Einheiten

Aus PhysKi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Einheit und Zahlenwert

Das Symbol einer physikalischen Größe S in einer Formel steht für das Produkt aus seinem Zahlenwert und seiner Einheit: S = Zahlenwert × Einheit. Daher ändert sich der Zahlenwert, wenn sich die Einheit ändert und ohne Angabe einer Einheit ist ein Zahlenwert bedeutungslos. Zu den meisten physikalischen Größen gehört eine Einheit. Eine Einheit ist ein vereinbartes Vergleichsmaß. Das weltweit gültige vereinbarte Einheitensystem ist das SI-System[1][2]. Es basiert auf sieben physikalischen Größen, deren Ein­heiten die sieben SI-Basiseinheiten sind. Alle anderen physi­ka­lischen Größen und ihre SI-Einheiten wer­den daraus abgeleitet. Abgeleitete SI-Einheiten setzen sich aus Potenzprodukten der SI-Basis­ein­hei­ten zusammen. Es gibt auch andere Einheitensysteme, wie z. B. das cgs-System, die im Physki nicht ver­wen­det werden. Jede Größe bzw. Einheit hat eine Dimension, die unabhängig vom gewählten Einheitensystem ist. Wir verwenden SI-Einheiten und zusätzlich die gesetzlichen Einheiten Minute (1 min = 60 s), Stunde (1 h = 60 min), Tag (1 d = 24 h)[3] sowie die im SI angegebenen Einheitenvorsätze.

Größen, Einheiten und Dimensionen des SI-Systems

Basisgröße Größensymbol Basiseinheit Einheitensymbol Dimension
Zeit \(t\) Sekunde s T
Länge \(l, x, r, \text{etc.}\) Meter m L
Masse \(m\) Kilogramm kg M
Stromstärke \(I, i\) Ampere A I
Temperatur \(T\) Kelvin K Θ
Stoffmenge \(n\) Mol mol N
Lichtstärke \(I_ν\) Candela cd J

Einheitenvorsätze

Faktor Name Symbol Faktor Name Symbol
101 Deka da 10−1 Dezi d
102 Hekto h 10−2 Zenti c
103 Kilo k 10−3 Milli m
106 Mega M 10−6 Mikro μ
109 Giga G 10−9 Nano n
1012 Tera T 10−12 Piko p
1015 Peta P 10−15 Femto f
1018 Exa E 10−18 Atto a
1021 Zetta Z 10−21 Zepto z
1024 Yotta Y 10−24 Yokto y

Schreibweisen

Zahl mit Einheit

Zwischen die Angabe der Zahl und das zugehörige Einheitensymbol muss ein Leerzeichen gesetzt werden. Dazu gibt es nur drei Ausnahmen, nämlich die Symbole ° (Grad), ' (Minute und " (Sekunde) für Winkel. Bei einer Temperaturangabe in Celsius ist das Einheitensymbol °C ebenfalls durch ein Leerzeichen zu trennen.

Beispiele: Die Zeit t0 = 1,8 × 10-3 s ist das Gleiche wie t0 = 1,8 ms. Die Temperatur T0 = 273,15 K entspricht dem Gefrierpunkt von Wasser bei 0,0 °C. Der Winkel betrug α = 37° 14' 56".

Schrift für Einheitensymbole

Einheitensymbole muss man von den Symbolen für physikalische Größen unterscheiden können. Der Buchstabe "F" kann die Kraft bezeichen oder auch die Einheit Farad. Um beide Bedeutungen eindeutig unterscheiden zu können, ist der Schriftstil unterschiedlich festgelegt: Symbole für Einheiten sind eindeutig und müssen normal aufrecht, d.h. ohne eine Formatierung wie kursiv oder fett etc. geschrieben werden. Man darf sie also weder schräg stellen oder anderweitig abändern, noch sie durch Abkürzungen (wie sec. oder deg.) oder andere Zeichen ersetzen. Im Gegensatz dazu müssen die Symbole für physikalische Größen kursiv (schräg gestellt) geschrieben werden. Hierbei herrscht keine "künstlerische Freiheit"! Auch ist es egal, wie der Text drumherum gestaltet ist.

Beispiele: Das Symbol m steht für die physikalische Größe Masse, das Symbol m für die Einheit Meter. Das Symbol s steht für die physikalische Größe Weg, das Symbol s für die Einheit Sekunde. Das Symbol V steht für die physikalische Größe Volumen, das Symbol V für die Einheit Volt.

Bezug auf die Einheit einer physikalischen Größe

Wenn man die Einheit e einer physikalischen Größe S angeben möchte, schreibt man die Größe S in eckige Klammern [S] = e. Das ist zu lesen als: Die Einheit von S ist e. Daher ist es unzulässig und unsinnig, zwischen eckige Klammern ein Einheitensymbol zu schreiben!

Beispiele: [m] = kg (Lies: Die Einheit der Masse m ist das Kilogramm.) oder [t] = s (Lies: Die Einheit der Zeit t ist die Sekunde.) oder "Die Einheit der Arbeit W ist das Joule J" (Schreib: $[W]=\text J$).

Kombination von Einheiten

Die Symbole von Einheiten sind mathematische Symbole und keine Abkürzungen. Sie werden deshalb niemals von einem Punkt gefolgt (außer am Satzende) und genügen den Rechenregeln für Multiplikation und Division. Multiplikationen von Einheiten werden entweder durch ein Leerzeichen oder den Malpunkt (·) kenntlich gemacht. Divisionen zeigt man entweder als Bruch, durch den Schrägstrich (/) oder durch negative Exponenten an. Alle Schreibweisen müssen eindeutig sein, gegebenenfalls ist zu klammern.

Beispiele: In Basiseinheiten ausgedrückt ist $\text J=\dfrac {\text {kg}\cdot\text m^2}{\text s^2}=\dfrac {\text {kg}\ \text m^2}{\text s^2}={\text {kg}\ \text m^2}/{\text s^2}=\text {kg}\ \text m^2\ \text s^{-2}$. Die Leistung P ist Arbeit pro Zeit und hat die Einheit Watt (W): $[P]=\text W=\dfrac{\text J}{\text s}=\dfrac {\text {kg}\ \text m^2}{\text s^3}$.

Kombination von SI-Vorsätzen und Einheiten

SI-Vorsatz und Einheit werden ohne Leerzeichen zusammengeschrieben und bilden ein neues Einheitenzeichen. Beim Potenzieren gilt der Exponent auch für den Vorsatz. SI-Vorsätze dürfen nicht miteinander kombiniert werden und nicht zusammen mit Minute (min), Stunde (h) und Tag (d) verwendet. Deshalb gibt es keine "Millistunde" und auch kein "Mikrokilogramm". Beim Kilogramm, das ja schon einen Vorsatz und die Einheit Gramm (g) enthält, wird das "Kilo" ersetzt. Das kleine "m" ist doppeldeutig, denn es kann entweder "Meter" oder "Milli" bedeuten. Um Klarheit zu schaffen, muss das "m", wenn es für "Meter" steht, immer an die letzte Stelle gesetzt werden.

Beispiel: Ein Kilogramm sind 1000 Gramm, d.h. 1 kg = 103 g. Deshalb ist 1 × 10-6 kg = 1 mg (Milligramm). 15 m2 ist das gleiche wie 15 (103 mm)2 und wie 15 × 106 mm2. Und 3 µs² = 3 × (10-6 s)² = 3 × 10-12 s². Die Einheit des Drehmomentes M ist [M] = N m (Newton mal Meter). Für kleine Kräfte F ist die Einheit [F] = mN (Millinewton) geeignet.

Einheiten mit der Dimension 1

Einige abgeleitete SI-Einheiten haben die Dimension 1 und sind dennoch eine Einheit. Das wichtigste Beispiel sind Winkel. Der ebene Winkel θ ist definiert durch das Verhältnis zweier Längen: Er ist der Quotient $\theta=s/r$ von Kreisbogenlänge s und Kreisradius r und hat die Einheit Radiant mit dem Symbol rad und der Dimension $\frac {\mathsf{L}}{\mathsf{L}}=1$. Ähnlich ist es bei dem Raumwinkel, er ist das Verhältnis zweier Flächen. Der Raumwinkel Ω ist der Quotient $\Omega=A/r^2$ von dem Ausschnitt A einer Kugeloberfläche und dem Quadrat des Kugelradius r2 und hat die Einheit Steradiant mit dem Symbol sr und der Dimension $\frac {\mathsf{L}^2}{\mathsf{L}^2}=1$. Beide Einheiten gelten nur für Winkel und nicht für beliebige Längen- bzw. Flächenverhältnisse. Und obwohl beide Einheiten für 1 stehen, sollte man sie für Winkel oder Größen, die Winkel enthalten, stets explizit angeben. Die Winkeleinheit Grad ist keine SI-Einheit. Für die Umrechnung gilt exakt $360° = 2 \pi\: \text{rad}$ und $90° = \frac {\pi}{2}$.

Beispiele: Der volle ebene Winkel ist θ = 2π rad. Der volle Raumwinkel ist Ω = 4π sr. Die Winkelgeschwindigkeit ω hat die Einheit [ω] = rad/s. Die Frequenz f hat die Einheit [f] = Hz = 1/s. Obwohl rad/s die gleiche Dimension wie Hz hat, sind die Einheiten nicht gleich und eine Winkelgeschwindigkeit darf nicht in Hz angegeben werden.

Einheiten mit gleicher Dimension

Unterschiedliche physikalische Größen können die gleiche Dimension haben. Deswegen haben sie jedoch nicht die gleiche Einheit. Einheiten sind an physikalische Größen gebunden.

Beispiele: Die Einheit der Energie E ist [E] = J. Die Einheit des Drehmomentes M ist [M] = N m (Newtonmeter). Beide Größen haben zwar die gleichen Dimensionen $\text{dim}\: E = \text{dim}\: M =\frac {\mathsf{M}\:\mathsf{L}^2}{\mathsf{T}^2}$, jedoch unterschiedliche Einheiten, nämlich Joule bzw. Newtonmeter. Es ist nicht richtig, ein Drehmoment in Joule anzugeben oder eine Energie in Newtonmeter. Die Einheit der Aktivität A einer radiaktiven Substanz ist das Becquerel [A] = Bq = 1/s. Die Einheit Hertz kann ebenfalls als Hz = 1/s ausgedrückt werden. Dennoch dürfen Aktivitäten nicht in Hertz und Frequenzen nicht in Becquerel angegeben werden.

Umrechnung von Einheiten

Einige physikalische Größen können in verschiedenen Einheiten angegeben werden. Das SI erlaubt zum Beispiel die Angabe von Geschwindigkeiten in km/h statt m/s oder von Energien in eV (Elektronenvolt) statt J. In solchen Fällen sind die Umrechnungen durch Gleichungen der Form $a\:\text{A}=b\:\rm B$ festgelegt. A und B stehen für die Einheitensymbole und a bzw. b sind Umrechnungsfaktoren. Beispielweise ist $1\:\text{eV}= e(1\:\text{V}) = (1,602\:176\:634\times 10^{-19}\:\text{C})(1\:\text{V})=1,602\:176\:634\times 10^{-19}\:\text{J}$. Umrechnungsgleichungen findet man z.B. in [3], wobei die Änderungen durch das neue SI-System darin noch nicht enthalten sind.

Ein Zahlenwert x = {zA} A, der in einer Einheit A gegeben ist, wird "durch Multiplikation mit 1" in einen Zahlenwert x = {zB} B mit der anderen Einheit B umgerechnet. Die Ausdrücke {zA} bzw. {zB} symbolisieren die "nackten" Zahlenwerte. Als Formel ausgedrückt lautet die Umrechnungsvorschrift: $\underset{[x] = \rm B}{\{z_B\}\text{B}} = \underset{[x] = \rm A}{\{z_A\}\text{A}} \cdot \underbrace{\dfrac{b \cdot \rm B}{a \cdot \rm A}}_{=1}= {\{z_A\}} \cdot \dfrac{b}{a}\:\rm B$. Dadurch wird die alte Einheit herausgekürzt und die neue Einheit bleibt übrig.

Beispiele: Umrechnung von Sekunde in Stunde: $1\: \rm h = 3600\: \rm s\ \Rightarrow\ \frac {1\: \rm h}{3600\: \rm s}=1$. Das ergibt $1\ \rm s\cdot\frac {1\: \rm h}{3600\: \rm s}=\frac 1{3600}\ \rm h\approx 2,7778\times 10^{-4}\:\rm h$.
Umrechnung von $v$ = 10,0 m/s in km/h: $1\: \frac{\rm m}{\rm s} = \frac{10^{-3}\:\rm km}{1/3600\:\rm h}=3,6\:\frac{\rm km}{\rm h}\ \Rightarrow\ \frac {3,6\: \rm km/h}{1\:\rm m/s}=1$. Das ergibt $v=10,0\:\rm m/s\times\frac {3,6\:\rm km/h}{1\:\rm m/s}=36,0 \:{\rm km/h}$.

Tabellen- und Achsenbeschriftungen

Abb. 1 Richtige Beschriftung von Tabellenspalten und Achsen

In Tabellenköpfen und als Achsenbeschriftung von grafischen Darstellungen benötigt man ein Format, mit dem sich die "nackten" Zahlenwerte {z} physikalischer Größen S losgelöst von ihren Einheiten [S] angeben lassen. Dazu dient die Umformung {z}=S/[S] und der Quotient S/[S] bildet dann die Beschriftung der Spalten bzw. Achsen. Die Bedeutung des Symbols S muss aus dem Kontext klar sein. Die Beschriftung sollte möglichst mit den Formelsymbolen erfolgen, d.h. eine Beschriftung "T/s" ist einer Beschriftung wie "Periodendauer T/s" vorzuziehen. Es ist auch zulässig, "T in s" zu schreiben.

Beispiel: Es soll eine Tabelle mit Messwerten, die aus Zeitangaben in Sekunden und Ortsangaben in Zentimern enthalten, sowie die grafische Darstellung der Messwerte erzeugt werden. Die Zeiten sind $t=\{z_t\}\ \text s\ \Rightarrow \{z_t\}=t/\text {s}$ und die Orte sind $x=\{z_x\}\ \text {cm}\ \Rightarrow \{z_x\}=x/\text {cm}$. Abb. 1 zeigt die Tabelle und die Grafik mit korrekten Beschriftungen.


Kontrollfrage 1:
Messwertbeispiel.png
Im Bild links ist ein Auszug aus einem Praktikumsprotokoll dargestellt, das Studierende angefertigt haben. Er zeigt eine Tabelle mit Messwerten und eine per Tabellenkalkulation erzeugte grafische Darstellung der Messwerte. In dem Experiment wurde die elektrische Stromstärke I in einem Stromkreis in Abhängigkeit vom Widerstand R des Stromkreises für eine feste Spannung U gemessen.

Versetze dich in die Rolle einer/s Lehrenden und beurteile die Beschriftungen der Tabelle und der grafischen Darstellung! Was könnte man besser machen? Was ist falsch?
Die Tabelle ist brauchbar, jedoch unkonventionell bzw. uneinheitlich beschriftet. Besser wäre es, das Wort "Ohm" durch das Einheitensymbol Ω zu ersetzen und in durch /. Bei der Grafik wäre es besser, die Bezeichnungen "Stromstärke" und "Widerstand" wegzulassen, sofern die Bedeutung der Symbole aus dem Kontext klar ist. Die Beschriftung enthält aber auch Fehler: Der erste Fehler ist, dass die Symbole der physikalischen Größen nicht kursiv geschrieben sind. Der zweite Fehler ist, dass die Einheiten in eckige Klammern gesetzt wurden. Dadurch wird den Größen keine Einheit zugeordnet, denn streng genommen bedeuten die Angaben: Strom mal "der Einheit des Milliamperes" (und das hat keine!) bzw. Widerstand mal "der Einheit des Ohms" (und das hat auch keine!). Hier wurde die Bedeutung der eckigen Klammern missverstanden und sie wurden fehlerhaft angewendet.