Ableitung

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Ableitung oder Differentiation

Die Begriffe Ableitung und Differentiation sind synonym, d.h. haben die gleiche Bedeutung. Sie beschreiben eine mathematische Operation, die man mit Funktionen durchführen kann. Nehmen wir an, eine Funktion sei mit f(x) bezeichnet. Man drückt das Ergebnis dieser Operation, also die Ableitung der Funktion, im einfachsten Fall durch einen Strich an der Funktion $f'(x)$ aus. Das mathematische Symbol für die Anweisung "Leite nach x ab!" bzw. "Differenziere nach x!"ist der Differentialoperator $\dfrac { {\rm d} }{ {\rm d}x}$. Die Funktion, die abgeleitet werden soll, kann man auf verschiedene Arten anfügen (siehe Schreibweisen). Unserere Funktion sei wieder mit f(x) bezeichnet. Die übersichtlichste Variante ist es, sie in Kurzschreibweise (d.h. ohne "(x)") hinter das obere "d" zu setzen $\dfrac { {\rm d} f}{ {\rm d}x}$. Das bedeutet: "Leite die Funktion f(x) nach der Größe x ab!", oder: "Differenziere die Funktion f(x) nach der Größe x!". Wenn wir das tun, erhalten wir die Ableitung von f(x), also $f'(x)$. Mathematisch formuliert ergibt das $\dfrac { {\rm d} f}{ {\rm d}x}=f'(x)$.

Im folgenden wollen wir uns genauer anschauen, welche Bedeutung hinter dieser Gleichung steckt und was die Ableitung bzw. Differentiation mit der Funktion eigentlich macht! Denn in der Physik sind es nicht "irgendwelche" abstrakten Funktionen, die wir "aus Spaß an der Freude" ableiten. Statt dessen ist es so: Der Ausdruck f(x) gibt an, wie die Größe f von der Größe x abhängt. In der Physik stehen die Symbole f und x stellvertretend für beliebige verschiedene physikalische Größen wie z.B. Kraft F, Impuls p, Geschwindiglkeit $v$, Zeit t oder Masse m etc.. Zum Beispiel kann der Ausdruck f(x) stellvertretend für p(t) stehen und angeben, wie ein Impuls p von der Zeit t abhängt. Leitet man p(t) nach der Zeit ab, erhält man die Kraft F(t), die dafür sorgt, dass sich der Impuls überhaupt mit der Zeit ändert: $\dfrac { {\rm d} p}{ {\rm d}t}=F(t)$. Die Kraft F ist nur eine von vielen physikalischen Größen, die man durch Ableiten aus anderen Größen gewinnt! Darum ist es so wichtig, die Ableitung zu verstehen und zu beherrschen!

Anwendung der Ableitung in der Physik

Die Ableitung und ihre Umkehrung, die Integration, sind so ziemlich die wichtigsten Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen, die man sich denken kann. Die meisten allgemeingültigen Zusammenhänge enthalten eine Ableitung. Wichtige Beispiele sind die Zusammenhänge zwischen Geschwindigkeit und Ort $\vec v =\dfrac {d\vec r}{dt}$ sowie Beschleunigung und Geschwindigkeit $\vec a =\dfrac {d\vec v}{dt}$ oder zwischen Leistung und Arbeit $P =\dfrac {dW}{dt}$ oder Kraft und potenzieller Energie $F_x =-\dfrac {dV}{dx}$. Auch viele physikalischen Grundgesetze enthalten eine Ableitung. Beispiele sind das zweite Newtonsche Axiom $\vec F =\dfrac {d\vec p}{dt}$ oder das Induktionsgesetz $\oint \vec E \cdot d\vec s =-\dfrac {d\Phi_B}{dt}$, welches zudem ein geschlossenes Wegintegral enthält. An der Differentiation und der Integration kommt man deshalb in der Physik auf keinen Fall vorbei. Beide Zusammenhänge lassen sich jedoch anschaulich darstellen und es ist nicht schwierig, ein intuitives Verständnis für sie zu entwickeln.

Anschauliche Bedeutung der Ableitung: Steigung

Um die Ableitung anschaulich verstehen zu können, muss man die Funktion $f(x)$ grafisch darstellen und die gezeichnete Funktionskurve betrachten. Ihre Ableitung $f'(x)$ erzeugt aus der ursprünlichen Funktionskurve eine neue Kurve. Diese neue Kurve ("Steigungskurve") zeigt die Steigung der ursprünglichen Kurve für jeden Punkt an. Die Ableitung $f'(x)$ an der Stelle x sagt uns, wie steil die Funktion f(x) an der Stelle x ist. Sie sagt uns deshalb auch, wie stark sich die Funktion f(x) ändert, wenn wir x an dieser Stelle um ein sehr kleines bisschen dx vergrößern. Sie ändert sich dann nämlich um ${\rm d}f =f'(x)\cdot {\rm d}x$. Die Funktion f(x) wird also um df größer, wenn die Steigung bei x positiv ist und um df kleiner, wenn die Steigung bei x negativ ist. Sie bleibt gleich, wenn die Steigung bei x null ist!

Steigung einer Funktion

Die Steigung einer Funktionskurve in der Mathematik ist völlig identisch mit der Alltagsbedeutung der Wortes "Steigung". Man muss sich die Kurve einfach als Höhenprofil eines Weges vorstellen, den man in die positive x-Richtung, also von links nach rechts, mit dem Fahrrad fährt. Wenn man einen Berg hinauf fährt, steigt der Weg an, die Steigung ist positiv. Wenn es steiler hinauf geht, wird auch die Steigung größer. Wenn man auf horizontaler Strecke fährt, ist die Steigung null. Wenn es bergab geht, also ein Gefälle da ist, dann ist die Steigung negativ. Je steiler der Weg nach unten wird, umso größer wird der Betrag der Steigung, sie bleibt aber negativ.

Abb. 1
Kontrollfrage 1: Gib an, in welchem Wertebereichen für x die Steigung der Kurve in Abb.1 negativ ist!
Die Steigung ist negativ im Bereich −1,0 < x < 1,5. Denn in diesem Bereich geht es bergab, wenn man die Kurve in positive x-Richtung durchfährt.
Kontrollfrage 2: Sortiere die Punkte der Kurve in Abb.1 nach ihrer Steigung in aufsteigender Reihenfolge!
C < D < E < B < A, denn am Punkt C geht es abwärts, die Steigung ist negativ, bei D ist die Kurve horizontal, d.h. die Steigung ist null, bei an den übrigen Punkten geht es bergauf, am wenigsten steil bei E, am steilsten bei A.
Kontrollfrage 3: Sortiere die Punkte der Kurve in Abb.1 nach dem Betrag ihrer Steigung in aufsteigender Reihenfolge!
D < E < C < B < A, denn bei D ist die Kurve horizontal, d.h. die Steigung ist null, am wenigsten steil ist es am Punkt E, etwas steiler bei C, dann kommt B und am steilsten ist es bei A.


Abb. 2 Ableitung als Tangentensteigung

Genauer ausgedrückt ist die Steigung einer bliebigen und beliebig gekrümmten Funktion f(x) in einem bestimmten Punkt P =(x0|f) die Steigung der Tangente an die Funktionskurve im Punkt P (siehe Animation in Abb.2). Mathematisch erhält man sie aus dem Grenzwert

Ableitung als Grenzwert $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\left.\dfrac{ {\rm d}f}{ {\rm d}x}\right|_{x=x_0}\qquad(1)$.

Wenn man diese Tangentensteigungen für alle Punkte der Funktion bestimmt und diese dann über x aufträgt, ergibt sich eine neue Kurve, die anders aussieht als die Kurve der ursprünglichen Funktion. Diese neue Kurve ist die Ableitung f'(x) der Funktion f(x). Das Aussehen der neuen Kurve f'(x) lässt sich anhand weniger Regeln aus dem Aussehen der ursprünglichen Funktion abschätzen. Die analytische Funktion von f'(x) lässt sich anhand weniger Rechenregeln aus der analytischen Funktion f(x) bestimmen. Um ein "Gefühl" für die Ableitung zu entwickeln, starten wir mit der graphischen Bestimmung von Steigungen in einem Punkt einer Funktionskurve und schließen mit der analytischen Berechnung von Ableitungen für Funktionen ab.

Mittlere Steigung einer grafisch dargestellten Funktion an einer Stelle x

Um die Steigung eine gezeichneten Funktion an einer Stelle x näherungsweise zu bestimmen, sucht man sich zuerst zwei Punkte x1 und x2, zwischen denen x mittig liegt. Nun liest man die Funktionswerte f1 und f2 für die zwei Werte x1 und x2 ab. Als nächstes bildet man die Differenz der x-Werte Δx = x2x1 und die Differenz der Funktionswerte Δf = f2f1. Der Quotient f' = Δfx gibt näherungsweise[1] die Steigung der Funktion an der Stelle x in der Mitte zwischen x1 und x2 an. Die Steigung f' ist der Funktionswert f'(x) der Ableitung an der Stelle x.

Abb.3
Beispiel: Bestimme für die in Abb.3 dargestellte Kurve die Steigungen an den Stellen x = 0 und x = 3!

Steigung bei x = 0: Die Stellen x1 = −1 und x2 = 1 liegen symmetrisch um x = 0 und die Funktionswerte f1 = 10 und f2 = −6 sind gut ablesbar. Die Differenzen sind Δx = 1 − (−1) = 2 und Δf = −6 − 10 = −16. Die Steigung ist f' = −16/2 = −8.

Steigung bei x = 3: Die Stellen x1 = 2 und x2 = 4 liegen symmetrisch um x = 3 und die Funktionswerte f1 = −8 und f2 sind = 0 sind gut ablesbar. Die Differenzen sind Δx = 4 − 2 = 2 und Δf = 0 − (−8) = 8. Die Steigung ist f' = 8/2 = 4.
Kontrollfrage 4: Bestimme die Steigung der Funktion in Abb.3 an der Stelle x = −1!
Die Steigung ist f' = −12. Das ergibt sich aus den Stellen x1 = −2 und x2= 0 mit den Funktionswerte f1 = 24 und f2 = 0, die gut ablesbar sind. Die Differenzen sind Δx = −2 − 0 = −2 und Δf = 24 − 0 = 24. Die Steigung ist f' = 24/(−2) = −12.
Kontrollfrage 5: Bestimme die ungefähren Werte der Steigungen für alle Punkte in Abb. 1!
SteigungA.png
Wir gehen von jedem Punkt horizontal ein Kästchen nach links und von dort aus zwei Kästchen nach rechts und zählen die Anzahl der Kästchen, die die Kurve in diesem horizontalen Intervall in vertikale Richtung durchläuft. Ein horizontales Kästchen entspricht dem Zahlenwert 0,25, deshalb ist für alle Punkte Δx = 0,5. Ein vertikales Kästchen entspricht ebenfalls dem Zahlenwert 0,25. Für Punkt A durchläuft die Kurve NA = 8 Kästchen nach oben, das ergibt Δf = 8×0,25= 2,0 und daher die Steigung f'A = 2,0/0,5 = 4,0. Für die übrigen Punkte erhält man als Anzahl der vertikal durch laufenen Kästchen NB = 6, NC = −4, ND = 0, NE = 2. Das ergibt die Steigungen f'B = 1,5/0,5 = 3,0 und f'C = −1,0/0,5 = −2,0 und f'D = 0/0,5 = 0 und f'E = 0,5/0,5 = 1,0


Die Steigung an besonderen Stellen einer Funktion

Eine Funktion kann besondere Stellen haben:

  • Nullstellen sind die Werte von x, bei denen f(x) = 0 ist.
  • Extremstellen sind die Werte von x, bei denen die Funktion lokale oder globale Maxima oder Minima hat.
  • Wendestellen sind die Werte von x, bei denen sich die Krümmungsrichtung der Funktion ändert. Um dies zu verstehen, stellt man sich am besten vor, dass die Funktionskurve in einer horizontalen Ebene liegt und eine Art Slalomkurs darstellt. Wenn man die Kurve mit dem Fahrrad entlang fährt, muss der Lenker mal rechts und mal links eingeschlagen werden. Wie stark man nach rechts oder nach links lenken muss, ist ein Maß für die Krümmung der Kurve. Wenn man von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt wechselt, ist der Lenker dazwischen kurzzeitig gerade. Diese Punkte "mit geradem Lenker" bilden Wendepunkte der Funktion!
  • Sattelstellen sind die Werte von x, an denen die Kurve horizontal verläuft, ohne das ein Extremum vorliegt. Sattelstellen sind immer auch Wendestellen.
Abb.4 Besondere Punkte einer Funktion
Beispiele: Wir fahren die Kurve in Abb.4 in die positive t-Richtung entlang, d.h. von links nach rechts in der Grafik:
  • Punkt A ist ein lokales Extremum, genauer ein lokales Maximum. Dort ändert sich die Kurve als Höhenprofil betrachtet von "bergauf" nach "bergab".
  • Punkt B ist ein Wendepunkt. Dort ändert sich die Kurve als Slalom betrachtet von "Rechtskurve" auf "Linkskurve".
  • Punkt C ist im dargestellten Bereich ein globales Extremum, genauer ein globales Minimum. Es ist der tiefste Punkt der Kurve. Dort ändert sich die Kurve als Höhenprofil betrachtet von "bergab" nach "bergauf".
  • Punkt D ist ein Nullpunkt. Der Funktionswert ist Null. Wird die Kurve als Höhenprofil betrachtet, sind wir auf Höhe des Meeresspiegels. Punkt D ist auch ein Wendepunkt. Dort ändert sich die Kurve als Slalom betrachtet von "Linkskurve" auf "Rechtskurve".
  • Punkt E ist ein globales Extremum, genauer ein globales Maximum. Dort ändert sich die Kurve als Höhenprofil betrachtet von "bergauf" nach "bergab". Gleichzeitig ist es der höchste Punkt der Kurve.
  • Punkt F ist ein Wendepunkt. Dort ändert sich die Kurve als Slalom betrachtet von "Rechtskurve" auf "Linkskurve".
  • Punkt G ist ein Nullpunkt. Der Funktionswert ist Null. Wird die Kurve als Höhenprofil betrachtet, sind wir wieder auf Höhe des Meeresspiegels.

Abb.5
Kontrollfrage 6: Wie viele Nullstellen hat die in Abb.5 gezeigte Funktion im dargestellten Ausschnitt und wo (d.h. bei welchen t-Werten) liegen sie in etwa?
Die Funktion hat eine Nullstelle bei t ≈ 0,6.
Kontrollfrage 7: Wie viele Extremstellen hat die in Abb.5 gezeigte Funktion im dargestellten Ausschnitt und wo (d.h. bei welchen t-Werten) liegen sie in etwa?
Die Funktion hat zwei Extremstellen: Ein Minimum bei t ≈ -1,0 und ein Maximum bei t ≈ -0,1.
Kontrollfrage 8: Wie viele Wendestellen hat die in Abb.5 gezeigte Funktion im dargestellten Ausschnitt und wo (d.h. bei welchen t-Werten) liegen sie in etwa?
Die Funktion hat vier Wendestellen (t ≈ -1,5, t ≈ -0,5, t ≈ 0,5, t ≈ 1,5 ).
Kontrollfrage 9: Wie viele Sattelstellen hat die in Abb.5 gezeigte Funktion im dargestellten Ausschnitt und wo (d.h. bei welchen t-Werten) liegen sie in etwa?
Die Funktion hat einen Sattelstelle bei t ≈ 1,5.

Minima, Maxima und Nullstellen der Ableitung

An Extremstellen der Funktion verläuft die Funktionskurve immer horizontal und die Tangente an die Funktionskurve ist eine waagerechte Gerade. Das bedeutet, die Steigung ist dort Null.

An Extremstellen von f(x) liegen Nullstellen von f'(x)!

An Wendestellen der Funktion ändert sich die Steigung von zunehmend zu abnehmend oder umgekehrt. Daher liegen dort Extremstellen der Ableitung. Geht die Kurve an der Wendestelle bergab, dann ist die Steigung dort negativ. Daher muss an der Wendestelle ein Minimum der Ableitung liegen. Geht die Kurve an der Wendestelle jedoch bergauf, dann ist die Steigung dort positiv. Dann muss an der Wendestelle ein Maximum der Ableitung liegen.

An Wendestellen von f(x) liegen Minima oder Maxima von f'(x)! Fällt f(x) an der Wendestelle, liegt dort eine Minimum, steigt f(x) an der Wedestelle, liegt dort ein Maximum von f'(x)

An Nullstellen der Funktion kann die Steigung beliebig sein, denn eine Funktion kann die x-Achse in einem beliebigen Winkel schneiden! Nullstellen der Funktion erzeugen deshalb keine besonderen Stellen der Ableitung!

Bestimmung des qualitativen Verlaufs der Ableitung einer grafisch dargestellten Funktion

Abb.6 Eine Funktion (schwarz) und ihre Ableitung (blau)

An sich ist der Zusammenhang zwischen dem Verlauf eines Funktionskurve und dem Verlauf der Kurve ihrer Ableitung nicht kompliziert. Man muss nur erkennen, dass man nicht die Funktionswerte selbst abzulesen hat, sondern statt dessen die Steigung der Funktionskurve betrachten muss, wenn man die Ableitung bestimmen will.

An jeder Extremstelle der Funktionskurve (egal ob Maximum oder Minimum) muss das Vorzeichen der Ableitungskurve wechseln. Also muss die Ableitung dort Nullstellen haben. Das sind die Punkte A, C und E in Abb.6.

Jede Wendestelle entspricht einem Wechsel von "es wird immer steiler" zu "es wird wieder flacher" oder umgekehrt. Wendestellen der Funktionskurve bilden deshalb Extrema der Ableitung. Das sind die Punkte B, D und F in Abb.6.

Um festzulegen, ob es sich bei einer Extremstelle um ein Maximum oder ein Minimum handelt, wird die Funktionskurve in x-Richtung entlanggefahren: Zwischen einem Minimum und einem Maximum der Funktion geht es logischerweise bergauf. Dort muss die Ableitung ein Maximum haben. Darum muss Punkt D ein Maximum der Ableitung sein. Nach einem Maximum geht es logischerweise bergab. Dort muss die Kurve der Ableitung ein Minimum haben und die Punkte B und F müssen Minima der Ableitung sein.


Abb.7
Abb.8
Kontrollfrage 10: Wo (d.h. bei welchen t-Werten) ist die Steigung der in Abb.7 gezeigten Funktion Null?
Die Steigung ist Null bei t ≈ -1,0 und t ≈ -0,1 und t ≈ 1,5.
Kontrollfrage 11: Wo (d.h. in welchen t-Bereichen) ist die Steigung der in Abb.7 gezeigten Funktion positiv?
Dort, wo die Funktionskurve bergauf geht, d.h. zwischen t ≈ -1,0 und t ≈ -0,1.
Kontrollfrage 12: Wo (d.h. in welchen t-Bereichen) ist die Steigung der in Abb.7 gezeigten Funktion negativ?
Dort, wo die Funktionskurve bergab geht, d.h. für t < -1,0 und t > -0,1.
Kontrollfrage 13: Wo (d.h. bei welchem(n) t-Wert(en)) ist die in Abb.7 gezeigte Funktion am steilsten, d.h. der Betrag der Steigung am größten?
Die Funktion ist am steilsten beim Abfall nach dem Maximum bei t ≈ 0,5.
Kontrollfrage 14: Welche der Kurven in Abb.8 könnte die Ableitung der in Abb.7 gezeigten Funktion sein?
Bei allen Funktionen stimmen die Nullstellen. Doch es kann nur die rote Funktion sein. Denn die blaue Funktion ist in den falschen Bereichen positiv bzw. negativ. Die schwarze Kurve hat ihren maximalen Betrag nicht dort, wo die Funktion am steilsten ist (bei t ≈ 0,5).


Berechnung von Ableitungen

Schreibweisen für Ableitungen

Allgemeine Notation

Aus der Schule kennt man die Notation f'(x) für die Ableitung der Funktion nach ihrem Parameter x. In der Physik gibt es diverse andere Schreibweisen für die Ableitung, die alle die gleiche Bedeutung haben.

Ableitung nach der Größe x: $f'(x)=\dfrac{ {\rm d}f}{ {\rm d}x}=\dfrac{ {\rm d}f(x)}{ {\rm d}x}=\dfrac{\rm d}{ {\rm d}x}f(x)\qquad(2)$

Darin stehen sowohl f als auch x stellvertretend für beliebige physikalische Größen.

Beispiel: Das Symbol f könnte für die potenzielle Energie Epot stehen und das Symbol x für die Koordinate z, so dass die abzuleitende Funktion $E_{pot}(z)$ wäre. Dann könnte man für die Ableitung von $E_{pot}(z)$ nach z alle der folgenden Ausdrücke schreiben: $E_{pot}'(z)=\dfrac{ {\rm d}E_{pot} }{ {\rm d}z}=\dfrac{ {\rm d}E_{pot}(z)}{ {\rm d}z}=\dfrac{\rm d}{ {\rm d}z}E_{pot}(z)$.

Zeitableitungen

Eine besondere Notation gilt für den Fall, dass x für die Zeit t steht. Dabei ist es egal, für welche physikalische Größe f steht. In diesem Fall wird die Notation f'(x) mit dem Strich (') nicht angewendet, statt dessen verwendet man einen Punkt über dem Größensymbol $\dot f$.

Ableitung nach der Zeit t: $\dot f(t)=\dot f =\dfrac{ {\rm d}f}{ {\rm d}t}=\dfrac{ {\rm d}f(t)}{ {\rm d}t}=\dfrac{\rm d}{ {\rm d}t}f(t)\qquad(3)$

Die ersten beiden Schreibweisen sind besonders kurz und übersichtlich und werden deshalb bevorzugt verwendet.

Beispiel: Die Geschwindigkeit $v$ soll nach der Zeit t abgeleitet werden. Somit steht f für die Geschwindigkeit $v$. Der vollständige Ausdruck für die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit lautet $v(t)$. Für die Zeitableitung von $v$ sind folgende Notationen gleichberechtigt und gleichbedeutend möglich: $\dot v(t)=\dot v=\dfrac{ {\rm d}v}{ {\rm d}t}=\dfrac{ {\rm d}v(t)}{ {\rm d}t}=\dfrac{\rm d}{ {\rm d}t}v(t)$.

Mehrfachableitungen

Auch Ableitungen kann man ableiten. Mehrfache Ableitungen macht man durch folgende Notationen deutlich:
Eine zweifache Ableitung $f''(x)=\dfrac{ {\rm d^2} f}{ {\rm d}x^2}=\dfrac{ {\rm d^2} f(x)}{ {\rm d}x^2}=\dfrac{\rm d^2}{ {\rm d}x^2}f(x)$. Eine dreifache Ableitung $f'''(x)=\dfrac{ {\rm d^3} f}{ {\rm d}x^3}=\dfrac{ {\rm d^3} f(x)}{ {\rm d}x^3}=\dfrac{\rm d^3}{ {\rm d}x^3}f(x)$ usw..
Mehrfache Zeitableitungen schreibt man als $\ddot f(t)=\ddot f=\dfrac{ {\rm d^2} f}{ {\rm d}t^2}=\dfrac{ {\rm d^2} f(t)}{ {\rm d}t^2}=\dfrac{\rm d^2}{ {\rm d}t^2}f(t)$. Eine dreifache Zeitableitung wäre $\dddot f(t)=\dddot f=\dfrac{ {\rm d^3} f}{ {\rm d}t^3}=\dfrac{ {\rm d^3} f(t)}{ {\rm d}t^3}=\dfrac{\rm d^3}{ {\rm d}t^3}f(x)$ usw..

Kontrollfrage 15: Schreibe die zweifache Zeitableitung des Ortes x in möglicht vielen verschiedenen Schreibweisen auf!
Der Ausdruck für den Ort x als Funktion der Zeit lautet $x(t)$. Die zweifache Zeitableitung ist $\ddot x(t) =\ddot x=\dfrac{ {\rm d^2} x}{ {\rm d}t^2}=\dfrac{ {\rm d^2} x(t)}{ {\rm d}t^2}=\dfrac{\rm d^2}{ {\rm d}t^2}x(t)$.


Ableitungen grundlegender Funktionen

Ableitungen einfacher Funktionen sollte man im Kopf wissen! Die wichtigsten sind :

  • Konstanten $f(x)= c~\to~f'(x)= 0$
  • Polynome $f(x)= x^n~\to~f'(x)= n x^{n-1}$
  • Trigonometrische Funktionen $f(x)= \cos(x) ~\to~f'(x)=-\sin(x)\qquad f(x)= \sin(x) ~\to~f'(x)=\cos(x)\qquad f(x)= \tan(x) ~\to~f'(x)=\dfrac 1{\cos^2(x)}$
  • Exponentialfunktion $f(x)= e^{x} ~\to~f'(x)= e^{x}$
  • Logarithmusfunktion $f(x)= \ln{x} ~\to~f'(x)=\frac 1 x$

Beispiel: Die Ableitung von $f(x) = 5$ ist $f'(x) = 0$. Die Ableitung von $f(x) = x^5$ ist $f'(x) = 5 x^4$. Die Ableitung von $g(x) = \dfrac 1{x^3}$ berechnet man mit der Identität $\dfrac 1{x^3}=x^{-3}$. Sie ist $g'(x)=\dfrac {\rm d }{ {\rm d} x}x^{-3}= -3 x^{-4}=-\dfrac 3{x^4}$. Die Ableitung von $h(x) = \sqrt{x}=x^{\frac 12}$ berechnet man mit der Identität $\sqrt{x}=x^{\frac 12}$. Sie ist $h'(x) =\dfrac {\rm d }{ {\rm d} x}x^{\frac 12}= \frac 12 x^{-\frac 12}=\frac 12\dfrac 1{\sqrt x}$. Die Ableitung von $j(x) = e^{x}$ ist $j'(x) =e^{x}$.

Kontrollfrage 16: Die Ableitung von $f(x)=\dfrac 1{ {x} }$ ist ...
$f'(x) =\frac {\rm{d} }{\rm{d} x}x^{-1} =- x^{-2}=-\dfrac 1{x^2}$.
Kontrollfrage 17: Die Ableitung von $f(x)=\dfrac 1{\sqrt{x} }$ ist ...
$f'(x) =\frac {\rm{d} }{\rm{d} x}x^{-\frac 12} =- \frac 12 x^{-\frac 32}=-\frac 12\dfrac 1{\sqrt {x^3} }$.


Ableitungsregeln

Komplizierte Funktionen ergeben sich daraus dann durch einige Ableitungsregeln. Die wichtigsten sind:

  1. Konstanter Faktor c: $g(x)=c\cdot f(x)\ \to\ g'(x)=c \cdot f'(x)$
  2. Summenregel: $\dfrac { {\rm d} }{ {\rm d}x}(f + g)= \dfrac { {\rm d}f}{ {\rm d}x} + \dfrac { {\rm d}g}{ {\rm d}x} $
  3. Produktregel: $\dfrac { {\rm d} }{ {\rm d} x}(f \cdot g)= f \dfrac { {\rm d} g}{ {\rm d} x} + g \dfrac { {\rm d} f}{ {\rm d} x} $
  4. Kettenregel: $\dfrac { {\rm d} }{ {\rm d} x} f(g(x))=\dfrac { {\rm d} g}{ {\rm d} x}\cdot\dfrac { {\rm d} f}{ {\rm d} g}$
  5. Quotientenregel: $\dfrac { {\rm d} }{ {\rm d} x} \left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac {\frac{ {\rm d} f}{ {\rm d} x} \cdot g -f \cdot \frac{ {\rm d} g}{ {\rm d} x}}{g^2}$
Beispiele:

a) Die Ableitung einer Parabel $f(x) = a x^2 + b x+ c$ mit den Konstanten a, b und c ist die Gerade $f'(x) = 2 a x +b$. Die Ableitung der Geraden $f'(x) = 2 a x +b$ ist die Konstante $f''(x) = 2 a$.
b) Die Zeitableitung $\dot f(t)$ der Funktion $f(t) = A \cos(\omega t)$ mit den Konstanten A und ω ist $\dot f(t) = - \omega A \sin(\omega t)$.
c) Die Ableitung $\frac{dv}{dm}$ der Funktion $v(m) = c \cdot\ln\left(\frac{m_0}{m}\right)$ mit den Konstanten c und m0 ist $\frac{dv}{dm} = c \cdot \frac{d}{dm}\left(\ln m_0 - \ln m \right)=- \frac c m$.
d) Die Ableitung der Funktion $f(x) = a x \cdot e^{-b x^2}+ c x^2$ mit den Konstanten a, b und c ist $f'(x) = a \cdot e^{-b x^2}+a x \cdot (-2 b x) e^{-b x^2}+ 2 c x= a \cdot e^{-b x^2}(1- 2 b x^2)+2 c x $

Kontrollfrage 18: Gebe für jedes der Beispiele a) bis d) an, welche der Ableitungsregeln darin verwendet wurden!
a) Regeln 1 und 2. b) Regeln 1 und 4. c) Regeln 1 und 2. d) 1, 2, 3 und 4.


Umkehrung der Ableitung

Die Umkehrung der Ableitung ist die Integration.


  1. Bei Geraden ist der Wert natürlich exakt!