Form wissenschaftlicher Berechnungen

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Warum ist eine einheitliche Form wissenschaftlicher Berechnungen wichtig?

Für die Form und Darstellung wissenschaftlicher Berechnungen und Ergebnisse gibt es eine Reihe von nationalen und internationalen Regeln und Konventionen[1][2][3][4]. Sie sollen helfen, dass Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftler weltweit eine gemeinsame "Sprache" sprechen und sich gegenseitig richtig verstehen. Denn Forschungsergebnisse sind nur dann nützlich und glaubhaft, wenn sie zumindest prinzipiell von anderen reproduziert werden könnten. Wenn Dr. Hans Hinterzimmer in seinem stillen Kämmerlein etwas nobelpreisverdächtiges entdeckt, dann muss er in der Lage sein, diese Entdeckung so zu publizieren, dass der Weg der Entdeckung und die Entdeckung selbst für die Fachwelt lückenlos nachvollziehbar und überprüfbar sind. Dieser fundamentale Anspruch an jede wissenschaftliche Arbeit gilt auch im Kleinen, d.h. für die Lösung von Rechenaufgaben oder für Praktikumsprotokolle und ebenso für Bachelor- und Masterarbeiten.

Schritte einer Berechnung

Berechnungen basieren auf physikalischen Zusammenhängen. Daher ist der erste Schritt grundsätzlich, die relevanten physikalischen Zusammenhänge symbolisch als Formel anzugeben oder herzuleiten. Die zugehörige Formel ist die Basis für eventuell im nächsten Schritt folgende numerische Berechnungen. Die Berechnung von numerischen Ergebnissen durch das Einsetzen eventuell gegebener Zahlenwerte erfolgt nach Angabe der symbolischen Lösung. Den in der Schule häufig obligatorischen "Antwortsatz" findet man in wissenschaftlichen Arbeiten dagegen nicht. Statt dessen wird abschließend eine kritische Betrachtung oder Diskussion der Ergebnisse erwartet, die mindestens beleuchtet, ob die Ergebnisse plausibel sind.

Angabe physikalischer Zusammenhänge

Eine Berechnung beinhaltet ganz allgemein betrachtet die Aufgabe, aus einer oder mehreren Eingangsgrößen (z.B. a,b,c) eine oder mehrere Ausgangsgrößen (z.B. X,Y) zu bestimmen. Dafür ist es unerheblich, woher die Eingangsgrößen stammen (gegeben, gemessen) und ob auch Zahlenwerte gegeben sind bzw. berechnet werden sollen. Der wesentliche Schritt einer Berechnung besteht darin, einen physikalischen Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen und den Ausgangsgrößen anzugeben, d.h. am Ende müssen Formeln $X(a,b,c)$ und $Y(a,b,c)$ oder auch $Y(a,b,c,X)$ stehen, die eine möglichst allgemeine Lösung der Aufgabe bilden.

Der Ausgangspunkt für den Weg zur symbolischen Lösung ist der Fundus bekannter grundlegender physikalischer Zusammenhänge, die man in allen guten Lehrbüchern findet. Spezielle und weniger bekannte Zusammenhänge sind durch Quellenangaben zu belegen. Der Weg von a,b,c nach X und Y kann im einfachsten Fall eine Lehrbuchformel sein. Er kann aber auch mehr oder weniger komplexe und langwierige Herleitungen beinhalten. Es gibt keine einheitliche Regel, welche Rechenschritte explizit aufgeführt werden müssen. Je nachdem, für welche Adressatengruppe man die Berechnung durchführt, kann diese mehr oder weniger kleinschrittig erfolgen. Wenn man Rechenschritte überspringt, sollte man allerdings immer angeben, welche das sind, damit die Rechnung nachvollziehbar bleibt!

Die Lösungen sollten möglichst allgemeingültig bestimmt werden! Symbolische Gleichungen sind allgemeingültig. Das bedeutet, die Berechnung wird mit den gegebenen Symbolen a,b,c und X,Y und gegebenfalls weiteren Symbolen durchgeführt, die durch weitere Formeln einfließen. Jedes verwendete Symbol muss in seiner Bedeutung klar definiert sein! Die Lösungsformel darf keine unbekannten oder nicht gegebene Größen enthalten. Zahlenwerte fließen hierbei in die Berechnung möglichst nicht ein, denn dadurch verliert die Lösung ihre Allgemeingültigkeit und somit an Aussagekraft!

Die Ergebnisse für X und Y sollten abschließend maximal vereinfacht werden! Auf jeden Fall ist zu Kürzen, was gekürzt werden kann, und auszuklammern, wenn dies geht! Konstante Faktoren (wie Brüche, π und Naturkonstanten) sollte man zusammenfassen. Die Ergebnisse sollten so allgemeingültig, kurz und übersichtlich wie möglich dargestellt den Abschluss der Berechnung bilden!

Berechnung von Zahlenwerten

Die Entstehung numerischer Ergebnisse muss nachvollziehbar sein. Das erfordert die Angabe der Formeln, die die Grundlage der Berechnung bilden, sowie der Zahlen, die in die Formeln eingesetzt wurden. Nur dann kann man beurteilen, ob die richtige Formel verwendet wurde, die Zahlen richtig in die Formel eingesetzt wurden und der Wert korrekt berechnet wurde. Darum erfolgt die Berechnung von Zahlen im Anschluss an die Angabe der symbolischen Lösungsformel. Die Zahlenwerte werden mit ihren Einheiten in die Formel eingesetzt. Dabei muss man darauf achten, dass die Einheiten zusammenpassen. Unter Umständen müssen Einheiten noch umgerechnet werden. Numerische Ergebnisse sollten mit der richtigen Anzahl signifikanter Stellen und mit den richtigen Einheiten angegeben werden.

Überprüfung der Plausibilität

Als letzter Schritt einer jeden wissenschaftlichen Berechnung sollte das Ergebnis kritisch betrachtet werden: Ist es plausibel? Das gilt sowohl für die allgemeine Lösung als auch für Zahlenwerte. Dazu kann man die Dimensionen oder Einheiten überprüfen, eine Überschlagsrechnung durchführen oder Grenzfallbetrachtungen vornehmen.

Beispiele

Abb.B1 Schritte einer Berechnung
Beispiel 1: Berechnung einer einfachen Übungsaufgabe
Aufgabe: Eine Kugel der Masse m wird an einem Seil mit der Geschwindigkeit $v$ auf einer Kreisbahn mit dem Radius R herumgeschleudert. Mit welcher Kraft FR zieht das Seil an der Kugel? Es sei m = 0,211 kg, $v$ = 0,25 m/s, R = 1,2 m.

Lösung: Zugkraft = Radialkraft $F_R=m\dfrac {v^2} R$ ⇒ $F_R= 0,211 \ \text{kg}\times \dfrac{(0,25 \ \text{m/s})^2}{1,2 \ \text{m} }=0,011\ \text N$

Erklärung: Gegeben sind die Symbole m für die Masse, $v$ für die Geschwindigkeit und R für den Radius der Kreisbahn, sowie FR für die gesuchte Kraft. Deshalb müssen diese Symbole verwendet werden. Statt dessen neue und eigene Bezeichnungen einzuführen, ist weder notwendig noch sinnvoll. Wenn jedoch keine Symbole gegeben wären, müsste man eigene Symbole wählen und einführen. Denn nicht eingeführte Bezeichnungen zu verwenden, ist nicht zulässig. Es muss stichwortartig, jedoch nachvollziehbar ("Telegrammstil") skizziert sein, auf welchen Annahmen die Rechnung basiert. Die gesuchte Kraft ist die Radialkraft (auch Zentripetalkraft genannt). Ihr Zusammenhang mit den gegebenen Größen ist Lehrbuchwissen, eine Herleitung ist nicht erforderlich. Mit den gegebenen Symbolen lautet die symbolische Lösung, d.h. die Formel der Lösung $F_R=m\dfrac {v^2} R$. Sie muss immer angegeben werden!

Einsetzen der Zahlenwerte ergibt laut Taschenrechner $F_R= 0,211 \ \text{kg}\times \dfrac{(0,25 \ \text{m/s})^2}{1,2 \ \text{m} }=0,0109895\ \text N$. Zwei der gegebenen Zahlen haben nur zwei signifikante Stellen, deshalb muss auch das Ergebnis auf zwei signifikante Stellen gerundet werden und lautet abschließend $F_R=0,011\ \text N$. Als Kontrolle sollten noch die Einheiten überprüft werden. Sie ergeben $\text{kg}\frac{\text m}{\text s^2}=\text N$. Das Ergebnis ist plausibel.


Beispiel 2: Berechnung einer komplexeren Übungsaufgabe
Aufgabe: Auf dem Planeten Delos (Masse mD = 3,89 × 1024 kg, Tageslänge T = 35,0 h) befindet sich der Wettersatellit Delosat im geostationären Orbit. Bestimmen Sie den Radius des geostationären Orbits auf Delos!

Lösung: Der Orbitradius sei Ro, die Masse von Delosat sei ms, die Gravitationskonstante sei G, Winkelgeschwindigkeit von Delos und Delosat sei ω.
Geostationärer Orbit ⇒ Winkelgeschwindigkeiten von Delos und Delosat sind gleich $\omega_D=\dfrac{2\pi}{T}$ und Gravitationskraft FG= Radialkraft FR
⇒ $G\dfrac{m_s m_D}{R_{o}^2}=m_s\omega^2 R_{o}$ ⇒ $R_{o}^3=G\dfrac{m_D}{\omega^2}$ ⇒ $R_{o}=\left(G\dfrac{m_D}{\omega^2}\right)^{1/3}=\left(G\dfrac{m_D T^2}{4 \pi^2}\right)^{1/3}$.

⇒ $R_{o}= \left[\left(6,67\times 10^{-11}\ \dfrac{\text m^3}{\text {kg}\cdot\text s^2}\right) \dfrac{(3,89\times 10^{24}\ \text {kg})(35,0\ \text h \times 60^2\ \text {s/h})^2}{4\pi^2}\right]^{1/3}=47,1\times 10^3\ \text{km}$.

Erklärung: Gegeben sind nur die Symbole mD für die Masse von Delos und T für die Tageslänge, diese müssen verwendet werden. Für die übrigen Größen müssen Bezeichnungen selbst gewählt und eingeführt werden. Denn nicht eingeführte Bezeichnungen zu verwenden, ist nicht zulässig. Es muss stichwortartig, jedoch nachvollziehbar ("Telegrammstil") skizziert sein, auf welchen Annahmen die Rechnung basiert. Die gesuchte Größe folgt aus dem Ansatz gleicher Winkelgeschwindigkeiten und Gravitationskraft = Radialkraft. Die Formeln der Kräfte sind Lehrbuchwissen, eine Herleitung ist nicht erforderlich. Sie müssen jedoch mit den gegebenen bzw. eingeführten Größen geschrieben werden. Aus diesem Ansatz muss die Formel für die gesuchte Größe hergeleitet werden. Einfache Umformungen, die man sofort sieht, können weggelassen werden. Hier wurden z.B. folgende Schritte übersprungen: Kürzen von ms (ergibt $G\dfrac{m_D}{R_{o}^2}=\omega^2 R_{o}$), Multiplikation mit $R_o^2$ (ergibt $G{m_D}=\omega^2 R_{o}^3$), Division durch ω2 (ergibt $G\dfrac{m_D}{\omega^2 }=R_{o}^3$) und Vertauschen der Seiten (ergibt $R_{o}^3=G\dfrac{m_D}{\omega^2 }$). Solche einfachen Schritte können übersprungen werden. Die allgemeine Lösung für die gesuchte Größe ist gefunden, wenn die Gleichung danach aufgelöst ist und direkt oder indirekt nur gegebene Größen enthält. Hier wurde z.B. ω als Ausdruck der gegebenen Größe T eingeführt. Daher ist die Verwendung von ω in der Lösungformel ebenso zulässig wie T selbst. Dagegen wäre es nicht zulässig, ω zu verwenden ohne den Zusammenhang mit T anzugeben.

Einsetzen der Zahlenwerte ergibt laut Taschenrechner $R_o= 47087509 \ \text{m}$. Bei einer so großen Zahl bieten sich Kilometer statt Meter als Einheit an. Die gegebenen Zahlen haben drei signifikante Stellen, deshalb muss auch das Ergebnis auf drei signifikante Stellen gerundet werden. Bei ganzen Zahlen muss dazu die Exponentialschreibweise verwendet werden, d.h. 47,1 × 103 km, denn die Angabe 47100 km ist bezüglich der singnifikanten Stellen nicht eindeutig. Als Kontrolle sollten noch die Einheiten überprüft werden. Die Einheiten h, kg und s2 kürzen sich weg und es bleibt $\left(\text{m}^3\right)^{1/3}=\text m$. Das Ergebnis ist plausibel.


Verständnisfrage 1: Ein Schüler hat folgende Aufgabe wie angegeben gelöst! Bestimme alle Mängel der Lösung!

Aufgabe: Ein Auto beschleunigt konstant und legt in der Zeit t = 10,0 s die Strecke L = 10,0 m zurück. Bestimme die Beschleunigung a0 des Autos!

Lösung: Es ist $v=\dfrac s t$ und $v= a t$. Die Beschleunigung ist $1\ {m/s}=a \cdot 10\ s \ \Rightarrow a_0=\dfrac{1\ {m/s} }{10\ s} = 0,1$
1. Mangel: Die Beziehung $v=\dfrac s t$ ist falsch gewählt. Sie wäre richtig bei einer gleichförmigen Bewegung. Hier liegt jedoch eine gleichförmig beschleunigte Bewegung vor und der korrekte physikalische Zusammenhang zwischen gegebenen und gesuchten Größen ist $L = \frac 1 2 a_0 t^2$. Das wäre die richtige symbolische Lösung.

2. Mangel: Der Weg wird mit s und nicht wie gegeben mit L bezeichnet.
3. Mangel: Die gesuchte Beschleunigung wird mit a und nicht wie gegeben mit a0 bezeichnet.
4. Mangel: Die (falschen!) Ausgangsgleichungen werden nicht miteinander in Beziehung gesetzt und es wird nicht nach a aufgelöst. Es feht die Berechnung der (falschen!) symbolischen Lösung $\dfrac s t=a t\ \Rightarrow\ a =\dfrac s {t^2}$.
5. Mangel: Es wird mit Zahlengleichungen gerechnet und umgeformt.
6. Mangel: Durch Mix von Zahlenwerten und Symbolen in einer Gleichung werden Weg s und Einheit s ununterscheidbar!
7. Mangel: Zur Angabe des Ergebnisses wird die Bezeichnung a durch a0 ersetzt. Die gleiche Größe wird mit zwei verschiedenen Symbolen bezeichnet!
8. Mangel: Die Zahlen werden nicht mit gegebener Genauigkeit eingesetzt! (Weil hier nur Nullen folgen, liefert es ausnahmsweise das gleiche Ergebnis! Ansonsten führt das zu weiteren Fehlern, nämlich vermeidbaren Rundungsfehlern!)
9. Mangel: Das Ergebnis wird mit nur einer signifikanten Stelle angegeben, obwohl drei erforderlich wären.

10. Mangel: Das Ergebnis wird ohne Einheiten angegeben.

Die richtige Lösung ist: Das Auto macht eine gleichförmig beschleunigte Bewegung, deshalb gilt $L = \frac 1 2 a_0 t^2\ \Rightarrow \ a_0=\dfrac {2 L}{t^2}$ → $a_0=\dfrac {2 \times 10,0\ \text m}{(10,0\ \text s)^2} = 0,200\ \dfrac{\text{m} }{\text s^2}$


Mix ist nix!

Nur in wenigen Ausnahmefällen ist es angezeigt, Zahlenwert- und Symbolgleichungen zu mischen. Umformungen oder weiterführende Rechnungen führt man nur mit symbolischen Gleichungen durch, bis nach den gesuchten Größen aufgelöst ist. Mit Zahlenwertgleichungen werden grundsätzlich keine Umformungen oder weiterführende Rechnungen vorgenommen. Ganz abgesehen davon, dass das sehr fehleranfällig wäre, wäre es eine überflüssige Schreibarbeit. Alle Symbole, die verwendet werden, müssen entweder gegeben oder selbst eingeführt sein. Dabei sollte man möglichst konventionelle Bezeichnungen wählen. Physikalische Symbole sind "case sensitiv", d.h. Groß- und Kleinbuchstaben bezeichnen unterschiedliche physikalische Größen. Wird ein Symbol mit einem Index versehen, bekommt es eine andere Bedeutung. Es ist überflüssig und unwissenschaftlich, ein gegebenes Symbol durch ein anderes zu ersetzen, ohne das sich die physikalische Bedeutung des Symbols ändert. Je weniger Symbole eingeführt werden, desto übersichtlicher bleiben die Zusammenhänge und umso besser ist die Berechnung nachvollziehbar!