Abbildungen mit Linsen

Aus PhysKi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Physikalischer Kontext

Abb.1 Wellenfrontverfor­mung durch Sammellinse (oben), Zer­streuungslinse (unten)

Abbildungen sind Gegenstand der geometrischen Optik, in der wir Lichtwellen durch Strahlen symbolisieren. Optische Baulemente, kurz „Optiken“ genannt, dienen dazu, eine Lichtwelle zu führen und zu formen. Aus fertigungs­technischen Gründen bestehen sie immer aus ebenen (plan), kugelförmigen (sphärisch) oder aus parabolischen Oberflächen. Fast jeder Optik kann man eine Achse zuordnen, die durch ihren Mittelpunkt geht, eine Symmetrieachse bildet und senkrecht auf ihr steht: Das ist ihre optische Achse. Lichtwellen verformen wir mit Linsen oder gekrümmten Spiegeln. Verformt werden die Wellenfronten (Abb.1). Eine Verformung der Wellenfronten bewirkt eine andere Laufrichtung der Strahlen.

Nehme an, Du willst das in alle Raumrichtungen abgestrahlte Licht einer Spektrallampe durch ein Prisma lenken, um danach auf einem Schirm das Spektrum der Lampe scharf zu sehen. Dazu muss ein Teil des Lichts der Lampe auf den Schirm geführt werden. Unterwegs müssen die Wellenfronten geformt werden: Die Lampe strahlt eine Kugelwelle ab. Zuerst muss aus einem Teil davon eine ebene Welle gemacht werden, die voll­ständig durch das Prisma gelangt. Hinter dem Prisma muss sich die ebene Wellenfront in eine zusammenlaufende Kugel­welle verwandeln und konvergentes Licht erzeugen, dessen Strahlen genau auf dem Schirm zusammenfallen. Bezogen auf die Strahlen sagt man dazu: Das Licht der Lampe muss vor dem Prisma parallelisiert und hinter dem Prisma auf einen Schirm fokussiert werden. Üblicherweise arbeitet man in diesem Gebiet der Optik nicht mit Wellenfronten sondern mit Strahlen und nennt es geometrische Optik. Es ist trotzdem hilfreich, sich auch die Wellenfronten anzuschauen, um die Funktion zu verstehen. Trifft eine beliebig geformte Wellenfront durch ein Glasstück, dann wird die Welle im Glas verzögert und zwar umso mehr, je dicker das Glas ist. Hinter dem Glas hat die Front eine neue Form. Abb. 1 zeigt dies am Beispiel zweier Linsen. Wir verformen Lichtwellen also durch einen Laufzeit­unterschied verschiedener Punkte der Wellenfront beim Durchgang durch die Linse. Diesen Lauf­zeitunterschied können wir z.B. auch durch einen gekrümmten Spiegel erreichen. Die Wellenfront hinter dem Bauteil hängt natürlich sowohl vom Bauteil selbst als auch von der Form der Wellenfront vor dem Bauteil ab.

Wir schauen uns jetzt an, wie wir diese Zusammenhänge qualitativ und quantitativ mit Hilfe von Strahlen beschreiben können. Dazu müssen wir zuerst einige Begriffe definieren, um dann die Methode der Beleuchtung und der Bildkonstruktion zu lernen. Wir unterscheiden zuerst in zwei verschiedene Aufgaben: Beleuchtung und Abbildung. Bei der Beleuchtung oder Ausleuchtung (z.B. des Prismas mit der Lampe) wollen wir eine größere Fläche möglichst gleich­mäßig mit Licht bestrahlen. Meisten soll das Licht dabei auch noch parallel sein, manchmal benötigen wir einen bestimmten Öffnungswinkel. Bei einer Abbildung wollen wir Licht, das von einem Punkt eines Gegenstandes ausgeht, wieder an einem anderen Ort in einem Punkt zusammenführen (z.B. Licht von einem Punkt der Lampe auf einen Punkt des Schirms). Dabei ist oft die Vergrößerung vorgegeben. Wir besprechen jetzt die Abbildung und zwar mit Linsen. Bei Linsen unterscheiden wir zwischen Sammellinsen und Zerstreuungslinsen. Hinter Sammellinsen wird vorher paralleles Licht in einem Punkt zusammengeführt. Wir nennen das fokussiert. Zusammenlaufende Lichtstrahlen nennen wir konvergent. Hinter einer Zerstreuungslinse laufen vorher parallele Strahlen auseinander. Auseinenderlaufende Strahlen nennen wir divergent.

Verständnisfrage 1: Erkläre, warum die Wellenfronten eines Lichtbündels nach einer Linse anders gekrümmt sein müssen als vorher!
Weil das Licht im Glas der Linse langsamer läuft als außerhalb. Eine Linse ist im Gegesatz zu einer planparallelen Platte nicht überall gleich dick. Je dicker eine Stelle, umso länger läuft das Licht langsamer und umso weiter bleibt die Stelle der Wellenfront hinter anderen Stellen zurück. Dadurch wird die Wellenfront gekrümmt.
Abb.F2
Verständnisfrage 2: Welche der Linsen A oder E wirken als Sammellinse, welche als Zerstreuungslinse?
A, B und E wirken sammelnd, denn sie sind in der Mitte dicker als am Rand. D wirkt zerstreuend, denn sie ist in der Mitte dünner als am Rand. C macht nichts davon, denn sie überall gleich dick. Sie wirkt wie eine Kombination aus Sammel- und Zerstreuungslinse und würde einen Strahlquerschnitt veringern.



Linsengleichung und Vergrößerung

Abb.2 Definiton der Größen in der Abbildungsgleichung

Phänomen: Sphärisch gekrümmte Spiegel und Linsen und können Licht fokus­sieren oder aufweiten. Mann kann ihnen deshalb eine Brennweite f zuord­nen, die angibt, in welchem Ab­stand von der Optik sich parallel ankommende Strahlen nach der Ablen­kung durch die Optik in einem Punkt F, genannt Brennpunkt, auf der optischen Achse schnei­den. Die Optik repräsentieren wir durch eine senkrechte Linie H namens Haupt­ebene. Strah­len, die von einem Punkt P eines Gegen­standes im Abstand G von der optischen Achse und im Abstand g von der Optik ausgehen, werden in der Hauptebene H abgelenkt. Danach treffen sie sich wieder in einem Punkt P' im Abstand B von der optischen Achse und im Abstand b von der Optik. Wir sagen dazu P' ist das Bild oder die Abbildung von P. Wir nennen die Größen Gegenstandgröße G, Gegenstandsweite g, Bildgröße B, Bildweite b. Zwischen den Größen gilt als Zusammenhang die Abbildungsgleichung (Herleitung siehe unten) [1]):

Abbildungsgleichung $\frac 1 f=\frac 1g+\frac 1b$     (1)

Das Verhältnis von Bildgröße zu Gegenstandgröße nennen wir das Abbildungsverhältnis oder die Vergrößerung.

Das Abbildungsverhältnis bzw. die Vergrößerung ist $v=\frac B G =-\frac b g$     (2)

Vor der Optik, im Gegenstandsraum, ist g positiv und b negativ. Nach der Optik, im Bildraum, ist b positiv und g negativ. Das Vorzeichen von f hängt von der Optik ab: Sammelnde Optik "+", aufweitende Optik "−".

Die Abbildungsgleichung ist eine Näherung für achsennahe Strahlen, die unter einem kleinen Winkel einfallen. Solche Strahlen nennt man paraxial. Tatsächlich treten Abweichungen auf, die wir Abbildungsfehler nennen. Bei einigen Optiken kann es nötig werden, zwischen Strecken vor und nach der Optik zu unterscheiden oder mehrere Hauptebenen einzuführen. Dann bekommen oft die bildseitigen Größen, z.B. die Brennweite im Bildraum f', einen Strich. Abbildungen konstruiert man per Konvention immer so, dass die Strahlen von links kommen.

Konstruktion und Berechnung einer Abbildung

Für die Anwendung von (1) und (2) muss man noch wissen, dass bei Plan- oder Bikonkav-Linsen, unglück­licherweise „Zerstreuungslinsen“ genannt, die Brennweite negativ ist. Den Ort, an dem sich der Bildpunkt eines Gegenstandes befinden, nennen wir den Fokus. Die Ebene, in der der Fokus liegt, nennen wir auch Bildebene oder Foskusebene. Um ein scharfes Bild auf einem Schirm zu sehen, muss der Schirm im Fokus stehen. Für paralleles Licht sind Fokus und Brennweite bzw. Fokusebene und Brennebene identisch. Daher kommt auch die Redewendung "etwas im Fokus haben".

Konstruktionsmethode

Die geometrische Bedeutung der Abbildungsgleichung lässt sich nach Abb.2 durch die drei Strahlen Parallelstrahl, Mittelpunktsstrahl und Brennstrahl und einen Kunstgriff erfassen. Darauf fußt auch die Methode der Bildkonstruktion. Zeichnerisch finden wir eine Linsen-Abbildung immer nach der gleichen Konstruktionsmethode und zwar genau wie beim Hohlspiegel:

1. Wir zeichnen die optische Achse, da hinein die Hauptebene der Linse und markieren auf ihren beiden Seiten die Brennweite f und f'.
2. Wir zeichnen den Gegenstand im gegebenen Abstand g links von der Linse und markieren den achsenfernsten Punkt P. Von P aus zeichnen wir folgende drei Strahlen: (Wenn sich einer der drei Strahlen nicht zeichnen lässt, weil z.B. die Linse zu klein ist, lassen wir ihn weg. Zum Auffinden des Bildes genügen auch zwei Strahlen .)
2.1 Den Parallelstrahl parallel zur optischen Achse bis zur Hauptebene und von dort durch den hinteren Brennpunkt.
2.2 Den Mittelpunktsstrahl, der nie abgelenkt wird, gerade durch den Mittelpunkt der Hauptebene.
2.3 Den Brennstrahl durch den vorderen Brennpunkt bis zur Hauptebene und von dort aus parallel weiter.
3. Diese Strahlen müssen sich in einem Punkt schneiden, der die Bildgröße B und die Bildweite b markiert. Schneiden Sie sich hinter der Hauptebene, ist das Bild reell und steht auf dem Kopf (Abb.2). Dann ist b posotiv. Wenn die Strahlen hinter der Hauptebene auseinander laufen, dann müssen wir sie davor verlängern, bis sie sich schneiden. Es entsteht kein reelles, sondern ein aufrechtes virtuelles Bild (siehe Beispiel). Dann ist b negativ.
Verständnisfrage 3: Wo liegt das reelle Bild einer Sammellinse? a) vor der Linse, b) auf der Linse c) hinter der Linse
c) hinter der Linse. Das reelle Bild im Sinne der geometrischen Optik liegt immer dort, wo Lichtstrahlen von einem Punkt des Gegenstandes wieder zusammenkommen.
Verständnisfrage 4: Wo liegt das virtuelle Bild einer Sammellinse? a) vor der Linse, b) auf der Linse c) hinter der Linse
a) vor der Linse. Ein virtuelles Bild im Sinne der geometrischen Optik liegt dort, von wo die Strahlen zu kommen scheinen, die unser Auge und Gehirn dann in ein Bild umwandeln.

Animation

Das GeoGebra-Applet (Quelle: Sammellinse - Abbildung einer Kerze, Autor Andreas Schenkel, Lizenz: CC-BY-SA, GeoGebra Terms of Use) zeigt die Bildentstehung am Beispiel einer Kerze. Du kannst die Gegenstandsweite und die Brennweite verändern.

Berechnungen

In der Praxis sind uns Linsen mit fester Brenn­weite f gegeben, oft ist auch die Ver­grö­ßerung v oder ein Öffnungs­winkel des Lichtbündels α durch die Anforderung des Ex­peri­ments festgelegt und als Parameter haben wir die zu berechnenden Ab­stän­de b und g. Oder wir haben einen Gegenstand in einem festen Abstand g von der Linse und suchen sein Bild. Betrachten wir dazu je einige konkrete Beispiele:

Beispiel 1: Bildbrechnung

Eine Lampe mit einer Quellgröße von 5,0 mm soll so auf eine Blende abgebildet werden, dass ihr Licht vollständig hindurchgeht und die Blende gleichmäßig ausgeleuchtet wird. Die Blende hat einen Durchmesser von 0,50 mm. Die zur Verfügung stehende Linse hat eine Brennweite von 10,0 cm. In welchen Abständen müssen Lampe, Linse und Blende angeordnet werden?

Aus den Angaben erhalten wir Anforderung, dass das Bild der Lampe reell sein muss und dem Durchmesser der Blende entsprechen sollte, d.h. B = 0,50 mm. Wir brauchen also eine negative Vergrößerung (reelles Bild!): $v=\frac B G=-\frac{0,50 \text{ mm} }{5,0 \text{ mm} }=-\frac 1{10}$. Für die Abstände muss gelten b und g: $v=-\frac b g\ \Rightarrow\ b = -v g $. Das setzen wir in die Abbildungsgleichung ein: $\frac 1 f= \frac 1{- v g}+\frac 1 g=\frac 1 g\left(-\frac 1 v+1\right)$ und lösen nach g auf: $g= f\left(1-\frac 1 v\right)$. Einsetzen der Zahlen ergibt $g= 10\text{ cm}\left(1+10\right)=110\text{ cm}$. Daraus ergibt sich auch $b=- v g=-\frac 1 {10}(11\text{ cm})=-11 \text{ cm}$. Die Linse müsste also 1,1 m von der Lampe entfernt stehen und die Blende 11 cm hinter der Linse. Mit einer solchen Anordnung würde man nur sehr wenig Licht von der Lampe einfangen, weil nur sehr wenig Lampenlicht die Linse überhaupt trifft! Tatsächlich ist es ein Ding der Unmöglichkeit, das Licht einer Lampe, die in alle Richtungen abstrahlt, vollständig durch eine kleine Blende zu bekommen.


Abb.B2
Beispiel 2: Bildkonstruktion
Wo entsteht welche Art von Bild, wenn ein 1,5 cm großer Gegenstand im Abstand von 3,0 cm vor eine Linse mit f = 5,0 cm und D = 4,0 cm angeordnet wird?
Wir lösen zuerst zeichnerisch: Parallelstrahl (2.1) und Mittelpunktstrahl (2.2) lassen sich zeichnen, der Brennstrahl (2.3) trifft die Linse nicht. Die Strahlen schneiden sich nicht hinter der Linse, also werden sie links ver­längert. Es ensteht ein auf­rech­tes virtu­elles Bild ca. 7,5 cm vor der Linse, das ca. 2,5 mal so groß ist wie der Gegenstand.
Jetzt lösen wir zur Kontrolle rechnerisch: Gegeben sind f und g, gesucht sind b und v. Wir lösen (1) nach b auf und erhalten $b = \frac{1} {1/f - 1 /g}=\frac{f \cdot g}{g - f}\ \Rightarrow\ b = \frac{5,0\text{ cm} \cdot 3,0 \text{ cm} } {(3,0 \text{ cm}- 5,0\text{ cm} }=\frac{15\text{ cm}^2}{-2,0\text{ cm} } = -7,5\text{ cm}$. Das stimmt mit der Zeichnung überein. Die negative Bild­weite sagt uns, dass es sich um ein virtuelles Bild handelt. Das positive Vorzeichen sagt uns, dass das Bild aufrecht steht. Für die Vergrößerung erhalten wir $v = - {\frac bg} = - \frac{-7,5\text{ cm} }{3,0\text{ cm} } = 2,5$. Die Bildgröße beträgt also 3,75 cm. Die Linse wirkt als Lupe, zeichnerische und rechnerische Lösung liefern das gleiche Ergebnis.


Beispiel 3: Vergrößertes reelles Bild

In welchem Wertebereich der Gegenstandsweite g ist das Bild eines Gegenstandes sowohl reell als auch größer als er selbst? Bestimme den Wertebereich aus der Abbildungsgleichung!
Aus der Abbildungsgleichung folgt $\frac 1 f - \frac 1 g = \frac 1 b\ \Rightarrow\ b = \frac 1 {1/f - 1 /g}=\frac{f \cdot g}{g - f}$.
Das Bild ist reell, wenn $b>0$ ist. Dazu muss $g>f$ sein, denn sonst wird b negativ. Das ist die untere Schranke für g.
Das Bild ist vergrößert, wenn $-v = \frac b g> 1$ ist. Das ergibt die Bedingung $\frac b g = \frac 1g \cdot\frac{f \cdot g}{g - f} = \frac f{g-f}>1$. Daraus erhalten wir $f>g-f\ \Rightarrow\ 2f>g$. Das ist die obere Schranke für g.

Eine Bild ist somit vergößert und reell, wenn $2f > g> f$ ist.


Verständnisfrage 5: Erkläre, was eine Sammel- und was eine Zerstreuungslinse ist und was bezüglich ihrere Brennweiten zu beachten ist!
Eine Sammellinse ist an den Rändern dünner als in der Mitte. Eine Zerstreuungslinse ist an den Rändern dicker als in der Mitte. Eine Sammellinse hat eine positive Brennweite, eine Zerstreuungslinse hat eine negative Brennweite.
Verständnisfrage 6: Erkläre, was die Hauptebene ist!
Die Hauptebene ist eine gedachte ebene Fläche, die bei symmetrischen Linsen genau in der Mitte der Linse liegt, und an der wir uns die Brechung vorstellen.
Abb.F7
Verständnisfrage 7: Welche der Strecken A oder B entspricht der Brennweite der Linse? F ist der Brennpunkt.
A, die Brennweite ist der Abstand des Brennpunktes zur Hauptebene. Die Strecke B nennt man Schnittweite. In Linsenkatalogen wird diese vom Hersteller in der Regel ebenfalls angegeben.



Spezialfälle

Abb.3 Der Mittelpunktstrahl zeigt, wo in der Brennebene der Fokus liegt.

Ein wichtiger Spezialfall ist die 1:1-Abbildung: Wann sind Objekt und Bild gleich groß, also |v| = 1? Wir finden für das reelle Bild B = -G und b = g =2f.

Wenn das Objekt sehr weit weg ist, also g → ∞ geht, wird die Bildweite b = f und v = 0. Tatsächlich wird das Bild aber nicht beliebig klein, sondern ist durch Beugung und Abbildungsfehler begrenzt. Wenn das Objekt im Brennpunkt ist, also g = f ist, geht die Bildweite b → ∞ und v → ∞. Tatsächlich wird das Bild aber nicht beliebig groß, sondern ist ein durch den Durchmesser der Linse begrenzter unscharfer Fleck.

Nützlich ist auch zu wissen, was eine Linse aus parallelem Licht macht, das schräg zur optischen Achse einfällt. In den Brennpunkt auf der optischen Achse kann es aufgrund des Winkels nicht fokussiert werden. Es wird aber auf einer Ebene durch den Brennpunkt, in die sogenannte Brennebene fokus­siert. Wo dort genau, zeigt uns der sehr praktischen Mittel­punktstrahl, der ja nie abgelenkt wird (Abb.3).

Herleitungen

Abbildungsgleichung

Abb.4 Zur Herleitung der Abbildungsgleichung

Die Herleitung der Abbildungsgleichung für Linsen ist vollkommen analog zum sphärischen Spiegel und liefert natürlich dasselbe Ergebnis:

Zur Herleitung von (1) betrachten wir Abb.4 und verwenden den Strahlensatz. Wir betrachten zuerst das blau schattierte Dreieck. Mit $z_g=g-f$ erhalten wir aus dem Strahlensatz: $\frac G B =\frac {z_g}f$. Nun betrachten wir das grün schattierte Dreick: Mit $z_b=b-f$ liefert dieses wieder aufgrund des Strahlensatze $\frac G B=\frac f{z_b}$. Da die linken Seiten beider Gleichungen gleich sind, können wir die rechten Seiten ebenfalls gleichsetzen. Das ergibt $\frac {z_g}f=\frac f{z_b}\ \Rightarrow\ \frac {g-f}f=\frac f{b-f}$. Diese Gleichung lässt sich auf die Form der Abbildungsgleichung bringen: $(g-f)(b-f)=f^2\ \Rightarrow\ gb-gf-fb+f^2=f^2\ \Rightarrow\ gb=fg+fb\ \Rightarrow\ \frac 1f=\frac{g+b}{gb}\ \Rightarrow\ \frac 1f=\frac 1b+\frac 1g$, womit (1) gezeigt ist.

Vergrößerung

Zur Herleitung von (2) betrachten wir wieder Abb.4 und verwenden wieder den Strahlensatz. Nun betrachten wir jedoch den grauen Mittelpunktsstrahl und die grauen Dreiecke. Daraus ergibt sich unmittelbar $\frac BG=\frac bg$, womit bis auf das Vorzeichen (2) gezeigt wäre. Das Vorzeichen ergibt sich aus der umgekehrten Richtung von B und G.

Verständnisfrage 8: Tatsächlich finden zwei Brechungen direkt an den Linsenoberflächen statt. In der Abbildungegleichung steckt jedoch eine Näherung. Beinhaltet diese Näherung, dass die Brechung nicht an den Linsenoberflächen, sondern woanders stattfindet?
Ja, sie beinhaltet, dass nur eine Brechung an der Hauptebene geschieht anstatt zwei Brechungen direkt an den Linsenoberflächen. Das sieht man an den Dreiecken, die bei der Herleitung betrachtet werden.


Vertiefung

Modellvorstellung

Abb.5 Ersatzbrechung an der Hauptebene

Genau wie bei gekrümmten Spiegeln steckt hinter der Abbildungsgleichung die paraxiale Näherung, d.h. wir betrachten nur achsennahe Strahlen, die unter einem kleinen Winkel zur optischen Achse einfallen. Alles, was bei den Spiegeln erklärt wurde, können wir nun auf Linsen übertragen. Denn wie ein sphärischer Spiegel mit der Brennweite f macht auch eine Linse aus einer ebenen Wellenfront eine gekrümmte Wellenfront, genauer, eine kugelförmige Wellenfront mit dem Radius f. Nur eben nicht durch Reflexion an unterschiedlichen Orten wie beim Spiegel, sondern durch unterschiedliche Verzögerung der Welle durch unterschiedliche Glasdicken. Weil aber mit den Wellen im Grunde das gleiche geschieht, ist die Physik die Gleiche. Beim Spiegel steckt in der Abbildungsgleichung statt der Reflexion an der Spiegeloberfläche ersatzweise eine Reflexion an der Hauptebene. Vollkommen analog steckt in der Abbildungsgleichung für Linsen statt den tatsächlich stattfindenden zwei Brechungen an Vorder- und Rückseite der Linse ersatzweise nur eine Brechung an der Hauptebene. Und das ist ein ganz wesentlicher Punkt, denn das sagt uns nämlich, von wo aus die Brennweite angegeben wird. Tatsächlich wird die Brennweite nämlich immer als Abstand zur Hauptebene angegeben und keinesfalls zur Linsenoberfläche. Aber wo liegt die Haupteben? Bei symmetrischen Linsen immer in der Mitte der Linsen, das ist klar. Bei unsym­me­tri­schen Linsen können sie aber irgendwo, sogar außerhalb der Linse liegen. Bei unsymmetrischen Linsen gibt der Hersteller die Lage der Hauptebene in der Regel an.

Weil die Ersatzbrechungsvorstellung eine Näherung beinhaltet, trifft sie den wirklichen Strah­len­gang umso besser, je kleiner der Einfallswinkel der Strahlen auf die Oberflächen ist. Bei senk­rechtem Einfall ist sie trivialerweise perfekt, bei paraxialen Strahlen sehr gut und bei großen Einfalls- oder Brechungswinkeln schlecht. Das hat eine wichtige Konsequenz für die Praxis: Alle auftretenden Winkel sollten daher immer möglichst klein sein! Genau deswegen gibt es verschiedene Linsenformen und es ist nicht egal, welche man wofür nimmt und wie herum man eine unsymmetrische Linse, z.B. eine Plankonvexlinse in den Strahlengang stellt. Schauen wir uns das genauer an!

Linsenformen und ihre Anwendung

Abb.6 Linsentypen: Von links nach rechts: Bikonvex, Bikonkav, Plankonvex, Plankonkav, Meniskus

Es gibt viele Sorten Linsen. Wir betrachten jetzt nur Linsen mit kreisförmigen sphärischen Ober­flächen. Wenn eine Oberfläche nach außen gewölbt ist, nennt man sie konvex, nach innen konkav. Danach werden die Linsen in der Regel bezeichnet, z.b. als Bikonvex oder Plankonkav etc.. Abb.6 zeigt einige Beispiele. Für alle Formen gilt die gleiche Abbildungs­gleichung, doch jede Sorte ist jeweils nur für eine bestimmte Anwendung optimal. Das werden wir gleich sehen.

Man wählt immer die Form einer Linse, für die im geplanten Strahlengang für einen achsenfernen Strahl der kleinste Brechungswinkel auftritt. Und man orientiert sie so, dass der größte Winkel minimal ist. Deshalb ist z.B. für die Fokussierung von parallelem Licht eine plankonvexe Linse besser als eine Bikonvexe. Und andersherum ist für eine Abbildung, bei der beidseitig kein paralleles Licht vorhanden ist, eine Bikonvexlinse günstiger, macht also ein besseres Bild. Man kann diese Bedingung auch über die Formen ausdrücken: Der größte auftretende Abstand zwischen den Lichtwellenfronten und den Linsenoberflächen sollte für einen achsenfernen Strahl so klein wie möglich sein. Verwirrt? Dann merken Sie sich als Faustformel: Die stärker gekrümmte Linsenfläche muss zur weniger gekrümmten Wellenfront zeigen und umgekehrt.

Verständnisfrage 9: Wie sollte eine Plankonvexlinse orientiert werden, wenn damit paralleles Licht fokussiert werden soll?
Abb.F1a
Egal ob man den maximal auftretenden Winkel vergleicht oder die Krümmung von Wellenfront und Linse (Abb.F1a: Immer kommt man darauf, dass die gekrümmte Seite zum parallelen Licht zeigen sollte!


Linsenkombinationen

Abb.7 Konstruktion der Abbildung einer Kombination aus zwei Linsen

Neben der verkleinernden oder vergrößernden Abbildung mit einer Linse, ist in der Praxis die Abbildung durch zwei Linsen oder Linsensysteme besonders wichtig: Betrachten wir dazu zuerst eine Standard­anordnung: Zwei Linsen (L1 und L2) in einem Abstand d, der etwa so groß ist, wie ihre Brennweiten f1 und f2. L1 erzeugt dann ein Bild, das für L2 den Gegenstand ersetzt und von L2 noch einmal abgebildet wird. Im Grunde passiert nichts neues. Mit etwas Rechnung kann man herausfinden dass für Brennweite fsys der Kombination folgende Gleichung gilt [2]

Brennweite einer Linsenkombination $\frac 1 {f_{sys}} = \frac 1{ f_1} + \frac 1 {f_2} - \frac d {f_1 \cdot f_2}=\frac {f_1 + f_2 -d}{ f_1 \cdot f_2}$     (3)

Allerdings bleibt die Frage, von wo aus die Brennweite fsys nun zu messen ist. Statt von den Hauptebenen der Linsen L1 und L2 müssen wir nun von zwei neuen Hauptebenen H1 und H2 aus messen. Zwischen den Hauptebenen denkt man sich den Raum nichtexistent, bzw. die Strahlen parallel verlaufend. Ihre Lage, gegeben als Abstand von den Linsen (für H 1 von L1, H2 von L2), findet man durch $h_1 = \frac{f_{sys} \cdot d} {f_2}$ und $h_2 = \frac{f_{sys} \cdot d} {f_1}$ [3] und den Abstand der neuen Brennpunkte von L1 und L2 durch [4]

Abstand der Brennpunkte von den Linsen einer Linsenkombination: $\frac 1 {s_1} = \frac 1 {f_1} + \frac 1 {f_2 - d}$ und $\frac 1 {s_2} = -\left(\frac 1 {f_2} + \frac 1 {f_1 - d}\right)$     (4)

Ein positives Vorzeichen zeigt, dass die Hauptebene vor der jeweiligen Linse liegt, ein Negatives dahinter. Die Vorzeichen sind hierbei ziemlich verzwickt, deshalb sollten Sie sich immer auch die Konstruktion zeichnen, um zu sehen, ob Ihre Rechnung plausibel ist. Abb.7 zeigt zwei Beispiele, die grünen Linien zeigen die Bildkonstruktion mit den Hauptebenen. Das untere System entspricht vom Prinzip her dem Strahlengang in einem Mikroskop.

Wenn beide Linsen direkt hinter­einander sind oder ihr Abstand d viel kleiner ist als beide Brennweiten können wir (3) noch vereinfachen. Die Systembrennweite wird dann $\frac 1 {f_{sys}} = \frac 1{ f_1} + \frac 1 {f_2}$. Häufig ist auch der Fall, dass zwei Linsen einen großen Abstand haben und der Gegenstand bei L1 im Fokus ist, nämlich wenn L1 das Licht einer Lampe parallelisiert, um dann in großem Abstand von L2 z.B. auf einen Schirm fokussiert zu werden. Wir haben also die Variante g1= f1 und b2 = f2. Spielen die Brennweiten der Linsen dabei eine Rolle, obwohl doch „nur fokussiert“ wird? Sie spielen, denn die Vergrößerung eines Systems ist das Produkt der Einzelvergrößerungen. L1 erzeugt das Bild $B_1=v_1\cdot G_1$ und L2 erzeugt $B_2=v_2\cdot G_2=v_2\cdot B_1$. Zusammen bekommen wir: $\frac {B_1} {G_1} \cdot\frac{B_2} {B_1}=v_1 \cdot v_2 =v_{sys}=\frac{B_2}{G_1}$. Lampe und Schirm stehen im Fokus, also sind G1 und B2 die jeweiligen Brennweiten und wir bekommen für die Bildgröße auf dem Schirm $v_{sys}= \frac {f_2}{f_1}\ \Rightarrow\ B_2=v_{sys} \cdot G_1=\frac {f_2}{f_1} G_1$.


  1. David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Physik, 3. Aufl., Wiley VCH Verlag GmbH, (2017)
  2. Wolfgang Demtröder, Experimentalphysik 2, 5. Aufl., Springer Verlag, Heidelberg (2009)
  3. H.-J. Eichler, H. Gobrecht, D. Hahn, H. Niedrig, M. Richter, H. Schoenebeck, H. Weber, K. Weber, Bergmann-Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band III Optik, 7.Auflage, Walter de Gruyter, Berlin, New York (1978)
  4. L. Bergmann, C. Schaefer, H.-J. Eichler, M. Freyberger, H. Fuchs, F. Haug, H. Kaase, J. Kross, H. Lang, H. Lichte, H. Niedrig, T. Pfau, H. Rauch, W. Schleich, G. Schmahl, E. Sedlmayr,F. Serick, K. Vogel, H. Weber, K. Weber, 10. Aufl. Walter de Gruyter, Berlin, New York (2004), wobei die Vorzeichen und Bezeichnungen hier anders gewählt wurden.