Differentiale

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Was sind Differentiale?

Differentiale sind sehr, sehr kleine "Häppchen" einer physikalischen Größe. Diese winzigen -ja sogar unendlich kleinen- "Häppchen" kennzeichnet man durch durch ein "d" oder "∂" und nennt sie Differentiale. Sie sind winzig, aber nicht null! Das Rechnen mit Differentialen ist Gegenstand der Differential- und Integralrechnung, der Analysis.

Wie werden Differentiale verwendet?

Die fundamentale Frage der Physik ist: Was sind aussagekräftige physikalische Größen und wie hängen sie zusammen? Sehr häufig kann man die Frage nach dem Zusammenhang nicht mit einer einfachen Formel beantworten, sondern "es hängt davon ab". Wir nehmen ein konkretes Beispiel: Wir lassen eine Kraft \(F\) für eine gewisse Zeit \(t\) auf eine Objekt der Masse \(m\) einwirken. Wie wird sich der Impuls $p= m v$, d.h. das Produkt aus der Masse m und der Geschwindigkeit $v$ des Objektes mit der Zeit ändern? Oder noch anders gefragt: Wie hängt der Impuls p von der Kraft F ab? Die Antwort kann nicht in eine einzige einfache Formel gepresst werden, sondern hängt von der Art der einwirkenden Kraft ab. Um solche Zusammenhänge zu beschreiben, betrachtet man sehr, sehr kleine "Häppchen" des Parameters (hier t), und geht davon aus, dass diese dann auch nur zu sehr, sehr kleinen Änderungen der gefragten physikalischen Größe (hier p) führen. Diese winzigen - ja sogar unendlich kleinen "Häppchen" kennzeichnet man durch durch ein "d" und nennt sie Differentiale, hier also dt und dp. Nun geht man davon aus, dass für so winzige Parameteränderungen dt die Änderung der gesuchten Größe dp einfach linear mit der Parameteränderung skaliert: ${\rm d}p = F\cdot {\rm d}t$ oder nach Division durch dt: $F = {\rm d}p/{\rm d}t$. Der Ausdruck ${\rm d}p/{\rm d}t$ ist die Ableitung des Impulses nach der Zeit t und der Zusammenhang zwischen Kraft und Impuls ist differentiell. Die Physik "lebt" von differentiellen Zusammenhängen. Ein Verständnis dieser Art des Zusammenhangs ist deshalb ein unverzichtbarer Basisbaustein für ein Verständnis der Physik. Dieser Zusammenhang ist etwas anders als +,-, × , /. Doch genau wie für Summe und Produkt gibt es für Ableitung und Integral sehr anschauliche Interpretationen und erlernbare Rechenmethoden.

Differentielle Zusammenhänge

Der differentielle Zusammenhang ist einer der häufigsten in der Physik und führt auf Ableitungen, Integrale und Differentialgleichungen, die etwas ganz anderes sind als einfache "Formeln". Um solche Zusammenhänge mathematisch zu behandeln, benötigt man Grundkenntnisse in Differential- und Integralrechnung.

In allgemeinster Form lautet ein differentieller Zusammenhang zwischen drei unterschiedlichen physikalische Größen A, B und C:

Differentieller Zusammenhang: ${\rm d}A=B \cdot {\rm d}C\qquad(1)$.

Um an eine der Größen zu gelangen, d.h. nach A, B oder C aufzulösen, muss man differenzieren (ableiten) oder integrieren. Auf dem Weg dahin darf man mit den Differentialen dA und dC wie mit "normalen" Größen rechnen. Der Quotient der beiden Differentiale bildet einen Differentialoperator und steht für eine Ableitung.

"Auflösen" differentialer Zusammenhänge

Auflösen nach A: Die Größe A erhält man, indem man (1) integriert. $\int {\rm d}A =\int B\ {\rm d}C$. Das linke Integral ist ein Integral über 1 und ergibt deshalb die Größe, die in seinem Differential steht $\int {\rm d}A=A$. Das rechte Integral lässt sich auswerten, wenn B in Abhängigkeit von C als B(C) bekannt ist. Die Berechnung erfolgt somit durch $A =\int B(C)\ {\rm d}C$.

Auflösen nach B: Die Größe B erhält man, indem man (1) durch dC teilt. Das ergibt $B=\frac{ {\rm d}A} { {\rm d}C}$. Es bedeutet: B ist die Ableitung von A nach C. Der Zusammenhang lässt sich auswerten, d.h. B kann bestimmt werden, wenn A in Abhängigkeit von C als A(C) bekannt ist.

Auflösen nach C: Die Größe C erhält man, indem man (1) durch B teilt und anschließend integriert. Das ergibt im ersten Schritt ${\rm d}C=\frac 1B {\rm d}A$ und im zweiten Schritt $\int{\rm d}C=\int\frac 1B\ {\rm d}A$. Das linke Integral ist wieder ein Integral über 1 und ergibt deshalb $\int {\rm d}C=C$. Das rechte Integral lässt sich wieder auswerten, wenn B in Abhängigkeit von A als B(A) bekannt ist. Die Berechnung erfolgt somit durch $C =\int \frac 1{B(A)}\ {\rm d}C$.

Beispiele: Impuls p, Kraft F und Zeit t hängen über ${\rm d}p=F \cdot {\rm d}t$ zusammen. Kennt man z.B. den Impuls p(t), so gewinnt man daraus die Kraft F durch Ableiten von p(t): $F=\frac{ {\rm d}p} { {\rm d}t}$. Kennt man dagegen die Kraft F, gewinnt man den Impuls durch Integration der Kraft $p(t)=\int F(t){\rm d}t$.
Ort x,Geschwindigleit $v$ und Zeit t hängen über ${\rm d}x=v \cdot {\rm d}t$ zusammen. Kennt man z.B. den Ort x(t) eines Körpers als Funktion der Zeit, so gewinnt man daraus die Geschwindigkeit des Körpers $v$ durch Ableiten von x(t): $v=\frac{ {\rm d}x} { {\rm d}t}$. Kennt man dagegen die Geschwindigkeit v(t), gewinnt man den Ort x durch Integration der Geschwindigkeit $x=\int v(t){\rm d}t$ über die Zeit.

Integration differentieller Zusammenhänge

Die Integration zur Bestimmung der Größen A und C kann mit unbestimmten Integralen $A=\int B\ dC$ oder mit bestimmten Integralen $\int_{A(C_1)}^{A(C_2)}{\rm d}A=\int_{C_1}^{C_2} B\ dC$ erfolgen. Die erste Variante erscheint vielleicht auf den ersten Blick einfacher, tatsächlich ist aber die Integration durch bestimmte Integrale oft übersichtlicher.

Unbestimmte Integrale

Einem unbestimmten Integral kann man immer eine beliebige Konstante c hinzufügen, die man Integrationskonstante nennt. In der Physik haben diese Integragtionskonstanten in der Regel eine feste Bedeutung. Betrachten wir dazu noch einmal den Zusammenhang aus dem vorangegangenen Beispiel: ${\rm d}x=v \cdot {\rm d}t$. Um das auszuwerten, benötigen wir einen konkreten Zusammenhang für $v(t)$. Nehmen wir deshalb weiter an, dass sich $v$ linear mit der Zeit ändert, d.h. $v(t)=a t + v_0$ mit einer Konstanten a und einer Konstante $v_0$. Nun können wir durch ein umbestimmtes Integral einen Ausdruck für den Ort bestimmen $x(t)=\int a t + v_0\ {\rm d}t=\frac 12 a t^2 + v_0 t+c$. Das Integral ist unbestimmt, daher müssen wir eine Integrationskonstante c addieren. Diese Integrationskonstante muss einem Ort entstprechen, denn das Ergebnis ist eine Gleichung für den Ort x(t). Die Bedeutung von c erschließt sich sofort, wenn man den Parameter t = 0 setzt. Dann wird die Gleichung zu $x(t=0)=c$. Die Konstante gibt c deshalb den Ort an, an dem der Körper zum Zeitpunkt t = 0 gestartet ist. Daher nennt man die Konstante üblicherweise x0 und schreibt den Ausdruck für den Ort als $x(t)=\frac 12 a t^2 + v_0 t+x_0$. Dies ist eine bekannte Gleichung der Physik. Sie beschreibt den Ort eines Körpers, der sich gleichmäßig beschleunigt bewegt.

Bestimmte Integrale

Bei einem bestimmten Integral gibt es keine Integrationskonstante, statt dessen wählt man feste Grenzen für die Integration. Wenn man beispielsweise über C integeriert, wählt man einen Startwert C1 und einen Endwert C2. Dazu gehören nun die Werte A(C1) und A(C2). Wichtig ist dabei, dass die Grenzen andere Bezeichnungen haben als die Größe, über die integriert wird. Jetzt bestimmen wir den Ort x(t) mit Hilfe eines bestimmten Integrals. Wir integrieren über t, daher benötigen wir zwei Zeiten als Grenzen. Wir wählen t1=0 und t2 = t, um am Ende auch einen Ausdruck für x(t) zu erhalten. Daraus ergeben sich für den Ort die Grenzen x(t=0)=x0 und x(t)=x. Das ergibt die Integralgleichung $\int_{x_0}^{x}{\rm d}x=\int_0^{t} a t + v_0\ {\rm d}t$. Diese Gleichung hat allerdings noch den heftigen "Schönheitsfehler", dass die Grenzen x bzw. t und die Größen x bzw. t, über die integriert wird, die gleichen Bezeichnungen tragen. Deswegen müssen wir je eine von beiden umbenennen und ersetzen im Integral x willkürlich durch x' und t willkürlich durch t', damit die Schreibweise auch formal zufriedenstellend ist. Formal richtig lautet die Gleichung jetzt $\int_{x_0}^{x}{\rm d}x'=\int_0^{t} a t' + v_0\ {\rm d}t'$. Nun wird integriert: Das linke Integral ergibt $\int_{x_0}^{x(}{\rm d}x'=\left[x'\right]_{x_0}^{x}=x-x_0$. Das rechte Integral ergibt $\int_0^{t} a t' + v_0\ {\rm d}t'=\left[\frac 12 a t'^2 + v_0 t'\right]_0^t=\frac 12 a t^2 + v_0 t$. Zusammen liefert das $x-x_0=\frac 12 a t^2 + v_0 t$. Wenn wir das nach x auflösen, erhalten wir wieder $x(t)=\frac 12 a t^2 + v_0 t+x_0$.

Beide Lösungwege liefern das gleiche Ergebnis. Bei einem bestimmten Integral fallen die Konstanten, die sich bei unbestimmten Integralen aus den Integrationskonsten ergeben, "von selbst" an. Bestimmte Integrale sind deshalb weniger fehleranfällig und klarer. Oft ist es aber auch so, dass bereits bestimmte Grenzen gegeben sind. Dann ist das bestimmte Integral sowieso die paasende Methode.

Beispiele: Impuls p, Kraft F und Zeit t hängen über ${\rm d}p=F \cdot {\rm d}t$ zusammen. Eine Kraft F und ihre Einwirkdauer t0 sind gegeben. Dann gewinnt man den Impuls durch Integration der Kraft von 0 bis t0: $p(t_0)=\int_0^{t_0} F(t){\rm d}t$.
Ort x,Geschwindigleit $v$ und Zeit t hängen über ${\rm d}x=v \cdot {\rm d}t$ zusammen. Eine variable Geschwindigkeit v(t) zwischen zwei Zeitpunkten t0 und t1 ist bekannt. Die in diesem Zeitraum zurückgelegte Strecke Δx erhält man durch Integration der Geschwindigkeit von t0 bis t1: $\Delta x=\int_{t_0}^{t_1} v(t){\rm d}t$.

Differentialgleichungen

Gleichungen, die Differentiale bzw. Ableitungen enthalten, nennt man Differentialgleichungen. Sie unterscheiden sich von "normalen" Gleichungen darin, dass die "Unbekannten" nicht mehr irgendwelche Zahlen oder Variablen, sondern Funktionen von physikalischen Größen sind. Eine einfache Form einer Differentialgleichung ist z.B. $B=\dfrac{ {\rm d}A} { {\rm d}C}$. Nehmen wir an, es ist nur B(C) bekannt. Dann kann man die Gleichung auch als folgende Aufgabe auffassen: Finde eine Funktion A(C), deren Ableitung nach C die Funktion B(C) ist. Für einfache Funktionen B(C) lässt sich diese eine Differentialgleichung direkt durch Integration lösen. Wie man das macht, wurde oben gezeigt. Das ist aber längst nicht immer so! Differentialgleichungen können mehrere Ableitungen, auch Potenzen davon und komplzierte Zusammenhänge enthalten. Dann ist ihre Lösung schwierig, unübersichtlich, und oft auch nur noch numerisch möglich. Wer einen Eindruck bekommen möchte, der schaue sich das Kapitel Wasserstoff-Atom an. Dort wird die Lösung der Schrödinger-Gleichung des Wasserstoff-Atoms beschrieben. Auch sie ist eine Differentialgleichung. In der schulrelevanten Mechanik treten nur verhältnismäßig einfache Differentialgleichungen auf, für die noch relativ übersichtliche Lösungsverfahren existieren. Sie werden im Artikel "Differentialgleichungen" beschrieben.

Die Physik "lebt" von differentiellen Zusammenhängen. Ein Verständnis dieser Art des Zusammenhangs ist deshalb ein unverzichtbarer Basisbaustein für ein Verständnis der Physik. Dieser Zusammenhang ist etwas anders als +,-, × , /. Doch genau wie für Summe und Produkt gibt es für Ableitung und Integral sehr anschauliche Interpretationen:

Ableiten Integrieren
Die Ableitung einer Größe entspricht der Änderung der Größe. Das Integral bemisst die Ansammlung (Summe) einer Größe.
Die Ableitung entspricht der Steigung der Kurve. Das Integral entspricht der Fläche, die die Kurve mit der x-Achse einschließt.
Die Ableitung entspricht der Steigung der Kurve, wenn man Δx unendlich klein macht. (©Elke Müller)
Das Integral entspricht der Fläche, die die Kurve mit der x-Achse einschließt, wenn man Δx unendlich klein macht. (©Elke Müller)