Integration

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Integration

Die Integration ist die Umkehrung der Ableitung bzw. Differentiation. Der Begriff "Integration" beschreibt eine mathematische Operation, die man mit Funktionen durchführen kann. Nehmen wir an, eine Funktion sei mit f(x) bezeichnet. Das Ergebnis der Operation "integrieren von f(x)" nennt man Integral der Funktion f(x). Im einfachsten Fall drückt man das Integral durch Großschreiben des Funktionssymbols F(x) aus und nennt diese neue Funktion eine Stammfunktion von $f(x)$. Beim Ableiten benötigt man immer auch die Angabe, nach welcher Größe abgleitet werden soll. Genauso gehört auch zum Integrieren immer die Anweisung, über welche Größe integriert werden soll. Das mathematische Symbol für die Anweisung "Integriere über x!" ist der Integraloperator $\int { {\rm d}x}$. Die Funktion, die integriert werden soll, kann man auf verschiedene Arten anfügen (siehe Schreibweisen). Unserere Funktion sei wieder mit f(x) bezeichnet. Die üblichste Variante ist es, sie zwischen das Integralzeichen und das Differential einzufügen $\int f(x)\ { {\rm d}x}$. Das bedeutet: "Integriere die Funktion f(x) über die Größe x!". Wenn wir das tun, erhalten wir das Integral von f(x), also $F(x)$. Mathematisch formuliert ergibt das $\int f(x)\ {\rm d}x=F(x)$.

Im folgenden wollen wir uns genauer anschauen, welche Bedeutung hinter dieser Gleichung steckt und was die Integration mit der Funktion eigentlich macht! Denn in der Physik sind es nicht "irgendwelche" abstrakten Funktionen, die wir "aus Spaß an der Freude" integrieren. In der Physik stehen die Symbole f und x stellvertretend für beliebige verschiedene physikalische Größen und der Ausdruck f(x) gibt an, wie die Größe f von der Größe x abhängt. Zum Beispiel kann der Ausdruck f(x) stellvertretend für eine Kraft F(x), die auf einen Körper wirkt, stehen und angeben, wie die Kraft F vom Ort x abhängt. Integriert man F(x) über den Ort x, erhält man die Arbeit W, die die Kraft F(x) bei einer Verschiebung des Körpers entlang x an dem Körper verrichtet: $\int F(x)\ {\rm d} x=W$. Die Arbeit W ist nur eine von vielen physikalischen Größen, die man durch Integration aus anderen Größen gewinnt! Darum ist es so wichtig, die Integration zu verstehen und zu beherrschen!

Anwendung der Integration in der Physik

Der differentielle Zusammenhang ist so ziemlich der wichtigste Zusammenhang zwischen physikalischen Größen, den man sich denken kann. Die meisten allgemeingültigen Zusammenhänge sind differentiell! Wichtige Beispiele sind die Zusammenhänge zwischen Geschwindigkeit und Ort $\vec v =\dfrac {d\vec r}{dt}$ sowie Beschleunigung und Geschwindigkeit $\vec a =\dfrac {d\vec v}{dt}$ oder zwischen Leistung und Arbeit $P =\dfrac {dW}{dt}$ oder Kraft und Arbeit ${\rm d}W=F_x {\rm d}x$. Um aus diesen Zusammenhängen eine der differentiellen Größen zu bestimmen, muss man intergrieren. Auch viele physikalischen Grundgesetze oder Definitionen enthalten Integrale! Beispiele sind der Satz von Gauss $\oint\limits_{O(V)} \vec E \cdot {\rm d} \vec A=\int\limits_V\frac \rho {\epsilon_0} {\rm d}V$ oder das Induktionsgesetz $\oint \vec E \cdot d\vec s =-\dfrac {d\Phi_B}{dt}$, welches zudem ein geschlossenes Wegintegral enthält. Oder die Definition der potenziellen Energie $E_{pot}(f)-E_{pot}(i)=-\int\limits_i^f F_k\ {\rm d} x$ durch eine konservative Kraft Fk. An der Differentiation und der Integration kommt man deshalb in der Physik auf keinen Fall vorbei! Beide Zusammenhänge lassen sich jedoch anschaulich darstellen und es ist nicht schwierig, ein intuitives Verständnis für sie zu entwickeln.

Anschauliche Bedeutung der Integration: Fläche und Summen

Abb.1 Bedeutung des Integrals

Um die Integration anschaulich verstehen zu können, muss man die Funktion $f(x)$ grafisch dargestellen und die gezeichnete Funktionskurve betrachten. Ihre Integration erzeugt aus der ursprünlichen Funktionskurve eine neue Kurve $F(x)$. Diese neue Kurve (eine "Stammfunktion" F(x)) zeigt für jede Stelle an, welche Fläche die ursprünglichen Kurve bis zu dieser Stelle mit der Nulllinie einschließt. Dabei zählen Flächen oberhalb der Nullinie positiv und unterhalb der Nullinie negativ, wenn die Integration in positive x-Richtung erfolgt.[1] Das Integral $F(x)$ an der Stelle x sagt uns wenig über die Funktion f(x) direkt an dieser Stelle. Statt dessen sagt es etwas über die "Vergangenheit" der Funktion bis zu dieser Stelle, nämlich, wie die Funktion bis zu dieser Stelle in Summe verlaufen ist. Das Integral ist positiv an der Stelle x, wenn die Flächen zwischen Kurve und Nulllinie bis dahin nur oder überwiegend oberhalb der Nullinie lagen. Das Integral ist negativ an der Stelle x, wenn die Flächen zwischen Kurve und Nulllinie bis dahin nur oder überwiegend unterhalb der Nullinie lagen. Es ist Null, wenn die Kurve gleiche Flächen oberhalb und unterhalb mit der Nullinie einschloss oder selbst die Nullinie war.

Um ein "Gefühl" für die Integration zu entwickeln, starten wir mit der graphischen Bestimmung von Integralen und schließen mit der analytischen Berechnung von Integralen ab.

Integration von grafisch dargestellten Funktionen: "Kästchen zählen"

Abb.3 Integrieren ist "Kästchen zählen"

Dazu schauen wir uns als erstes genauer an, welche Fläche man für das Integral nehmen muss. Eine Funktionskurve ist zuerst einmal natürlich eine Linie. Damit einer Linie eine Fläche zugeordnet werden kann, muss die Linie geschlossen werden und einen oder mehrere abgeschlossene Bereiche umranden. Mit einer eindimensionalen Funktionskurve f(x) allein ist das nicht möglich, denn sie kann keine geschlossene Kurve ergeben, sonst wäre es keine Funktion[2]. Deswegen benötigen wir mindestens eine zweite Linie, um eine Fläche zu definieren. Diese zweite Linie ist die Nulllinie. Man muss aufpassen, dass man die Nulllinie nicht mit der horizontalen Achse verwechselt! Eine horizontale Achse muss nicht zwingend durch die Null der vertikalen Achse verlaufen.

Die Fläche, die durch das Integral ausgedrückt wird, ist durch diese zwei Linien oben und unten berandet. Wir benötigen in der Regel aber auch noch Ränder links und rechts, also zwei vertikale Linien. Diese begrenzen den x-Bereich, über den wir das Integral berechnen wollen. Wir werden sie später bei den bestimmten Integralen als Integrationsgrenzen wiederfinden. Die rechte Grenze muss bei x = x0 liegen, wenn wir den Wert für eine Stammfunktion F(x) an der Stelle x = x0 bestimmen wollen, sie ist soweit klar. Wo aber liegt die linke Grenze, d.h., ab wann beginnen wir die Fläche zu zählen? Als erste intutitive Wahl nehmen wir x = 0, so wie in Abb.1. Dadurch sparen wir sogar eine Linie. Nun können wir ganz praktisch "Kästchen zählen", um die Fläche zwischen Funktionskurve und Nullinie zu bestimmen. In Abb.3 ist das für einen Ausschnitt der Funktion von Abb.1 für einen Punkt des Integrals gezeigt: Die Fläche unter Kurve von x = 0 bis x = x0 ist so groß wie die Fläche von sechs schwarzen Kästchen. Man sieht das daran, dass man die Fläche über den ersten drei x-Intervallen oben an die Fläche über den zweiten drei x-Intervallen anfügen kann (schwarzer Pfeil). Wenn wir das Integral als Anzahl der Kästchen auftragen, ergibt das F(x0) = 6 entsprechend dem roten Quadrat in Abb.3. So bestimmt man einen Punkt der Kurve eines Integrals grafisch.

Integration und negative x-Werte

Abb.4 Integrieren ab negativem x-Wert

Bis jetzt haben wir nicht beachtet, dass für eine Funktion auch negative x-Werte möglich sind. Wie sieht es damit aus? Nun schieben wir den Anfangspunkt der Integration in Abb.1 und Abb.3 hin zu negativen x-Werten, zum Beispiel um zwei x-Intervalle nach x = −2 (Abb.4). Tatsächlich ändert sich dadurch nichts grundlegendes, sondern nur, dass wir die Integration jetzt bei x = −2 beginnen müssen. Wir gehen nun von x = −2 aus und beginnen wie bisher "die Kästchen zu zählen": positiv für Flächen oberhalb der Nullinie und negativ für Flächen unterhalb der Nullinie. Daraus ergibt sich jedoch, dass durch die Verlängerung nach links zur bisherigen Fläche (ab x = 0 integriert) nun zusäztliche Fläche hinzukommt. Für das Beispiel in Abb.1 bzw. Abb.3 ist diese zusätzliche Fläche positiv und hat die Größe von zwei Kästchen (Abb.4). Diese zusätzlichen zwei Kästchen müssen wir zu den sechs Kästchen in Abb.3 addieren. Dadurch wird der Wert des Integrals an dieser Stelle um zwei Kästchen größer und der Punkt aus Abb.3 muss um zwei Kästchen nach oben auf die Acht verschoben werden (Abb.4). Und nicht nur dieser eine Punkt, sondern alle Punkte der Integralkurve in Abb.1 müssen um zwei Kästchen nach oben verschoben werden, denn zu allen Werten der Interationskurve müssen wir dieses zusätzlichen zwei Kästchen hinzuaddieren. Das bedeutet für die Zeichnung: Die gesamte Integrationskruve verschiebt sich komplett nach oben, ohne dabei jedoch ihre Form zu ändern. Nehmen wir nun an, wir verschieben die linke Grenze weiter nach links, wieder um zwei x-Intervalle, und wieder kommt dadurch neue Fläche hinzu. Dann verschiebt sich die gesamte Integrationskurve erneut. Was lernen wir daraus? Wir lernen: Wenn man nicht beide Integrationsgrenzen eindeutig festlegt, ist die vertikale Lage der Integralkurve unbestimmt! Das führt uns zur Unterscheidung in unbestimmte und bestimmte Integrale.

Unbestimmte und bestimmte Intergale

Integrale ohne festgelegte Grenzen nennt man unbestimmte Integrale. Man erkennt sie an den fehlenden Grenzen am Integralzeichen ∫. Vertikales Verschieben einer Kurve geschieht durch Addition oder Subtraktion von Konstanten. Zu einem unbestimmten Integral kann deshalb immer eine beliebige reelle positive oder negative Konstante addiert werden. Diese Konstante nennt man Integrationskonstante und bezeichnet sie meist mit c. Jetzt können wir den Begriff "Stammfunktion" eingrenzen:

Stammfunktionen: Als Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) bezeichnet man jede Funktion, deren Ableitung die Funktion f(x) ergibt: $\dfrac{ {\rm d} }{ {\rm d}x}F(x)=f(x)$. Wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann ist auch F(x) + c eine Stammfunktion von f(x).

Das ergibt sich auch zwangsläufig aus den Ableitungsregeln. Denn die Ableitung einer Konstanten ist null. Daher haben alle Funktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden, die gleiche Ableitung. Integration ist gleichbedeutend mit der Bestimmung einer Stammfunktion. Integration ist also die Umkehrung der Ableitung. Damit können wir für unbestimmte Integrale festhalten:

Unbestimmtes Integral: Ein unbestimmtes Integral hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich jedoch alle aus einer Stammfunktion F(x) ergeben und nur durch eine Integrationskonstente c unterscheiden: $\int f(x){\rm d}x=F(x)+c$.

Nicht selten wird in der Physik nur die Funktion F(x) mit c = 0 als Stammfunktion bezeichnet. Das ist mathematisch jedoch nicht ganz sauber.

Legt man beide Grenzen fest, erhält man ein bestimmtes Integral. Ein bestimmtes Integral hat keine Integrationskonstante. Es ist eindeutig. Die Grenzen schreibt man unten und oben an das Integralzeichen. Setzt man in ein bestimmtes Integral Zahlen statt Variablen ein, entspricht es einer einzigen Zahl, nämlich der Fläche zwischen Funktionskurve und Nulllinie.

Bestimmtes Integral: Für ein bestimmtes Integral gilt: $\int\limits_{x_a}^{x_b} f(x){\rm d}x=F(x_b)-F(x_a)$.

Die Gleichung gilt für jede beliebige Stammfunktion F(x)+c, weil sich die Integrationskonstante weghebt: $(F(x_b)+c)-(F(x_a)+c)=F(x_b)+c-F(x_a)-c=F(x_b)-F(x_a)$. Bei einem bestimmten Integral ist die Reihenfolge der Integrationsgrenzen für das Vorzeichen von Bedeutung. Nehmen wir an, eine bestimmtes Integral F(xb) − F(xa) sei positiv. Dann bedeutet das zwangsläufig, dass die Fläche F(xb) größer als die Fläche F(xa) sein muss. Wenn nun die Integrationsgrenzen umgedreht werden, erhalten wir statt dessen F(xa) − F(xb). Diese Ausdruck muss nun negativ sein. Allgemein gilt:

Umkehrung der Grenzen: Bei Umkehrung der Integrationsgrenzen eines bestimmten Integrals kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um: $\int\limits_{x_a}^{x_b} f(x){\rm d}x=-\int\limits_{x_b}^{x_a} f(x){\rm d}x$.


Abb. 5
Kontrollfrage 1: Gebe an, in welchem Wertebereichen für x die Fläche, die die Kurve in Abb.5 mit der Nullinie einschließt, negativ zu zählen ist!
Die Fläche ist negativ, wenn sie unterhalb der Nulllinie liegt, somit im Bereich 0 < x < 4.
Kontrollfrage 2: Sortiere folgende bestimmte Intergrale der Kurve in Abb.5 nach dem Betrag der Fläche, die die Kurve mit der Nullinie einschließt, in aufsteigender Reihenfolge (in Käschenanzahl ohne Vorzeichen): A: von x = − 4 bis 0; B: von x = 0 bist x = 4 bis 0; C: von x = 4 bis x = 8;
B < C < A. A hat ca. 7,75 Kästchen, B hat ca. 4 Kästchen und C hat ca. 7,5 Kästchen.
Kontrollfrage 3: Sortiere folgende bestimmte Intergrale der Kurve in Abb.5 nach ihrem Wert (mit Vorzeichen!) in aufsteigender Reihenfolge: A: von x = − 4 bis 0; B: von x = 0 bist x = 4 bis 0; C: von x = 4 bis x = 8;
B < C < A. A hat ca. 7,75 Kästchen, B hat ca. -4 Kästchen und C hat ca. 7,5 Kästchen.
Kontrollfrage 4: Sortiere folgende bestimmte Intergrale der Kurve in Abb.5 nach ihrem Wert (mit Vorzeichen!) in aufsteigender Reihenfolge: A: von x = 0 bis x = − 4 ; B: von x = 0 bist x = 4 bis 0; C: von x = 8 bis x = 4;
A < C < B. Nun sind alle Integrale negativ (A ≈ −7,75 Kästchen, B ≈ −4 Kästchen und C ≈ −7,5 Kästchen.). A und C werden negativ durch Umkehrung der Integrationsgrenzen, B ist negativ, weil die Fläche unter der Nulllinie liegt. Und natürlich ist −7,75 < − 7,5 usw.


Integral als Grenzwert einer Summe

Abb. 6 Integral als Grenzwert

Ähnlich wie bei der Ableitung kann auch das Integral über einen Grenzwert ausgedrückt werden. Näherungsweise ist das Integral einer bliebigen und beliebig gekrümmten Funktion f(x) in einem bestimmten Bereich von xa bis xb die Summe von vielen kleinen rechteckigen Flächenstreifen f(xi)·Δx. Wenn man die Rechtecke immer schmaler macht, indem man Δx immer kleiner macht, nähert man sich dem tatsächlichen Flächeninhalt. Das Integral ergibt sich so betrachtet (siehe Animation in Abb.2) aus dem Grenzwert

Integral als Grenzwert $\int\limits_{x_a}^{x_b} f(x) dx=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\ \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x$ mit $\Delta x =\dfrac {x_b -x_a}{n}$ und $x_i = x_a + i \Delta x$.

Die unendlich schmalen x-Intervalle nach der Grenzwertbildung nennt man dx in Abgrenzung zu den endlich breiten Intervallen Δx vor der Grenzwertbildung. Diese Definition macht deutlich, dass die Integration vom Prinzip her nichts anderes als eine genaue Addition ist! Wenn wir wissen wollen, wie stark sich die Fläche F(x) ändert, wenn wir x an dieser Stelle um ein sehr kleines bisschen dx vergrößern, dann sagt das der Ausdruck ${\rm d}F =f(x)\cdot {\rm d}x$. Dieser Ausdruck steht für einen sehr feinen unendlich schmalen senkrechten "Flächenstreifen". Das Integral F(x) wird also um dF größer, wenn die Funktion f(x) bei x positiv ist und um dF kleiner, wenn die Funktion f(x) bei x negativ ist. Sie bleibt gleich, wenn die Funktion f(x) bei x Null ist! Das Integral ist nichts anderes als die Summe solch unendlich schmaler "Flächenstreifen" bis zur Stelle x. Das ist seine anschauliche Bedeutung! Wie immer stehen in der Physik die Größen f und x stellvertretend für beliebige physikalische Größen. Das Integral ist die genaue Summe derjenigen physikalischen Größe, die durch das Produkt $f\cdot x$ gegeben ist. Wenn über Flächen A, Volumina V oder andere scharf abgrenzte Größen wie z.B. die Masse M eines Körpers o. ä. integriert wird, können die Grenzen symbolisch durch A, V oder M abgekürzt werden. Dahinter verbergen sich Mehrfachintegrale.

Beispiel: Wenn f für die Geschwindigkeit $v$ eines Körpers steht und x für die Zeit t steht, dann ist das Produkt $s = v\cdot t$ ein Weg s. Das Integral $s=\int v\ {\rm d}t$ ist die Summe vieler kleiner Wegstücke ${\rm d}s = v\cdot {\rm d}t$. Für ein festes Zeitintervall zwischen t1 und t2 gibt das bestimmte Integral $s =\int\limits_{t_1}^{t_2} v\ {\rm d}t$ an, welcher Weg s in diesem Zeitintervall zurückgelegt wurde.
Wenn f für die Dichte ρ eines Körpers steht und x für das Volumen V des Körpers steht, dann ist das Produkt $m = \rho\cdot V$ eine Masse m. Das Integral $m = \int\limits_{V} \rho\ {\rm d}V$ gibt die Masse des Körpers an. Es ist die Summe über viele infinitesimale Körperstückchen, jedes mit der Masse $dm = \rho\ {\rm d}V$.

Das Integral anstelle einer Summe wird in der Physik immer dann verwendet, wenn man Zusammenhänge, die für diskrete Verteilungen bekannt sind, auf kontinuierliche Verteilungen überträgt.

Beispiel: Der Schwerpunkt eines Systems mit der Gesamtmasse M, das aus mehreren einzelnen Körpern mit den Massen mi an den Orten ri besteht, ist $r_s = \frac 1M\sum\limits_{i=1}^{n} r_i m_i$. Der Schwerpunkt eines Systems mit der Gesamtmasse M, das aus einer kontinuierlichen Massenverteilung besteht, ist $r_s = \frac 1M\int\limits_{M} r\ dm$.
Kontrollfrage 5: Es stehe f für den Impuls p und x für die Zeit t. Über welche physikalische Größe wird mit dem Integral $\int p\ {\rm d}t$ summiert?!
Das Produkt p·t = F ergibt eine Kraft F. Daher wird über die Kraft summiert.
Kontrollfrage 6: Das Trägheitsmoment J eines Systems eines Systems mit der Gesamtmasse M, das aus einzelnen Körpern mit den Massen mi im Abstand r⊥i von einer Drehachse besteht, ist $J = \sum\limits_{i=1}^{n} r_{\perp, i}^2 m_i$. Wie ist vermutlich das Trägheitsmoment eines Körpers mit eine kontinuierlichen Massenverteilung definiert?
Wir müssen nur die Summe durch das Integral ersetzen und die einzelnen Massen durch dm und über die gesamte Masse M integrieren.. Das ergibt $J = \int\limits_{M} r_{\perp}^2\ {\rm d}m$.


Bestimmung des qualitativen Verlaufs des Integrals einer grafisch dargestellten Funktion

Eine Funktion kann besondere Stellen wie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen haben. Nicht nur für die Ableitung auch für die Integration gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Aussehen einer Stammfunktion und dem Aussehen der Funktion. Weil die Funktion f(x) die Ableitung einer Stammfunktion F(x) ist, können wir im Artikel Ableitung nachlesen, wie wir die Kurvenform von f(x) erschließen können, wenn F(x) bekannt ist. Hier interessiert uns jedoch genau der umgekehrte Zusammenhang. Was können wir aus dem Aussehen von f(x) über das Aussehen von F(x) erfahren?

Minima, Maxima und Nullstellen des Integrals

An Nullstellen der Funktion wechselt sie ihr Vorzeichen. Das bedeutet für ihr Integral, dass es von steigend zu fallend oder umgekehrt wechselt. Anders ausgedrückt: Nullstellen der Funktion sind Extremstellen der Stammfunktion. Wenn die Steigung der Funktion an der Nullstelle positiv ist, bedeutet dies, dass das Integral ab dort wieder zunimmt. Dort liegt also ein Minimum der Stammfunktion. Wenn die Steigung der Funktion an der Nullstelle negativ ist, bedeutet es, dass das Integral ab dort abnimmt. Dort liegt also ein Maximum der Stammfunktion.

An Nullstellen von f(x) liegen Extremstellen von F(x)!

An Extremstellen der Funktion ändert sich die Steigung der Integralkurve von steiler werdend zu wieder flacher werdend oder umgekehrt. Daher liegen dort Wendestellen der Stammfunktion. Ist die Extremstelle ein Maximum, dann ist die Steigung der Stammfunktion an der Wendestelle positiv. Ist sie ein Minimum, dann ist die Steigung der Stammfunktion an der Wendestelle negativ.

An Minima oder Maxima von f(x) liegen Wendestellen von F(x)! Hat f(x) ein Maximum, steigt F(x) an der Wendestelle. Hat f(x) ein Minimum, fällt F(x) an der Wendestelle.l

An Nullstellen der Stammfunktion kann die Funktion beliebig sein, denn die Nullstellen der Stammfunktion können beliebig durch Addition einer Konsatnte verschoben werden.

Abb.6 Eine Funktion (schwarz) und ihr Integral (blau)

An sich ist der Zusammenhang zwischen dem Verlauf eines Funktionsgraphen und dem Verlauf ihres Integrals nicht kompliziert. Man muss nur erkennen, dass man nicht die Funktionswerte selbst abzulesen hat, sondern statt dessen die Fläche betrachten muss, die die Funktion mit der Nulllinie einschließt, wenn man das Integral bestimmen will.

An jeder Nullstelle der Funktion (egal ob Maximum oder Minimum) ändert sich die Fläche von zunehmend zu abnehmend oder umgekehrt. Also muss das Integral dort Extremstellen haben. Das sind die Punkte A, C und E in Abb.6. Um festzulegen, ob es sich bei einer Extremstelle um ein Maximum oder ein Minimum handelt, wird die Funktionskurve in x-Richtung entlanggefahren: Geht es an der Nullstelle bergab, wechslt die Fläche von zunehmend zu abnehmend (Punkte A und D). Dort liegen folglich Maxima des Integrals. Geht es an der Nullstelle bergauf, dann wechselt die Fläche von abnehmend zu zunehmend (Punkt C). Dort liegt demnach ein Minimum des Integrals.

An jeder Extremstelle der Funktion ändert sich die Fläche am stärksten. An einem Maximum nimmt sie am stärksten zu, an einem Minimum nimmt sie am stärksten ab. Das entspricht einem Wechsel von "es wird immer steiler" zu "es wird wieder flacher" oder umgekehrt. Daher liegen dort Wendestellen des Integrals. Das sind die Punkte B, D und F in Abb.6.


Abb.7
Abb.8
Kontrollfrage 7: Hat das Integral der in Abb.7 gezeigten Funktion irgendwo im dargestellten Ausschnitt Maxima? Wenn ja, an welchen Stellen?
Es hat ein Maximum, und zwar an der Nullstelle von f mit negativer Steigung, d.h. bei x ≈ 0,6.
Kontrollfrage 8: Hat das Integral der in Abb.7 gezeigten Funktion irgendwo im dargestellten Ausschnitt Minima? Wenn ja, an welchen Stellen?
Es hat ein Minimum, und zwar an der Nullstelle von f mit positiver Steigung, d.h. bei x ≈ -1,6.
Kontrollfrage 9: Hat das Integral der in Abb.7 gezeigten Funktion irgendwo im dargestellten Ausschnitt Wendepunkte? Wenn ja, an welchen Stellen und ist dort die Steigung des Integrals positiv oder negativ?
Es hat einen Wendepunkt, und zwar am Maximum von f(x), d.h. bei x ≈ -1,0. Die Steigung des Integrals muss dort positiv sein, weil auch f(x) positiv ist und die Fläche daher wächst!
Kontrollfrage 10: An welcher Stelle im dargestellten Ausschnitt wird das Integral der in Abb.7 gezeigten Funktion die vom Betrag her größte negative Steigung haben? Lässt sich das überhaupt angeben? Begründe!
Es lässt sich angeben, weil die Funktion im dargestellten Ausschnitt auch negative Werte hat. Da, wo der kleinste negative Funktionswert liegt (also der negative Wert mit dem größten Betrag!), nimmt die Fläche und somit das Integral am stärksten ab. Die Stelle liegt am rechten Ende x = 1,2.
Kontrollfrage 11: Welche der Kurven in Abb.8 könnte das Integral der in Abb.7 gezeigten Funktion sein?
Nur die rote Kurve! Bei allen Kurven stimmt die Lage der Extremstellenstellen. Doch bei der schwarzen Kurve sind Maximum und Minimum vertauscht, sie scheidet aus. Bei der blauen Kurve liegt der Wendepunkt an der falschen Stelle, deshalb scheidet auch sie aus. Nur bei der roten Kurev passt alles.


Berechnung von Integralen

Die Berechnung von Integralen bzw. Stammfunktionen kann ein sehr mühsames Geschäft sein. Einfache Integrale sollte man selbst berechnen können. Bei sehr komplizierten Integralen ist es jedoch durchaus legitim und üblich, diese einfach nachzuschlagen oder zum Beispiel via Mathematica/WolframAlpha[3] zu berechnen. Im Internet[4] und im Standardwrk "Bronstein"[5] sind Intergrale tabelliert. Für uns steht ein Verständnis der Physik im Vordergrund. Dazu ist es vor allem wichtig, erfasst zu haben, welche Bedeutung die Integration hat und wann sie angewendet werden muss. Das Lösen von komplizierten Integralen ist ein rein mathematisches Problem und darf den Mathematikern überlassen werden.

Schreibweisen für Integrale

Allgmeine Notation

Aus der Schule kennt man die Notation $\int f(x) dx$ für die Integration der Funktion f(x) über ihrem Parameter x. Für Integrale gibt es zwei Schreibweisen, die die gleiche Bedeutung haben.

Integration von f über die Größe x: $\int f(x)\ {\rm d}x=F(x)+c$    oder  $\int {\rm d}x\ f(x)=F(x)+c$

Die zweite Schreibweise wird selten verwendet. Sie lehnt sich an die Schreibweise des Differentialoperators an. Wie dieser wirkt dann der Integraloperator $\int\ {\rm d}x$ auf alles, was dahinter steht. Im PhysKi verwenden wir nur die erste Schreibweise. Diese klammert die zu integrierende Funktion zwischen dem Integralzeichen ∫ und einem Differential wie dx ein. In beiden Schreibweisen stehen sowohl f als auch x stellvertretend für beliebige physikalische Größen.

Beispiel: Das Symbol f könnte für eine Kraft F stehen und das Symbol x für einen Weg s, so dass die zu integrierende Funktion $F(s)$ wäre. Dann könnte man für die Integration von $F(s)$ über s einen der beiden folgenden Ausdrücke schreiben: $\int F(s)\ {\rm d}s$ oder $\int {\rm d}s\ F(s)$.

Zeitintegrale

Für den Fall, dass x für die Zeit t steht, gibt es zwar eine besondere Notation für die Ableitung, nicht jedoch für die Integration.

Beispiel: Die Beschleunigung a soll nach der Zeit t integriert werden. Somit steht f für die Beschleunigung $a$. Der vollständige Ausdruck für die Beschleunigung als Funktion der Zeit lautet a(t). Für das Integral von a über t schreiben wir: $\int a(t)\ {\rm d}t$.
Kontrollfrage 12: Integriere die Funktion $\dot f(t)$ über die Zeit t und gebe das Ergebnis an!
Es ist $\int \dot f(t)\ {\rm d}t = f(t)+c$


Schreibweise bestimmter Integrale

Bei der Lösung bestimmter Integrale wird als Zwischenschritt zuerst die Stammfunktion mit den Integrationsgrenzen angegeben und anschließend werden die Grenzen eingesetzt. Dazu gibt es zwei Varianten, wie man dies schreibt:

Lösung bestimmter Integrale $\int\limits_a^b f(x)\,{\rm d}x=\underbrace{\left[F(x)\right]_a^b}_{\text{Variante 1}}=F(b)-F(a)$   oder   $\int\limits_a^b f(x)\,{\rm d}x=\underbrace{F(x)\big\vert_a^b}_{\text{Variante 2}}=F(b)-F(a)$

Beide Varianten können gleichberechtigt verwendet werden.

Mehrfachintegrale

Auch Integrale kann man integrieren. Hierbei gibt es jedoch einen wesentlichen Unterschied zu den mehrfache Ableitungen: Mehrfache Ableitungen werden stets nach der gleichen Variablen durchgeführt. Bei Mehrfachinteralen ist das nicht so! Sie kommen statt dessen vor, wenn wir es mit Funktionen zu tun haben, die von mehreren Variablen abhängen wie f(x,y,z). Mehrfachintegrale beschreiben mehrere Interagtionen, die nacheinander über unterschiedliche Variablen erfolgen. Dies tritt insbesondere bei Flächen- und Volumeninteralen auf. Ein Volumendifferential dV lautet in kartesischen Koordinaten dV = dx dy dz. Ein Volumenintergral kann man durch folgende Notationen deutlich machen: $\int\limits_{V} f(x,y,z)\ {\rm d}V=\iiint\limits_{V} f(x,y,z)\ {\rm d}V=\int\limits_{z_a}^{z_b} \int\limits_{y_a}^{y_b} \int\limits_{x_a}^{x_b} f(x,y,z)\ {\rm d}x\ {\rm d}y\ {\rm d}z$. Die Integrale sind von innen nach außen zu lesen. Das Integralzeichen und das Differential klammern den zu integrierenden Ausdruck ein: $\underbrace{\int\limits_{z_a}^{z_b} \Bigg(\underbrace{\int\limits_{y_a}^{y_b} \Bigg [\underbrace{\int\limits_{x_a}^{x_b} f(x,y,z)\ {\rm d}x}_{inneres\ Integral}\Bigg]\ {\rm d}y}_{mittleres\ Integral}\Bigg)\ {\rm d}z}_{äußeres\ Integral}$. Wenn über x integriert wird, sind y und z wie Konstanten zu behandeln, wenn über y integriert wird, sind x und z wie Konstanten zu behandeln und wenn über z integriert wird, sind x und y wie Konstanten zu behandeln. Das gilt entsprechend, wenn statt kartesicher Koordinaten andere Koordinaten wie z.B. Polar-, Kugel- oder Zylinderkoordinaten verwendet werden.

Beispiel: Die Funktion $f(x,y,z)=x\cdot y\cdot z$ soll über x von 1 bis 2, über y von 0 bis 1 und über z von 2 bis 3 integriert werden. Das Integral wird so geschrieben: $\int\limits_{2}^{3} \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{1}^{2} x\cdot y\cdot z\ {\rm d}x\, {\rm d}y\, {\rm d}z$. Will man auf Nummer sicher gehen, kann man die Variablen an den Grenzen noch direkt benennen, z.B. so: $\int\limits_{z=2}^{3}\ \int\limits_{y=0}^{1}\ \int\limits_{x=1}^{2} x\cdot y\cdot z\ {\rm d}x\, {\rm d}y\, {\rm d}z$.

Es ist üblich, jedoch nicht zwingend, die Differentiale in der Reihenfolge dx dy dz zu schreiben. Jede andere Reihenfolge ist auch möglich, solange das Integral konstante Grenzen hat. Dann ändert sich natürlich auch die Reihenfolge der Grenzen. Wenn die Grenzen nicht konstant, sondern variabel oder unbestimmt sind, ist die Reihenfolge der Intergration von Bedeutung. Wenn dieser Fall im PhysKi auftritt, wird er gesondert besprochen.

Kontrollfrage 13: Gebe für x, y und z die Grenzen an, über die im folgenden Ausdruck integriert wird: $\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{1}^{2} \int\limits_{2}^{3} x+y+z\ {\rm d}y\, {\rm d}x\, {\rm d}z$.
Das innere Integral über y geht von 2 bis 3, das mittlere Integral über x geht von 1 bis 2 und das äußere Integral über z geht von 0 bis 1.


Integrale grundlegender Funktionen

Die unbestimmten Integrale bzw. die Stammfunktionen einfacher Funktionen sollte man im Kopf wissen! In der folgenden Auflistung ist c stets die Integrationskonstante. Die wichtigsten Stammfunktionen sind:

  • Konstanten $f(x)= a~\to~\int a\ {\rm d}x= a x +c$ insbesondere für a = 1 ist $f(x)= 1~\to~\int {\rm d}x= x +c$
  • Polynome $f(x)= x^n~\to~\int x^n\ {\rm d}x= \cases{\frac {1}{n+1} x^{n+1}+c\text{ für }n \ne -1\cr\ln |x| +c\text{ für }n = -1}$
  • Trigonometrische Funktionen $f(x)= \sin x ~\to~\int \sin x\ {\rm d}x=-\cos x+c$ und $f(x)= \cos x ~\to~\int \cos x\ {\rm d}x=\sin x +c$
  • Exponentialfunktion $f(x)= e^{x} ~\to~\int e^x\ {\rm d}x= e^{x}+c$
Beispiel: Einige unbestimmte Integrale: $\int 5\ {\rm d}x= 5 x +c$ und $\int x\ {\rm d}x= \frac 12 x^2 +c$ und $\int x^2\ {\rm d}x= \frac 13 x^3 +c$ und $\int x^5\ {\rm d}x= \frac 16 x^6 +c$.

Das Integral von $g(x) = \dfrac 1{x^2}$ berechnet man mit der Identität $\dfrac 1{x^2}=x^{-2}$. Es ist $\int x^{-2}\ {\rm d}x= - x^{-1} +c=-\dfrac 1 x +c$.

Das Integral von $h(x) = \sqrt{x}=x^{\frac 12}$ berechnet man mit der Identität $\sqrt{x}=x^{\frac 12}$. Es ist $\int x^{\frac 12}\ {\rm d}x=\frac 1{3/2} x^{3/2} +c=\frac 23 \sqrt {x^3}+c$.
Kontrollfrage 14: Das unbestimmte Integral von $f(x)=\dfrac 1 x$ ist ...
Das Integral berechnet man mit der Identität $\frac 1x=x^{-1}$. Das Integral ergibt $\int x^{-1}\ {\rm d}x=\ln \vert x\vert +c$.
Kontrollfrage 15: Das unbestimmte Integral von $f(x)=\dfrac 1{\sqrt{x} }$ ist ...
Das Integral berechnet man mit der Identität $\dfrac 1{\sqrt x}=x^{-\frac 12}$. Das Intergal ergibt $\int x^{-\frac 1 2}\ {\rm d}x = \frac 1 {1/2} x^{1/2}+c=2\sqrt {x}+c$.


Integrationsregeln

Integrieren ist schwieriger als Ableiten. Einige Integrationsregeln können für komplizertere Funktionen hilfreich sein. Die wichtigsten sind:

  1. Konstanter Faktor a: $\int a\cdot f(x)\,{\rm d}x =a \int f(x)\,{\rm d}x$
  2. Summenregel: $\int f(x) + g(x)\,{\rm d}x= \int f(x)\,{\rm d}x+ \int g(x)\,{\rm d}x$
  3. Partielle Integration: $\int \, f'(x)\, g(x) \, {\rm d}x = f(x)\, g(x) - \int \, f(x)\, g'(x) \, {\rm d}x$
  4. Substitution: $\int \, f(x) \, {\rm d}x = \int \, f(g(t)) \cdot \dfrac{ {\rm d}g(t)} { {\rm d}t} \, {\rm d}t$
  5. Quotientenregel: $\int\dfrac {f'(x)}{f(x)}{\rm d}x= \ln \vert f(x)\vert +c$
Beispiele:

a) Das Intergal einer Geraden $f(x) = a x + b$ mit den Konstanten a und b ist $\int a x + b \, dx=\frac 12 a x^2 + b x+ c$. Das ist eine Parabel.
b) Das Integral der Funktion $f(x) = x \sqrt{x^2+1}$ berechnet man folgendermaßen: Es sei $t=\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{\frac 12}$. Auflösen nach x ergibt $x=g(t)=(t^2-1)^{\frac 12}$ mit der Ableitung $\dfrac{ {\rm d}g} { {\rm d}t}=\dfrac{ {\rm d} } { {\rm d}t}(t^2-1)^{\frac 1 2}=2 t\cdot \frac 12 (t^2-1)^{-\frac 12}={t}(t^2-1)^{-\frac 12}$. Setzen wir alles in das Integral ein, erhalten wir $\int x \sqrt{x^2+1}\, {\rm d}x=\int\, (t^2-1)^{\frac 12}\cdot t \cdot {t}(t^2-1)^{-\frac 12}\, {\rm d}t = \int\, t^2\, {\rm d}t = \frac 13 t^3 + c = \frac 13 (x^2+1)^{\frac 32}+c$.
c) Das Integral der Funktion $f(t) = A \cos(\omega t)$ mit den Konstanten A und ω über die Zeit t berechnet man folgendermaßen: Es sei $x=\omega t$, somit ist $t=g(x)=\dfrac x{\omega}$ und $\dfrac{ {\rm d}g(x)} { {\rm d}x}=\dfrac 1{\omega}$. Das ergibt $\int A \cos(\omega t)\, {\rm d}t = A \int \cos(x) \dfrac 1{\omega}{\rm d}x= \dfrac A{\omega} \int \cos(x)\ {\rm d}x= \dfrac A{\omega}\sin(x)+c=\dfrac A{\omega}\sin(\omega t)+c$.
d) Wir berechnen $\int x\cdot e^x {\rm d}x$ mit $f(x)=e^x$ und $g(x)=x$. Dann ist $f'(x)=e^x$ und $g'(x)=1$. Damit ist $\int x\cdot e^x {\rm d}x=x\cdot e^x -\int 1\cdot e^x {\rm d}x=x\cdot e^x - e^x +c=(x-1) e^x +c$.
e) Wir berechnen $\int \tan x\, {\rm d}x$ mit der Identität $\tan x =\dfrac{\sin x}{\cos x}$. Weil $\dfrac{ {\rm d} } { {\rm d}x}\cos x = - \sin x$ ist, ergibt sich $\int \tan x\, {\rm d}x= -\int \dfrac{-\sin x}{\cos x}\, {\rm d}x=-\ln(\vert \cos x\vert)+c$

Kontrollfrage 16: Gebe für jedes der Beispiele a) bis e) an, welche der Integrationsregeln darin verwendet wurden!
a) Regeln 1 und 2. b) Regel 4. c) Regeln 1 und 4, wobei in Regel 4 x unt t vertauscht wurden. d) Regel 3, wobei die Reihenfolge von f und g vertauscht wurde, und e) Regel 5.


Mehrfachintegrale

Integrale über Flächen und Volumina kommen in der Physik besonders häufig vor. Diese sind Mehrfachintegrale. Sie werden entsprechend den bisher genannten Regeln integriert. Man muss lediglich beachten, dass bei der Integration über eine der Variablen jeweils alle anderen Variablen als Konstanten zu betrachten sind.

Beispiel: Wir berechnen das bestimmte Integrals $\int\limits_{0}^{z_0} \int\limits_{0}^{y_0} \int\limits_{0}^{x_0} x+y+z\ {\rm d}x\, {\rm d}y\, {\rm d}z$.

Im ersten Schritt berechnen wir das innere Integral über x: $\int\limits_{0}^{z_0} \int\limits_{0}^{y_0} \int\limits_{0}^{x_0}\ x+y+z\ {\rm d}x\, {\rm d}y\, {\rm d}z =\int\limits_{0}^{z_0} \int\limits_{0}^{y_0} \left[ \frac 12 x^2+x y+ x z\right]_0^{x_0}\ {\rm d}y\, {\rm d}z=\int\limits_{0}^{z_0} \int\limits_{0}^{y_0} \frac 12 x_0^2+x_0 y+ x_0 z\ {\rm d}y\, {\rm d}z$.

Im nächsten Schritt berechnen wir das mittlere Integral über y: $\int\limits_{0}^{z_0} \int\limits_{0}^{y_0} \frac 12 x_0^2+x_0 y+ x_0 z\ {\rm d}y\, {\rm d}z=\int\limits_{0}^{z_0} \left[\frac 12 x_0^2 y+\frac 12 x_0 y^2+x_0 y z\right]_0^{y_0}\ {\rm d}z=\int\limits_{0}^{z_0}\frac 12 x_0^2 y_0+\frac 12 x_0 y_0^2+x_0 y_0 z\ {\rm d}z$.

Im letzten Schritt berechnen wir das äußere Integral über z: $\int\limits_{0}^{z_0}\frac 12 x_0^2 y_0+\frac 12 x_0 y_0^2+x_0 y_0 z\ {\rm d}z=\left[\frac 12 x_0^2 y_0 z+\frac 12 x_0 y_0^2 z+\frac 12 x_0 y_0 z^2\right]_0^{z_0}=\frac 12 x_0^2 y_0 z_0+\frac 12 x_0 y_0^2 z_0+\frac 12 x_0 y_0 z_0^2$.
Kontrollfrage 17: Das bestimmte Integral $\int\limits_{0}^{z_0} \int\limits_{0}^{y_0} \int\limits_{0}^{x_0} x\cdot y\cdot z\ {\rm d}x\, {\rm d}y\, {\rm d}z$ ist ...
Im ersten Schritt berechnen wir das innere Integral über x: $\int\limits_{0}^{z_0} \int\limits_{0}^{y_0} \int\limits_{0}^{x_0}\ x\cdot y\cdot z\ {\rm d}x\, {\rm d}y\, {\rm d}z =\int\limits_{0}^{z_0} \int\limits_{0}^{y_0} \left[ \frac 12 x^2\cdot y\cdot z\right]_0^{x_0}\ {\rm d}y\, {\rm d}z=\int\limits_{0}^{z_0} \int\limits_{0}^{y_0} \frac 12 x_0^2\cdot y\cdot z\ {\rm d}y\, {\rm d}z$.

Im nächsten Schritt berechnen wir das mittlere Integral über y: $\int\limits_{0}^{z_0} \int\limits_{0}^{y_0} \frac 12 x_0^2\cdot y\cdot z\ {\rm d}y\, {\rm d}z=\int\limits_{0}^{z_0} \left[\frac 12 x_0^2\cdot \frac 12 y^2\cdot z\right]_0^{y_0}\ {\rm d}z=\int\limits_{0}^{z_0}\frac 12 x_0^2\cdot \frac 12 y_0^2\cdot z\ {\rm d}z$.

Im letzten Schritt berechnen wir das äußere Integral über z: $\int\limits_{0}^{z_0}\frac 12 x_0^2\cdot \frac 12 y_0^2\cdot z\ {\rm d}z=\left[\frac 12 x_0^2\cdot \frac 12 y_0^2\cdot z\right]_0^{z_0}=\frac 12 x_0^2\cdot \frac 12 y_0^2\cdot \frac 12 z_0^2=\frac 18 x_0^2\cdot y_0^2\cdot z_0^2$.

Auch komplizierte Mehrfachintergale können via Mathematica/WolframAlpha[6] integriert werden.

Umkehrung der Integration

Die Umkehrung der Integration ist die Ableitung.


  1. Integriert man andersherum, d.h. in negative x-Richtung, ändert sich das Vorzeichen, siehe Abschnitt Unbestimmte und bestimmte Integrale.
  2. Damit eine Linie geschlossen sein kann, muss sie irgendwann einmal "umkehren". Sobald sie das tut, sind einem x-Wert mehrere f-Werte zugeordnet und es ist keine Funktion mehr. Denn eine Funktion ist dadurch definiert, dass einem x-Wert genau ein f-Wert zugeordnet ist.
  3. Dem Link folgen, in das Eingabefeld den Befehl "Integrate[f(x),x]" eingeben und auf das "=" am rechten Ende des Eingabefeldes klicken. Wenn z.B. f(x)=a x cos(x2) über x integriert werden soll, lautet die Eingabe "Integrate[a x Cos[x^2],x]" und liefert das Ergebnis 1/2 a sin(x2).
  4. https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Integrale
  5. Taschenbuch der Mathematik (Bronstein), Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig, 10. Auflage, Verlag Europa-Lehrmittel, Edition Harry Deutsch, Haan-Gruiten (2016)
  6. Dem Link folgen, in das Eingabefeld den Befehl "Integrate[f(x,y,z),z,y,x]" eingeben und auf das "=" am rechten Ende des Eingabefeldes klicken. Wenn z.B. f(x,y,z)=x+y+z zuerst über x, dann über y und am Ende über z integriert werden soll, lautet die Eingabe "Integrate[x+y+z,z,y,x]" und liefert das Ergebnis 1/2 x2y z + 1/2 x y2z+ 1/2 x y z2 +c1 y z + c2 z + c3 .