Induktion

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Physikalischer Kontext

Unter Induktion verstehen wir die Erzeugung eines elektrischen Feldes, wenn sich ein Magnetfeld zeitlich ändert. Induktion ist das Gegenstück zum Verschiebungsstrom, der ja angibt, dass ein Magnetfeld erzeugt wird, wenn sich ein elektrisches Feld zeitlich ändert. Weil es um Änderungen der Felder geht, sind beides Phänomene der Elektrodynamik und nicht mehr der Elektro- oder Magnetostatik. Die durch Induktion enstehenden elektrischen Felder haben genau wie Magnetfelder geschlossene Feldlinien. Es sind Wirbelfelder. Diese Feldlinien wickeln sich um das sich ändernde Magnetfeld, so wie sich Magnetfeldlinien um die sie erzeugenden Ströme wickeln. Wenn dieses elektrische Feld in Leiterschleifen erzeugt wird, können dadurch Ströme fließen. Das nutzt man zum Beispiel bei Induktionskochfeldern aus. In offenen Stromkreisen können keine Ströme fließen und statt dessen werden Spannungen erzeugt. Man nutzt das z.B. bei Induktionsschleifen in Straßen zur Verkehrssteuerung oder auch bei elektromagnetischen Tonabnehmern, in denen eine kleiner Magnet relativ zu einer Spule bewegt wird, wodurch eine Induktionsspannung entsteht.

Phänomene durch Induktion

Durch Induktion verursachten Phänomene sind ungeheuer vielfältig.

  • Bewegt man eine geschlossene Leiterschleife und ein Magnetfeld relativ zueinander, tritt darin ein induzierter Strom auf.
  • Bewegt man ein offenes Leiterstück und ein Magnetfeld relativ zueinander, entsteht darin eine induzierte Spannung.
  • Verändert man den Strom in einem Leiter, wird in einem zweiten Leiter, der sich in der Nähe befindet, ein Strom oder eine Spannung induziert.
  • Verändert man den Strom in einem Leiter, wird eine sich in der Nähe befindende geschlossene Leiterschleife angezogen oder abgestoßen.
  • Verändert man ein Magnetfeld im Vakuum, entsteht ein ringförmiges elektrisches Feld.
  • Lässt man einen Magneten durch ein Kupferrohr fällen, dann fällt er nicht frei, sondern bewegt sich sehr langsam hindurch. Versucht man, ihn hindurch zu schieben, spürt man einen deutlichen Widerstand.

Umso erstaunlicher ist es, dass sie alle durch eine einzige Ursache bzw. Gleichung beschrieben werden können. Hier zeigt sich die Physik von ihrer besten Seite. Induktion tritt immer auf, sobald sich ein Magnetfeld irgendwo ändert. Diese Änderung kann erzeugt werden, indem wir den Magneten bewegen, oder den das Magnetfeld erzeugenden Strom ändern oder etwas, z.B. eine Leiterschleife, durch das Magnetfeld bewegen. In all den Fällen entsteht ein induziertes elektrisches Feld. Dieses wiederum kann einen Strom erzeugen, der wiederum ein Magnetfeld erzeugt. Es kann aber auch eine Spannung erzeugen, wenn kein Strom fließen kann. Dann entsteht auch kein Magnetfeld. Die primäre Ursache ist also immer das induzierte elektrische Feld. Zusammengefasst ergibt das:

Induktion tritt auf, sobald sich ein Magnetfeld wodurch auch immer ändert. Dadurch entsteht immer ein elektrisches Feld. Dieses elektrisches Feld kann in offenen Leitern eine Spannung und in geschlossenen Leiterschleifen einen Strom und damit auch ein Magnetfeld erzeugen.

Induktionsgesetz

Das Induktionsgesetz beschreibt, dass ein sich änderndes Magnetfeld ein elektrisches Feld mit geschlossenen Feldlinien erzeugt, d.h. ein elektrisches Wirbelfeld. Die Änderung des Magnetfeldes steckt darin als Änderung des magnetischen Flusses $\Phi_B=\int\vec B\cdot d\vec A$ durch eine Fläche A. Der magnetische Fluss ist das magnetische Äquivalent des elektrischen Flusses, den wir schon vom Satz von Gauß kennen. Der Wirbelcharakter des elektrischen Feldes steckt in einem geschlossenen Wegintegral (Zirkulationsintegral), dass nur dann einen Wert ≠ 0 hat, wenn das Feld Wirbel hat. Für ein elektrostatisches Feld, dessen Feldlinien ja in positiven Ladungen beginnen und in negativen Ladungen enden, ist dieses Integral stets null.

Abb.F1
Kontrollfrage 1: Abb.F1 zeigt einen stromdurchflossenen Leiter und drei gleiche kreisförmige Flächen. A wird mittig und senkrecht vom Leiter durchbohrt, B liegt neben dem Leiter in der Ebene des Leiters und C schwebt mittig über dem Leiter. Sortiere die drei Flächen nach dem Betrag des magnetischen Flusses. Dazu musst Du wissen, wie das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters aussieht.
Die Reihenfolge ist B > A = C = 0. Bei B stehen alle Feldlinien senkrecht auf der Fläche. Bei A sind alle Feldlinien parallel zur Fläche orientiert, deshalb ist der Fluss null. Bei C dringen die Feldlinien unten aus der Fläche heraus aber oben wieder in die Fläche hinein, daher ist der Fluss ebenfalls null.


Kontrollfrage 2: Nehme an, in Abb.F1 würde die Kreisfläche A vom Leiter zwar mittig durchbohrt, wäre jedoch um eine Achse, die durch den Mittelpunkt geht, verdreht. Wie ändert sich dadurch der magnetische Fluss?
Abb.F2a
Überhapt nicht, er bleibt null. Denn jede Feldlinie, die oben hindurchtritt kommt unten wieder heraus (Abb.F2a). Die Fläche kann verdreht sein. Solange sie mittig vom Leiter durchbohrt wird, bleibt der Fluss null.

Mathematische Formulierung

Die mathematische Darstellung des Induktionsgesetzes lautet:

Faradaysches Induktionsgesetz: $\oint\limits_{\array{\text{Rand}\cr \text{von }A}} \vec E\cdot d\vec r=-\frac{d}{dt}\int\limits_A \vec B\cdot d\vec A$      (1). Darin ist das rechte Integral der magnetische Fluss $\Phi_B=\int\limits_A \vec B\cdot d\vec A$ durch eine Fläche A und $\vec E$ das im Rand der Fläche A induzierte elektrische Wirbelfeld.

Das mag im ersten Moment etwas schwer verdaulich erscheinen. Wir werden es jedoch mit Leben füllen. Einfachere Schreibweisen sind $\oint \vec E\cdot d\vec r=-\frac{d\Phi_B}{dt}$ und auch $U_{ind}=-\frac{d\Phi_B}{dt}$. In diesen Schreibweisen wird jedoch der Zusammenhang zwischen dem Ort von $\vec E$ und der Fläche A, in welcher sich der magnetische Fluss ändert, nicht mehr deutlich. Insbesondere die letzte Schreibweise suggeriert ohne Einschränkung die Identität $\oint\vec E\cdot d\vec r=U_{ind}$, was jedoch ein Widerspruch in sich ist. Denn die Spannung ist ja die Differenz eines skalaren Potenzials und dieses existiert überhaupt nur dann, wenn $\oint\vec E\cdot d\vec r=0$, d.h. $\vec E$ kein Wirbelfeld ist. Ebensowenig, wie man dem Magnetfeld ein skalares Potenzial zuordnen kann, kann man das bei induzierten elektrischen Feldern. Denn beide haben geschlossene Feldlinien und sind Wirbelfelder. Folglich bedarf die Gleichung $U_{ind}=-\frac{d\Phi_B}{dt}$ einiger Erklärungen, Obwohl sie die häufigste Formulierung des Induktionsgesetzes ist, ist sie eigentlich eine Abwandlung des Induktionsgesetzes. Am besten kann man sie nachvollziehen, wenn keine geschlossenen Wege betrachtet werden (siehe Induzierte Spannung).

Abb.F3
Kontrollfrage 3: Abb.F3 zeigt den zeitlichen Verlauf B(t) eines Magnetfeldes, das eine Leiterschleife durchsetzt. Sortiere die Zeitbereiche A bis D nach dem Betrag von $\vec E$ im Rand der Leiterschleife (größter zuerst)!
Die Reihenfolge ist A > C > B > D = 0. Weil es immer die gleiche Leiterschleife ist, ist die Fläche immer gleich. Daher ist die Flussänderung nur proportional zur Änderung von B, d.h. der Steigung der B(t)-Kurve.


Abb.F4
Kontrollfrage 4: Abb.F4 zeigt vier Leiterschleifen A bis D, die mit der gleichen Geschwindigkeit v in den Bereich eines homogenen Magnetfeldes eindringen. Sortiere die Schleifen A bis D nach dem Betrag von $\oint\vec E \cdot d\vec r$ (größter zuerst)!
Die Reihenfolge ist A = C > B = D und durch die Breite b der Schleifen bestimmt. Weil es immer das gleiche Magnetfeld und die gleiche Geschwindigkeit v ist, kommt es für die Flussänderung nur auf die Flächenänderung $dA/dt= b v$ an. Die Breite b ist für A und C gleich und doppelt so groß wie bei B und D, die ebenfalls die gleiche Breite haben. Und $\oint\vec E\cdot d\vec r$ ist gleich der Flussänderung.



Herleitung

Abb.1 Gedankenexperimente

Um die Herleitung des Induktionsgesetzes verstehen zu können, benötigen wir Kenntnis über die Lorentz-Kraft. Wir machen jetzt drei Gedankenexperimente: Dazu stellen wir uns eine rechteckige Leiterschleife mit den Kantenlängen a und b vor, die in der xy-Ebene liegt und sich in einem Magnetfeld $\vec B$ befindet. Das Magnetfeld sei senkrecht zur Fläche der Schleife gerichtet und zeigt in die z-Richtung.

  1. In Gedankenexperiment 1 (Abb.1.1) sei das Magnetfeld homogen und die Schleife ruht darin. In diesem Fall passiert nichts.
  2. In Gedankenexperiment 2 (Abb.1.2) sei das Magnetfeld homogen und die Schleife bewegt sich darin mit konstanter Geschwindigkeit $\vec v$ nach rechts. Nun wirken auf die beweglichen Ladungen in der Leiterschleife Lorentz-Kräfte, weil die Ladungen ja nun bewegt sind. Diese Lorentz-Kräfte bewirken rechts und links einen elektrischen Strom I und treiben die positiven Ladungen nach unten und negative Ladungen nach oben, wie man leicht mit der Rechte-Hand-Regel überprüfen kann. Weil die Kräfte links und rechts gleich sind, kann jedoch kein im Kreis fließender Strom entstehen, denn die rechts heruntergdrückten Ladungen können links nicht aufsteigen, weil sie dort mit gleicher Kraft heruntergedrückt werden. Statt dessen bewirkt die Lorentz-Kraft nur einen Strom von oben nach unten, wodurch ein elektrisches Gegenfeld $\vec E_G$ heranwächst, bis dessen Coulomb-Kraft $\vec F_C=q \vec E_G$ die Lorentz-Kraft $\vec F_L$ gerade kompensiert und der Strom zum erliegen kommt. Diese Ladungstrennung nutzt man beim Hall-Effekt zur Messung von Magnetfeldern. Aber ist dieses elektrische Gegenfeld auch ein induziertes elektrisches Feld, wie es im Induktionsgesetz beschrieben wird? Aus zwei Gründen lautet die Antwort "nein"! Zum einen sind seine Feldlinien nicht geschlossen. Es ist ein elektrostatisches Feld, das sich im Kräftegleichgewicht einstellt. Und zum anderen bewirkt es nicht den den vom Magnetfeld erzeugten Strom, sondern bringt ihn gerade zum erliegen. Wir können das auch mathematisch prüfen, indem wir die Zirkulation $\oint\vec E_G\cdot d\vec r$ ausrechnen. Unseren Weg wählen wir gegen den Uhrzeigersinn die Schleife entlang. Er besteht aus den vier geraden Abschnitten der Schleife. Weil das Feld entlang der geraden Abschnitte konstant und gleich orientiert ist, sind die einzelnen Wegintegrale einfach das Skalarprodukt aus Feld und Weg, z.B. für das erste Wegstück ist $\int_0^a \vec E_G \cdot d\vec s=E_G\cdot a$. Wir starten in der rechten unteren Ecke. Das ergibt $\oint\limits_{\text{Schleife}}\vec E\cdot d\vec r=E_G a+0-E_G a +0=0$. Das zweite und vierte Intergal sind null, weil Feld und Weg senkrecht zueinander stehen. Im dritten Integral sind Feld und Weg entgegengesetzt gerichtet, deshalb ist es negativ. Da die Zirkulation verschwindet, ist $\vec E_G$ folglich kein Induktionsfeld.
  3. In Gedankenexperiment 3 (Abb.1.3) betrachten wir die gleiche Situation, wie in 2. mit dem einzigen Unterschied, dass das Magnetfeld nun inhomogen ist und von links nach rechts zunimmt. Dadurch sind auch die Lorentz-Kräfte im linken und im rechten vertikalen Abschnitt der Schleife nicht mehr gleich. Die Lorentz-Kraft rechts ist größer als die Lorentz-Kraft links. Dadurch werden die Ladungen rechts stärker nach unten getrieben als links. Deshalb kann die Kraft links die von rechts kommenden Ladungen nicht mehr vollständig bremsen und es entsteht ein induzierter elektrischer Strom im Uhrzeigersinn. Wenn wir als Ursache des induzierten Stromes statt der Lorentz-Kraft ein induziertes elektrisches Feld $\vec E$ annehmen, dann muss dieses die gleiche Kraft erzeugen. Das ergibt die Bedingung $q\vec E=q\vec v \times \vec B$ und damit den Zusammenhang $\vec E = \vec v\times \vec B$ und für die Beträge links und rechts $E_1=v B_1$ und $E_2=v B_2$. Wir berechnen jetzt genau wie oben (gleicher Weg) die Zirkulation $\oint\vec E\cdot d\vec r$ für das Feld. Das ergibt $\oint\limits_{\text{Schleife}}\vec E\cdot d\vec r=- v B_2 a + v B_1 a=a(B_1-B_2)v < 0$. Das entstehende elektrische Feld ist folglich ein Induktionsfeld und läuft im Uhrzeigersinn. Daraus können wir jetzt das Induktionsgesetz ableiten:
    1. Das Magnetfeld B2 können wir mit Hilfe des Feldgradienten und der Länge b ausdrücken: $B_2=B_1+\frac{dB}{dx}b$. Das setzen wir ein: $\oint\limits_{\text{Schleife}}\vec E\cdot d\vec r=a (B_1-B_2)v=a(B_1-\left[B_1+\frac{dB}{dx}b \right])v=a\left(-\frac{dB}{dx}b \right)v=-ab\cdot \frac{dB}{dx}\cdot v$.
    2. Die Fläche der Schleife ist $A=a b$ und und konstant. Der magnetische Fluss ist $\Phi_B= A B$.Beides setzen wir ein: $\oint\limits_{\text{Schleife}}\vec E\cdot d\vec r=-ab\cdot \frac{dB}{dx}\cdot v=-A\cdot \frac{dB}{dx}\cdot v=-\frac{d\Phi_B}{dx}\cdot v$.
    3. die Geschwindigkeit ist $v=\frac{dx}{dt}$. Die Kettenregel ergibt $\frac{d\Phi_B}{dt}=\frac{d\Phi_B}{dx}\frac{dx}{dt}$. Setzen wir das ein, erhalten wir das Induktionsgesetz: $\oint\limits_{\text{Schleife}}\vec E\cdot d\vec r=-\frac{d\Phi_B}{dx}\cdot v=-\frac{d\Phi_B}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=-\frac{d\Phi_B}{dt}$.

Obwohl wir in der Herleitung anfangs Kräfte auf Ladungen in Leitern betrachtet haben, sind diese Ladungen aus jeder Gleichung sofort herausgefallen. Das liegt daran, dass das Induktionsgesetz für die Felder gilt und somit auch im Vakuum. Damit ein induziertes elektrisches Feld entsteht, muss keine Leiterschleife vorhanden sein. Wer oder was ist das induzierte Feld ohne Leiterschleife und Ladungen? Des Rätsels Lösung steckt im Zusammenhang $\vec E = \vec v\times \vec B$. Das ist nämlich gerade das elektrische Feld im Ruhesystem der Leiterschleife (vergleiche Magnetfeld)[1].

Lenzsche Regel

In der Herleitung haben wir gesehen, dass die Induktion in einer geschlossenen Leiterscheleife einen Strom erzeugt. Dieser Strom erzeugt natürlich seinerseits auch wieder ein Magnetfeld, das wir induziertes Magnetfeld nennen können. Wie sind Strom und induziertes Magnetfeld gerichtet?

In unserem Beispiel Abb.1.3 zeigte das ursprüngliche Magnetfeld aus der Zeichenebene heraus. Die Daumenregel zeigt uns, dass das induzieret Magnetfeld innerhalb der Leiterschleife in die Zeichenebene herein gerichtet ist. Um das nachzuvollziehen, kann man entweder die Finger in die Umlaufrichtung des induzierten Stroms krümmen und schauen, wo der Daumen hinzeigt (das gibt die Richtung des magnetischen Momentes), oder eines der Leiterstücke mit der Hand umgreifen und dabei den Daumen in Stromrichtung zeigen lassen. In unserem Beispiel Abb.1.3 nahm der magnetische Fluss durch die Leiterschleife durch die Bewegung zu. Das induzierte Magnetfeld ist gegen das ursprüngliche Magnetfeld gerichtet und wirkt deshalb der Flussänderung entgegen. Wundern sollte uns das nicht, denn genau das ist die Bedeutung des − vor der Flussänderung im Induktionsgesetz.

Häufig wird dieses Minuszeichen besonders betont und als Lenzsche Regel bezeichnet:

Lenzsche Regel: Jedes induzierte Magnetfeld wirkt der Flussänderung, die es erzeugt, entgegen.

Will man sie anwenden, geht das am einfachsten so: Man hält den Daumen der rechten Hand in Richtung des ursprünglichen Magnetfeldes.

  • Nimmt der Fluss ab, dann ist das induzierte Feld wie der Daumen gerichtet und der Umlaufsinn der Finger zeigt den Umlaufsinn des induzierten Feldes.
  • Nimmt der Fluss zu, dann ist das induzierte Feld gegen den Daumen gerichtet und der Umlaufsinn der Finger zeigt gegen den Umlaufsinn des induzierten Feldes.
Abb.B1 Induzierter Strom beim Ein- und Ausschalten einer Spule
Beispiel: Ein- und Ausschalten eines Magnetfeldes Abb.B1 zeigt eine Spule. Gegenüber von ihrem linken Ende befindet sich eine Leiterschleife. Wenn der Strom in der Spule eingeschaltet wird, entsteht eine nach links gerichtetes Magnetfeld, dargestellt durch die pinken Pfeile.

Das obere Bild zeigt den Ausschaltvorgang. Dabei nimmt der magnetische Fluss durch die Leiterschleife ab. Wir halten den Daumen der rechten Hand in Feldrichtung, d.h. nach links. Weil der Fluss durch die Leiterschleige abnimmt, zeigt der Daumen die Richtung des induzierten Feldes und die Finger zeigen die Umlaufrichtung des Stromes. Das zeigen die blauen Pfeile an. Beim Einschalten (unteres Bild) bleiben Hand und Daumen bleiben wie sie sind. Weil der Fluss jetzt zunimmt, muss das induzierte Feld gegen die Daumenrichtung gerichtet sein, d.h. nach rechts. Der zugehörige induzierte Strom muss gegen die Krümmungsrichtung der Finger gerichtet sein. Das zeigen wieder die blauen Pfeile an.

Kontrollfrage 5: Überlege dir die Richtung des indizierten Magnetfeldes und des indizierten Stromes in einer Leiterschleife am anderen Ende der Spule in Abb.B1!
Es ändert sich überhaupt nichts, weil die ursprüngliche Feldrichtung gleich bleibt. An beiden Enden entsteht beim Ausschalten ein in ursprüngliche Feldrichtung gerichtetes induziertes Feld und beim Ausschalten ein gegen die ursprüngliche Feldrichtung gerichtetes induziertes Feld. Dementsprechend bleiben auch die Stromrichtungen gleich!

Anziehung und Abstoßung durch Induktion

Wenn durch die Induktion Ströme in Leiterschleifen und Magnetfelder erzeugt werden, dann ist es naheliegend, dass damit auch Kräfte verbunden sind. Diese Kräfte kann man sich wieder mit der Rechte-Hand-Regel überlegen: In Abb.B1 oben erzeugt das Magnetfeld der Spule eine Lorentz-Kraft auf die Ströme in der Leiterschleife. Ebenso erzeugt das induzierte Magnetfeld der Leiterschleife eine Kraft auf die Ströme der Spule. Gemäß Actio=Reactio müssen beide Kräfte entgegengesetzt gleich sein. Betrachten wir zuerst wieder den Ausschaltvorgang. Im vorderen Abschnitt der Leiterschleife ist der Strom nach oben gerichtet. Das Magnetfeld der Spule zeigt nach links. Lassen wir also den Daumen nach unten und den Zeigefinger nach links zeigen, dann liefert die Rechte-Hand-Regel eine aus der Zeichenebene heraus gerichtete, bzw. von der Schleife radial nach außen zeigende Lorentz-Kraft. Wiederholen wir das für den oberen, den unteren und einen hinteren Punkt der Schleife, erhalten wir immer eine radial nach außen gerichtete, d.h. von der Schleifenmitte weg zeigende Lorentz-Kraft. Die Lorentz-Kraft würde also eine Vergrößerung des Schleifenradius bewirken, wenn das möglich wäre. Sie kann jedoch die Schleife nicht beschleunigen oder verdrehen. Im unteren Bild beim Ausschaltvorgang erhälten wir mit der gleichen Methode überall eine radial nach innen wirkende Kraft. Auch diese kann die Schleife nicht verdrehen oder beschleunigen, sondern nur verkleinern.

Abb.4 Kraft im inhomogenen Magnetfeld

Soviel zur Theorie. Wenn wir das Experiment in der Praxis durchführen, sehen wir jedoch etwas anderes. Beim Einschalten des Feldes wird die Leiterschleife abgestoßen und beim Ausschalten wird sie angezogen. Wie lässt sich das verstehen? Des Rätsels Lösung liegt darin, dass in den Bildern in Abb.3 das Magnetfeld als homogenes Feld gezeichnet wurde. In einem homogenen Magnetfeld können tatsächlich keine beschleunigenden Kräfte, sondern nur Drehmomente auf Leiterschleifen auftreten. In der Realität ist das Magnetfeld am Ende der Spule inhomogen, die Feldlinien laufen auseinander. In einem inhomogenen Magnetfeld treten anziehende und abstoßende Kräfte auf. Für diese Kräfte ist es unerheblich, ob die Ströme in der Leiterschleife durch Induktion oder anderweitig hervorgerufen werden. Wir betrachten zuerst wieder eine Stromschleife beim Ausschalten. In diesem Fall ist das induzierte Feld wie das Ausgangsfeld gerichtet. Durch die Inhomogenität des $\vec B$-Feldes ist nun die Lorentzkraft nicht mehr radial nach außen, sondern schräg zur Spule zeigend nach außen gerichtet. Die radialen Komponenten der Lorentz-Kräfte heben sich für gegenüberliegende Stückchen der Leiterschleife paarweise auf, doch die zur Spule zeigenden Komponenten addieren sich alle, so dass eine zur Spule zeigende Kraft resultiert. Leiterschleife und Spule ziehen sich deshalb an. Ähnlich ist es beim Einschalten. Nun ist das induzierte Feld gegen das Ausgangsfeld gerichtet. Durch die Inhomogenität des $\vec B$-Feldes ist die Lorentzkraft nicht mehr radial nach innen, sondern schräg von der Spule weg zeigend nach innen gerichtet. Wieder heben sich die radialen Komponenten der Lorentz-Kräfte für gegenüberliegende Stückchen der Leiterschleife paarweise auf, doch die von der Spule weg zeigenden Komponenten addieren sich alle, so dass eine von der Spule weg zeigende Kraft resultiert. Leiterschleife und Spule stoßen sich deshalb an.

Ein induziertes $\vec B$-Feld hat immer die gleiche Richtung wie sein magnetisches Moment. Wenn wir statt des induzierten Feldes das magnetische Moment μ der Leiterschleife betrachten, dann können wir die Kraftwirkung verallgmeinern:

Magnetische Momente, die parallel zu einem $\vec B$-Feld gerichtet sind, werden in das $\vec B$-Feld hineingezogen.

Magnetische Momente, die gegen ein $\vec B$-Feld gerichtet sind, werden aus dem $\vec B$-Feld herausgedrückt.

Dieses Kraftwirkung ist die Grundlage, um das Verhalten und die Reaktion von Materie auf Magnetfelder zu verstehen. Nur damit lässt sich die Abstoßung von Diamagneten, die Anziehung von Paramagneten und die Anziehung von Ferromagneten verstehen.

Beispiel Induktionskochfelder Kochen mit Induktion ist energiesparend. Durch induzierte Ströme im Boden des Topfes oder der Pfanne werden diese aufgeheizt. Allerdings muss man dazu spezielle Töpfe und Pfannen haben, nicht alles ist geeignet. Moderne Induktionskochfelder prüfen die Eignung intern und melden einen Fehler, wenn das Kochgeschirr ungeeignet ist. Doch was zeichnet eigentlich Induktionsgeschirr aus und was würde geschehen, wenn man einen falschen Topf benutzten könnte?
Dahinter steckt die Abstoßung beim Einschalten des Feldes. Induktionskochfelder arbeiten mit Wechselstrom, d.h. die Magnetfelder werden permanet ein- und ausgeschaltet. Bei jedem Einschaltvorgang wird der Topf kurzzeitig abgestoßen und würde dadurch ins Vibrieren geraten und relativ schnell samt heißem Inhalt vom Herd purzeln. Induktionsfähige Töpfe haben deshalb einen ferromagnetischen Boden. Dadurch entsteht eine anziehende Kraft, die die abstoßende Kraft durch Induktion überwiegt. Im Herd befindet sich ein Sensor, der das Magnetfeld des Topfbodens misst, und einen Fehler auswirft, wenn dieser nicht ferromagnetisch ist.

Induzierte Spannung

Abb.3 Indizierte Spannung in einer unterbrochenen Leiterschleife

Bisher haben wir nur induzierte Felder, Ströme und Magnetfelder betrachtet, die in geschlossenen Leiterschleifen auftreten. Wie bekommen wir daraus eine induzierte Spannung? Eine Spannung können wir dann messen, wenn wir eine Leiterschleife öffnen, d.h. mit einem kleinen Schlitz versehen. Dabei spielt es keine Rolle, wo sich dieser Schlitz befindet. Betrachten wir dazu noch einmal die Schleife aus Abb.1.3. Sie ist in Abb.3 zusammen mit einer Feldlinie des induzierten elektrischen Feldes gezeigt. Das induzierte Feld $\vec E$ erzeugt einen Strom im Uhrzeigersinn. Wenn dieser Strom zum erliegen kommt, weil die Schleife an einem beliebigen Punkt P geöffnet wird, ist das induzierte Feld immer noch da. Es treibt postive Ladungen in die eine und negative Ladungen in die andere Richtung, wodurch eine Ladungstrennung am Punkt P bewirkt wird, bis das dadurch entstehende Gegenfeld $\vec E_G$ das induzierte Feld kompensiert. An den Enden der Leiterschleife bei P entsteht eine elektrische Spannung U. Wenn wir uns den Schlitz sehr schmal vorstellen, dann können wir diese Spannung durch unser induziertes Feld ausdrücken. Statt des geschlossenen Wegintegrals, das vom Punkt P wieder bis zum Punkt P läuft, haben wir jetzt ein offenes Integral von Punkt P bis "fast bis Punkt P". Für die induzierte Spannung können wir schreiben $U_{ind}=\int\limits_P^{\text{fast bis P}}\vec E\cdot d\vec r\approx\oint\limits_P^P\vec E\cdot d\vec r$, was man in der Regel als $U_{ind}=\oint\vec E\cdot d\vec r$ geschrieben sieht [2][1][3]. Das führt dann zur Formulierung des Induktionsgesetzes für die Induktiosspannung:

Faradaysches Induktionsgesetz für die Induktionsspannung: $U_{ind}=-\frac{d\Phi_B}{dt}$    (2)

Schwierigkeit des Begriffs Induktionsspannung

Die Diskrepanz dieser Gleichung zur Definition des elektrischen Potenzials wurde schon eingangs erwähnt. Die Existenz eines skalaren elektrischen Potenzials ϕ und damit einer Spannung als $U=\phi_f-\phi_i$ verlang $\oint\vec E\cdot d\vec r=0$ im Widerspruch zu $U_{ind}=\oint\vec E\cdot d\vec r$. Das lässt sich umgehen, indem man Uind zwar als "Spannung" bezeichnet, jedoch nicht als Potenzialdifferenz, sondern als die Arbeit pro Ladung beschreibt, die das induzierte elektrische Feld beim Verschieben einer Ladung entlang des geschlossenen Stromkreises verrichtet[2][3] und gleichzeitig darauf hinweist, dass es zum induzierten elektrischen Feld kein skalares Potenzial gibt und dieses somit nicht konservativ ist.

Das bedeutet aber, dass eine Induktionsspannung keine Spannung im herkömmlichen Sinn (potenzielle Energie pro Ladung), sondern eine andere Art von Spannung ist. Eine herkömmliche Spannung kann man sich wie eine Höhendifferenz in einem Wasserkreislauf vorstellen. Die Spannungsquelle hebt das Wasser auf eine bestimmte Höhe an, wodurch ein Druckunterschied entsteht und das Wasser zurück bergab fließt. Die Induktionsspannung kann man sich als Pumpe in einem horizontalen Wasserkreislauf vorstellen, die nur den Wasserfluss aufrechterhält. Nirgendwo gibt es eine Höhen- oder Druckdifferenz, solange der Kreislauf fließt. Erst, wenn man ihn unterbricht, entsteht ein Druckunterschied an der Unterbrechung.

Wie ist die induzierte Spannung gepolt? Schauen wir auf die Definition, dann sehen wir, dass die Spannung Uind genauso gepolt sein muss, dass sie den induzierten Strom erzeugt. Uindmuss positiv sein, wenn das Wegintegral entlang einer Feldlinie ausgeführt wird. Die Richtung der Feldlinie ist die Richtung des induzierten Stroms. Die Polung der Spannung, die ein Voltmeter anzeigt, wenn man im unteren Bild von Abb. 3 ein Voltmeter anschließt, würde jedoch genau zum umgekehrten Strom führen, denn ein Strom fließ ja von + nach −. Daher ist die an den Enden einer offenen Leiterschleife gemessene Spannung U = −Uind.

Induzierter Strom und induzierte Spannung

Um den indzierten Strom in einer Leiterschleife zu berechnen, benötigt man den Widerstand R der Leiterschleife sowie die magnetische Flussänderung innerhalb der Leiterschleife. Dann kann man den induzierten Strom über die induzierte Spannung berechen:

Induzierter Strom in einer Leiterschleife mit dem Ohmschen Widerstand R: $I_{ind}=\frac{U_{ind}}R =-\frac 1 R\frac{d\Phi_B}{dt}$    (3)

Funktionsprinzip eines Generators

Abb.5 Prinzip eines Wevchselstromgenerators

Ein Wechselstromgenerator besteht vom Grundprinzip her aus einer offenen Leiterschleife, die in einem homogenen Magnetfeld mit einer Kreisfrequenz ω gedreht wird. Dadurch wird in der Leiterschleife eine Wechselspannung induziert. Wenn die Schleife die Fläche A hat und das Magnetfeld die Feldstärke B hat, dann ändert sich der magnetische Fluss entsprechend $\Phi_B(t)=A\cdot B\cdot\cos(\omega t)$. Daraus ergibt sich die Wechselspannung durch die negative Zeitableitung, d.h. als $U_{ind}(t)=-\frac{d\Phi_B}{dt}= \omega A\sin(\omega t)$. Die Amplitude der Wechselspannung $U_0=\omega A$ hängt also von der Kreisfrequenz ω und der Schleifemfläche A ab. Auch ein Fahrraddynamo ist ein kleiner Wechselstromgenerator. Darin ist es jedoch in der Regel umgekehrt: Ein kleiner Permanetmagnet rotiert in einer Spule.

  1. 1,0 1,1 Dieter Meschede, Gerthsen Physik, 23. Auflage, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, (2006)
  2. 2,0 2,1 Douglas C. Giancoli, Physik, 3. Auflage, Pearson Deutschland GmbH, München (2010)
  3. 3,0 3,1 Wolfgang Demtröder, Experimentalphysik 2, 5. Aufl., Springer Verlag, Heidelberg (2009)