die Lorentz-Kraft die Coulomb-Kraft, die im Ruhsystem der bewegten Ladungen vorhanden wäre. Über die Lorentz-Kraft wird das Magnetfeld definiert.

Mathematische Formulierung

Die Lorentz-Kraft wirkt auf bewegte Ladungen. Diese können als einzelne Ladung oder als elektrischer Strom vorliegen.

Lorentz-Kraft auf eine einzelne Ladung

Die Lorentz-Kraft auf eine Ladung q : $\vec {F}_{L}^{q,B}=q \vec v \times \vec B=q\left(\matrix{v_yB_z-v_zB_y\\v_zB_x-v_xB_z\\v_xB_y-v_yB_x}\right)$. Der Betrag ist $F_L^{q,B}=qvB\,\sin (\alpha )$, wobei $\vec v$ die Geschwindigkeit der Ladung q und α der Winkel zwischen $\vec v$ und $\vec B$ ist.
Abb.2 Rechte-Hand-Regel für die Lorentz-Kraft

\(\vec {F}_{L}^{q,B}\) ist die Kraft, die auf die Ladung q durch das Magnetfeld $\vec B$ ausgeübt wird. Weil die Lorentz-Kraft über ein Vektorprodukt (Kreuzprodukt) gegeben ist, wird ihre Richtung über die Rechte-Hand-Regel bestimmt (Abb.2). Wenn man den Daumen in Richtung von $\vec v$ richtet und gleichzeitig den Zeigefinger in Richtung von $\vec B$ streckt, dann zeigt der senkrecht zur Handfläche abgespreizte Mittelfinger die Richtung von $\vec F_L$, sofern die Ladung q positiv ist. Wenn die Ladung q negativ ist ist, dann zeigt der Mittelfinger in die entgegengesetzte Richtung von $\vec F_L$.

Lorentz-Kraft auf einen elektrischen Strom

Abb.3 Lorentzkraft auf einen elektrischen Strom

Ein elektrischer Strom mit der Stromstärke I besteht ebenfalls aus bewegten Ladungen. Wenn dieser Strom z.B. in einem geraden Leiterstück der Länge L fließt, dann lässt sich die Geschwindigkeit der Ladungen über $\vec v=\frac {\vec L} t$ ausdrücken. Der Vektor $\vec L$ ist das Produkt aus der elektrischen Stromstärke $I=\frac q t$ und dem Einheitsvektor $\hat j$ der Stromdichte $\vec j=\rho \vec v$. Der Vektor $\vec L$ beschreibt dann nicht nur die Länge, sondern auch die Richtung des Leiters und der Stromdichte. Löst man den Ausdruck für I nach q auf und setzt den Ausdruck für $\vec v$ ein, ist $q \vec v = I t \frac {\vec L} t=I\vec L$. Damit ergibt sich für

Die Lorentz-Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter mit der Stromstärke I : $\vec {F}_{L}^{I,B}=I \vec L \times \vec B$. Der Betrag ist $F_L^{I,B}=ILB\,\sin (\alpha )$, wobei $\vec L$ die Länge und die Stromrichtung des Leiters angibt und α der Winkel zwischen $\vec L$ und $\vec B$ ist.

Natürlich ist für einen elektrischen Strom nicht unbedingt ein metallischer Leiter erforderlich. Die Gleichung gilt für Ströme jeglicher Art.

Stärke und Richtung

Untersuche die Lorentz-Kraft mit einem GeoGebra-Applet Link zum Applet: Es zeigt eine punktförmige Ladung Q, die sich mit der Geschwindigkeit $\vec v$ (blauer Pfeil) in einem homogenen Magnetfeld $\vec B$ (pinke Pfeile) bewegt. Die Lorentzkraft (grüner Pfeil) wird berechnet. Beim Klicken auf einen Punkt (Q, Spitze von $\vec B$ im Koordinatenursprung oder $\vec v$) erscheinen abwechselnd horizontale oder vertikale Pfeile, die Dir anzeigen, wie Du die Punkte verschieben kannst. Dadurch kannst Du Betrag und Richtung von $\vec v$ und $\vec B$ verändern und Q verschieben. Ein Klick auf das Reset-Zeichen Reset stellt die Anfangswerte wieder ein. Mit dem Scrollrad der Maus kannst man in das Applet hinein oder heraus zoomen.

Aufgaben zum Applet: Finde selbst heraus, wie Betrag und Richtung der Lorentz-Kraft vom Magnetfeld und von Ort, Ladungsmenge und Geschwindigkeit der Ladung abhängt:

Aufgabe 1: Beschreibe, welche Richtung die Vektoren $\vec v$, $\vec B$ und $\vec F_L$ in der Ausgangsposition haben. Stimmen die Richtungen mit der Rechte-Hand-Regel überein?
$\vec B$ zeigt nach z, $\vec v$ zeigt in etwa nach y und $\vec F_L$ zeigt nach x. Das stimmt mit der Rechte-Hand-Regel überein.
Aufgabe 2: Verändere Ladung Q mit dem Schieberegler. Beschreibe, wie sich die Lorentz-Kraft dadurch ändert!
$\vec F_L$ wird länger, wenn Q zunimmt und kehrt seine Richtung um, wenn sich das Vorzeichen von Q ändert.
Aufgabe 3: Klicke auf den Punkt an der Spitze des B-Vektors auf der z-Achse, bis vertikale Pfeile erscheinen. Verschiebe den Punkt auf der z-Achse. Beschreibe, wie sich die Lorentz-Kraft dadurch ändert!
$\vec F_L$ wird länger, wenn B zunimmt und kehrt seine Richtung um, wenn $\vec B$ nach −z zeigt.
Aufgabe 4: Klicke auf den Punkt an der Spitze des v-Vektors (blau), bis vertikale Pfeile erscheinen. Verschiebe den Punkt vertikal! Beschreibe, wie sich die Lorentz-Kraft dadurch ändert! Erkläre das Ergebnis!
Die Lorentz-Kraft ändert sich überhaupt nicht! Das liegt daran, dass durch eine vertikale Verschiebung der Spitze des v-Vektors nur die Komponente von $\vec v$ parallel zu $\vec B$ geändert wird. Diese hat jedoch keinen Einfluss auf des Vektorprodukt. Nur die Komponente von $\vec v$ senkrecht zu $\vec B$ ist für die Lorentz-Kraft ausschlaggebend.
Aufgabe 5: Klicke auf den Punkt an der Spitze des B-Vektors auf der z-Achse, bis horizontale Pfeile erscheinen. Verschiebe den Punkt parallel zur xy-Ebene. Erkläre die Bedeutung der großen violetten Ebene und der kleinen grünen Fläche darin! Beschreibe, wie Ebene und Fläche mit der Lorentz-Kraft zusammenhängen!
Die pinke Ebene wird durch die Vektoren $\vec B$ und $\vec v$ aufgespannt. Die Richtung von $\vec F_L$ steht immer senkrecht auf dieser Ebene. Die kleine grüne Fläche zeigt den Flächeninhalt des durch $\vec B$ und $\vec v$ aufgespannten Parallelogramms, der proportional zum Betrag FL ist.
Aufgabe 6: Klicke nun auf das Kontrollkästchen "Zeige FL", so dass der Haken und die Lorentz-Kraft verschwinden. Verändere nun alle Größen einige Male und bestimme mit der Rechte-Hand-Regel die Richtung von $\vec F_L$! Lasse Dir anschließend die Lorentz-Kraft anzeigen und überprüfe die Ergebnisse! Mache dies solange, bis Du zweimal hintereinander die Richtung korrekt bestimmt hast!
Sehr gut, Du hast die Lorentz-Kraft verstanden!


Abb.F1
Verständnisfrage 1: Bestimme die Richtungen der Lorentzkräfte in Abb.F1!
$\vec F_L$ zeigt nach A: −y, B: +y, C: −y. A und C entsprechend der gleichen Stromrichtung, daher zeigt auch die Lorentz-Kraft in die gleiche Richtung!


Abb.F2
Verständnisfrage 2: Sortiere die Varianten in Abb.F2 nach dem Betrag der Lorentz-Kraft!
Es ist B=C>A, denn in B und C sind die Komponenten von $\vec v$ senkrecht zu $\vec B$ gleich und in A ist sie null. Die Komponente von $\vec v$ parallel zu $\vec B$ erzeugt keine Lorentz-Kraft.


Verständnisfrage 3: Welche dieser Größen können durch eine Lorentz-Kraft verändernt werden? A Tempo von q, B Geschwindigkeit von q, C kinetische Energie von q, D potenzielle Energie von q?
Richtig sind B und D! Die Lorentz-Kraft kann die Richtung von $\vec v$ und damit $\vec v$ selbst ändern, jedoch nicht das Tempo $|\vec v|$, d.h. den Betrag von $\vec v$, weil sie stets senkrecht zu $\vec v$ gerichtet ist. Daher kann sich auch die kinetische Energie nicht ändern. Da jedoch die Bahn von q gekrümmt wird, kann die Ladung durchaus an einen Ort gebracht werden, an dem z.B. eine elektrische potenzielle Energie größer ist. Die Lorentz-Kraft selbst bzw. das Magnetfeld erzeugt keine potenzielle Energie auf Ladungen, sondern nur auf magnetische Momente. Und das Magnetfeld kann nicht durch ein skalares Potenzial beschrieben werden.


Superposition der Lorentz-Kraft

Für die Lorentz-Kraft gilt das Superpositionsprinzip, und zwar sowohl bezüglich der Geschwindigkeit als auch des Magnetfeldes.

Superposiotion von Geschwindigkeiten

Die Lorentz-Kraft auf eine Ladung q mit der Geschwindigkeit $\vec v$ in einem Magnetfeld $\vec B$ wird nicht davon beeinflusst, ob die Ladung sich noch mit anderen Geschwindigkeiten $\vec v_i$ in andere Richtungen bewegt, und dadurch weitere Kräfte auf die Ladung q entstehen. Das bedeutet, wir können die Lorentz-Kräfte, die auf eine Ladung q durch diverse andere Geschwindigkeiten $\vec v_1$, $\vec v_2$, ... ausgeübt werden, einfach vektoriell addieren. Wir bestimmen die Kraft $\vec F_{L,1}$ durch $\vec v_1$, dann $\vec F_{L,2}$ durch $\vec v_2$ usw. bis $\vec F_{L,n}$ durch $\vec v_n$ und addieren schließlich alle Kräfte zur resultierenden Kraft auf q. Das ergibt $\vec F^q_B=\sum\limits_{i=1}^n \vec F_i^{q,B_i}=\sum\limits_{i=1}^n q \vec v_i \times \vec B=q (\sum\limits_{i=1}^n\vec v_i)\times \vec B$. Das bedeutet, die Summe der Lorentz-Kräfte durch mehrere Geschwindigkeiten ist einfach die Lorentz-Kraft durch die Summe der Geschwindigkeiten.

Für die Lorentz-Kraft gilt das Superpositionsprinzip: $\vec F^q_B=\sum\limits_{i=1}^n \vec F_i^{q,B_i}=q (\sum\limits_{i=1}^n\vec v_i)\times \vec B$.
Beispiel: Zerlegung einer Geschwindigkeit in zwei Komponenten parallel und senkrecht zu $\vec B$: Ein Teilchen mit der Ladung q bewegt sich mit der Geschwindigkeit $\vec v = v_x \hat x + v_y \hat y+v_z \hat z$ durch ein Magnetfeld $\vec B = B_0 \hat z$. Bestimme einen Ausdruck für den Betrag der Lorentz-Kraft auf q! Für die Lorentz-Kraft ist nur die Komponente von $\vec v_{\perp}$ relevant, die senkrecht zu $\vec B$ liegt, die Komponente von $\vec v_{\parallel}$ parallel zu $\vec B$ erzeugt keine Kraft. Weil $\vec B$ in die z-Richtung zeigt, ist $\vec v_{\perp} = v_x \hat x + v_y \hat y$ und $\vec v_{\parallel}=v_z \hat z$. Der Betrag der Lorentz-Kraft ist $F_{L,\perp}=v_{\perp}B_0$, denn das Vektorprodukt $\vec v_{\parallel}\times \vec B = v_z\hat z \times B_0\hat z=0$ verschwindet.

Superposiotion von B-Feldern

Die Kraft auf eine Ladung q durch ein Magnetfeld $\vec B$ wird nicht davon beeinflusst, ob irgendwelche anderen Magnetfelder $\vec B_i$ vorhanden sind und weitere Kräfte auf die Ladung q ausüben. Das bedeutet, wir können die Lorentz-Kräfte, die auf eine Ladung q durch diverse andere Felder $\vec B_1$, $\vec B_2$, ... ausgeübt werden, einfach vektoriell addieren. Wir bestimmen die Kraft $\vec F_{L,1}$ durch $\vec B_1$, dann $\vec F_{L,2}$ durch $\vec B_2$ usw. bis $\vec F_{L,n}$ durch $\vec B_n$ und addieren schließlich alle Kräfte zur resultierenden Kraft auf q. Das ergibt $\vec F^q_B=\sum\limits_{i=1}^n \vec F_i^{q,B_i}=\sum\limits_{i=1}^n q \vec v \times \vec B_i=q \vec v \times \sum\limits_{i=1}^n \vec B_i$. Das bedeutet, die Summe der Lorentz-Kräfte durch mehrere Magnetfelder ist einfach die Lorentz-Kraft durch die Summe der Magnetfelder.

Für die Lorentz-Kraft gilt das Superpositionsprinzip: $\vec F^q_B=\sum\limits_{i=1}^n \vec F_i^{q,B_i}=q \vec v\times \sum\limits_{i=1}^n \vec B_i$.
Beispiel: Addition zweier Magnetfelder: Ein Teilchen mit der Ladung q bewegt sich mit der Geschwindigkeit $\vec v = v_y \hat y$ durch ein homogenes Magnetfeld $\vec B_1 = B_0 \hat z$, dem ein zeitlich veränderliches Magnetfeld $\vec B_2(t)=B_x \sin(\omega t)\hat x$ überlagert ist. Bestimme einen Ausdruck für die Lorentz-Kraft auf q! Das Magnetfeld ist die Summe der einzelnen Felder, d.h. $\vec B=\vec B_1 +\vec B_2=B_x \sin(\omega t)\hat x+B_0 \hat z$. Die Lorentz-Kraft ist $\vec F_L= q \vec v\times\vec B=q\left(\matrix{v_yB_0\\0\\-v_yB_x\sin(\omega t)}\right)$.


Kontrollfragen

Verständnisfrage 4: Ein Teilchen der Ladung q tritt mit der Geschwindigkeit $\vec v=2 v_0\hat x+v_0\hat y$ in ein Magnetfeld $\vec B=B_0\hat z$ ein. Welche Lorentz-Kraft wirkt auf das Teilchen?
Sowohl $\vec v_x=2 v_0\hat x$ als auch $\vec v_y=v_0\hat y$ stehen senkrecht zu $\vec B$. Daher sind die einzelnen Lorentz-Kräfte $q \cdot 2 v_0\hat x \times B_0\hat z=-2 q v_0 B_0 \hat y$ und $q \cdot v_0\hat y \times B_0\hat z=v_0 B_0 \hat x$. Das ergibt als Summe $\vec F_L=q v_0 B_0 (\hat x-2 \hat y)$.
Verständnisfrage 5: Ein Teilchen der Ladung q tritt mit der Geschwindigkeit $\vec v=v_0\hat x$ in ein Magnetfeld $\vec B=B_x\hat x+B_y\hat y+ B_z\hat z$ ein. Welche Lorentz-Kraft wirkt auf das Teilchen?
Sowohl $\vec B_y=B_y\hat y$ als auch $\vec B_z=B_z\hat z$ stehen senkrecht zu $\vec v$. $\vec B_x$ ist parallel zu $\vec v$ und erzeugt keine Kraft. Daher sind die einzelnen Lorentz-Kräfte $q \cdot v_0\hat x \times B_y\hat y= q v_0 B_y \hat z$ und $q \cdot v_0\hat x \times B_z\hat z=-q v_0 B_0 \hat y$. Das ergibt als Summe $\vec F_L=q v_0 B_y (\hat x- \hat y)$.