Elektrisches Feld

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Physikalischer Kontext

Zwischen elektrisch geladenen Objekten wirkt eine Kraft, die man Coulomb-Kraft nennt. Die Kraft zwischen zwei Punktladungen kann sehr einfach über das Coulombsche Gesetz berechnet werden. Wenn jedoch nach der Coulomb-Kraft zwischen beliebig geformten und ausgedehnten Ladungsverteilungen gefragt ist, wie z.B. zwei geladene Platten oder eine geladene Kugel und ein geladener Draht, dann hilft das Coulombsche Gesetz nicht ohne weiteres weiter. In solchen Fällen wird die Coulomb-Kraft mit Hilfe von elektrischen Feldern $\vec E(\vec r)$ und dem Superpositionsprinzip berechnet. Um solche Coulomb-Kräfte berechnen zu können, muss man die elektrischen Felder beliebig geformter geladener Objekt kennen bzw. berechnen können. Dazu gibt es verschiedene Methoden, wie aus dem Potenzial durch Gradientenbildung, den Satz von Gauß oder die Superposition der Felder von Punktladungen. Doch was ist ein elektrisches Feld, wie kann man elektrische Felder darstellen und wie kann man damit Kräfte berechnen?

Was ist ein elektrisches Feld?

Ein elektrisches Feld ist eine Art Kraftfeld. Wenn zwei Körper Kräfte aufeinander ausüben, dann kann die Kraft durch direkten Kontakt ausgeübt werden, wie bei Reibungs-, Seil- oder Normalkräften, sie kann aber auch kontaktlos, wie bei der Gravitationskraft erfolgen. Wenn ein Körper K auf einen anderen Körper B ohne Kontakt eine Kraft ausüben kann, dann muss in der Umgebung des Körpers K irgendetwas sein, das die Kraft auf Körper B bewirkt. Das "etwas" nennen wir Kraftfeld und es ist eine Eigenschaft von Körper K und mit ihm verbunden. Kraftfelder sind Veränderungen des Raumes um einen Körper herum: Wo ein Kraftfeld herrscht, wirkt eine Kraft auf andere Körper! Kraftfelder werden deshalb auch über ihre Kraftwirkung definiert. Die Definition eines Kraftfeldes ist rein phänomenologisch, d.h. rein beschreibend. Sie erklärt nicht, durch welchen Mechanismus die Kraftwirkung tatsächlich zustande kommt, d.h. wie wir uns den Impulsübetrag mikroskopisch und anschaulich vorstellen können. Sie gibt jedoch an, wie stark die Kraft in der Umgebung des Körpers K auf bestimmte Körper B ist.

Nehmen wir an, Körper K sei beliebig geformt und mit der Ladungsmenge Q geladen, sitze jedoch fest im Ursprung eines Koordinatensystems. Körper B sei dagegen eine kleine positive Punktladung q, die wir beliebig irgendwohin schieben können. Oft wird sie Probeladung oder Testladung genannt. Auf jeden beliebigen Punkt in der Umgebung um Körper K herum können wir einen Ortsvektor $\vec r$ zeigen lassen. Dahin, wo $\vec r$ gerade zeigt, schieben wir unsere kleine positive Punktladung q. Die kontaktlose Coulomb-Kraft, die Körper K auf diese Punktladung q, die gerade am Ort $\vec r$ sitzt, erzeugt, sei $\vec F_C^{q,K}(\vec r)$. Diese Coulomb-Kraft ist proportional zum Produkt qQ beider Ladungen. Sie wird sich verdoppeln, wenn wir die Ladungsmenge q unserer Punktladung verdoppeln, bzw. halbieren, wenn wir q halbieren. Nun soll aber unser Kraftfeld eine Eigenschaft allein von Körper K sein. Darauf, wie Körper K allein den Raum um sich herum verändert, sollte die Ladungsmenge q keinerlei Einfluss haben. Das lässt sich einfach erreichen, indem man von der ganz bestimmten Coulomb-Kraft auf die ganz bestimmte Ladungsmenge q zur Coulomb-Kraft pro Ladung übergeht. Das ist analog dazu, anstatt den ganz bestimmten Preis für eine ganz bestimmte Menge Kartoffeln, z.B. 2,80 € für 3,5 kg den Preis pro Kilogramm Kartoffeln anzugeben: (0,80 €/kg). Das elektrische Feld ist nichts weiter als die Coulomb-Kraft pro positiver Einheitsladung. Es hat die Einheit N/C, die man in V/m umrechnen kann, und hängt nicht mehr von q ab:

Das elektrische Feld eines Körpers K ist die Coulomb-Kraft pro positiver Einheitspunktladung:    $\vec E_K(\vec r)=\dfrac{\vec F_C^{q,K}(\vec r)}q$      (1)    und hat die Einheit $[E]=\dfrac{\text N}{\text C}=\dfrac{\text V}{\text m}$.

An jedem einzelnen Raumpunkt $\vec r$ kann die Kraft $\vec F_C^{q,A}(\vec r)$, die Körper K auf unsere kleine bewegliche Ladung q erzeugt, unterschiedlich sein. Jedem einzelnen Raumpunkt $\vec r$ müssen wir deshalb seinen eigenen elektrischen Feldvektor $\vec E(\vec r)$ zuordnen. Die Vektoren $\vec E$ elektrischer Felder sind gebundene Vektoren. Sie gehören an ihren ganz bestimmten Ort $\vec r$ und dürfen nicht verschoben werden. Genau das drückt die Notation $\vec E(\vec r)$ aus. Gleichung (1) gibt die Definition des elektrischen Feldes an. Sie ist jedoch nicht universell geeignet, elektrische Felder zu berechnen. Das einzige elektrische Feld, dass man mit ihr berechnen kann, ist das elektrische Feld einer Punktladung. Tatsächlich liegt der Nutzen von Gleichung (1) ganz woanders, umgekehrt wird ein Schuh draus: Sie dient dazu, Coulomb-Kräfte in elektrischen Feldern zu berechen!

Kraft auf eine Punktladung in einem elektrischen Feld

Die Coulomb-Kraft auf eine Punktladung q in einem beliebigen elektrischen Feld $\vec E$ kann man unmittelbar aus Gleichung (1) ablesen. Man muss nur nach $\vec F_C$ auflösen. Da das elektrische Feld eines geladenen Körpers K mit ihm verbunden ist und nur sein elektrische Feld die Coulomb-Kraft auf andere Körper erzeugt, können wir den Körper K als Erzeuger in der Bezeichnung der Coulomb-Kraft auch durch sein elektrisches Feld $\vec E$ ersetzen. Dann lautet die

Coulomb-Kraft auf eine Punktladung q in einem beliebigen elektrischen Feld $\vec E$:     $\vec F_C^{q,\vec E}=q \cdot\vec E(\vec r)$     (2)

Die Coulomb-Kraft auf eine Punktladung q in einem beliebigen elektrischen Feld $\vec E$ ist der ersten Schritt, bzw. der Basisbaustein zur Berechnung der Coulomb-Kraft zwischen beliebig geformten geladenen Objekten. Denn da jedes geladene Objekt letztlich eine Ansammlung von Punktladungen ist, kann man die Coulomb-Kräfte auf die einzelnen Punktladungen des Objektes nach dem Superpositionsprinzip einfach vektoriell addieren.

Elektrisches Feld einer Punktladung

Herleitung und mathematische Darstellung

Wir gehen aus vom Coulombschen Gesetz, wobei wir nun die beiden Ladungen statt mit Q1 und Q2 durch Q und q bezeichen. Den Ortsvektor von Q nennen wir $\vec r_Q$, den von q nennen wir einfach nur $\vec r$. Dann lautet der Ausdruck für die Coulomb-Kraft, die Q auf q ausübt: \( \vec {F}_{C}^{q,Q}=\dfrac {1} {4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac {Q \cdot q}{|\vec r-\vec r_Q|^{2}}\cdot \dfrac {\vec r-\vec r_Q}{|\vec r-\vec r_Q|}\). Darin geben wir nun der Punktladung Q die Rolle des fixierten Körpers K mit der Ladungsmenge Q. Der Punktladung q geben wir die Rolle unserer kleinen beweglichen positiven Testladung q. Um das elektrische Feld der fixierten Ladung Q zu berechnen, müssen wir nur durch die Ladung q teilen. Schon haben wir

Das elektrische Feld einer Punktladung Q:     \( \vec {E}_{Q}(\vec r)=\dfrac {1} {4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac {Q}{|\vec r-\vec r_Q|^{2}}\cdot \dfrac {\vec r-\vec r_Q}{|\vec r-\vec r_Q|}\)    (3)

Gleichung (3) enthält nur noch die Ladungsmenge Q und den Ort der Ladung Q. Der Ortsvektor $\vec r$ kann auf jeden beliebigen Punkt in der Umgebung von Q zeigen. Gleichung (3) gibt das elektrische Feld einer Punktladung Q in jedem beliebigen Umgebungspunkt an, d.h. überall außer am Ort der Ladung selbst. Am Ort der Ladung selbst wäre sein Feld unendlich groß. Das würde aber dem seltsamen Fall entsprechen, dass Q und q genau am gleichen Ort wären. Diesen Fall können wir erstmal auschließen. Denn elektrische Ladungen sind ja immer an Masse gebunden und zwei massive Körper können schwerlich am gleichen Ort sein.

Grafische Darstellung

Elektrische Felder sind Vektorfelder. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Vektorfelder darzustellen. Zwei gängige Varianten sind die Darstellung durch Feldvektoren oder Feldlinien.

Feldvektoren

Untersuche das elektrische Feld einer Punktladung Q mit einem GeoGebra-Applet: Es zeigt eine Punktladung Q und eine kleine fiktive positive Probeladung q. Beide Ladungen können verschoben werden. Der Zahlenwert und die Polarität von Q können ebenfalls verändert werden. Feldvektoren können über den Schalter "Pfeil merken" bzw. "Pfeile löschen" gespeichert bzw. gelöscht werden. Der grüne Pfeil symbolisiert den elektrischen Feldvekor. Der Abstand der Ladungen \(|\vec r-\vec r_Q|\) und der Zahlenwert des elektrischen Feldes, die elektrische Feldstärke können abgelesen werden. Ein Klick auf das Reset-Zeichen Reset stellt die Anfangswerte wieder ein. Mit dem Scrollrad der Maus kannst man in das Applet hinein oder heraus zoomen.

Aufgaben zum Applet: Finde selbst heraus, wie Betrag und Richtung des elektrischen Feldes von den Orten und der Ladung Q abhängen:

Aufgabe 1: Verändere den Ort von q, d.h. verändere $\vec r$ und merke Dir mindestens drei Pfeile in jedem Quadranten des Koordinatensystems. Beschreibe, wie Richtung und Stärke des elektrischen Feldes mit dem Ort $\vec r$ der Probeladung zusammenhängen!
Der Feldvektor zeigt immer in die gleiche Richtung wie $\vec r$ und von Q weg. Der Feldvektor wird sehr schnell kürzer, wenn $\vec r$ länger wird, und umgekehrt.
Aufgabe 2: Aktiviere Hilfskreise und verändere den Ort von q. Bleibe dabei auf dem Kreis "2 m" und merke Dir mindestens drei Pfeile in jedem Quadranten des Koordinatensystems. Beschreibe, wie das sich ergebende Bild aussieht und begründe, warum es so aussehen muss! Lösche die Feldvektoren nicht!
Die Feldvektoren zeigen wie Sonnenstrahlen alle radial nach außen und sind alle etwa gleich lang. Die Feldvektoren müssen nach außen gerichtet sein, weil Q positiv ist und die positive Probeladung abstößt. Die Feldvektoren müssen alle gleich lang sein, weil der Kreis einen konstanten Abstand von Q vorgibt, und die Stärke des Feldes nur vom Abstand abhängt, solange Q unverändert bleibt.
Aufgabe 3: Die Feldvektoren aus Aufgabe 2 sollten noch dargestellt sein. Verändere den Zahlenwert von Q und pole Q auch um. Beschreibe, was geschieht und begründe, warum es geschieht!
Wenn Q vergrößert/verkleiner wird, dann verlängern/verkürzen sich die Feldvektoren im gleichen Maß. Das muss so sein, weil die Feldstärke proportional zu Q ist, solange $\vec r$ unverändert bleibt. Wenn Q umgepold wird, drehen sich die Feldvektoren um. Das muss so sein, weil die nun negative Ladung die positive Probeladung q anzieht.
Aufgabe 4: Lösche die Feldvektoren aus Aufgabe 2 und 3 und verschiebe nun die Ladung Q. Erkläre die Bedeutung der Vektoren $\vec r$, $\vec r_Q$ und $\vec r-\vec r_Q$!
$\vec r$ zeigt immer vom Koordinatenursprung zum Ort, an dem der Feldvektor beginnt. Es ist der Ortsvektor des Feldvektors ("Wo Feld"). $\vec r_Q$ zeigt immer vom Koordinatenursprung zum Ort, an dem sich die das Feld erzeugende Ladung Q befindet ("Wo Q"). $\vec r-\vec r_Q$ zeigt von der das Feld erzeugenden Ladung Q zum Ort des Feldvektors. Es ist der Abstandsvektor zwischen Ladung Feldvektor. Der Feldvektor liegt immer auf einer Linie durch den Abstandsvekotr.
Aufgabe 5: Verschiebe die Ladung Q erneut und pole dabei mehrfach um. Achte dabei auf die Richtungen von $\vec E(\vec r)$ und $\vec r-\vec r_Q$! Was fällt Dir auf?
$\vec E(\vec r)$ zeigt immer in die gleiche Richtung wie $\vec r-\vec r_Q$, wenn Q positiv ist, ansonsten in entgegengestzte Richtung $\vec r-\vec r_Q$. Der Vektor liegt immer auf einer Linie durch $\vec r-\vec r_Q$.
Abb.F5
Kontrollfrage 1: Wie ändert sich die Feldstärke, wenn Q gleich bleibt, jedoch der Abstand $\vec r-\vec r_Q$ zur Ladung halbiert wird?
Aus dem Applet oder der Formel kann man ablesen, dass die Feldstärke viermal so groß wird.
Kontrollfrage 2: Wie ändert sich die Feldstärke, wenn Q halbiert wird, jedoch der Abstand $\vec r-\vec r_Q$ zur Ladung gleich bleibt?
Aus dem Applet oder der Formel kann man ablesen, dass die Feldstärke auch halb so groß wird.
Kontrollfrage 3: Wie ändert sich die Feldstärke, wenn Q umgepolt wird, jedoch ❘Q❘ und der Abstand $\vec r-\vec r_Q$ zur Ladung gleich bleiben?
Aus dem Applet oder der Formel kann man ablesen, dass die Feldstärke nur ihr Vorzeichen wechselt.
Kontrollfrage 4: Gibt es zwei oder mehr Orte, an denen das elektrische Feld einer Punktladung gleich ist? Wenn ja, wo liegen sie?
Nein! Das elektrische Feld einer Punktladung ist an jedem Ort unterschiedlich. Zwar sind die Richtungen der Feldvektoren, die auf einer von Q ausgehenden Linie liegen, gleich, jedoch ist ihre Feldstärke überall unterschiedlich. Zwar sind die Feldstärken aller Feldvektoren, die an einem Kreis zentriert um Q beginnen, gleich, doch ist ihre Richtung überall unterschiedlich.
Kontrollfrage 5: Abb.F5 zeigt die Vektoren, die im Ausdruck des elektrischen Feldes einer Punktladung Q auftreten, sowie drei Punkte A, B und C. a) An welchem Punkt sitzt die felderzeugende Ladung? b) An welchem Punkt muss der Feldvektor beginnen? c) In welche Richtung muss der Feldvektor zeigen, wenn die Punktladung negativ ist?
a) B, b) C, c) in Richtung C -> B.


Abb.1 Feldvektoren einer positiven und einer negativen Punktladung

Abb.1 zeigt einige Feldvektoren einer positiven und einer negativen Punktladung. Das Feld von Punktladungen kann man nur sehr spärlich durch Feldvektoren visualisieren, da die Vektoren durch die (1/Abstand)2-Abhängigkeit der Feldstärke sehr schnell zu lang oder zu kurz werden. Eine andere Möglichkeit, Felder zu visualisieren, bei der diese Schwiergkeit nicht auftritt, ist die Darstellung über Feldlinien.

Feldlinien

Abb.2 Feldlinien einer positiven und einer negativen Punktladung

Feldlinien geben die Richtung des elektrischen Feldes einer Ladung oder Ladungsverteilung an. Um sie zu zeichnen, wählt man einige gleichmäßig verteilte Punkte an der Ladung aus. Dann startet man an einem der Punkte an der Ladung und bestimmt dort die Richtung des elektrischen Feldes. In diese Richtung zeichnet man ein kurzes Linienstück. Am Ende des Linienstücks bestimmt man erneut die Richtung des elektrischen Feldes dort und zeichnet in diese Richtung wieder ein kurzes Linienstück usw. Das wiederholt man für die verschiedenen Punkte an der Ladung. Wenn alle Feldlinien gezeichnet sind, kann man abschließend noch durch eine Pfeilspitze andeuten, wie das Feld orientiert ist, d.h. zur Lading hin oder von ihr weg zeigend.

So eine Feldlinienbild gibt also die Richtung des elektrischen Feldes an ausgewählten Orten an. Abb.2 zeigt die Feldlinien einer positiven und einer ngeativen Punktladung. Informationen über die Feldstärke, d.h. die Länge der Feldvektoren, sind darin nur indirekt und nur qualitativ enthalten, nämlich über die Dichte bzw. den Abstand der Feldlinien. Nah beieinander liegende Feldlinien zeigen eine große Feldstärke an, weit voneinander entfernte Feldlinien dagegen eine schwächere. Das ist ein Nachteil der feldliniendarstellung.

Feldlinien beginnen in positiven Ladungen, dort quellen sie heraus, und enden in negativen Ladungen, dort werden sie verschluckt. Sie kreuzen sich nie und können auch nicht einfach irgendwo im leeren Raum (d.h. wo keine Ladung ist) entstehen oder verschwinden. Die Feldlinien der Punktladungen in Abb.2 setzen sich bis ins Unendliche fort. Sie sind nur aus darstellerischen Gründen abgeschnitten.

Feldlinien sind nur eine Darstellungs- und Vorstellungshilfe. Die Anzahl der gezeichneten Feldlinien liegt im Ermessen des Zeichners. In Wirklichkeit existieren Feldlinien nicht. Das elektrische Feld ist nicht in irgendeiner Form "fadenartig", sondern lückenlos in jedem Raumpunkt vorhanden. Dennoch sind Feldlinien eine ausgesprochen nützliche Vorstellungshilfe, insbesondere, im Zusammenhang mit dem Satz von Gauß sind sie hilfreich zum Verständnis.

Abb. F6
Abb. F7
Kontrollfrage 6a: Abb.F6 zeigt den Ausschnitt aus einem Feldlinienbild. Nehme an, die felderzeugenden Ladungen sitzen unterhalb des Bildes. Sind die felderzeugenden Ladungen positiv oder negativ?
Sie müssen positv sein. Das erkennt man daran, dass die Feldlinien nach oben zeigen. Positive Ladungen sind Quellen von Feldlinien, negative Ladungen sind dagegen Verschlucker von Feldlinien. Das bedeutet, die Feldlinien zeigen weg von posiven und hin zu negativen Ladungen.
Kontrollfrage 6b: Abb.F6 zeigt den Ausschnitt aus einem Feldlinienbild. Sortiere die Punkte A bis E aufsteigend nach der Richtung des elektrischen Feldes. Gebe dazu die Feldrichtung als Uhrzeit an. Nach rechts zeigend wäre 3 Uhr, nach unten zeigend 6 Uhr, nach links zeigend 9 Uhr, nach oben zeigend 12 Uhr.
Abb. F1a
Die Feldrichtung entspricht der Richtung der Tangente am jeweiligen Punkt. Bei A ca. 10:30 Uhr, bei B ca. 11:30 Uhr, bei C genau 12 Uhr, bei D ca. 11 Uhr, bei E auch 12 Uhr. Das ergibt A < D < B < C = E.
Kontrollfrage 6c: Abb.F6 zeigt den Ausschnitt aus einem Feldlinienbild. Sortiere die Punkte A bis E aufsteigend nach dem Betrag der Feldstärke!
Abb. F1a
Der Betrag der Feldstärke wird durch den Abstand der Feldlinien qualitativ dargestellt. Im Bild können wir uns nur grob am mittleren Abstand zu den benachbarten Feldlinien orientieren. Das ergibt für die Abstände A > B > C > D > E und damit für die Feldstärken A < B < C < D < E.
Kontrollfrage 7: Abb.F7 zeigt viermal den gleichen Ausschnitt aus einem Feldlinienbild. In welchen der Bilder passen die Feldvektoren zu den Feldlinien?
Nur bei Bild A, denn der Abstand der Feldlinien wird von links nach rechts größer, daher müssen auch die Feldvektoren von links nach rechts kürzer werden. Der Abstand der oberen und unteren zur mittleren Feldlinie ist in etwa gleich, daher müssen auch die oberen und unteren Feldvektoren etwa die gleiche Länge wie der mittlere Feldvektor haben.


Superposition elektrischer Felder

Für elektrische Felder gilt genau wie für die Coulombkraft das Superpositionsprinzip. Die Kraft zwischen zwei Ladungen wird nicht davon beeinflusst, ob irgendwelche weiteren Ladungen vorhanden sind und weitere Kräfte auf die Ladungen ausüben. Das bedeutet auch, daß das elektrische Feld einer Ladung nicht davon beeinflusst wird, ob irgendwelche weiteren Ladungen vorhanden sind und weitere elektrische Felder erzeugen. Wir können die elektrischen Felder, die an einem Raumpunkt $\vec r$ durch diverse Ladungen Q1, Q2, ... Qn erzeugt werden, einfach vektoriell addieren. Wir bestimmen das Feld $\vec E_1(\vec r)$ durch Q1, dann $\vec E_2(\vec r)$ durch Q2 usw. bis $\vec E_n(\vec r)$ durch Qn und addieren schließlich alle Felder zum resultierenden Feld $\vec E_{Q_i}(\vec r)$ am Ort $\vec r$:

Für das elektrische Feld gilt das Superpositionsprinzip: $\vec E_{Q_i}(\vec r)=\sum\limits_{i=1}^n \vec E_i(\vec r)$.

Diesen Zusammenhang zeigen die folgenden Beispiele.

Grafisches Beispiel

Abb.3 Superposition elektrischer Felder
Beispiel: Abb.3a zeigt vier Ladungen. Bestimme die Richtung des elektrischen Feldes im Ursprung des Koordinatensystems, das durch die vier Ladungen dort erzeugt wird!

Abb.3a zeigt die Anordnung der Ladungen und ihre Werte. Abb.3b zeigt das Ergebnis der Aufgabe. Wie kommt es zustande? Um das zu verstehen, betrachten wir die Abb. 3c) bis f). Der Trick besteht darin, zuerst jede Ladung für sich zu betrachten und die übrigen Ladungen schlicht zu ignorieren.
In Abb.3c) wird nur die oberste Ladung betrachtet. Sie ist negativ, deswegen muss der Feldvektor zu ihr hin zeigen. Da nur nach Richtungen gefragt ist, können wir dem Feldvektor eine beliebige Länge geben. Wir müssen allerdings aufpassen, dass alle weiteren Feldvektoren dazu im richtigen Längenverhältnis gezeichnet werden. Damit das einfach geht, bietet es sich an, die vorgegeben Kästchen als Maßstab zu benutzen. Wir wählen willkürlich die Länge einer Kästchenkante als Länge des ersten Feldvektors und bezeichnen ihn mit 1. Nun können wir die nächste Ladung betrachten.
Wir gehen gegen den Uhrzeigersinn und betrachten in Abb.3d) die linke Ladung. Sie ist positiv und trägt die gleiche Ladungsmenge wie unsere erste Ladung. Und sie hat den gleichen Abstand zum Koordinatenurprung. Deshalb muss sie dort die betragsmäßig gleiche Feldstärke erzeugen, d.h. ihr Feldvektor muss genauso lang sein wie der erste. Da die Ladung positiv ist, muss er jedoch von der Ladung wegzeigen, d.h. nach rechts. Wir bezeichnen den Feldvektor mit 2.
Im nächsten Schritt betrachten wir die untere Ladung in Abb.3e). Diese ist ebenfalls positiv, hat ebenfalls den gleichen Abstand zum Koordinatenurprung, trägt jedoch die doppelte Ladungsmenge. Deshalb muss sie im Koordinatenursprung die betragsmäßig doppelte Feldstärke erzeugen, verglichen mit den vorherigen Ladungen. Ihr Feldvektor muss von der Ladung weg nach oben zeigen und doppelt so lang sein wie die ersten beiden. Wir bezeichnen ihn mit 3.
Zum Schluss betrachten wir die Ladung rechts in Abb.3f). Diese ist ebenfalls positiv, trägt wieder die gleiche Ladungsmenge wie die ersten beiden Ladungen, hat jedoch nur den halben Abstand zum Koordinatenurprung. Deshalb erzeugt sie verglichen mit den ersten beiden Ladungen die vierfache Feldstärke, d.h., ihr Feldvektor muss viermal so lang sein wie die ersten beiden. Und wieder muss der Vektor von der Ladung wegzeigen, d.h. nach links. Wir bezeichnen ihn mit 4.

Diese vier Feldvektoren finden sich in Abb.3b) wieder. Nun müssen nur noch die vier Vektoren addiert werden. Das ist hier besonders einfach, da alle Vektoren nur entweder in die x- oder in die y-Richtung zeigen. In x-Richtung ergibt sich für die x-Komponente von $\vec E$ in Kästchenlängen Ex = -4 Kästchen + 1 Kästchen = -3 Kästchen. In y-Richtung ergibt sich für die y-Komponente von $\vec E$ in Kästchenlängen Ey = 2 Kästchen + 1 Kästchen = 3 Kästchen. Damit lässt sich $\vec E$ unmittelbar einzeichnen.

Abb. F8
Kontrollfrage 8a: In welche Richtung zeigt das elektrische Feld in Abb.F8a, das die beiden Ladungen am Punkt P erzeugen? Gebe die Richtung als Uhrzeigerstellung an (12 Uhr entspricht senkrecht nach oben).
Abb. F8a
Die Richtung entspricht 6 Uhr, denn das Feld von Q zeigt von ihr weg, das Feld von −Q zeigt zu ihr hin. Beide Ladungen und beide Abstände sind gleich, daher sind die Beträge beider Felder gleich. Die horizontalen Komponenten heben sich auf, die vertikalen addieren sich. Das ergibt ein Feld, dass nach 6 Uhr zeigt.
Kontrollfrage 8b: In welche Richtung zeigt das elektrische Feld in Abb.F8b, das die drei Ladungen am Punkt P erzeugen? Gebe die Richtung als Uhrzeigerstellung an (12 Uhr entspricht senkrecht nach oben).
Abb. F8a
Die Richtung entspricht 1 Uhr. Denn das Feld von Q(1) zeigt von ihr weg. Dem Vektor (1) geben wir willkürlich die Länge zweier Kästchendiagonalen. Das Feld von −Q (2) zeigt zu ihr hin. Die Ladung ist doppelt soweit von P entfern wie Q (1), daher darf der Vektor (2) nur 1/4 der Länge haben. Das Feld der Ladung −2Q (3) zeigt ebenfalls zu ihr hin. Sie hat den gleichen Abstand zu P wie −Q, trägt jedoch die doppelte Ladungsmenge. Daher muss ihr Vektor (3) doppelt so groß sein wie Vektor 2. Die Summe der drei Vekoren ergibt einen Vekor, der nach 1 Uhr zeigt.


Abb.4
Rechenbeispiel: Zwei entgegengesetzt gleiche Ladungen q+ = Q und q = −Q mit ❘Q❘ =1,26 × 10-9 C befinden sich an den Orten $\vec r_{q+}=(0,00\ \text m) \hat x+(2,00\ \text m)\hat z$ und $\vec r_{q-}=(0,00\ \text m) \hat x +(-2,00\ \text m)\hat z$. Bestimme die Feldvektoren des elektrischen Feldes, das die beiden Ladungen an den Orten $\vec r_{1}=(−2,0\ \text m) \hat x+(0,00\ \text m)\hat z$ und $\vec r_{2}=(1,00\ \text m) \hat x+(1,00\ \text m)\hat z$ erzeugen. Zeichne die Feldvektoren in Abb.4 mit ein.

Rechenbeispiel

Abb.4a Feld bei $\vec r_{1}$
Feld am Ort $\vec r_1$: Der Ort $\vec r_1$ ist von beiden Ladungen gleich weit entfernt. Die Abstandsvektoren sind $\vec r_1-\vec r_{q+}=[(-2,00\ \text m) -(0,00\ \text m)]\hat x+[(0,00\ \text m)-(2,00\ \text m)]\hat z=(-2,00\ \text m) \hat x+(-2,0\ \text m)\hat z$ und analog ist

$\vec r_1-\vec r_{q-}=[(-2,00\ \text m) -(0,00\ \text m)]\hat x+[(0,00\ \text m)-(-2,00\ \text m)]\hat z=(-2,00\ \text m) \hat x+(2,00\ \text m)\hat z$.
Um Schreibarbeit zu sparen, verkürzen wir die Notation entsprechend $\vec r_1-\vec r_{q\pm}=(-2,00\ \text m) \hat x+(\mp 2,00\ \text m)\hat z$.
Der Abstand beider Ladungen zu $\vec r_1$ ist gleich und hat den Zahlenwert $|\vec r_1-\vec r_{q\pm}|=\sqrt{(-2,0\ \text m)^2+(\mp 2,00\ \text m)^2}=\sqrt {8,00}\ \text m=2,83\ \text m$.
Die Einheitsvektoren der Abstandsvektoren geben (bis auf das Vorzeichen) die Richtung des Feldes an. Sie sind $\dfrac{\vec r_1-\vec r_{q\pm}}{|\vec r_1-\vec r_{q\pm}|}=\frac{(-2,00\ \text m)}{2,83\ \text m} \hat x+\frac{(\mp 2,00\ \text m)}{2,83\ \text m}\hat z=(-0,707) \hat x+(\mp 0,707)\hat z$.
Daher müssen die Beträge der Felder beider Ladungen gleich bzw. die Feldvektoren beider Ladungen gleich lang sein, denn ihre Ladungsmengen sind ja auch gleich. Die Beträge sind $|E_{\pm}|=k \frac {|Q|}{|\vec r_1-\vec r_{q\pm}|^2}=(9,0\times 10^9\ \frac{\text {N m²}}{\text{C²}}) \frac {1,26 \times 10^{-9}\ \text C}{(2,83\ \text m)^2}=1,42\ \frac{\text N}{\text C}$, die vorzeichenbehafteten Zahlenwerte sind damit $E_{\pm}=k \frac {\pm Q}{|\vec r_1-\vec r_{q\pm}|^2}=\pm 1,42\ \frac{\text N}{\text C}$.
Um die elektrischen Feldvektoren (auch das elektrische Feld oder die elektrische Feldstärke genannt) zu bestimmen, müssen die vorzeichenbehafteten Zahlenwerte mit ihren Einheitsvektoren multipliziert werden. Das ergibt $\vec E_{\pm}(\vec r_1)=E_{\pm}\cdot \frac{\vec r_1-\vec r_{q\pm}}{|\vec r_1-\vec r_{q\pm}|} =(\pm 1,42\ \frac{\text N}{\text C})\left[(-0,707) \hat x+(\mp 0,707)\hat z \right]=(\mp 1,00\ \frac{\text N}{\text C})\hat x+(-1,00\ \frac{\text N}{\text C})\hat z$.
Das resultierende Feld ist die Vektorsumme dieser beiden Feldvektoren. Das liefert das Ergebnis $\vec E(\vec r_1)=\vec E_{+}(\vec r_1)+\vec E_{-}(\vec r_1)=([- 1,00+1,00]\ \frac{\text N}{\text C})\hat x+([-1,00+(-1,00)]\ \frac{\text N}{\text C})\hat z=(0,00\ \frac{\text N}{\text C})\hat x+(-2,00\ \frac{\text N}{\text C})\hat z$. Der Feldvektor zeigt senkrecht nach unten. Die Feldstärke hat den Betrag $|\vec E(\vec r_1)|=2,00\ \frac{\text N}{\text C}$.

Abb.4b Feld bei $\vec r_{2}$
Feld am Ort $\vec r_2$: Analog kann das Feld am Ort $\vec r_2$ bestimmt werden.

Der Ort $\vec r_2$ ist von beiden Ladungen jedoch nicht gleich weit entfernt. Die Abstandsvektoren sind $\vec r_2-\vec r_{q+}=[(1,00\ \text m) -(0,00\ \text m)]\hat x+[(1,00\ \text m)-(2,00\ \text m)]\hat z=(1,00\ \text m) \hat x+(-1,0\ \text m)\hat z$ und $\vec r_2-\vec r_{q-}=[(1,00\ \text m) -(0,00\ \text m)]\hat x+[(1,00\ \text m)-(-2,00\ \text m)]\hat z=(1,00\ \text m) \hat x+(3,00\ \text m)\hat z$.
Ihre Beträge, d.h. der Abstand beider Ladungen zu $\vec r_2$ sind
$|\vec r_2-\vec r_{q+}|=\sqrt{(1,00\ \text m)^2+(-1,00\ \text m)^2}=\sqrt {2,00}\ \text m=1,41\ \text m$ und
$|\vec r_2-\vec r_{q-}|=\sqrt{(1,00\ \text m)^2+(3,00\ \text m)^2}=\sqrt {10,0}\ \text m=3,16\ \text m$.
Die Einheitsvektoren der Abstandsvektoren sind
$\dfrac{\vec r_2-\vec r_{q+}}{|\vec r_2-\vec r_{q+}|}=\frac{(1,00\ \text m)}{1,41\ \text m} \hat x+\frac{(-1,00\ \text m)}{1,41\ \text m}\hat z=(0,707) \hat x+(-0,707)\hat z$.
$\dfrac{\vec r_2-\vec r_{q-}}{|\vec r_2-\vec r_{q-}|}=\frac{(1,00\ \text m)}{3,16\ \text m} \hat x+\frac{(3,00\ \text m)}{3,16\ \text m}\hat z=(0,316) \hat x+(0,949)\hat z$.
Die vorzeichenbehafteten Zahlenwerte der Felder sind
$E_{+}=k \frac {Q}{|\vec r_2-\vec r_{q+}|^2}=(9,0\times 10^9\ \frac{\text {N m²}}{\text{C²}}) \frac {(1,26 \times 10^{-9}\ \text C)}{(1,41\ \text m)^2}=5,67\ \frac{\text N}{\text C}$ und
$E_{-}=k \frac {(-Q)}{|\vec r_2-\vec r_{q-}|^2}=(9,0\times 10^9\ \frac{\text {N m²}}{\text{C²}}) \frac {(-1,26 \times 10^{-9}\ \text C)}{(3,16\ \text m)^2}=-1,13\ \frac{\text N}{\text C}$.
Das ergibt die Felder
$\vec E_{+}(\vec r_2)=E_{+}\cdot \frac{\vec r_2-\vec r_{q+}}{|\vec r_2-\vec r_{q+}|} =(5,67\ \frac{\text N}{\text C})\left[(0,707) \hat x+(-0,707)\hat z \right]=(4,01\ \frac{\text N}{\text C})\hat x+(-4,01\ \frac{\text N}{\text C})\hat z$ und
$\vec E_{-}(\vec r_2)=E_{-}\cdot \frac{\vec r_2-\vec r_{q-}}{|\vec r_2-\vec r_{q-}|} =(-1,13\ \frac{\text N}{\text C})\left[(0,316) \hat x+(0,949)\hat z \right]=(-0,359\ \frac{\text N}{\text C})\hat x+(-1,08\ \frac{\text N}{\text C})\hat z$.
Das resultierende Feld ist die Vektorsumme dieser beiden Feldvektoren und liefert das Ergebnis
$\vec E(\vec r_2)=\vec E_{+}(\vec r_2)+\vec E_{-}(\vec r_2)=([4,01+(-0,359)]\ \frac{\text N}{\text C})\hat x+([-4,01+(-1,08)]\ \frac{\text N}{\text C})\hat z=(3,65\ \frac{\text N}{\text C})\hat x+(-5,09\ \frac{\text N}{\text C})\hat z$.
Die Feldstärke hat den Betrag $|\vec E(\vec r_2)|=6,26\ \frac{\text N}{\text C}$.

Die Ergenisse der Rechnungen und die verwendeten Bezeichnungen sind in Abb.4a und Abb.4b dargestellt.

Diskussion

Bisher haben wir nur das elektrische Feld von Punktladungen betrachtet. Für die elektrischen Felder anders geformter und ausgedehneter Objekte ergeben sich natürlich andere Ausdrücke. Beispielsweise ergibt sich für das elektrische Feld eines elektrischen Dipols der Zusammenhang $\vec E(\vec r)=k\left(3(\vec p\cdot\vec r)\frac{\vec r}{r^5}-\frac{\vec p}{r^3} \right)$, der vollkommen anders aussieht als Gleichung (3). Ein anderes Beispiel ist das Feld eines unendlich langen geladenenen Drahtes. Dafür erhält man den Zusammenhang $\vec E(\vec r)=\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda} r \frac{\vec r}{r}$ mit der Linienladungsdiche λ und r als senkrechtem Abstand zum Draht. Man darf also Gleichung (3) nicht als universell gültigen Ausdruck für alle elektrischen Felder auffassen! Richtig ist jedoch, dass sich alle elektrischen Felder als Superposition von Feldern von Punktladungen ausdrücken lassen, d.h. als Summen von Ausdrücken entsprechend Gleichung (3). Diese Art der Berechnung elektrischer Felder ist zwar sehr mühsam, funktioniert dafür aber immer. Für bestimmte Fälle gibt es jedoch deutlich einfachere Methoden, wie der Satz von Gauß und die Berechnung des elektrischen Feldes aus dem elektrischen Potenzial.