Elektronenbeugung

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Elektronenbeugung, Materiewelle, Davison, Germer, De Broglie

Historische Bedeutung des Experimentes

Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (sprich "De Broi") erhielt 1929 den Nobelpreis für Physik. Seine bahnbrechende Leistung bestand darin, dass er vorschlug, der von Einstein am Licht gefundene Welle-Teilchen-Dualismus gelte nicht nur für Licht, sondern genauso für jedes materielle Teilchen, d.h. auch für Elektronen, Protonen und sogar Atome. Wie wir heute wissen, hatte er damit recht. Die Wellen, die zu materiellen Teilchen gehören, nennen wir Materiewellen. Sie sind genau wie elektromagnetische Wellen Wahrscheinlichkeitswellen. De Broglies Theorie ist die Grundlage der heutigen Quantenphysik. Die von ihm vorgeschlagene Wellennatur der Materie wurde 1927 im Experiment zur Elektronenbeugung von Davisson und Germer erstmals experimentell bestätigt.

De Broglie-Beziehungen

Nach De Broglie gilt für alle Teilchen der Welle-Teilchen-Dualismus. Die Teilcheneigenschaften Energie E und Impuls p sind mit den Welleneigenschaften des Teilchens wie beim Photon verknüpt:

De-Broglie-Beziehungen: $E=\hbar \omega$ und $p=\hbar k=\frac h{\lambda }$ mit h = 6,6 × 10-34 Js = 4,1 × 10-15 eVs und ℏ = $\frac h{2\pi}$ = 1,1 × 10-34 Js = 6,6 × 10-16 eVs.

Anwendung der De-Broglie-Beziehungen

Die einfachste Welle ist eine ebene Welle, die durch: $Y(x,t)=Ae^{i(\mathit{kx}-\omega t)}=Ae^{ikx}\cdot e^{-i\omega t}$ mathematisch dargestellt werden kann. Darin ist die Wellenzahl k die räumliche Kreisfrequenz (Anzahl der Wellenberge pro m mal 2π) mit $k=\frac{2 \pi}{\lambda}$ und ω die (zeitliche) Kreisfrequenz (Anzahl der Wellenberge pro s mal 2π) mit $\omega = \frac{2 \pi}{T}$. Die Wellenzahl k und die Kreisfrequenz ω sind beide über den Faktor 2π mit dem Kehrwert der Wellenlänge λ bzw. der Periodendauer T verknüpft.

Beispiele

Elektromagnetische Welle: In einer Lichtwelle, die durch $\vec E_z(x,t)=\vec E_0\sin (k x-\omega t)$ gegeben ist, haben die Photonen (Lichtteilchen) die Energie $E=\hbar\omega=h \nu$ und den Impuls $p = \hbar k = \frac h{\lambda}$.
Elektronenwelle: Ein freies Elektron der Masse m habe den Impuls $p = m v$. Seine kinetische Energie $E=\frac 1 2 m v^2=\frac{p^2}{2 m}$ ist durch den Impuls festgelegt. Seine Materiewelle hat dann die Wellenzahl $k =\frac p{\hbar}$, die Wellenlänge $\lambda=\frac h p$ und die Kreisfrequenz $\omega=\frac{E}{\hbar}=\frac{p^2}{2m\hbar}$. Wenn wir es durch eine ebene Welle mit Hilfe des Impulses beschreiben, wäre seine Materiewelle durch $\psi (x,t)=\psi_0\sin (\frac p {\hbar} x-\frac {p^2}{2m\hbar} t)$ gegeben. Wenn dagegen die kinetische Energie E gegeben wäre, dann ist sein Impuls $p=\sqrt{2 m E}$ durch die kinetische Energie festgelegt und wir können Wellenzahl und Kreisfrequenz durch die Energie bestimmen: $k = \frac {\sqrt{2 m E}}{\hbar}$ und $\omega=\frac{E}{\hbar}$. Seine ebene Materiewelle wäre in Abhängigkeit von der Energie durch $\psi (x,t)=\psi_0\sin (\frac {\sqrt{2 m E}}{\hbar} x-\frac E{\hbar} t)$ gegeben.

Numerisches Beispiel: Berechne die Kreisfrequenz ω und die Wellenlänge λ eines Elektrons, das durch eine Spannung von U = 1000 V beschleunigt wird.
Wenn ein Elektron die Spannung U durchläuft, erhält es die kinetische Energie Ekin = e U. Für U = 1,0 kV ergibt das Ekin = 1,0 keV. Die Masse eines Elektrons ist m = 9,1 × 10-31 kg = 511 keV/c2.
Berechnung in atomaren Einheiten (eV und c): $E_{kin} = 1000\ \text{eV}\rightarrow \omega = \frac{E}{\hbar}=\frac{1000\ \text{eV}}{6,6 \times 10^{-16}\ \text{eVs}} = 1,5 \times 10^{18}\ \frac{\text{rad}}{\text s}$. Der Impuls ist $p=\sqrt{2 m E_{kin}}\rightarrow p=\sqrt{2\times 511\times 10^3 \ \frac{\text{eV}}{c^2}\times 1000\ \text{ eV}}=3,2\times 10^4\ \frac{\text{eV}}{c}$. Das ergibt $\lambda = \frac{h}{p}= \frac {4,1 \times 10^{-15}\ \text{ eV s}}{3,2\times 10^4\ \text{eV}}(3,0 \times 10^8\ \frac{\text m}{\text s})=3,8 \times 10^{-11}\ \text{ m}=38\ \text{pm}$.
Berechnung in SI-Einheiten: $E=(1,6\times 10^{-19}\text C)(1000\ \text V)=1,6 \times 10^{-16}\ \text J$. Der Impuls ist $p=\sqrt{2 \times(9,1 \times 10^{-31}\ \text{ kg})(1,6\times 10^{-16}\ \text{ J})}=1,7\times 10^{-23}\ \frac{\text{kg m}}{\text s}$. Das ergibt $\lambda =\frac{6,6\times 10^{-34}\ \text{ J s}}{1,7\times 10^{-23}\ \frac{\text{kg m}}{\text s}}=3,8\times 10^{-11}\ \text m$

Kontrollfrage 1: Wie ändern sich Impuls und Wellenlänge des Elektrons, wenn die Spannung U ausgehend von 1000 V verdoppelt wird?
Erhöhen auf U = 2,0 kV ergibt einen größeren Impuls und eine kleinere Wellenlänge. Der Impuls wächst um $\sqrt 2=1,4$ und die Wellenlänge sinkt um den Faktor $\frac 1{\sqrt 2}=0,71\lambda =2,7 \times 10^{-11}\text m$.


Nachweis der Materiewellen durch Elektronenbeugung

Phänomen

Abb.1 Beugungsmuster mit Röntgenstrahlung und Elektronen gleicher Wellenlänge an Graphit

Wenn man Röntgenstrahlung fester Wellenlänge λ gegen eine polykristalline (d.h. aus vielen kleinen Kristallen bestehend) Graphitprobe schickt, dann erhalt man ein ringförmiges Beugungsmuster. Wenn man stattdessen einen Elektronenstrahl gegen die Graphitprobe schickt, deren Wellenlänge λ mit der der Röntgenstrahlung übereinstimmt, dann erhält man genau das gleiche Beugungsmuster. Die Elektronen werden genau wie die Röntgenstrahlung gebeugt (Abb.1).

Abb.2 Beugung an einer polykristallinen Probe
Abb.3 Glanzwinkel und Beugung

Warum sieht man in beiden Fällen ein ringförmiges Beugungsmuster? Das ist relativ einfach zu verstehen. An einem einzelnen Kristall werden Röntgen- oder Elektronenstrahlen nur reflektiert, wenn die Strahlung unter dem Glanzwinkel θ auftrifft und die Bragg-Bedingung erfüllt ist (siehe Röntgenbeugung). Wenn man statt eines einzelnen Kristalls eine Probe aus vielen kleinen, statistisch orientierten Kristallen verwendet, können nie alle Kristalle gleichzeitig die Bragg-Bedingung erfüllen. Nur an denen, die zufällig richtig orientiert sind, wird die Strahlung reflektiert, an allen übrigen wird sie absorbiert oder geht hindurch. Das ist in Abb.2a angedeutet: Zufällig richtig angeordnete Kristalle sind grün dargestellt, die übrigen grau. Nun muss man sich nur noch vorstellen können, dass die richtig orientierten Kristalle natürlich auch um ihre Längsachse gedreht sein können (Abb.2b). Deshalb bewirkt die Beugung mit dem Glanzwinkel θ einen Kegelmantel aus Strahlung mit dem halben Öffnungswinkel 2θ (Abb.3). Wenn ein solcher Lichtkegelmantel auf einen Schirm fällt, erzeugt er ein ringförmiges Beugungsmuster.

Experimenteller Aufbau

Abb.4 Elektronenbeugungsröhre

Der experimentelle Aufbau ist in Abb.4 gezeigt. Er besteht aus einer birnenförmigen Vakuumröhre. Im zylinderförmigen Teil der Vakuumröhre befindet sich eine Glühkathode, die bei Anlegen einer Heizspannung UH Elektronen freisetzt. Dahinter befindet sich eine Anode. Zwischen Kathode und Anode wird eine Beschleunigungsspannung UB angelegt, die die Elektronen in Richtung der Anode beschleunigt und ihnen die kinetische Energie $E_{kin}=e U_B$ mitgibt. Durch einen Wehnelt-Zylinder werden die Elektronen zu einem feinen Strahl fokussiert. Dieser Elektronenstrahl trifft eine Graphit-Probe, die im Zentrum des kugelförmigen Teils der Vakuumröhre mit dem Radius R fixiert ist. Der kugelförmige Teil der Vakuumröhre ist mit einer Leuchtschicht versehen, so dass auftreffende Elektronen sichtbar werden. Elektronen, die am Graphit unter dem Glanzwinkel θ gebeugt werden, laufend ausgehend von der Graphitprobe unter einem Winkel 2θ zur ursprünglichen Strahlrichtung und werden beim Auftreffen auf die Leuchtschicht dort sichtbar.

Messprinzip und Auswertung

Abb.5 Geometrie der Elektronenbeugungsröhre

Der Radius R des kugelförmigen Teils der Vakuumröhre muss bekannt sein. Die Beschleunigungsspannung UB wird variiert und der Ringradius r wird in Abhängigkeit von UB bestimmt. Für den Glanzwinkel θ ergibt sich aus der Geometrie $\sin(2\theta)=\dfrac r R$ (Abb.5). Mit der Kleinwinkelnäherung $sin(2\theta) \approx 2\theta$ gilt näherungsweise $\theta\approx\dfrac r {2 R}$. Für einen Netzebenenabstand d in der Graphitprobe lautet die Bragg-Bedingung $2 d \sin(\theta) = n\lambda$, worin n die Beugungsordnung ist. Auch hier können wir die Kleinwinkelnäherung anwenden und erhalten $2 d \theta = n\lambda$. Die Wellenlänge des Elektronenstrahls ist $\lambda=\dfrac h p =\dfrac h{\sqrt{2 m e U_B}}$. Setzt man alles ineinander ein, ergibt sich $2 d \dfrac r{2 R}=n \cdot \dfrac h{\sqrt{2 m e U_B}}$.

Wenn man das nach dem Ringradius r auflöst, erhält man

Radien der Beugungsringe: $r =n \lambda \dfrac R d=n \cdot \dfrac {h R}{d \sqrt{2 m e U_B}}$.

Dieser Zusammenhang beinhaltet die De-Broglie-Wellenlänge λ der Elektronen und lässt sich durch Messung des Ringradius r in Abhängigkeit von UB überprüfen, sofern die Netzebenenabstände d der Probe bekannt sind.

Beispiel: Der Abstand R der zentrierten Graphit-Kristallprobe zur Wandung der evakuierten Glaskugel beträgt R = 12,7 cm. Bei einer Beschleunigungsspannung UB = 5000 V werden zwei Beugungs­ringe mit den Radien r1 = 1,8 cm und r2 = 1,0 cm gemessen. Entsprechen diese Radien der theoretischen Vorhersage?
Abb.6

In Graphit treten aufgrund seiner Kristallstruktur (Abb.6) zwei Netzebenenabstände auf, die zu Glanzwinkeln führen können: d1 = 0,123 nm und d2 = 0,213 nm. Daher ergeben sich für jede Wellenlänge zwei Beugungsringe in einer Beugungsordnung. Aus den gegebenen Daten erhalten wir für die Wellenlänge $\lambda=\dfrac{(4,1\times 10^{-15}\text{ eV s})}{\sqrt{(2) (0,511\times 10^6 \text{ eV})(5000 \text{ eV})}}(3,0 \times 10^8 \frac{\text m} {\text s})=17,2 \text{ pm}$. Damit ergeben sich für die Ringradien in der ersten Beugungsordnung (n = 1): $r_1=(1)(17,2\times 10^{-12} \text{ m})\left (\dfrac{12,7 \times 10^{-2}\text{ m}} {0,123 \times 10^{-9}\text{ m}}\right)=1,78\text{ cm}$ und $r_2=(1)(17,2\times 10^{-12} \text{ m})\left (\dfrac{12,7 \times 10^{-2}\text{ m}} {0,213 \times 10^{-9}\text{ m}}\right)=1,03\text{ cm}$. Das stimmt im Rahmen der Messgenauigkeit mit den gemessenen Radien überein.

Die Radien entsprechen den experimentellen Glanzwinkeln θ1 =\dfrac r{2 R}= 4,1° und θ2 =2,3°. Theoretisch ergeben sich die Glanzwinkel $\theta_1=n \dfrac {\lambda}{2 d}=(1)\left (\dfrac{17,2\times 10^{-12} \text{ m}} {(2)(0,123 \times 10^{-9}\text{ m})}\right)=4,0\text{°}$ und $\theta_2=(1)\left (\dfrac{17,2\times 10^{-12} \text{ m}} {(2)(0,213 \times 10^{-9}\text{ m})}\right)=2,3\text{°}$, was ebenfalls sehr gut übereinstimmt.
Kontrollfrage 2: Woran kann man unmittelbar erkennen, dass die zwei Beugungsringe im Beispiel nicht einfach die erste und die zweite Beugungsordnung sind?
Würde der zweite Kreis durch die zweite Ordnung gebildet, müsste sein Radius bzw. sein Winkel doppelt so groß sein wie der des ersten Kreises, denn die Beugungsordnung geht linear ein.
Kontrollfrage 3: Wenn die Beschleunigungsspannung vergrößert wird, dann werden die Ringradien a) abnehmen, b) gleich bleiben, c) zunehmen?
Sie würden a) abnehmen, denn der Impuls p nimmt dann zu, d.h. λ und damit auch r nimmt ab.
Kontrollfrage 4: Wenn die Beschleunigungsspannung verdoppelt wird, dann wird ein Ringradius r zu a) 0,5 r, b) 0,7 r c) r, d) 1,4 r, e) 2 r?
Richtig ist b) 0,7 r. Die Erklärung liefert die Antwort von Kontrollfrage 1.


Relativistische Berechnung

Bei sehr großen Beschleunigungsspannungen ab ca. 10 kV werden die Elektronen bereits so schnell, dass man relativistisch rechnen sollte. Dann ergibt sich der Impuls aus der Energie durch $p=\sqrt{(E_0+eU)^2-E_0^2}/c$. Das folgt aus dem relativistischen Energie-Impuls-Zusammenhang $E^2=E_0^2+p^2c^2\ \Rightarrow \ p^2=(E^2-E_0^2)/c^2=((E_0+E_{\mathit{kin}})^2-E_0^2)/c^2$. E0 ist die Ruheenergie des Elektrons.

Diskussion

Das Experiment zur Elektronenbeugung zeigt den Wellencharakter des Elektrons. Klassische Teilchen könnten an einem Kristall nicht gebeugt, sondern nur gestreut werden und würden entsprechend den Stoßgesetzen abgelenkt. Das beobachtet man nicht. Zur Erklärung der Beobachtung muss man das Elektron als Welle mit der nach De Broglie angegebenen Wellenlänge $\lambda=\dfrac h p$ auffassen.