Elastischer Stoß

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Was ist ein Stoß?

Von einem Stoß spricht man, wenn sich zwei Körper, auf die keine äußeren Kräfte wirken, aufeinander zubewegen und nur gegenseitige Kräfte aufeinander ausüben. Um einen Stoß physikalisch zu beschreiben, muss man nichts über die Kräfte wissen, die die Körper aufeinander ausüben. Bei einem zentralen Stoß ist es ausreichend, die Anfangsimpulse und die Massen zu kennen, um die Endimpulse zu bestimmen.

Herleitung: Energie- und Impulsbilanz im Schwer­punkt­system

Jetzt betrachten wir elastische Stöße zweier Körper theoretisch und berechnen vektoriell den all­ge­mei­nen Fall. Wir wenden dazu Impuls-und Energieerhaltung im isolierten System an. Mit $m_1$ und $m_2$ bezeichnen wir die Massen beider Körper. Mit $\vec v_{i1}$ und $\vec v_{i2}$ bezeichnen wir die Anfangs­geschwin­dig­keiten vor dem Stoß, mit $\vec v_{f1}$ und $\vec v_{f2}$ die End­ge­schwin­digkeiten nach dem Stoß im erdfesten Bezugsystem LS (Laborsystem). Gestrichene Größen wie z.B. $\vec v_{f1}'$ beziehen sich auf das Schwerpunkt­system CMS. Zur Herleitung benötigen wir die Galileo-Transformation und die Bilanzen für Erhal­tungs­größen im isolierten System. Sie enthält folgende Schritte:

  1.  Schritt: Berechnung der Schwerpunkt­geschwindig­keit $\vec v_s=\frac{1}{m_1+m_2}\left(m_1 \vec v_{i1}+m_2\vec v_{i2}\right)$ und damit Trans­for­mation der $\vec v_i$ ins Schwerpunkt­system CMS: $\vec v_{i1}'=\vec v_{i1}-\vec v_s$ und $\vec v_{i2}'=\vec v_{i2}-\vec v_s$.
  2.  Schritt: Anwendung von Impuls- und Energieerhaltung im Schwerpunktsystem.
    2.1 Impulsbilanz im CMS: Gesamtimpuls vorher (t1) = Gesamtimpuls nacher (t2) = 0.
    Die Impulserhaltung verlangt $m_1 \cdot\vec v_{i1}'+m_2 \cdot\vec v_{i2}'=m_1 \cdot\vec v_{f1}'+m_2 \cdot\vec v_{f2}'=0$.
    Daraus folgen unmittelbar
    $m_1 \cdot\vec v_{i1}'=-m_2 \cdot\vec v_{i2}'\qquad\text{(1a)}$
    $m_1 \cdot\vec v_{f1}'=-m_2 \cdot\vec v_{f2}'\qquad\text{(1b)}$.
    Aus (1a) ergeben sich
    $\vec v_{i1}'=-\dfrac{m_2}{m_1} \cdot\vec v_{i2}'\qquad\Rightarrow\qquad\vec v_{i1}'^2=\dfrac{m_2^2}{m_1^2} \cdot\vec v_{i2}'^2\qquad\text{(2a1)}$
    $\vec v_{i2}'=-\dfrac{m_1}{m_2} \cdot\vec v_{i1}'\qquad\Rightarrow\qquad\vec v_{i2}'^2=\dfrac{m_1^2}{m_2^2} \cdot\vec v_{i1}'^2\qquad\text{(2a2)}$.
    Aus (1b) ergeben sich
    $\vec v_{f1}'=-\dfrac{m_2}{m_1} \cdot\vec v_{f2}'\qquad\Rightarrow\qquad\vec v_{f1}'^2=\dfrac{m_2^2}{m_1^2} \cdot\vec v_{f2}'^2\qquad\text{(2b1)}$
    $\vec v_{f2}'=-\dfrac{m_1}{m_2} \cdot\vec v_{f1}'\qquad\Rightarrow\qquad\vec v_{f2}'^2=\dfrac{m_1^2}{m_2^2} \cdot\vec v_{f1}'^2\qquad\text{(2b2)}$.
    2.2 Energiebilanz in CMS: Energie vorher (t1) = Energie nacher (t2), (nur kinetische Energien)
    Die Energieerhaltung fordert $\frac12 m_1 {v_{i1}'}^2+\frac12 m_2 {v_{i2}'}^2=\frac12 m_1 {v_{f1}'}^2+\frac12 m_2 {v_{f2}'}^2$.
    Daraus folgt mit (2a2) und (2b2)
    $\frac12 m_1 {v_{i1}'}^2+\frac12 \dfrac {m_1^2}{m_2} {v_{i1}'}^2=\frac12 m_1 {v_{f1}'}^2+\frac12 \dfrac {m_1^2}{m_2} {v_{f1}'}^2$.
    Ausklammern ergibt
    $\left(\frac12 m_1 +\frac12 \dfrac {m_1^2}{m_2}\right) {v_{i1}'}^2=\left(\frac12 m_1 +\frac12 \dfrac {m_1^2}{m_2}\right) {v_{f1}'}^2$.
    Das ergibt wiederum
    ${v_{i1}'}^2={v_{f1}'}^2\qquad\text{(3a)}$.
    Und analog mit (2a1) und (2b1)
    $\frac12 \dfrac {m_2^2}{m_1} {v_{i2}'}^2+\frac12 m_2 {v_{i2}'}^2=\frac12 \dfrac {m_2^2}{m_1}{v_{f2}'}^2+\frac12 {m_2} {v_{f2}'}^2$.
    Ausklammern ergibt
    $\left(\frac12 \dfrac {m_2^2}{m_1}+\frac12 m_2\right) {v_{i2}'}^2=\left(\frac12 \dfrac {m_2^2}{m_1}+\frac12 m_2 \right) {v_{f2}'}^2$.
    Das ergibt wiederum
    ${v_{i2}'}^2={v_{f2}'}^2\qquad\text{(3b)}$.
  3. Schritt: Rücktransformation der Ergebnisse ins Laborsystem LS durch $\vec v'=\vec v-\vec v_s$
    Wir ersetzen alle $\vec v'$ durch $\vec v-\vec v_s$.
    Aus (2a1) und (2b1) wird
    ${(\vec v_{i1}-\vec v_s)}={-\dfrac {m_2^2}{m_1}(\vec v_{i2}-\vec v_s)}\qquad\text{(4a)}$
    ${(\vec v_{f1}-\vec v_s)}={-\dfrac {m_2^2}{m_1}(\vec v_{f2}-\vec v_s)}\qquad\text{(4b)}$.
    Aus (3a) und (3b) wird
    ${(\vec v_{i1}-\vec v_s)}^2={(\vec v_{f1}-\vec v_s)}^2\qquad\text{(3a1)}$
    ${(\vec v_{i2}-\vec v_s)}^2={(\vec v_{f2}-\vec v_s)}^2\qquad\text{(3b1)}$.
    Allgemein ausgedrückt bedeutet das
    ${(\vec v_{i}-\vec v_s)}^2={(\vec v_{f}-\vec v_s)}^2\qquad\text{(5)}$


Die Glei­chung (4a) definiert nur das Schwer­punktsystem, die übrigen Gleichungen (4b) und (5) beinhalten das End­ergebnis:

Bei einem elastischen Stoß gilt für die Endgeschwindigkeiten

$\vec v_{f2}-\vec v_s=-\dfrac{m_1}{m_2}(\vec v_{f1}-\vec v_s)\qquad\text{(4b)}$

$(\vec v_f-\vec v_s)^2=(\vec v_i-\vec v_s)^2\qquad\text{(5)}$.

In vektorieller Form diskutieren wir das Ergebnis bei den zweidimensionalen Stößen. Jetzt betrach­ten wir es für den eindimensionalen „zentralen Stoß“.

Elastischer zentraler Stoß

Von einem zentralen Stoß spricht man z.B., wenn sich die Schwerpunkte beider Körper vor und nach dem Stoß auf derselben Linie bewegen. Das ist der Fall, wenn sich beispielsweise zwei stoßende Kugeln mittig treffen. Aus (5) erhalten wir durch Ziehen der Wurzel $\vec v_f-\vec v_s=\pm(\vec v_i-\vec v_s)$. Das „+“ entspricht dem Fall, dass kein Stoß stattgefunden hat, denn dann ergibt sich $\vec v_f=\vec v_i$. Der Stoß selbst wird also durch das Ergebnis mit „−“ beschrieben: $\vec v_f-\vec v_s=-(\vec v_i-\vec v_s)$. Diese Gleichung entspricht $\vec v'_f=-\vec v'_i$ im Schwerpunktsystem. Sie be­deu­tet, dass ein Stoß im Schwerpunktsystem immer nur eine simple Impulsumkehr erzeugt. Deshalb wird im CMS keine Energie zwischen den Stoßpartnern ausgetauscht, denn eine Vorzeichenumkehr des Impulses ändert die kinetische Energie nicht. Aus der Gleichung ergibt sich außerdem $\vec v_f-\vec v_s=\vec v_s-\vec v_i\quad \Rightarrow \quad \vec v_f=2\vec v_s-\vec v_i$. Das ist unser End­ergebnis:

Beim eindimensionalen (zentralen) elastischen Stoß gilt für beide Körper: $\vec v_f=2\vec v_s-\vec v_i$.

Für eine eindimensionale Bewegung können wir alle Vektoren $\vec v$ als Skalare behandeln und die Richtung durch das Vorzeichen erfassen. Soviel zu trockenen Theorie. Jetzt wollen wir sie in Alltags-Situationen umsetzen. Anhand der Unter­schiede im Impuls- und Energieübertrag können wir auch den Stößen ver­schiedene Modell­stöße zuordnen: Stoß mit ruhender Wand, Stoß mit bewegter Wand, Billardstoß usw. Als „Wand“ bezeichnen wir immer ein Objekt, dessen Masse viel größer ist als diejenige des Stoßpartners. Wir können dann die Masse des Stoßpartners vernachlässigen und Wandgeschwindigkeit und Schwer­punkt­geschwin­digkeit sind identisch. Beim Billardstoß gehen wir von gleichen Massen aus und eine davon ruht anfangs. Die Analyse der Stoßprozesse zeigt: Der relative Impulsübertrag ist abhängig von der Richtungsänderung und maximal bei Rück­reflexion. Der relative Energieübertrag ist abhängig vom Massenverhältnis und maximal bei Massen­gleichheit.