Biot-Savart-Gesetz

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Physikalischer Kontext

Abb.1 Bedeutung der Größen im Biot-Savart-Gesetz

Das Biot-Savart-Gesetz ist die universellste Methode, um Magnetfelder zu berechnen, die durch Ströme erzeugt werden. Es gibt das Magnetfeld einer bewegten Punktladung an. Da sich jeder Strom aus bewegten Punktladungen zusammensetzt und auch für Magnetfelder das Superpositionsprinzip gilt, kann durch Superposition der Magnetfelder der einzelnen bewegten Punktladungen das Magnetfeld einer jeden Stromverteilung damit theoretisch berechnet werden. Dazu muss man dann über die gesamte Stromverteilung integrieren, was mathematisch beliebig schwierig werden kann. Für einfache Stromverteilungen wie z.B. kreisförmige Stromschleifen, liefert das Biot-Savart-Gesetz jedoch eine einfache Methode, um das Magnetfeld an bestimmten Orten $\vec r$ zu bestimmen.

Mathematische Formulierung

Das Biot-Savart-Gesetz lautet $d\vec B(\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\cdot d\vec L}{|\vec r-\vec r_I|^2}\times\dfrac{\vec r-\vec r_I}{|\vec r-\vec r_I|}$. Darin ist $d\vec B(\vec r)$ das Magnetfeld, das am Ort $\vec r$ erzeugt wird, weil durch ein Leiterstück $d\vec L$ am Ort $\vec r_I$ der Strom I fließt.    (1)

Die mathematische Formulierung des Biot-Savart-Gesetzes in der gezeigten Schreibweise verdeutlicht, dass auch das Magnetfeld einer bewegten Punktladung genau wie ihr elektrisches Feld mit dem reziproken Quadrat des Abstandes $|\vec r-\vec r_I|$ vom erzeugenden Strom abhängt. Denn der letzte Faktor im Kreuzprodukt ist nur der Einheitsvektor des Abstandsvektors. Häufig findet man das Biot-Savart-Gesetz in einer Schreibweise $...\frac{1}{r^3}\times \vec r$, die diese Abhängigkeit verschleiert. Den Vektor $I\ d\vec L$ kann man auch mittels der elektrischen Stromdichte $\vec j$ ausdrücken. Weil $I\ d\vec L =dq\cdot \vec v=\rho\ dV\cdot \vec v=\vec j\ dV$ ist, worin dV das von der Stromdichte durchsetzte Volumen angibt, ist eine andere Formulierung $d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\vec j(\vec r) dV}{|\vec r-\vec r_j|^2}\times\dfrac{\vec r-\vec r_j}{|\vec r-\vec r_j|}$.

Herleitung

Abb.2 Ein elektrisches Feld in S erzeugt ein Magnetfeld in S'

Die einfachste Herleitung des Biot-Savart-Gesetzes geht über den Zusammenhang zwischen $\vec E$ und $\vec B$-Feld, den wir beim Magnetfeld kennengelernt haben, denn es ist nichts anderes als das Magnetfeld, das entsteht, wenn man eine Punktladung bewegt (Abb.2). Wir erhalten es aus der Transformation $\vec B=-\frac{\vec v}{c^2}\times \vec E$, wenn wir für $\vec E$ das elektrische Feld einer Punktladung einsetzen, wobei wir statt Q nun ein differentielles Ladungselement dq und entsprechend das differentielle Feld $d\vec E=\dfrac {1} {4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac {dq}{|\vec r-\vec r_Q|^{2}}\cdot \dfrac {\vec r-\vec r_Q}{|\vec r-\vec r_Q|}$ betrachten.

Damit starten wir mit $d\vec B(\vec r)=-\frac{\vec v}{c^2}\times d\vec E=-\frac{\vec v}{c^2}\times \dfrac {1} {4 \pi \varepsilon_0} \cdot \dfrac {dq}{|\vec r-\vec r_Q|^{2}}\cdot \dfrac {\vec r-\vec r_Q}{|\vec r-\vec r_Q|}$. Die Konstanten ergeben $\dfrac {1} {4 \pi \varepsilon_0 c^2}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}$, denn es ist ja $c^2=\dfrac{1}{\varepsilon_0\ \mu_0}$. Die skalaren Faktoren fassen wir alle zusammen und erhalten damit $d\vec B(\vec r)=-\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{dq\cdot\vec v}{|\vec r-\vec r_Q|^{2}}\times \dfrac {\vec r-\vec r_Q}{|\vec r-\vec r_Q|}$. Wenn wir in S' eine positive Stromstärke in x-Richtung haben wollen, muss sich S' in die negative x-Richtung gegen S bewegen (siehe Abb.2). Wir müssen also $\vec v$ durch $-\vec v$ ersetzen. Das ergibt $d\vec B(\vec r)=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{dq\cdot\vec v}{|\vec r-\vec r_Q|^{2}}\times \dfrac {\vec r-\vec r_Q}{|\vec r-\vec r_Q|}$. Das Produkt aus Ladung und Geschwindigkeit können wir in einen Ausdruck in Abhängigkeit von der Stromstärke I umwandeln, wenn wir das Wegstück $d\vec L$ einführen, das die Ladung dq in der Zeit dt zurücklegt. Denn damit ist $\vec v=\dfrac{d\vec L}{dt}$ und das Produkt $dq\cdot \vec v=\frac{dq\cdot d\vec L}{dt}=\dfrac{dq}{dt}d\vec L=I\ d\vec L$, denn die Stromstärke ist ja $I=\dfrac{dq}{dt}$. Wenn wir das einsetzen, sind wir schon am Ziel: $d\vec B(\vec r)=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\cdot d\vec L}{|\vec r-\vec r_Q|^{2}}\times \dfrac {\vec r-\vec r_Q}{|\vec r-\vec r_Q|}$. Wir müssen nur noch die Vektoren $\vec r_Q$ in $\vec r_I$ umbenennen, denn nun zeigen sie nicht mehr auf eine Ladung q sondern auf ein differentielles Leiterstück mit der Stromstärke I.

Anwendungsbeispiele

Feld im Mittelpunkt eines Kreisstrom

Beispiel: Berechnung des Magnetfeldes im Mittelpunkt einer kreisförmigen Leiterschleife Eine kreisförmige Stromschleife habe den Radius R und liege zentriert in der xy-Ebene. Dann ist im Mittelpunkt $\vec r=0$ und $d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\cdot d\vec L}{|-\vec r_I|^2}\times\dfrac{-\vec r_I}{|-\vec r_I|}$. Die Abstandsvektoren $-\vec r_I$, die vom Schleifenstück $d\vec L$ zum Mittelpunkt zeigen, sind überall senkrecht zu $d\vec L$, wodurch sich $d\vec B$ weiter zu $d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\cdot dL}{r_I^2}\ \hat z$ vereinfacht, denn das Kreuzprodukt zeigt in die z-Richtung, wenn man $d\vec L$ gegen den Uhrzeigersinn die Schleife entlang wählt. Das Wegelement entlang der Stromschleife ist mit $r_I=R$ durch $dL=R d\varphi$ gegeben. Das Feld im Mittelpunkt ergibt sich durch die Integration über die Schleife: $\vec B=\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\cdot R}{R^2}d\varphi\ \hat z=\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I}{R}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\ \hat z={\mu_0}\dfrac{I}{2 R}\ \hat z$, denn das Integral ergibt 2π.

Feld auf der Symmetrieachse eines Kreisstroms

Abb.B1
Beispiel: Berechnung des Magnetfeldes auf der z-Achse einer kreisförmigen Leiterschleife Eine kreisförmige Stromschleife habe den Radius R und liege zentriert in der xy-Ebene (Abb.B1). Für Punkte auf der z-Achse ist $|\vec r|=|z|$ und $|\vec r_I|=R$ und $|\vec r-\vec r_I|=\sqrt{z^2+R^2}$. Die Abstandsvektoren $\vec r-\vec r_I$, sind überall senkrecht zu $d\vec L$, wodurch sich für den Betrag von $d\vec B$ einfach $dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\cdot dL}{|\vec r-r_I|^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\cdot dL}{z^2+R^2}$ ergibt. Von $d\vec B$ addieren sich nur die z-Komponenten, die radialen Komponenten werden jeweils vom gegenüberliegenden Stück der Stromschleife kompensiert. Die z-Komponente von $d\vec B$ ergibt sich über den Winkel α, den der Abstandsvektor zu xy-Ebene hat. Weil $\cos\alpha=\frac{R}{\sqrt{z^2+R^2}}$ ist, ist auch $dB_z=dB\cdot \cos\alpha=\frac{R}{\sqrt{z^2+R^2}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\cdot dL\cdot R}{(z^2+R^2)^{3/2}}$. Das Wegelement entlang der Stromschleife ist durch $dL=R\cdot d\varphi$ gegeben. Das Feld auf der z-Achse ergibt sich durch die Integration über die Schleife: $\vec B=\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\cdot R^2}{(z^2+R^2)^{3/2}}d\varphi\ \hat z=\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\cdot R^2}{(z^2+R^2)^{3/2}}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\ hat z=\frac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\cdot 2\pi\cdot R^2}{(z^2+R^2)^{3/2}}\ \hat z$, denn das Integral ergibt 2π. Wir können noch das magnetische Dipolmoment der Stromschleife $\vec \mu=I\cdot \vec A=I\pi R^2 \hat z$ einsetzen und erhalten damit $\vec B(z)=\frac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{\vec \mu}{(z^2+R^2)^{3/2}}$.